可靠性工程之可修復系統(tǒng)的可靠性

回顧復習維修度M(τ)對可修產(chǎn)品在發(fā)生故障或失效后，在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間（0,τ）內(nèi)完成修復的概率。修復率μ(τ)修理時間已達到某個時刻但尚未修復的產(chǎn)品，在該時刻后的單位時間內(nèi)完成修復的概率。有效度A(t)可維修產(chǎn)品在某時刻t具有或維持其功能的概率。第三章可修復系統(tǒng)的可靠性3.1馬爾可夫過程3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率3.4單部件可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)引言

可修復系統(tǒng)的組成單元發(fā)生故障后，經(jīng)過修理可以使系統(tǒng)恢復至正常工作狀態(tài)，如下圖所示。如果工作時間和修復時間都服從指數(shù)分布，就可以借助馬爾可夫過程來描述。3.1馬爾可夫過程馬爾可夫過程定義 馬爾可夫過程是一類“后效性”的隨機過程。簡單地說，在這種過程中系統(tǒng)將來的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關，而與過去的狀態(tài)無關?；蛘哒f，若已知系統(tǒng)在t0時刻所處的狀態(tài)，那么t>t0時的狀態(tài)僅與時刻t0的狀態(tài)有關。3.1馬爾可夫過程馬爾可夫過程的數(shù)學描述

設{x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一個隨機過程。若對任意n個時刻點0≤t1<t2<…<tn均有: P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1}

=P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1}i1,i2,…,in∈E

則稱{x(t),t≥0}為離散狀態(tài)空間E上連續(xù)時間馬爾可夫過程。

3.1馬爾可夫過程齊次馬爾可夫過程 如果對任意t,u≥0,均有

P{x(t+u)=j|x(u)=i}=Pij(t)i,j∈E

與始點u無關，則稱該馬爾可夫過程是齊次的。 或者，齊次馬爾可夫過程如果馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)或轉(zhuǎn)移概率密度,只與轉(zhuǎn)移前后的狀態(tài)及相應的二個時刻的時間差有關，而與二個時刻無關，即

F(x2;t2|x1;t1)=F(x2|x1;t2-t1)

f(x2;t2|x1;t1)=f(x2|x1;t2-t1)稱具有這種特性的馬爾可夫過程為齊次馬爾可夫過程。3.1馬爾可夫過程齊次馬氏過程的性質(zhì) 可以證明，對系統(tǒng)壽命以及故障后的修復時間均服從指數(shù)分布時，則系統(tǒng)狀態(tài)變化的隨機過程{x(t),t≥0}是一個齊次馬爾可夫過程。(2)式中對j求和,是對狀態(tài)空間I的所有可能狀態(tài)進行的

3.1馬爾可夫過程

3.1馬爾可夫過程

3.1馬爾可夫過程轉(zhuǎn)移矩陣

Pij(t)稱為從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移函數(shù)，由轉(zhuǎn)移函數(shù)的全體組成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣。如對n個狀態(tài)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為n×n階方陣，可寫為：

性質(zhì)（2）說明一步轉(zhuǎn)移概率矩陣中任一行元素之和為1.通常稱滿足(1)、(2)性質(zhì)的矩陣為隨機矩陣.3.1馬爾可夫過程三條假設

，

為常數(shù)(即壽命和維修時間服從指數(shù)分布)部件和系統(tǒng)取正常和故障兩種狀態(tài)。在相當小的

t內(nèi)，發(fā)生兩個或兩個以上部件同時進行狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率是

t的高階無窮小，此概率可以忽略不計。3.1馬爾可夫過程

3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例1

如一臺機器，運行到某一時刻t時，可能的狀態(tài)為：e1－正常；e2－故障。如機器處于e1狀態(tài)的概率P11=4/5,則e1向e2轉(zhuǎn)移的概率P12=1－P11=1/5；反過程，如機器處于e2狀態(tài)，經(jīng)過一定時間的修復返回e1狀態(tài)的概率是3/5，P21=3/5(維修度M(

));則修不好仍處于e2狀態(tài)的概率是P22=1－P21=2/5.3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為:轉(zhuǎn)移矩陣Pij也表示事件ei

發(fā)生的條件下，事件ej發(fā)生的條件概率：Pij=P(ej|ei)；矩陣P:行是起始狀態(tài)，由小到大；列是到達狀態(tài)，由小到大排列，建立P時應與轉(zhuǎn)移圖聯(lián)系起來。3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖例2

對于一可修系統(tǒng)，失效率和修復率λ、μ為常數(shù)，試畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：

e1——正常；e2——故障。3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由此可寫出：

通常令Δt=1,則有由此可知，狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖是求解(寫出)轉(zhuǎn)移矩陣的基礎。此時轉(zhuǎn)移矩陣P也稱為微系數(shù)矩陣馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率例排隊模型設服務系統(tǒng),由一個服務員和只可能容納兩個人的等候室組成.服務規(guī)則:先到先服務,后來者需在等候室依次排隊.假定需要服務的顧客到達系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)已有3個顧客(1個在接受服務,2個在等候室排隊),則該顧客即離去.設時間間隔Δt內(nèi)有一個顧客進入系統(tǒng)的概率為q,有一原來被服務的顧客離開系統(tǒng)(即服務完畢)的概率為p.又設當Δt充分小,在時間間隔內(nèi)多于一個顧客進入或離開系統(tǒng)實際上是不可能的等候室服務臺系統(tǒng)離去者隨機到達者馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率再設有無顧客來到與服務是否完畢是相互獨立的.如何用馬氏鏈描述這一服務系統(tǒng)?

設Xn≡X(nΔt),表示時間nΔt時系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)。則{Xn,n=0,1,2,…}是隨機過程,狀態(tài)空間I={0,1,2,3}.由于當Xn=i,i∈I已知時,Xn+1所處的狀態(tài)概率分布只與Xn=i有關,而與時間nΔt以前所處的狀態(tài)無關,所以該隨機過程是一個齊次馬氏鏈.怎樣計算此馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率?記p00:在系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的條件下,經(jīng)Δt后仍無顧客的概率,p00=1-q.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p01:在系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的條件下,經(jīng)Δt后有一顧客進入系統(tǒng)的概率,p01=q.p10:系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客正在接受服務的條件下,經(jīng)Δt后系統(tǒng)內(nèi)無人進入的概率,等于在Δt間隔內(nèi)顧客因服務完畢而離去,且無人進入系統(tǒng)的概率,p10=p(1-q).p11:系統(tǒng)內(nèi)恰有一顧客的條件下,在Δt間隔內(nèi),因服務完畢而離去,而另一顧客進入系統(tǒng),或者正在接受服務的顧客將繼續(xù)要求服務,且無人進入系統(tǒng)的概率,p11=pq+(1-p)(1-q).馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p12:正在接受服務的顧客將繼續(xù)要求服務,且另一顧客進入系統(tǒng)的概率,p12=q(1-p).p13:正在接受服務的顧客繼續(xù)要求服務,且在Δt間隔內(nèi)有兩個顧客進入系統(tǒng)的概率.由假設這種情況是不可能發(fā)生的,p13=0.系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務,有一顧客在排隊,在Δt間隔內(nèi)顧客因服務完畢離去,無顧客進入;以及系統(tǒng)內(nèi)有一顧客正在接受服務,有兩顧客正在排隊,在Δt間隔內(nèi)顧客因服務完畢離去,再無顧客進入的概率相等,故有p21=p32=p(1-q).馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)內(nèi)有2顧客,其中一人接受服務,在Δt間隔內(nèi),因服務完畢而離去,而另一顧客進入系統(tǒng),或者正在接受服務的顧客將繼續(xù)要求服務,且無人進入系統(tǒng)的概率為:p22=pq+(1-p)(1-q).系統(tǒng)內(nèi)有2顧客,正在接受服務的顧客繼續(xù)要求服務,且另一顧客進入系統(tǒng)的概率為:p23=q(1-p)，且當|i-j|≥2時,pij=0.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率p33:系統(tǒng)內(nèi)有三位顧客,或者一人將離去另一人將進入系統(tǒng);或者無人離開的概率,p33=pq+(1-p).于是得該馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣:P=.0123

(1-q)q00p(1-q)pq+(1-p)(1-q)q(1-p)00p(1-q)pq+(1-p)(1-q)q(1-p)00p(1-q)pq+(1-p)0123馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率

p11p12…p1n…p21p22

…p2n

……

…

…

…

…pn1pn2

…pnn

……

…

…

…

…P=Markov過程

C-K方程

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設系統(tǒng)初始狀態(tài)是的概率，由切普曼—柯爾莫哥洛夫方程，可表示為：

式中n=k+l,v

E(狀態(tài)空間)

此式為由狀態(tài)i經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，等于由狀態(tài)i先經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)v，然后由狀態(tài)v經(jīng)l步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率(此處v也可理解為從i到j的通道)。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率上式中，若令k=1,l=1,由可決定，即由全部一步轉(zhuǎn)移概率可確定全部兩步轉(zhuǎn)移概率。若重復上述方法，就可由全部一步轉(zhuǎn)移概率決定所有的轉(zhuǎn)移概率。若用矩陣表示n步轉(zhuǎn)移概率，即，則有：轉(zhuǎn)移矩陣

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

一般地，可利用轉(zhuǎn)移概率和系統(tǒng)的初始狀態(tài)，求出任意轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率。公式如下：

式中

P－1步轉(zhuǎn)移概率；－n步轉(zhuǎn)移概率；n－轉(zhuǎn)移步數(shù)(次數(shù))；P(0)－系統(tǒng)初始狀態(tài)向量，P(0)=[P1(0),P2(0)…]Pi(0)－初始t=0時刻系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率P(n)－n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)所處狀態(tài)向量，P(n)=[P1(n),P2(n),…]Pi(n)－n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)處于i狀態(tài)的概率3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率例：如下圖，已知P(0)=[P1(0),P2(0)]=[1,0],求n=1,2,…等各步(次)轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率。圖中e1——正常；e2——故障。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：依次求得n=1，n=2，n=3，n=5時的狀態(tài)矩陣

由此可知，隨著n的遞增，P1(n)、

P2(n)逐漸趨于穩(wěn)定。穩(wěn)定狀態(tài)概率稱為極限概率。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率本例n

時的極限概率為P1(

)=4/9,P2(

)=5/9,即n

時，將收斂于一個定概率矩陣，即(本例為)：

在實踐中常會遇到這樣的情況，不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，在經(jīng)歷了一段工作時間后，便會處于相對穩(wěn)定狀態(tài)，在數(shù)學上稱之為各態(tài)歷經(jīng)或遍歷性。所謂遍歷過程就是系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的概率與初始狀態(tài)無關的隨機過程。具有這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱為遍歷矩陣。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率如果轉(zhuǎn)移矩陣P經(jīng)過n次相乘后，所得矩陣的全部元素都大于0,即(i,j

E),(注：常以此為判斷馬爾可夫鏈是否為各態(tài)歷經(jīng)的或是否存在極限概率)，則這樣的轉(zhuǎn)移矩陣都是遍歷矩陣。遍歷矩陣一定存在極限概率(或穩(wěn)定狀態(tài))。經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移后的極限狀態(tài)，就是過程的平穩(wěn)狀態(tài)，即使再多轉(zhuǎn)移一步，狀態(tài)概率也不會有變化，可以求出平穩(wěn)狀態(tài)。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率設平穩(wěn)狀態(tài)概率為P(n)=[P1,P2…Pn],P為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，則求平穩(wěn)狀態(tài)概率，只需求解以下方程：

或?qū)懗桑?.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

展開后得：

(j=1,2,…n)

（n個方程只有n-1個是獨立的，因此必須再加另一個獨立方程。）由此即可求出n個平穩(wěn)狀態(tài)概率。

3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率

例：求如圖所示系統(tǒng)的平穩(wěn)狀態(tài)概率。3.3n步轉(zhuǎn)移后系統(tǒng)各狀態(tài)概率解：一步轉(zhuǎn)移矩陣為:

設P(n)=[P0

P1]，則

3.4單部件可修系統(tǒng)單部件系統(tǒng)是指一個單元組成的系統(tǒng)(或把整個系統(tǒng)當作一個單元來研究)，部件故障，則系統(tǒng)故障；部件正常，則系統(tǒng)正常。3.4單部件可修系統(tǒng)部件的失效率、修復率分別是常數(shù)λ、μ，則：t時刻系統(tǒng)處于工作(正常工作)狀態(tài)，在t→t+Δt之間內(nèi)發(fā)生故障的條件概率為λΔt(即為)t時刻系統(tǒng)處于故障狀態(tài)，在t→t+Δt之間即Δt時間內(nèi)修復好的條件概率為μΔt(即為)3.4單部件可修系統(tǒng)

單部件可修系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.4單部件可修系統(tǒng)上圖中:同理:條件概率3.4單部件可修系統(tǒng)上圖的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:3.4單部件可修系統(tǒng)令下面研究如何求解和首先，利用全概率公式可求出和的表達式3.4單部件可修系統(tǒng)——此即為的計算公式3.4單部件可修系統(tǒng)由上式展開、移項、兩邊除以若令取極限有：

(1)3.4單部件可修系統(tǒng)同理可得：

(2)(1)、(2)聯(lián)立即可求出和。(1)、(2)的聯(lián)立方程稱為狀態(tài)方程3.4單部件可修系統(tǒng)下邊求解狀態(tài)方程對上述(1)、(2)兩邊取拉氏變換：3.4單部件可修系統(tǒng)假設t=0時系統(tǒng)為正常狀態(tài)，即，。代入上式3.4單部件可修系統(tǒng)拉氏反變換：3.4單部件可修系統(tǒng)由此瞬態(tài)有效度(可用度)：穩(wěn)態(tài)有效度：平均有效度：(0,t)3.4單部件可修系統(tǒng)由上述可歸納出解可修系統(tǒng)有效度的方法步驟如下：(1)畫出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖(2)寫出轉(zhuǎn)移矩陣(3)令，求出P(也稱為轉(zhuǎn)移矩陣)(4)求狀態(tài)方程系數(shù)矩陣AA=P-I（I為與P同階的單位矩陣，A又稱為轉(zhuǎn)移率矩陣）3.4單部件可修系統(tǒng)(5)寫出狀態(tài)方程式式中為各狀態(tài)概率向量為各狀態(tài)概率導數(shù)向量

(6)求解狀態(tài)方程通常要給定初始狀態(tài)，且常用拉氏變換及反變換求解法。3.4單部件可修系統(tǒng)如上例：3.4單部件可修系統(tǒng)得狀態(tài)方程與前述一致以下即可用拉氏變換法等求解方程3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)每個單元：λ、μ為常數(shù)兩種狀態(tài)：狀態(tài)0：n個單元全正常，系統(tǒng)正常狀態(tài)狀態(tài)1：任一單元故障，系統(tǒng)故障狀態(tài)因為任一單元故障，系統(tǒng)即停止工作(不會出現(xiàn)兩個及以上單元同時故障的情況)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個相同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)用前述方法：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)狀態(tài)方程：初始條件：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)用拉氏變換與反變換可解出：3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)n個不同單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)有n+1個狀態(tài)：狀態(tài)0：n個單元均正常，系統(tǒng)正常狀態(tài)狀態(tài)1：單元1故障，其余正常，系統(tǒng)故障狀態(tài)2：單元2故障，其余正常，系統(tǒng)故障┋┋┋┋狀態(tài)n：單元n故障，其余正常，系統(tǒng)故障3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)A=P-I3.5串聯(lián)可修系統(tǒng)給定初始條件，(用拉氏正、反變換)解此方程組即可求得：(瞬態(tài))有效度：穩(wěn)態(tài)有效度：3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)兩個相同單元的并聯(lián)系統(tǒng)(一組維修人員)

系統(tǒng)有3種狀態(tài)(λ、μ)0狀態(tài)—兩個單元都正常，系統(tǒng)正常

1狀態(tài)—任意一個單元故障，系統(tǒng)正常

2狀態(tài)—兩個單元都故障，系統(tǒng)故障3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)13.6并聯(lián)可修系統(tǒng)

3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)∴狀態(tài)方程為：假定t=0時系統(tǒng)為0態(tài)，則有初始條件P0(0)=1,P1(0)=0,P2(0)=0,用拉普拉斯變換得方程組(s+2

)P0(s)-

P1(s)=1-2

P0(s)+(s+)P1(s)-2

P2(s)

=0-P1(s)+（s+2)P2(s)=03.6并聯(lián)可修系統(tǒng)給定初始條件，解此方程組可得：P0=?P1=?P2=?3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)兩個不同單元并聯(lián)系統(tǒng)(一組維修人員)

共5個狀態(tài)：狀態(tài)0—單元1、2都正常，系統(tǒng)正常狀態(tài)1—單元1正常，單元2故障，系統(tǒng)正常狀態(tài)2—單元2正常，單元1故障，系統(tǒng)正常狀態(tài)3—單元1修理，單元2待修，系統(tǒng)故障狀態(tài)4—單元2修理，單元1待修，系統(tǒng)故障3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)3.6并聯(lián)可修系統(tǒng)狀態(tài)方程：3.6并聯(lián)系統(tǒng)可用度模型表決系統(tǒng)可用度模型旁聯(lián)系統(tǒng)可用度模型樹立質(zhì)量法制觀念、提高全員質(zhì)量意識。6月-246月-24Wednesday,June5,2024人生得意須盡歡，莫使金樽空對月。12:20:4312:20:4312:206/5/202412:20:43PM安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦繃。6月-2412:20:4312:20Jun-2405-Jun-24加強交通建設管理，確保工程建設質(zhì)量。12:20:4312:20:4312:20Wednesday,June5,2024安全在于心細，事故出在麻痹。6月-246月-2412:20:4312:20:43June5,2024踏實肯干，努力奮斗。2024年6月5日12:20下午6月-246月-24追求至善憑技術開拓市場，憑管理增創(chuàng)效益，憑服務樹立形象。05六月202412:20:43下午12:20:436月-24嚴格把控質(zhì)量關，讓生產(chǎn)更加有保障。六月2412:20下午6月-