數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用獲獎科研報告

數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用獲獎科研報告

摘要：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出數(shù)學(xué)教育要面向全體學(xué)生，實現(xiàn)“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué);人人都能獲得必須的數(shù)學(xué);不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強學(xué)生能力與思想方法的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).數(shù)能精確地揭示研究對象的數(shù)量特征，形能直觀地刻畫研究對象的空間結(jié)構(gòu)，因此數(shù)形結(jié)合思想被廣泛運用于數(shù)學(xué)的解題過程中。

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！绷攘葦?shù)語把數(shù)形結(jié)合說得淋漓盡致。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用一種數(shù)學(xué)思想方法，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題中的本質(zhì)。二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)的一個難點，同時又是“數(shù)形結(jié)合”思想方法體現(xiàn)的很充分的一個章節(jié)。在此特對數(shù)形結(jié)合解決二次函數(shù)的問題進行簡單的歸納分析。

一、如何解決一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及其應(yīng)用問題

解題的方法是首先根據(jù)其中一次函數(shù)圖象確定a、b的符號，進而判斷另一個函數(shù)的圖象是否符合題意，進而運用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷圖形中給出的二次函數(shù)的圖象是否符合題意，根據(jù)題意逐一討論解析，即可解決問題.

在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（）

A.B.

C.D.

A.對于直線來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0;而對于拋物線來說，對稱軸，應(yīng)在y軸的右側(cè)，故不合題意，圖形錯誤;

B.對于直線來說，由圖象可以判斷，α0;而對于拋物線來說，對稱軸，應(yīng)在y軸的左側(cè)，故不合題意，圖形錯誤;

C.對于直線來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0;而對于拋物線來說，圖象開口向上，對稱軸，應(yīng)在y軸的右側(cè)，故符合題意;

D.對于直線來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0，;而對于拋物線來說，圖象開口向下，α<0，故不合題意，圖形錯誤;

二、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

以前我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，認(rèn)識了一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系，有前面的知識做鋪墊，下面我就從二次函數(shù)的角度看一元二次方程認(rèn)識二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。

1、從形式上看：二次函數(shù)：y=ax?+bx+c（a≠0）

一元二次方程：ax?+bx+c=0（a≠0）

2、從內(nèi)容上看：二次函數(shù)表示的是一對（x，y）之間的關(guān)系，它有無數(shù)對解;一元二次方程表示的是未知數(shù)x的值，最多只有2個值

3、相互關(guān)系：二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的一元二次方程的根

我們要掌握二次函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，及滿足什么條件時方程有兩個不等的實根，有兩個相等的實根和沒有實根;理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=h（h是實數(shù)）圖象交點的橫坐標(biāo)。

下面我就結(jié)合具體的題目分析二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與一元二次方程的聯(lián)系。

⑴求這個二次函數(shù)的解析式;⑵是否存在點P，使是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標(biāo);若不存在，請說明理由;⑶動點P運動到什么位置時，的面積最大，求出此時P點坐標(biāo)和的最大面積.本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、方程思想等知識.在⑴中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在⑵中確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵，在⑶中用P點坐標(biāo)表示出的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中。

⑴由A、B、C三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

⑵由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點坐標(biāo);

⑶過P作軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標(biāo)可表示出PF的長，則可表示出的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得面積的最大值及P點的坐標(biāo)。

總之，二次函數(shù)在初中教學(xué)過程中是我們教學(xué)的重點也是學(xué)生