上海市南模中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末考試模擬試題含解析

上海市南模中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，角均為銳角，且，則的形狀是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形2．集合，，則中元素的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．33．若存在正實數(shù)，使得，則（）A．實數(shù)的最大值為 B．實數(shù)的最小值為C．實數(shù)的最大值為 D．實數(shù)的最小值為4．已知函數(shù)，在下列函數(shù)圖像中，不是函數(shù)的圖像的是（）A． B． C． D．5．若，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．平行四邊形中,M為的中點,若.則=()A． B．2 C． D．7．同時具有性質(zhì)：①圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離是；②在上是增函數(shù)的一個函數(shù)為（）A． B． C． D．8．若，，則與的夾角為（）A． B． C． D．9．在等差數(shù)列中，如果，則數(shù)列前9項的和為()A．297 B．144 C．99 D．6610．不等式的解集為，則不等式的解集為（）A．或 B． C． D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線的右支與焦點為F的拋物線交于A，B兩點若，則該雙曲線的漸近線方程為________.12．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為______.13．已知等邊三角形的邊長為2,點P在邊上,點Q在邊的延長線上,若,則的最小值為______.14．已知向量，，若與共線，則實數(shù)________．15．在等比數(shù)列中，，，則_____．16．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知關(guān)于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標準方程；（2）已知動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點.18．已知關(guān)于的不等式.（1）當時，求不等式的解集；（2）當且m≠1時，求不等式的解集.19．已知圓，直線平分圓.（1）求直線的方程；（2）設，圓的圓心是點，對圓上任意一點，在直線上是否存在與點不重合的點，使是常數(shù)，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.20．從半徑為1的半圓出發(fā)，以此向內(nèi)、向外連續(xù)作半圓，且后一個半圓的直徑為前一個半圓的半徑，如此下去，可得到無數(shù)個半圓．（1）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的周長；（2）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的面積．21．已知向量.(1)若，求的值；(2)當時，求與夾角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】，又角均為銳角，則，，且中，，的形狀是鈍角三角形，故選C.【方法點睛】本題主要考查利用誘導公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性以及判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進而知其為鈍角三角形.2、C【解析】，則，所以，元素個數(shù)為2個。故選C。3、C【解析】

將題目所給方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)此方程在上有解列不等式組，解不等式組求得的取值范圍，進而求出正確選項.【詳解】由得，當時，方程為不和題意，故這是關(guān)于的一元二次方程，依題意可知，該方程在上有解，注意到，所以由解得，故實數(shù)的最大值為，所以選C.【點睛】本小題主要考查一元二次方程根的分布問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)冪函數(shù)圖像不過第四象限選出選項.【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，圖像不過第四象限，所以C中函數(shù)圖像不是函數(shù)的圖像.故選：C.【點睛】本小題主要考查冪函數(shù)圖像不過第四象限，屬于基礎題.5、D【解析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐一判斷可得答案．【詳解】解：A．當時，不成立，故A不正確；B．取，，則結(jié)論不成立，故B不正確；C．當時，結(jié)論不成立，故C不正確；D．若，則，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎題．6、A【解析】

先求出,再根據(jù)得到解方程組即得解.【詳解】由題意得，又因為，所以,由題意得，所以解得所以，故選A．【點睛】本題主要考查平面向量的運算法則，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.7、C【解析】由①得函數(shù)的最小正周期是，排除．對于B:，當時，，此時B選項對應函數(shù)是減函數(shù)，C選項對應函數(shù)是增函數(shù)，滿足②，故選C．8、A【解析】

根據(jù)平面向量夾角公式可求得，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】設與的夾角為，又故選：【點睛】本題考查平面向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是熟練掌握兩向量夾角公式，屬于基礎題.9、C【解析】試題分析：，，∴a4=13,a6=9,S9==99考點：等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和點評：本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和，掌握相關(guān)公式及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10、A【解析】不等式的解集為,的兩根為，，且，即,解得則不等式可化為解得故選二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意到，聯(lián)立方程得到，得到答案.【詳解】，故.，故，故，故.故雙曲線漸近線方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.12、【解析】

化簡函數(shù)解析式，，時，是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集，即可求解.【詳解】,時，,且在上是減函數(shù)，，，因為解得.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.13、【解析】

以為軸建立平面直角坐標系，設，用t表示，求其最小值即可得到本題答案.【詳解】過點A作BC的垂線，垂足為O，以為軸建立平面直角坐標系.作PM垂直BC交于點M，QH垂直y軸交于點H，CN垂直HQ交于點N.設，則，故有所以，，當時，取最小值.故答案為：【點睛】本題主要考查利用建立平面直角坐標系解決向量的取值范圍問題.14、【解析】

根據(jù)平面向量的共線定理與坐標表示，列方程求出x的值．【詳解】向量（3，﹣1），（x，2），若與共線，則3×2﹣（﹣1）?x＝0，解得x＝﹣1．故答案為﹣1．【點睛】本題考查了平面向量的共線定理與坐標表示的應用問題，是基礎題．15、1【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合通項公式可得公比q,從而可得首項.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，其公比為，，則，解可得，又由，則有，則，則；故答案為：1．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列性質(zhì)（其中m+n=p+q）的應用，也可以利用等比數(shù)列的基本量來解決.16、（-4，2）【解析】試題分析：因為當且僅當時取等號，所以考點：基本不等式求最值三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）①②證明見解析【解析】

（1）根據(jù)圓的一般式，可得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，結(jié)合圓心在軸上，即可求得圓C的標準方程．（2）①根據(jù)切線性質(zhì)及切線長定理，表示出的長，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當最小時，即可求得面積的最小值；②設出M點坐標，根據(jù)兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標及半徑，進而求得的方程，根據(jù)兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標．【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因為圓心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標準方程為.（2）①如圖，的圓心為，半徑，因為、是的兩條切線，所以，，故又因為，根據(jù)平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.易知，當點坐標為時，.此時.②設點的坐標為，因為，所以、、、四點共圓.其圓心為線段的中點，，設所在的圓為，所以的方程為：，化簡得：，因為是和的公共弦，所以，兩式相減得，故方程為：，當時，，所以直線恒過定點.【點睛】本題考查了圓的一般方程與標準方程的應用，圓中三角形面積問題的應用，直線過定點問題，綜合性強，屬于難題．18、（1）；（2）當時，解集為；當或時，解集為【解析】

（1）當時，不等式是一個不含參的二次不等式，分解因式，即可求得；（2）對參數(shù)進行分類討論，從而確定不等式的解集.【詳解】（1）當時，原不等式為故其解集為（2）令則方程兩根為.因為所以①當即時，解集為；②當即或時，解集為.綜上可得：①當即時，解集為；②當即或時，解集為.【點睛】本題考查不含參二次不等式的求解，以及含參不等式的求解，屬基礎題.19、（1）直線的方程為.（2）見解析【解析】

(1)結(jié)合直線l平分圓，則可知該直線過圓心，代入圓心坐標，計算參數(shù)，即可．（2）結(jié)合A,M坐標，計算直線AM方程，采取假設法，假設存在該點，計算，對應項成比例，計算參數(shù)t，即可．【詳解】（1）圓的標準方程為因為直線平分圓，所以，得，從而可得直線的方程為.（2）點，，直線方程為，假設存在點，滿足條件，設，則有，當是常數(shù)時，是常數(shù)，∴，∴，∵，∴.∴存在滿足條件.【點睛】本題考查了直線與圓的綜合問題，第一問代入圓心坐標，即可，同時采取假設法，計算,利用對應項系數(shù)成比例，建立等式，即可．20、（1）（2）【解析】

（1）由第n個半圓的周長得，再利用無窮等比數(shù)列求和即可（2）由第n個半圓的面積得，再利用無窮等比數(shù)列求和即可【詳解】（1）由題意知，圓的半徑滿足數(shù)列，設第n個半圓的周長為，所以，則所有這些半圓圍成的封閉圖形的周長.（2）題意