北京市西城區(qū)第十五中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

北京市西城區(qū)第十五中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．2．下列命題中正確的是（）A． B．C． D．3．若，，且，則與的夾角是（）A． B． C． D．4．如圖所示，已知以正方體所有面的中心為頂點的多面體的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知點P(，)為角的終邊上一點，則（）A． B．- C． D．06．直線x﹣y+2＝0與圓x2+（y﹣1）2＝4的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定7．設(shè)為實數(shù)，且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．8．在遞增的等比數(shù)列an中，a4，a6是方程x2A．2 B．±2 C．12 D．19．在中，角的對邊分別是，若，則角的大小為（）A．或 B．或 C． D．10．已知，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若圓與圓的公共弦長為，則________.12．已知向量、的夾角為，且，，則__________．13．已知實數(shù)，滿足不等式組，則的最大值為_______.14．在等比數(shù)列中,若,則__________.15．cos216．設(shè)向量滿足，，，．若，則的最大值是________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點.（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.18．直線的方程為.(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值；(2)若不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍.19．設(shè)數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．20．在數(shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．21．在中，邊所在的直線方程為，其中頂點的縱坐標(biāo)為1，頂點的坐標(biāo)為.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）若的中點分別為，，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】分析：先確定不超過30的素數(shù)，再確定兩個不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.2、D【解析】

根據(jù)向量的加減法的幾何意義以及向量數(shù)乘的定義即可判斷．【詳解】，，，，故選D．【點睛】本題主要考查向量的加減法的幾何意義以及向量數(shù)乘的定義的應(yīng)用．3、B【解析】

根據(jù)相互垂直的向量數(shù)量積為零，求出與的夾角.【詳解】由題有，即，故，因為，所以.故選：B.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算，向量夾角的求解，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

設(shè)正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，由已知多面體的體積求解，得到正方體外接球的半徑，則外接球的表面積可求．【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，多面體的體積為，即．正方體的對角線長為．則正方體的外接球的半徑為．表面積為．故選：．【點睛】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，是基礎(chǔ)題．5、A【解析】

根據(jù)余弦函數(shù)的定義，可直接得出結(jié)果.【詳解】因為點P(，)為角的終邊上一點，則.故選A【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、A【解析】

求得圓心到直線的距離，然后和圓的半徑比較大小，從而判定兩者位置關(guān)系，得到答案．【詳解】由題意，可得圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交．故選：A．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系判定，其中解答中熟記直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

本題首先可根據(jù)判斷出項錯誤，然后令可判斷出項和項錯誤，即可得出結(jié)果。【詳解】因為，所以，故錯；當(dāng)時，，故錯；當(dāng)時，，故錯，故選C?！军c睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，主要考查通過不等式性質(zhì)與比較法來比較實數(shù)的大小，可借助取特殊值的方法來進行判斷，是簡單題。8、A【解析】

先解方程求出a4，a6，然后根據(jù)等比數(shù)列滿足【詳解】∵a4，a6是方程x2-10x+16=0的兩個根，∴a4+a6=10,a4【點睛】本題考查等比數(shù)列任意兩項的關(guān)系，易錯點是數(shù)列an為遞增數(shù)列，那么又q>19、B【解析】

通過給定條件直接利用正弦定理分析，注意討論多解的情況.【詳解】由正弦定理可得：，，∵，∴為銳角或鈍角，∴或．故選B．【點睛】本題考查解三角形中正弦定理的應(yīng)用，難度較易.出現(xiàn)多解時常借助“大邊對大角，小邊對小角”來進行取舍.10、A【解析】

將不等式化為，可知滿足不等式，不滿足不等式，由此可確定個整數(shù)解為；當(dāng)和時，解不等式可知不滿足題意；當(dāng)時，解出不等式的解集，要保證整數(shù)解為，則需，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：當(dāng)時，成立必為不等式的一個整數(shù)解當(dāng)時，不成立不是不等式的整數(shù)解個整數(shù)解分別為：當(dāng)時，，不滿足題意當(dāng)時，解不等式得：或不等式不可能只有個整數(shù)解，不滿足題意當(dāng)時，，解得：，即的取值范圍為：本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)不等式整數(shù)解的個數(shù)求解參數(shù)范圍問題，關(guān)鍵是能夠利用特殊值確定整數(shù)解的具體取值，從而解不等式，根據(jù)整數(shù)解的取值來確定解集的上下限，構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】將兩個方程兩邊相減可得，即代入可得，則公共弦長為，所以，解之得，應(yīng)填．12、【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的應(yīng)用進行轉(zhuǎn)化即可．【詳解】，與的夾角為，∴?||||cos4，則，故答案為．【點睛】本題主要考查向量長度的計算，根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．13、2【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖象，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，又由，即表示平面區(qū)域內(nèi)任一點與點之間連線的斜率，顯然直線的斜率最大，又由，解得，則，所以的最大值為2.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、80【解析】

由即可求出【詳解】因為是等比數(shù)列，所以，所以即故答案為：80【點睛】本題考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，較簡單15、3【解析】由二倍角公式可得：cos216、【解析】

令，計算出模的最大值即可，當(dāng)與同向時的模最大．【詳解】令，則，因為，所以當(dāng)，，因此當(dāng)與同向時的模最大，【點睛】本題主要考查了向量模的計算，以及二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．整體換元的思想，屬于較的難題，在解二次函數(shù)的問題時往往結(jié)合圖像、開口、對稱軸等進行分析．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解析】

（1）取中點，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：取中點，連結(jié)，，，是的中點，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．【點睛】本題主要考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．18、(1)0或2；(2).【解析】

（1）當(dāng)過坐標(biāo)原點時，可求得滿足題意；當(dāng)不過坐標(biāo)原點時，可根據(jù)直線截距式，利用截距相等構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）當(dāng)時，可得直線不經(jīng)過第二象限；當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)圖象可知斜率為正，且在軸截距小于等于零，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)過坐標(biāo)原點時，，解得：，滿足題意當(dāng)不過坐標(biāo)原點時，即時若，即時，，不符合題意若，即時，方程可整理為：，解得：綜上所述：或（2）當(dāng)，即時，，不經(jīng)過第二象限，滿足題意當(dāng)，即時，方程可整理為：，解得：綜上所述：的取值范圍為：【點睛】本題考查直線方程的應(yīng)用，涉及到直線截距式方程、由圖象確定參數(shù)范圍等知識；易錯點是在截距相等時，忽略經(jīng)過坐標(biāo)原點的情況，造成丟根.19、【解析】試題分析：（1）結(jié)合數(shù)列遞推公式形式可知采用累和法求數(shù)列的通項公式，求解時需結(jié)合等比數(shù)列求和公式；（2）由得數(shù)列的通項公式為，求和時采用錯位相減法，在的展開式中兩邊同乘以4后，兩式相減可得到試題解析：（1）由已知，當(dāng)時，==，．而，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由知…①……7分從而……②①②得，即．考點：1．累和法求數(shù)列通項公式；2．錯位相減法求和20、(1)證明見解析.(2).【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列通項公式的特征，我們對，兩邊同時除以，得到，利用等差數(shù)列的定義，就可以證明出數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法，求出數(shù)列的前n項和．【詳解】（1）的兩邊同除以，得，又，所以數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．(2)由（1）得，即,故，所以【點睛】本題考查了證明等差數(shù)列的方法以及用裂項相消法求數(shù)列前和．已知，都是等差數(shù)列，那么數(shù)列的前和就可以用裂項相消法來