2025屆浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學高一數學第二學期期末檢測模擬試題含解析

2025屆浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學高一數學第二學期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數列{an}為等差數列，Sn是它的前n項和．若＝2，S3＝12，則S4＝()A．10 B．16 C．20 D．242．已知正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為BB、CC的中點,那么異面直線AE與DF所成角的余弦值為()A． B．C． D．3．已知，則()A． B． C． D．4．某高中三個年級共有3000名學生，現采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三年級的全體學生中抽取一個容量為30的樣本進行視力健康檢查，若抽到的高一年級學生人數與高二年級學生人數之比為3∶2，抽到高三年級學生10人，則該校高二年級學生人數為（）A．600 B．800 C．1000 D．12005．已知函數（，）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數的圖象向右平移（）個單位長度后得到函數的圖象，若，的圖象都經過點，則的一個可能值是（）A． B． C． D．6．如圖，函數與坐標軸的三個交點P，Q，R滿足，，M為QR的中點，，則A的值為（）A． B． C． D．7．若數列滿足，，則()A． B． C．18 D．208．若，則函數的單調遞增區(qū)間為（)A． B． C． D．9．《九章算術》中，將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，其中平面，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則該球的體積是（）A． B． C． D．10．已知點A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（）A．（0，1） B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在直角坐標系中，直線與直線都經過點，若，則直線的一般方程是_____.12．已知點是所在平面內的一點，若，則__________．13．已知函數，對于上的任意，，有如下條件：①；②；③；④．其中能使恒成立的條件序號是__________．14．若直線與直線互相平行，那么a的值等于_____．15．已知，，若，則實數_______.16．在半徑為的球中有一內接正四棱柱（底面是正方形，側棱垂直底面），當該正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，是正三角形，線段和都垂直于平面，設，，且為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的較小二面角的大小18．已知三棱柱中,三個側面均為矩形,底面為等腰直角三角形,,點為棱的中點,點在棱上運動.（1）求證；（2）當點運動到某一位置時，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點到平面的距離；（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.19．的內角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，點在邊上，，，求的面積．20．如圖，在平面直角坐標系中，單位圓上存在兩點，滿足均與軸垂直，設與的面積之和記為．若，求的值；若對任意的，存在，使得成立，且實數使得數列為遞增數列，其中求實數的取值范圍．21．向量，，，函數．（1）求的表達式，并在直角坐標中畫出函數在區(qū)間上的草圖；（2）若方程在上有兩個根、，求的取值范圍及的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據等差數列的前n項和公式，即可求出.【詳解】因為S3＝3＋d＝6＋3d＝12，解得d＝2，所以S4＝4＋d＝20.【點睛】本題主要考查了等差數列的前n項和公式，屬于中檔題.2、C【解析】

連接DF,因為DF與AE平行,所以∠DFD即為異面直線AE與DF所成角的平面角,設正方體的棱長為2,則FD=FD=,由余弦定理得cos∠DFD==.3、C【解析】

利用誘導公式和同角三角函數的商數關系，得，再利用化弦為切的方法，即可求得答案.【詳解】由已知則故選C.【點睛】本題考查利用三角函數的誘導公式、同角三角函數的基本關系化簡求值，屬于三角函數求值問題中的“給值求值”問題，解題的關鍵是正確掌握誘導公式中符號與函數名稱的變換規(guī)律和化弦為切方法.4、B【解析】

根據題意可設抽到高一和高二年級學生人數分別為和，則，繼而算出抽到的各年級人數，再根據分層抽樣的原理可以推得該校高二年級的人數．【詳解】根據題意可設抽到高一和高二年級學生人數分別為和，則，即，所以高一年級和高二年級抽到的人數分別是12人和8人，則該校高二年級學生人數為人．故選：．【點睛】本題考查分層抽樣的方法，屬于容易題．5、D【解析】由函數的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得函數的最小正周期為，則，所以函數，的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，以為的圖象都經過點，所以，又，所以，所以，所以或，所以或，因為，所以結合選項可知得一個可能的值為，故選D.6、D【解析】

用周期表示出點坐標，從而又可得點坐標，再求出點坐標后利用求得，得．【詳解】記函數的周期，則，因為，∴，是中點，則，∴，解得，∴，由得，∵，∴，，，∴，故選：D.【點睛】本題考查求三角函數的解析式，掌握正弦函數的圖象與性質是解題關鍵．7、A【解析】

首先根據題意得到：是以首項為，公差為的等差數列.再計算即可.【詳解】因為，所以是以首項為，公差為的等差數列.，.故選：A【點睛】本題主要考查等差數列的定義，熟練掌握等差數列的表達式是解題的關鍵，屬于簡單題.8、B【解析】

由題意利用兩角和的余弦公式化簡函數的解析式，再利用余弦函數的單調性，得出結論．【詳解】函數，令，求得，可得函數的增區(qū)間為，，．再根據，，可得增區(qū)間為，，故選．【點睛】本題主要考查兩角和的余弦公式的應用，考查余弦函數的單調性，屬于基礎題．9、A【解析】

根據三棱錐的結構特征和線面位置關系，得到中點為三棱錐的外接球的球心，求得球的半徑，利用球的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，如圖所示，因為，且為直角三角形，所以，又因為平面，所以，則平面，得.又由，所以中點為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑.所以該球的體積是.故選A.【點睛】本題考查了有關球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時要認真審題，注意球的性質的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質，根據勾股定理列出方程求解球的半徑.10、B【解析】

先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標，①若點M和點A重合，求得b；②若點M在點O和點A之間，求得b；③若點M在點A的左側，求得b＞1．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結果．【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為1，由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故0，故點M在射線OA上．設直線y＝ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為（，）．①若點M和點A重合，如圖：則點N為線段BC的中點，故N（，），把A、N兩點的坐標代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點M在點O和點A之間，如圖：此時b，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若點M在點A的左側，則b，由點M的橫坐標1，求得b＞a．設直線y＝ax+b和AC的交點為P，則由求得點P的坐標為（，），此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即?（1﹣b）?|xN﹣xP|，即（1﹣b）?||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此時b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．兩邊開方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得b＞1，故有1b．綜上可得b的取值范圍應是，故選B．【點睛】本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應用，還考查了運算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

點代入的方程求出k，再由求出直線的斜率，即可寫出直線的點斜式方程.【詳解】將點代入直線得，，解得，又，，于是的方程為，整理得.故答案為：【點睛】本題考查直線的方程，屬于基礎題.12、【解析】

設為的中點，為的中點，為的中點，由得到，再進一步分析即得解.【詳解】如圖，設為的中點，為的中點，為的中點，因為，所以可得，整理得.又，所以，所以，又，所以．故答案為【點睛】本題主要考查向量的運算法則和共線向量，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，解答本題的關鍵是作輔助線，屬于中檔題.13、③④【解析】∵g（x）=[（﹣x）2﹣cos（﹣x）]=[x2﹣cosx]=g（x），∴g（x）是偶函數，∴g（x）圖象關于y軸對稱，∵g′（x）=x+sinx＞0，x∈（0，]，∴g（x）在（0，]上是增函數，在[﹣，0）是減函數，故③x1＞|x2|；④時，g（x1）＞g（x2）恒成立，故答案為：③④．點睛：此題考查的是函數的單調性的應用；已知表達式，根據表達式判斷函數的單調性，和奇偶性，偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反，根據單調性的定義可知，增函數自變量越大函數值越大，減函數自變量越大函數值越小。14、；【解析】由題意得，驗證滿足條件，所以15、【解析】

利用平面向量垂直的數量積關系可得，再利用數量積的坐標運算可得：，解方程即可.【詳解】因為，所以，整理得：，解得：【點睛】本題主要考查了平面向量垂直的坐標關系及方程思想，屬于基礎題．16、【解析】

根據正四棱柱外接球半徑的求解方法可得到正四棱柱底面邊長和高的關系，利用基本不等式得到，得到側面積最大值為；根據球的表面積公式求得球的表面積，作差得到結果.【詳解】設球內接正四棱柱的底面邊長為，高為則球的半徑:正四棱柱的側面積：球的表面積：當正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差為：本題正確結果：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關問題的求解，關鍵是能夠根據外接球半徑構造出關于正棱柱底面邊長和高的關系式，利用基本不等式求得最值；其中還涉及到球的表面積公式的應用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）取的中點，連接，先證即說明，再由線面平行的判定定理說明平面．（2）延長交的延長線于，連.說明為所求二面角的平面角．再計算即可．【詳解】解：（1）如圖所示，取的中點，連接.∵，∴.又，∴.∴四邊形為平行四邊形．故.∵平面，平面，∴平面.（2）延長交的延長線于，連.由，知，為的中點，又為的中點，∴.又平面，，∴平面.∴為所求二面角的平面角．在等腰直角三角形中，易求.故所求二面角的大小為.【點睛】本題考查線面平行、二面角的平面角，屬于中檔題．18、（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點.【解析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數量積運算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個法向量平行，由此可求出點F坐標，進而求出||，即得答案.【詳解】（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因為＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），設＝（x，y，z）為平面EA1D的一個法向量，則即，?。剑?，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），設＝（x，y，z）為平面A1DB的一個法向量，則，即，?。剑?，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一個法向量＝（1，﹣1，2），根據點E到面的距離為：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）為平面A1DB的一個法向量，設F（x，y，0），則＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的長度為，此時點F（0，1，0）．存在F點為AC中點.【點睛】本題考查重點考查直線與平面垂直的性質、二面角的平面角及其求法、空間點、線、面間距離計算，考查學生空間想象能力、推理論證能力．19、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理、三角函數恒等變換化簡已知可得：，結合范圍，可得，進而可求A的值．（2）在△ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形內角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面積公式即可計算得解．【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：，可得：，∵，∴，可得：，∵，∴，∴，可得：．（2）∵，點D在邊上，，∴在中，由正弦定理，可得：，可得：，∴，可得：，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正弦定理、三角函數恒等變換的應用，三角形內角和定理及三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化能力，屬于中檔題．20、（1）或（2）【解析】

（1）運用三角形的面積公式和三角函數的和差公式，以及特殊角的函數值，可得所求角；（2）由正弦函數的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范圍，再由數列的單調性，討論的范圍，即可得