2025屆湖南省寧鄉(xiāng)縣第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆湖南省寧鄉(xiāng)縣第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)a＞0，b＞0，若是和的等比中項，則的最小值為（）A．6 B． C．8 D．92．如圖,已知平行四邊形,,則()A． B．C． D．3．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．在數(shù)列中，已知，，則一定（）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．不是等差數(shù)列 D．不是等比數(shù)列5．函數(shù)，，若對任意，存在，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知角滿足，，且，，則的值為（）A． B． C． D．7．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．8．在中，，，則的形狀是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定9．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．10．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．出租車車費與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量D．人的身高與體重二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線過點且傾斜角為,直線過點且與垂直,則與的交點坐標(biāo)為____12．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________13．已知四面體的四個頂點均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____14．化簡：．15．已知算式，在方框中填入兩個正整數(shù)，使它們的乘積最大，則這兩個正整數(shù)之和是___.16．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1分）設(shè)數(shù)列{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3﹣a2=1．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn．18．某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運行，第一年需要各種維護(hù)費用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護(hù)費用要增加10萬元（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）試計算這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？19．已知函數(shù).（1）用五點法作圖，填表井作出的圖像.x0y（2）求在，的最大值和最小值；（3）若不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a＝7，b＝8，．（1）求邊AB的長；（2）求△ABC的面積．21．已知，，函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

試題分析：由題意a＞0，b＞0，且是和的等比中項，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號．考點：重要不等式，等比中項2、A【解析】

根據(jù)平面向量的加法運算，即可得到本題答案.【詳解】由題，得.故選：A【點睛】本題主要考查平面向量的加法運算，屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】

首先注意到，是函數(shù)的一個零點.當(dāng)時，將分離常數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，畫出的圖像，根據(jù)“函數(shù)與函數(shù)有一個交點”結(jié)合圖像，求得的取值范圍.【詳解】解：由恰有兩個零點，而當(dāng)時，，即是函數(shù)的一個零點，故當(dāng)時，必有一個零點，即函數(shù)與函數(shù)必有一個交點，利用單調(diào)性，作出函數(shù)圖像如下所示，由圖可知，要使函數(shù)與函數(shù)有一個交點，只需即可.故實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】本小題主要考查已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.4、C【解析】

依據(jù)等差、等比數(shù)列的定義或性質(zhì)進(jìn)行判斷?！驹斀狻恳驗?，，，所以一定不是等差數(shù)列，故選C。【點睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列定義以及性質(zhì)的應(yīng)用。5、D【解析】，當(dāng)時，對于∵對任意，存在，使得成立，，解得實數(shù)的取值范圍是．

故選D．【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換，其中解題時問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域并利用集合關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，6、D【解析】

根據(jù)角度范圍先計算和，再通過展開得到答案.【詳解】，，故答案選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)恒等變換，將是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.8、C【解析】

利用余弦定理求出，再利用余弦定理求得的值，即可判斷三角形的形狀.【詳解】在中，，解得：；∵，∵，，∴是直角三角形.故選：C.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用、三角形形狀的判定，考查邏輯推理能力和運算求解能力.9、A【解析】因為,若,則,，故選A.10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的概念來進(jìn)行判斷?！驹斀狻繉τ贏選項，出租車車費實行分段收費，與出租車行駛里程成分段函數(shù)關(guān)系；對于B選項，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數(shù)關(guān)系；對于C選項，鐵塊的質(zhì)量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量是一次函數(shù)關(guān)系；對于D選項，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯(lián)系，因人而異，D選項中兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系。故選：D?！军c睛】本題考查函數(shù)概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學(xué)生對這些概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

通過題意，求出兩直線方程，聯(lián)立方程即可得到交點坐標(biāo).【詳解】根據(jù)題意可知，因此直線為：，由于直線與垂直，故，所以，所以直線為：，聯(lián)立兩直線方程，可得交點.【點睛】本題主要考查直線方程的相關(guān)計算，難度不大.12、2【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，為一個底面是直角梯形的四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，分別求出其底面積和高，求出體積，得到答案.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示，幾何體是一個底面是直角梯形的四棱錐，由三視圖可知，其底面積為，高所以幾何體的體積為.故答案為.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體，求四棱錐的體積，屬于簡單題.13、2【解析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點到直線的距離為，可知點在球上的運動軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點在以為圓心，為半徑的小圓上運動，當(dāng)面面時，四面體的體積達(dá)到最大，.【點睛】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點的運動軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.14、0【解析】原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.15、.【解析】

設(shè)填入的數(shù)從左到右依次為，則，利用基本不等式可求得的最大值及此時的和.【詳解】設(shè)在方框中填入的兩個正整數(shù)從左到右依次為，則，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時.故答案為：15【點睛】本題考查基本不等式成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.16、如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【解析】

將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an=2×【解析】試題分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列{an}的公比q，利用條件a1=4，a3﹣a4（4）數(shù)列{an+bn}是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相加得來的，所以可以采用拆項分組的方法，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和問題來解決.試題解析：解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1=4，a3﹣a4=1，得：4q4﹣4q﹣1=4，即q4﹣q﹣6=4．解得q=3或q=﹣4，∵q＞4，∴q=﹣4不合題意，舍去，故q=3．∴an=4×3n﹣1；（4）∵數(shù)列{bn}是首項b1=1，公差d=4的等差數(shù)列，∴bn=4n﹣1，∴Sn=（a1+a4++an）+（b1+b4++bn）=+=3n﹣1+n4．考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列.18、（1），（2）這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元【解析】

（1）運用等差數(shù)列前項和公式可以求出年的維護(hù)費，這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值.【詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬元年維護(hù)總費用為萬元.∴總利潤，即，（2）年平均利潤為∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”∴答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.【點睛】本題考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活實際問題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了數(shù)學(xué)運算能力.19、（1）見解析；（2）時，，時，；（3）.【解析】

（1）當(dāng)時，求出相應(yīng)的x，然后填入表中；標(biāo)出5個點，然后用一條光滑的曲線把它們連接起來；（2）先根據(jù)x的范圍求出的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的最大值和最小值；（3）不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為m-2，m+2與函數(shù)在上的最值關(guān)系，列不等式后求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）x0y131-10（2），，即，所以的最大值為3，最小值為2.（3），，由（2）知，，，且，即m的取值范圍為.【點睛】本題考查正弦函數(shù)的最值和恒成立問題，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為含m的代數(shù)式與的最值關(guān)系的問題是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.20、(1)AB的長為1．(2)6．【解析】

（1）利用余弦定理解方程，解方程求得的長.（2）根據(jù)的值，求得的值，由三角形面積公式，求得三角形的面積.【詳解】（1）∵a＝7，b＝8，．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：64＝49+c2﹣2，可得：c2+2c﹣15＝0，∴解得：c＝1，或﹣5（舍去），可得：AB的長為1．（2）∵，B∈（0，π），∴sinB，又a＝7，c＝1，∴S△ABCacsinB6．【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查運算求