中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)1.2重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：整式運(yùn)算及應(yīng)用(原卷版+解析)

1.2重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：整式運(yùn)算及應(yīng)用題型分類結(jié)構(gòu)圖（本專題共100題102頁）題型1：數(shù)字規(guī)律探究典例：（2022·河北石家莊·九年級期中）如圖為年月的日歷表，在其中用一個方框圈出個數(shù)（如圖中虛框所示），設(shè)這個數(shù)從小到大依次為，，，．(1)若用含有的式子分別表示出，，，其結(jié)果應(yīng)為：______；______；____；(2)按這種方法所圈出的四個數(shù)中，的最大值為_______________；(3)嘉嘉說：“按這種方法可以圈出四個數(shù)，使得的值為．”淇淇說：“按這種方法可以圈出四個數(shù)，使最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為．”請你運(yùn)用一元二次方程的相關(guān)知識分別說明二人的說法是否正確．鞏固練習(xí)1．（2022·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，，，，，…．則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2021·廣西百色·二模）將一組數(shù)，2，，，，…，，按下列方式進(jìn)行排列：，2，，，；，，4，，；…若2的位置記為，的位置記為，則這個數(shù)的位置記為（）A． B． C． D．3．（2022·重慶市第一一〇中學(xué)校模擬預(yù)測）有依次排列的個整式：，，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個新整式串：，，，，，則稱它為整式串；將整式串按上述方式再做一次操作，可以得到整式串；以此類推．通過實(shí)際操作，得出以下結(jié)論：整式串為：，，，，，，，，；整式串共個整式；整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小；整式串的所有整式的和為；上述四個結(jié)論正確的有（

）個．A． B． C． D．4．（2022·重慶南開中學(xué)九年級期中）有依次排列的兩個整式，，第1次操作后得到整式串，，；第2次操作后得到整式串，，，；其操作規(guī)律為：每次操作增加的項(xiàng)為前兩項(xiàng)的差（后一項(xiàng)前一項(xiàng)），下列說法：①第次操作后的整式串為，，，，﹣b，；②第次操作后的整式串各項(xiàng)之和為；③第次操作增加的項(xiàng)與第次操作增加的項(xiàng)一定互為相反數(shù)．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）按順序觀察下列五個數(shù)-1，5，-7，17，-31……，找出以上數(shù)據(jù)依次出現(xiàn)的規(guī)律，則第個數(shù)是_____________．6．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2022是表中第____行第___列．7．（2022·江蘇·常州市北郊初級中學(xué)二模）如圖，一個機(jī)器人最初面向北站立，按程序：每次移動都向前直走，然后逆時針轉(zhuǎn)動一個角度，每次轉(zhuǎn)動的角度增加．第一次直走后轉(zhuǎn)動，第二次直走后轉(zhuǎn)動，第三次直走后轉(zhuǎn)動，如此下去．那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了_____米．8．（2022·湖北恩施·九年級期中）我們知道，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個實(shí)數(shù)的平方等于-1．若我們規(guī)定一個新數(shù)i，使其滿足（即方程有一個根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算法則仍然成立，于是有，，，，從而對任意正整數(shù)n，我們可以得到，同理可得，，，那么的值為______．9．（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校九年級期末）在求兩位數(shù)的平方時，可以用“列豎式”的方法進(jìn)行速算，求解過程如圖1所示．仿照圖1，用“列豎式”的方法計算一個兩位數(shù)的平方，過程部分如圖2所示，則a+b+c+d+e+f+g+h=_____．10．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個方格可以生成個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對的理解如下：YYDS（永遠(yuǎn)的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺醒年代）：的個位數(shù)字是6；QGYW（強(qiáng)國有我）：我知道，所以我估計比大．其中對的理解錯誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．11．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：若有序數(shù)對表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如表示6，則表示99的有序數(shù)對是_______．12．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）如圖，下列各正方形中的四個數(shù)之間具有相同的規(guī)律．根據(jù)此規(guī)律，則第個圖中的______．13．（2022·臺灣·模擬預(yù)測）健康生技公司培養(yǎng)綠藻以制作「綠藻粉」，再經(jīng)過后續(xù)的加工步驟，制成綠藻相關(guān)的保健食品．已知該公司制作每1公克的「綠藻粉」需要60億個綠藻細(xì)胞．請根據(jù)上述信息回答下列問題，完整寫出你的解題過程并詳細(xì)解釋：(1)假設(shè)在光照充沛的環(huán)境下，1個綠藻細(xì)胞每20小時可分裂成4個綠藻細(xì)胞，且分裂后的細(xì)胞亦可繼續(xù)分裂．今從1個綠藻細(xì)胞開始培養(yǎng)，若培養(yǎng)期間綠藻細(xì)胞皆未死亡且培養(yǎng)環(huán)境的光照充沛，經(jīng)過15天后，共分裂成個綠藻細(xì)胞，則之值為何？(2)承（1），已知60億介于與之間，請判斷個綠藻細(xì)胞是否足夠制作8公克的「綠藻粉」？14．（2022·重慶·三模）對任意一個四位正整數(shù)m，如果m的百位數(shù)字等于個位數(shù)字與十位數(shù)字之和，m的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個位數(shù)字之和，那么稱這個數(shù)m為“筋斗數(shù)”．例如：m＝5321，滿足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗數(shù)”．例如：m＝8523，滿足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗數(shù)”．(1)判斷9633和2642是不是“筋斗數(shù)”，并說明理由；(2)若m是“筋斗數(shù)”，且m與13的和能被11整除，求滿足條件的所有“筋斗數(shù)”m．15.（2022·全國·九年級專題練習(xí)）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．16．（2022·浙江嘉興·九年級專題練習(xí)）設(shè)是一個兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時，表示的兩位數(shù)是45．(1)嘗試：①當(dāng)a＝1時，152＝225＝1×2×100＋25；②當(dāng)a＝2時，252＝625＝2×3×100＋25；③當(dāng)a＝3時，352＝1225＝；……(2)歸納：與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．(3)運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．題型2：圖形規(guī)律探究典例：（2022·湖北宜昌·九年級期末）（1）探究：已知，如圖是一個三角形點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有一個點(diǎn)，第二行有兩個點(diǎn)…第n行有n個點(diǎn)…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角形點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)和．①求三角形點(diǎn)陣中前10行的點(diǎn)數(shù)和；②若三角形點(diǎn)陣中前a行的點(diǎn)數(shù)之和為300，求a的值；③三角形點(diǎn)陣中前b行的點(diǎn)數(shù)之和是600嗎？（填“能”或“不能”）（2）拓展：若果把（1）的三角形點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，…，①求這個三角形點(diǎn)陣中前n行點(diǎn)數(shù)和（用含n的代數(shù)式表示）；②這個三角形點(diǎn)陣中前n行點(diǎn)數(shù)和能是600嗎？若能，求出n；若不能，請說明理由．鞏固練習(xí)1．（2022·重慶市第七中學(xué)校九年級期中）下列圖形都是由同樣大小的黑點(diǎn)按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形中一共有4個黑點(diǎn)，第②個圖形中一共有9個黑點(diǎn)，第③個圖形中一共有14個黑點(diǎn)，…，則第⑩個圖形中黑點(diǎn)的個數(shù)是（

）A．44 B．48 C．49 D．542．（2022·重慶市豐都縣平都中學(xué)校九年級期中）觀察下列圖形規(guī)律，其中第1個圖形由6個〇組成，第2個圖由14個〇組成，第3個圖由24個〇組成，，照此規(guī)律下去，則第6個圖由〇的個數(shù)一共是（）A．64 B．65 C．66 D．673．（2022·浙江·北大附屬臺州書生學(xué)校二模）如圖所示，動點(diǎn)P從第一個數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)1的位置，第二次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)2的位置，第三次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)3的位置，第四次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動下去，點(diǎn)P從0跳動6次到達(dá)的位置，點(diǎn)P從0跳動21次到達(dá)的位置，…，點(diǎn)在一條直線上，則點(diǎn)P從0跳動（

）次可到達(dá)的位置．A．887 B．903 C．90 D．10244．（2022·重慶南開中學(xué)九年級期中）用五角星按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有3個五角星，第②個圖案中有7個五角星，第③個圖案中有12個五角星，第④個圖案中有18個五角星，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案中五角星的個數(shù)為（）A．42 B．52 C．56 D．635．（2022·浙江寧波·九年級專題練習(xí)）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME.7）的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中，若的值是整數(shù)，且，則符合條件的n有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第個圖中共有木料______根.7．（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)二模）如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是___________．8．（2022·甘肅·嘉峪關(guān)市明珠學(xué)校一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動點(diǎn)P按圖中箭頭所示方向依次運(yùn)動，第1次從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，第二次運(yùn)動到點(diǎn)，第3次運(yùn)動到點(diǎn)，按這樣的運(yùn)動規(guī)律，動點(diǎn)P第次運(yùn)動到的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．9．（2022·山東棗莊·九年級期中）如下圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒?若按照這樣的方法拼成的第個圖形需要2022根小木棒，則的值為__．圖1

圖2

圖310．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期中）如圖是由同樣大小的五角星按一定規(guī)律組成，其中第①個圖形有2個五角星，第②個圖形有4個五角星，第③個圖形有8個五角形，第④個圖形有14個五角形，則第10個圖形有_____個五角星．11．（2022·寧夏·銀川外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對角線為邊做正方形，再以正方形的對角線為邊做正方形……以此類推，則正方形的邊長是_____________12．（2022·山東·禹城市教育和體育局二模）如圖，圓心都在軸正半軸上的半圓，半圓，…，半圓與直線相切．設(shè)半圓，半圓，…，半圓的半徑分別是，，…，，則當(dāng)時，______．13．（2022·廣東佛山·九年級期中）如圖，中，，，邊上的高，點(diǎn)分別在邊上，且四邊形為矩形，，點(diǎn)分別在邊上，且四邊形為矩形，，…按此規(guī)律操作下去，則線段的長度為_____．14．（2022·廣西南寧·九年級期中）如圖，已知點(diǎn)，，，在函數(shù)位于第二象限的圖象上，點(diǎn)，，，在函數(shù)位于第一象限的圖象上，點(diǎn)，，，在軸的正半軸上，若四邊形、，，都是正方形，則正方形的對角線長為_____．15．（2022·安徽·銅陵市第十五中學(xué)九年級期中）如圖，用同樣規(guī)格黑白亮色的正方形瓷磚鋪設(shè)長方形地面，請觀察下列圖形，并解答有關(guān)問題．(1)在第n個圖中，第一橫行共有_________塊瓷磚，第一豎列共有__________塊瓷磚，鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為__________；（用含n的式子表示）(2)上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的長方形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值；(3)黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，求問題（2）中，共需要多少錢購買瓷磚．16．（2022·山西忻州·九年級期中）閱讀與思考方法介紹：同學(xué)們、生活中的很多實(shí)際問題，我們往往抽象成數(shù)學(xué)問題，然后通過數(shù)形結(jié)合，建立數(shù)學(xué)模型的方式來解決．例如：我校七年級有五個班在落實(shí)“雙減“政策，豐富課余生活，每個班只能組建一個球隊，代表該班參加比賽，每個隊都要和其他各隊比賽一場，問該學(xué)校一共要安排多少場比賽？這是一個實(shí)際問題，我們可以在平面內(nèi)畫出5個點(diǎn)（任意3個點(diǎn)都不在同一條直線上），如圖1所示，其中每個點(diǎn)各代表一個足球隊，兩個隊之間比賽一場就用一條線段把他們連起來，其中連接線段的條數(shù)就是安排比賽的場數(shù)、這樣模型就建立起來了，如何解決這個模型呢？由于每個隊都要與其他各隊比賽一場，即每個點(diǎn)都要與另外4點(diǎn)連接一條線段，這樣5個點(diǎn)應(yīng)該有（條）線段，而每兩個點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計算了一次，實(shí)際只有10條線段，所以學(xué)校一共要安排10場比賽．學(xué)以致用：(1)由于七年級學(xué)生積極性高漲，還要求再比賽，體育組為了讓更多的同學(xué)參加，體現(xiàn)班級的凝聚力，這次要求每班組建2個球隊，且每個隊與其他各隊比賽一場且本班的兩個球隊也要比賽．學(xué)校一共安排20場比賽，對嗎？請借助圖2直接判斷，若不正確，請直接寫出學(xué)校一共安排的場數(shù)；(2)根據(jù)規(guī)律，直接寫出如果學(xué)校準(zhǔn)備組織n個籃球隊參加比賽，每兩個球隊之間都比賽場，若比賽場數(shù)用m表示，直接寫出m與n的數(shù)量關(guān)系式；(3)D53670是從大同南開往運(yùn)城北的高鐵，若途中任兩站的距離都不相等，在這趟高鐵中共設(shè)有45種不同的票價，求途中有多少個停車點(diǎn)，題型3：圖形周長探究問題典例：（2022·河北唐山·二模）已知甲、乙兩個長方形紙片，其邊長如圖所示（m＞0），面積分別為S甲和S乙．（1）①用含m的代數(shù)式表示S甲＝_______________，S乙＝_______________．②用“<”、“＝”或“＞”號填空S甲_______________S乙，（2）若一個正方形紙片的周長與乙的周長相等，其面積設(shè)為S正，①該正方形的邊長是____________．（用含m的代數(shù)式表示）；②小方同學(xué)發(fā)現(xiàn)，“S正與S乙的差是定值”請判斷小方同學(xué)的發(fā)現(xiàn)是否正確，并通過計算說明你的理由．鞏固練習(xí)1．（2022·浙江寧波·九年級專題練習(xí)）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（

）A．正方形紙片的面積 B．四邊形的面積 C．的面積 D．的面積2．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）兩張全等的矩形（非正方形）紙片先后按如圖①呈軸對稱方式，按如圖②呈中心對稱方式放置在同一個正方形中，若知道圖形①與圖形④的面積差，則一定能求出（

）A．圖形②與③的面積差 B．圖形②與③的周長差C．圖形②與③的面積和 D．圖形②與③的周長和3．（2022·浙江金華·一模）如圖是一個由4張紙片拼成的長方形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中（1）（2）是兩個面積相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出長方形的面積，則需要知道下列哪個條件（

）A．（1）與（2）的周長之差 B．（3）的面積C．（1）與（3）的面積之差 D．長方形的周長4．（2022·湖北恩施·一模）如圖叫做雪花曲線，它可以從一個等邊三角形（圖①）開始畫：把一個等邊三角形的每邊分成相同的三段，再在每邊中間一段上向外畫出一個等邊三角形，這樣一來就做成了一個六角星（圖②）．然后在六角星的各邊上用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，出現(xiàn)了一個有18個尖角的圖形（圖③）．如此繼續(xù)下去，就能得到分支越來越多的曲線（圖④）．繼續(xù)重復(fù)上面的過程，圖形的外邊界逐漸變得越來越曲折、越來越長、圖案變得越來越細(xì)致，越來越復(fù)雜，越來越像雪花、越來越美麗了．若圖①中等邊三角形的邊長為1，則第4個圖形的周長為（

）A．4 B． C． D．5．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）把圖1中周長為的長方形紙片分割成四張大小不等的正方形紙片A、B、C、D和一張長方形紙片E，并將它們按圖2的方式放入周長為的的長方形中．設(shè)正方形C的邊長為，正方形D的邊長為．則下結(jié)論中正確的是（

）A．正方形C的邊長為 B．正方形A的邊長為C．正方形B的邊長為 D．陰影部分的周長為6．（2022·浙江·寧波市第七中學(xué)九年級期中）圖，有三張正方形紙片A，B，C，它們的邊長分別為a，b，c，將三張紙片按圖1，圖2兩種不同方式放置于同一長方形中，記圖1中陰影部分周長為l1，面積為S1，圖2中陰影部分周長為l2，面積為S2．若，則的值為（

）A． B．2 C． D．37．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和．現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長構(gòu)造一組正方形（如圖1）；再分別依次從左到右取2個，3個，4個，5個拼成如圖2長方形并記為①，②，③，④若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號為⑦的長方形周長是（）A．110 B．100 C．105 D．908．（2022·遼寧·沈陽市實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）長方形的長為，寬長為a，則這個長方形的周長是_________．9．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形與均為矩形，點(diǎn)分別在線段上．若，矩形的周長為，則圖中陰影部分的面積為___________．10．（2022·北京·九年級單元測試）如圖1，小長方形紙片的長為2，寬為1，將4張這樣的小長方形按圖2所示的方式不重疊的放在長方形內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形A和B，設(shè)長方形A和B的周長分別為和，則______________（填“>”、“=”或“<”）11．（2022·安徽六安·七年級期中）如圖1是長為a，寬為b的小長方形卡片，把六張這樣的小長方形卡片不重疊地放在一個底面為長方形（長為4，寬為3）的盒子底部（如圖2），盒子底部未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖2中兩塊陰影部分的周長之和為__________（填具體數(shù)值）12．（2022·安徽·一模）某校數(shù)學(xué)小組開展了趣味剪紙活動。【觀察】如圖，圖①是一塊邊長為，周長記為的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第塊紙板的周長為(1)【了解】_______________________；_______________________．(2)【實(shí)踐】如果一個正三角形紙板面積為6，通過兩次這種方法裁剪，得到最小的正三角形的面積為？13．（2022·浙江·八年級單元測試）將一根長為的鐵絲，剪掉一部分后，剩下部分圍成一個等腰三角形（接頭部分忽略不計），這個等腰三角形的底為，腰為．(1)求剪掉部分的鐵絲長度．(2)若圍成的等腰三角形的周長為，求鐵絲的長度．14．（2022·新疆·烏魯木齊市第七十七中學(xué)九年級期中）下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規(guī)律組成的，其中第1個圖形的周長為4，第2個圖形的周長為10，第3個圖形的周長為18，……按此規(guī)律排列，回答下列問題：（1）第4個圖形的周長為___________；（2）第個圖形的周長為_________；（3）第個圖形的周長能否為155？如能求出的值，如不能，請說明理由．15．（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學(xué)一模）現(xiàn)有甲乙兩個矩形，其邊長如圖所示（a＞0），周長分別為C甲和C乙，面積分別為S甲和S乙．(1)用含a的代數(shù)式表示C甲＝；C乙＝；S甲＝；S乙＝．(2)通過觀察，小明發(fā)現(xiàn)“甲、乙兩個矩形的周長相等，與a值無關(guān)”；小亮發(fā)現(xiàn)“a值越大，甲、乙兩個矩形的面積之差越大”．你認(rèn)為兩位同學(xué)的結(jié)論都正確嗎？如果不正確，請對錯誤同學(xué)的結(jié)論說明理由．題型4：與整式有關(guān)的圖形面積問題典例：（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級期中）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為厘米的大正方形，2塊是邊長為厘米的小正方形，5塊是長為厘米，寬為厘米的相同的小長方形，且．(1)該大長方形紙板的長為___________厘米，寬為___________厘米．（用含、的代數(shù)式表示）(2)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為___________．(3)若圖中陰影部分的面積為平方厘米，大長方形紙板的周長為厘米，求圖中空白部分的面積．鞏固練習(xí)1．（2022·湖北武漢·七年級期中）如圖，有足夠多的完全相同的小長方形（圖1）和一個大長方形紙片．小長方形兩鄰邊的長分別記為a，b，把小長方形紙片不重疊的擺放在大長方形上，陰影是小長方形沒有覆蓋的部分，分別記為，．(1)如圖2，若，，，直接寫出的面積________，的面積________；(2)如圖2，當(dāng)，時，直接寫出和的周長和是________；(3)如圖3，若大長方形分割為6個小正方形，且中間的最小正方形的邊長是2，分別求大長方形的兩鄰邊AB，AC的長．2．（2022·福建省廈門第二中學(xué)八年級期中）如圖，4張長為x，寬為y(x>y)的長方形紙片拼成一個正方形．(1)當(dāng)正方形的周長是正方形周長的3倍時，求的值；(2)用含x，y的代數(shù)式表示圖中所有陰影部分面積的和．3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）“平方差公式”和“完全平方公式”應(yīng)用非常廣泛，靈活利用公式往往能化繁為簡，巧妙解題．請閱讀并解決下列問題：問題一：，（1）則______，________；（2）計算：．問題二：已知，（1）則________，________；（2）已知長和寬分別為，的長方形，它的周長為14，面積為10，如圖所示，求的值．4．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學(xué)研究室模擬預(yù)測）從前，有一位莊園主把一塊邊長為m米（）的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加5米，相鄰的另一邊減少5米，變成長方形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”．如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（

）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定5．（2022·廣東·江門市新會尚雅學(xué)校八年級期中）已知長方形的面積為，長為，則該長方形的周長為______．【答案】##6．（2022·山東青島·七年級期中）如圖，將兩張邊長分別為和的正方形紙片分別按圖①和圖②兩種方式放置在長方形內(nèi)（圖①和圖②中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示．若長方形中邊，的長度分別為，．設(shè)圖①中陰影部分面積為，圖②中陰影部分面積為，當(dāng)時，的值為______．7．（2022·山東·濟(jì)南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心七年級期中）為了提高居民的宜居環(huán)境，某小區(qū)規(guī)劃修建一個廣場（平面圖如圖中陰影部分所示）．(1)用含m，n的式子表示廣場（陰影部分）的周長C和面積S；(2)若米，米，修建每平方米需費(fèi)用200元，求修建廣場的總費(fèi)用W的值．8．（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖，學(xué)校勞動實(shí)踐基地有兩塊邊長分別為，的正方形秧田，，其中不能使用的面積為．(1)用含，的代數(shù)式表示中能使用的面積___________；(2)若，，求比多出的使用面積．9．（2022·陜西咸陽·七年級期中）如圖，為了美化小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)在一塊長方形空地的兩角修建扇形花園，然后在中間修建一條寬為米的小路，剩下的部分修建成草坪，已知空地的長為a米，寬為b米，扇形花園半徑為r米．(1)花園的面積為___________，小路的面積為___________；（用含a，b，r的代數(shù)式表示，結(jié)果保留）(2)用含a、b、r的代數(shù)式表示草坪的面積；(3)當(dāng)，，時，求草坪的面積．（取3.14，結(jié)果精確到1平方米）10．（2022·廣東·廣州大學(xué)附屬中學(xué)七年級期中）由兩塊的長方形和一塊邊長為的正方形拼成如下圖形．(1)如圖1，用含、、的式子表示出該圖形的面積________（直接寫出結(jié)果）(2)已知，．①如圖2，分別用兩種不同的方式連接圖形中的二個頂點(diǎn)，得到如圖所示的兩個陰影三角形，這兩個陰影三角形的面積分別記作和，試通過計算比較與的大小關(guān)系；②如圖3，是邊長為的正方形邊上一個點(diǎn)，、是圖形上如圖所示的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，當(dāng)三角形的面積不隨點(diǎn)位置變化而變化，求的長度．（用含的式子表示）11．（2022·河南省鶴壁市淇濱區(qū)鹿鳴中學(xué)七年級期中）如圖，長為60cm，寬為x（cm）的大長方形被分割為7小塊，除陰影A、B外，其余5塊是形狀大小完全相同的小長方形，其中小長方形的較短一邊長度為10cm．(1)從圖可知，每塊小長方形的較長的一邊長度是______cm．(2)代數(shù)式，中，哪一個代數(shù)式的值為正數(shù)？______（填“”或“”）(3)請你先用含x的代數(shù)式表示陰影A、B的面積，并說明：陰影A的面積一定比陰影B的面積大．12．（2022·江蘇徐州·七年級期中）將5張相同的小長方形紙片（如圖1所示）按圖2所示的方式不重疊的放在長方形內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形，面積分別為和已知小長方形紙片的長為a，寬為b，且．(1)當(dāng)時，長方形的面積是，的值為；(2)當(dāng)時，請用含a、b的式子表示的值；(3)若長度為定值，的長度不確定，將這5張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形內(nèi)．當(dāng)?shù)拈L度改變時（），的值總保持不變，則a、b滿足的什么關(guān)系？13．（2022·福建泉州·八年級期中）波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立等量關(guān)系”，這就是“算兩次”原理，也稱富比尼原理．例如：計算如圖中正方形的面積，可以是，也可把圖中正方形看做是由個長方形和個小正方形組成的，則它的面積是，由此得到：．(1)如圖，正方形是由四個邊長分別是、的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對圖中正方形的面積進(jìn)行計算，可得等式______；（用含、的代數(shù)式表示）(2)已知：兩數(shù)、滿足，，求的值；(3)如圖，正方形的邊長是，它由四個直角邊長分別是、的直角三角形和中間一個小正方形組成，對圖中正方形的面積進(jìn)行計算，可得等式______（用含、、的代數(shù)式表示，結(jié)果盡可能化簡，不帶括號）；(4)在（3）的條件下，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，求、的值．14．（2022·陜西漢中·七年級期末）某村小麥種植面積是a公頃．水稻種植面積比小麥種植面積的3倍少5公頃，玉米種植面積比小麥種植面積的2倍多8公頃．(1)水稻的種植面積為__________公頃（用含a的代數(shù)式表示）；(2)水稻的種植面積比玉米的種植面積多__________公頃（用含a的代數(shù)式表示）；(3)求該村種植小麥、水稻和玉米三種農(nóng)作物的總面積（單位：公頃）（用含a的代數(shù)式表示），當(dāng)時，求該村種植這三種農(nóng)作物的總面積15．（2022·湖北隨州·九年級專題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對應(yīng)公式的序號）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對應(yīng)公式______，圖2對應(yīng)公式______，圖3對應(yīng)公式______，圖4對應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，作F點(diǎn)H過點(diǎn)B作BF//AC交EG的延長線于點(diǎn)F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點(diǎn)，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點(diǎn)時，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．題型5：未知項(xiàng)（符號）探究典例：（2022·河北·唐山市路北區(qū)教育局中教研二模）在化簡題目中：◆表示＋，－，×，÷四個運(yùn)算符號中的某一個．（1）若◆表示－，請化簡（2）當(dāng)，時，的值為12，請推算出◆所表示的符號．鞏固練習(xí)1．（2022·河北·九年級專題練習(xí)）在計算題日：“已知：，求”時，嘉淇把“”看成“”，得到的計算結(jié)果是．(1)求整式N；(2)判斷的化簡結(jié)果是否能為負(fù)數(shù)，并說明理由．2．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）嘉嘉準(zhǔn)備完成題目：她發(fā)現(xiàn)“口”內(nèi)的系數(shù)與“”內(nèi)的運(yùn)算符號印刷不清楚，淇淇告訴嘉嘉“”是，中的某一個．(1)若“口”內(nèi)為2，“”內(nèi)為，請化簡原式；(2)在（1）的情況下，是否存在實(shí)數(shù)x，使原式的值為﹣45？如果存在，求出x的值；如果不存在，請說明理由；(3)若不論x取何實(shí)數(shù)，原式的值都是一個固定的常數(shù)，請直接寫出原題中“口”內(nèi)的數(shù)、“”內(nèi)的運(yùn)算符號以及原式的值．3．（2022·河北保定·二模）已知兩個整式，B=■x+1，其中系數(shù)■被污染．(1)若■是2，化簡A－B；(2)若x=1時，A－B的值為2．說明原題中■是幾？4．（2022·全國·七年級單元測試）某教輔書中一道整式運(yùn)算的參考答案污損看不清了，形式如下：解：原式＝█．(1)求污損部分的整式；(2)當(dāng)x＝2，y＝﹣3時，求污損部分整式的值．5．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知整式，其中“■”處的系數(shù)被墨水污染了．當(dāng)，時，該整式的值為16．(1)則■所表示的數(shù)字是多少？(2)小紅說該代數(shù)式的值是非負(fù)數(shù)，你認(rèn)為小紅的說法對嗎？說明理由．6．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知：整式．(1)化簡整式；(2)若，①求整式；②在“”的“□”內(nèi)，填入“，，，”中的一個運(yùn)算符號，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，結(jié)果是不含一次項(xiàng)的整式，請你寫出一個符合要求的算式，并計算出結(jié)果．7．（2022·河北唐山·一模）已知整式，，其中B的一次項(xiàng)系數(shù)被污染．(1)若■是－2，化簡；(2)當(dāng)時，的值為18①求原題中■是幾；②若再添加一個常數(shù)a，使得A，B，a的和不為負(fù)數(shù)，求a的最小值．題型6：整式運(yùn)算的應(yīng)用典例：（2022·四川·成都外國語學(xué)校七年級期中）閱讀下列材料，解答下列問題：例：若x滿足，求的值．解：設(shè)，，則，．∴．上述解題過程中，把某個式子看成一個整體，用一個變量來代替它，從而使問題得到簡化，用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你運(yùn)用這種方法解答下列問題：(1)若x滿足，求的值．(2)若x滿足，求的值．鞏固練習(xí)1．（2022·陜西漢中·七年級期末）某中學(xué)某班在一次數(shù)學(xué)興趣活動中要分為四個組，已知第二組人數(shù)比第一組人數(shù)的少5人，第三組人數(shù)比第一組與第二組人數(shù)的總和少15人，第四組人數(shù)與第一組人數(shù)的2倍的和是34．若設(shè)第一組有x人．(1)用含x的式子表示第二、三、四組的人數(shù)，把答案填在如表相應(yīng)的位置；第一組第二組第三組第四組x(2)用含x的式子表示該班的總?cè)藬?shù)，并計算當(dāng)x的值為12時，該班的總?cè)藬?shù)．2．（2022·廣西·貴城鎮(zhèn)第一初級中學(xué)七年級期中）已知一個三角形的第一條邊長為，第二條邊比第一條邊短，第三條邊是第二條邊長的2倍還多．(1)用含的式子表示這個三角形的周長，并化簡；(2)若滿足，求出這個三角形的周長．3．（2022·山西·壽陽縣教研室七年級期中）如圖，一扇窗戶，窗框?yàn)殇X合金材料，下面是由兩個大小相等的長方形窗框構(gòu)成，上面是由三個大小相等的扇形組成的半圓窗框構(gòu)成，窗戶半圓部分和兩個長方形部分都安裝透明玻璃（計算結(jié)果保留π，長度單位為米）．(1)一扇這樣窗戶一共需要鋁合金多少米？（用含的代數(shù)式表示）(2)一扇這樣窗戶一共需要玻璃多少平方米（鋁合金窗框?qū)挾群雎圆挥嫞?？（用含的代?shù)式表示）4．（2022·廣東·陸豐市南塘中學(xué)七年級期中）做大小兩個長方體紙盒，長、寬、高的尺寸如下圖所示（單位：）：(1)用a，c的代數(shù)式表示小紙盒的表面積是______；(2)用a，c的代數(shù)式表示做這兩個紙盒共用料______；(3)當(dāng)小紙盒的高，用a的代數(shù)式表示做大紙盒比小紙盒多用多少？5．（2022·浙江嘉興·七年級期中）如圖，一個長方形運(yùn)動場被分割成，，，，共5個區(qū)，區(qū)是邊長為米的正方形，區(qū)是邊長為米的正方形．(1)區(qū)相鄰兩邊的長度分別為米，米．（用含，的代數(shù)式表示）(2)如果米，米，求整個長方形運(yùn)動場的面積．6．（2022·山東·德州市第五中學(xué)北校區(qū)七年級期中）某小區(qū)有一塊長為40m，寬為30m的長方形空地，現(xiàn)要美化這塊空地，在上面修建如圖所示的十字形花圃，在花圃內(nèi)種花，其余部分種草．(1)求花圃的面積；（用含x的式子表示）(2)若建造花圃及種花的費(fèi)用為每平方米100元，種草的費(fèi)用為每平方米50元，則美化這塊空地共需多少元？7．（2022·陜西咸陽·七年級期中）畢業(yè)季，某文具批發(fā)店購進(jìn)足夠數(shù)量的甲、乙兩種紀(jì)念冊，已知每天兩種紀(jì)念冊的銷售量共200本，兩種紀(jì)念冊的成本和售價如表：紀(jì)念冊成本（元/本）售價（元/本）甲1216乙1518設(shè)每天銷售甲種紀(jì)念冊x本，用含x的代數(shù)式表示該文具批發(fā)店每天銷售這兩種紀(jì)念冊獲得的利潤（結(jié)果化為最簡形式）．8．（2022·江蘇無錫·七年級期中）如圖是個直角三角形和個小正方形，直角三角形的三條邊長分別是、、其中、是直角邊．正方形的邊長分別是、．(1)將4個完全一樣的直角三角形和2個小正方形構(gòu)成一個大正方形（如圖②）．用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中的大正方形面積：方法一：___________；方法二：___________；(2)觀察圖，試寫出、、、這四個代數(shù)式之間的等量關(guān)系；(3)請利用（2）中等量關(guān)系解決問題：已知圖①中一個三角形面積是，圖②的大正方形面積是，求的值．(4)利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，求的值．9．（2022·江蘇鹽城·七年級期中）（1）在下列橫線上用含有的代數(shù)式表示相應(yīng)圖形的面積．___________（2）請在圖畫出拼圖并通過拼圖，你發(fā)現(xiàn)前三個圖形的面積與第四個圖形面積之間有什么關(guān)系？請用數(shù)學(xué)式子表達(dá)：___________．（3）利用（2）的結(jié)論計算的值．題型7：因式分解的應(yīng)用典例：（2022·江西宜春·八年級期中）教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式=；例如：求代數(shù)式2x2+4x-6的最小值．原式=．可知當(dāng)時，有最小值，最小值是．(1)分解因式：=______．(2)若，求的值．(3)已知a、b、c是的三條邊長．若a、b、c滿足，試判斷的形狀，并說明你的理由．(4)當(dāng)m，n為何值時，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個最小值．鞏固練習(xí)1．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校八年級期中）教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式=；例如：求代數(shù)式的最小值．原式．可知當(dāng)時，有最小值，最小值是．(1)配方法分解因式：；(2)已知是的三條邊長．若滿足，試判斷的形狀，并說明你的理由．(3)當(dāng)為何值時，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個最小值．2．（2022·山東濟(jì)南·八年級期中）已知三角形的三邊長，，滿足關(guān)系式，試判斷此三角形的形狀．3．（2022·浙江·臺州市書生中學(xué)八年級期中）閱讀下列材料：已知，求的值．解：∵，∴，∵，∴∴．根據(jù)上述材料的做法，完成下列各小題：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．4．（2022·山東泰安·八年級期中）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、十字相乘法等．①分組分解法：例如：．②十字相乘法：例如：=仿照以上方法，按照要求分解因式：已知：、、為的三條邊，，求的周長．5．（2022·重慶八中八年級期中）若一個四位正整數(shù)m滿足千位數(shù)字加百位數(shù)字的和等于10，十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差等于1，且千位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱數(shù)m為“國慶數(shù)”．如：，∵，，且，∴6432是“國慶數(shù)”．(1)判斷數(shù)3721和5534是否為“國慶數(shù)”，并說明理由；(2)已知一個四位正整數(shù)m是“國慶數(shù)”，且滿足千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)的2倍與十位數(shù)字和個位數(shù)字組成的兩位數(shù)的差除以10余1，求出滿足條件的所有m的值．6．（2022·江蘇南京·七年級期中）一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)為a，個位上的數(shù)為b，這個兩位數(shù)記作；一個三位數(shù)的百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個位上的數(shù)為z，這個三位數(shù)記作．(1)（＋）能被11整除嗎？請說明理由；(2)小明發(fā)現(xiàn)：如果能被3整除，那么就能被3整除．請補(bǔ)全小明的證明思路．7．（2022·重慶潼南·八年級期中）一個四位正整數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0，將千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位記作數(shù)a，將其十位數(shù)字和個位數(shù)字組成的兩位數(shù)記作b，若，則稱這個四位正整數(shù)為“靈動數(shù)”，比如對于四位數(shù)3876，，因?yàn)?，所?876是“靈動數(shù)”；對于四位數(shù)2446，，因?yàn)?，所?446不是“靈動數(shù)”，若m是一個“靈動數(shù)”，將其千位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置，百位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置，得到一個新的四位數(shù)，記．(1)判斷2652，3784是否是“靈動數(shù)”？并說明理由；(2)若一個“靈動數(shù)”m，它的千位上的數(shù)字是2，且是7的倍數(shù)，請求出所有符合條件的“靈動數(shù)”m．8．（2022·福建泉州·八年級期中）對于形如可用“配方法”將它分解成的形式，如在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，它不會改變整個式子的值，其變化過程如下：像這種“因式分解”的方法稱為“配方法”請完成下列問題：(1)利用“配方法”分解因式：；(2)已知是的三邊長，且滿足，求的周長；(3)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，請比較多項(xiàng)式與的大小，并說明理由．9．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級期中）材料分析題：對于任意一個四位正整數(shù)M，若千位和十位數(shù)字和為7，百位與個位數(shù)字和也為7，且各數(shù)位上的數(shù)字均不相同，那么稱這個數(shù)M為“奇跡”數(shù)，例如：，∵，，∴2354是個“奇跡”數(shù)：再例如：，∵，但是數(shù)位上有相同數(shù)字，∴3443不是一個“奇跡”數(shù)．(1)請判斷1364是否為一個“奇跡”數(shù)，并說明理由．(2)證明：任意一個“奇跡”數(shù)M都是11的倍數(shù)．(3)若M為“奇跡”數(shù)，設(shè)．且是14的倍數(shù)，請求出所有滿足題意的四位正整數(shù)M．10．（2022·福建省南安市僑光中學(xué)八年級期中）因?yàn)?，這說明多項(xiàng)式有一個因式為，我們把代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)能使多項(xiàng)式的值為0．利用上述閱讀材料，回答下列問題：(1)若是多項(xiàng)式的一個因式，求k的值；(2)若和是多項(xiàng)式的兩個因式，求m，n的值．(3)在（2）的條件下，把多項(xiàng)式因式分解．11．（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級期中）【學(xué)習(xí)材料】拆項(xiàng)添項(xiàng)法在對某些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時，需要把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個僅符號相反的項(xiàng)，這樣的分解因式的方法稱為拆項(xiàng)添項(xiàng)法．如：例1分解因式：．解：原式例2分解因式：．解：原式．我們還可以通過拆項(xiàng)對多項(xiàng)式進(jìn)行變形，如例3把多項(xiàng)式寫成的形式．解：原式【知識應(yīng)用】請根據(jù)以上材料中的方法，解決下列問題：(1)分解因式：______；(2)運(yùn)用拆項(xiàng)添項(xiàng)法分解因式：______；(3)判斷關(guān)于x的二次三項(xiàng)式在______時有最小值；(4)已知（均為整數(shù)，m是常數(shù)），若M恰能表示成的形式，求m的值．12．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)八年級期中）在學(xué)習(xí)乘法公式的運(yùn)用，我們常用配方法求最值，例如：求代數(shù)式的最小值？總結(jié)出如下解答方法：解：∵，∴當(dāng)時，的值最小，最小值是0，∴∴當(dāng)時，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)填空：；(2)若，當(dāng)______時，y有最_______值（填“大”或“小”），這個值是______；(3)已知a，b，c是的三邊長，滿足，且c的值為代數(shù)式的最大值，判斷的形狀，并求出該三角形的周長．13．（2022·山東青島·八年級期中）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的小亮、小穎兩個同學(xué)利用分組分解法進(jìn)行的因式分解：小亮：===小穎：=．請你在他們解法的啟發(fā)下，解決下面問題；(1)因式分解；(2)因式分解；(3)已知a，b，c是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說明理由．14．（2022·福建省南安市僑光中學(xué)八年級期中）閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．例如，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學(xué)等式．(1)如圖1所示，用兩塊型長方形和一塊型、一塊型正方形硬紙片拼成一個新的正方形．用兩種不同的方法計算圖1中正方形的面積，可以寫出一個熟悉的數(shù)學(xué)公式：___________：如圖2所示，用若干塊型長方形和型型正方形硬紙片拼成一個新的長方形，可以寫出因式分解的結(jié)果等于：___________；(2)如圖3，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形．就可以得到一個等式，這個等式是___________；請利用這個等式解答下列問題：①若三個實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的值②若三個實(shí)數(shù)x，y，z滿足，求的值．15．（2022·湖南·懷化市第四中學(xué)七年級期中）【閱讀理解】對于二次三項(xiàng)式，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到，但對于二次三項(xiàng)式，就不能直接用公式法了．我們可以采用這樣的方法：在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使其成為完全平方式，再減去這項(xiàng)，使整個式子的值不變，于是：像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．(1)【問題解決】請用上述方法將二次三項(xiàng)式分解因式．(2)【拓展應(yīng)用】二次三項(xiàng)式有最小值或最大值嗎？如果有，請你求出來并說明理由．(3)運(yùn)用材料中的添（拆）項(xiàng)法分解因式：．1.2重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：整式運(yùn)算及應(yīng)用題型分類結(jié)構(gòu)圖（本專題共100題102頁）題型1：數(shù)字規(guī)律探究典例：（2022·河北石家莊·九年級期中）如圖為年月的日歷表，在其中用一個方框圈出個數(shù)（如圖中虛框所示），設(shè)這個數(shù)從小到大依次為，，，．(1)若用含有的式子分別表示出，，，其結(jié)果應(yīng)為：______；______；____；(2)按這種方法所圈出的四個數(shù)中，的最大值為_______________；(3)嘉嘉說：“按這種方法可以圈出四個數(shù)，使得的值為．”淇淇說：“按這種方法可以圈出四個數(shù)，使最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為．”請你運(yùn)用一元二次方程的相關(guān)知識分別說明二人的說法是否正確．解：（1）同一行，左右相差，同列，上下相差，∴，，，∴答案是：，，．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，即的最大值為．（3）解：由（1）可知，，，∴嘉嘉的說法是：，使得的值為，∴，解方程得，，（舍去）則虛框圈出的四個數(shù)應(yīng)為，它在日歷表中不存在，所以嘉嘉的說法不正確；淇淇的說法是：，即，解方程得，，（舍去），則虛線圈出的四個數(shù)為，在日歷表中存在，所以淇淇的說法正確．鞏固練習(xí)1．（2022·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，，，，，…．則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把第3個數(shù)轉(zhuǎn)化為：，不難看出分子是從1開始的奇數(shù)，分母是，且奇數(shù)項(xiàng)是正，偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)，據(jù)此即可求解．【詳解】原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：，∴，，，..．∴第n個數(shù)為：，∴第10個數(shù)為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)總結(jié)出存在的規(guī)律．2．（2021·廣西百色·二模）將一組數(shù)，2，，，，…，，按下列方式進(jìn)行排列：，2，，，；，，4，，；…若2的位置記為，的位置記為，則這個數(shù)的位置記為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，然后再求得的位置即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)可表示為：,…∵，∴為第4行，第3個數(shù)字．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律以及二次根式的化簡，找出其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2022·重慶市第一一〇中學(xué)校模擬預(yù)測）有依次排列的個整式：，，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個新整式串：，，，，，則稱它為整式串；將整式串按上述方式再做一次操作，可以得到整式串；以此類推．通過實(shí)際操作，得出以下結(jié)論：整式串為：，，，，，，，，；整式串共個整式；整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和??；整式串的所有整式的和為；上述四個結(jié)論正確的有（

）個．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則和整式的乘法則進(jìn)行計算，從而作出判斷．【詳解】解：∵第一次操作后的整式串為：，，，，，共個整式，第一次操作后的整式串的和為：，∴第二次操作后的整式串為，，，，，，，，，共個整式，故的結(jié)論正確，符合題意；第二次操作后所有整式的和為：第三次操作后整式串為，，，，，，，，，，，，，，，，，共個整式，故的結(jié)論正確，符合題意；第三次操作后整式串的和為：；故第三次操作后的整式串的和與第二次操作后的整式和的差為：，即整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小，故結(jié)論正確，符合題意；第次操作后所有整式的積為，∴第次操作后，所有的整式的和為，故的說法不正確，不符合題意；正確的說法有，共個．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的加減，數(shù)字的規(guī)律，解題關(guān)鍵是從所給的式子分析出所存在的規(guī)律．4．（2022·重慶南開中學(xué)九年級期中）有依次排列的兩個整式，，第1次操作后得到整式串，，；第2次操作后得到整式串，，，；其操作規(guī)律為：每次操作增加的項(xiàng)為前兩項(xiàng)的差（后一項(xiàng)前一項(xiàng)），下列說法：①第次操作后的整式串為，，，，﹣b，；②第次操作后的整式串各項(xiàng)之和為；③第次操作增加的項(xiàng)與第次操作增加的項(xiàng)一定互為相反數(shù)．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】其操作規(guī)律為：每次操作增加的項(xiàng)為前兩項(xiàng)的差（后一項(xiàng)前一項(xiàng)），列舉中有限次的結(jié)果，并進(jìn)行對比，找到字母間的規(guī)律，即可求解．【詳解】解：由題意可得，第1次操作后得到整式串，，；各項(xiàng)之和為；第2次操作后得到整式串，，，；各項(xiàng)之和為；第3次操作后得到整式串，，，，；各項(xiàng)之和為；第4次操作后得到整式串，，，，，；各項(xiàng)之和為；故說法①錯誤；第5次操作后得到整式串，，，，，，；各項(xiàng)之和為；第6次操作后得到整式串，，，，，，，；各項(xiàng)之和為；第7次操作后得到整式串，，，，，，，，；各項(xiàng)之和為；???所以，各項(xiàng)之和以次操作為一個周期依次循環(huán)．∵，∴第次操作后的整式串各項(xiàng)之和與第次操作后的整式串各項(xiàng)之和相同，為，故說法②正確；∵，∴第次操作后的整式串各項(xiàng)之和為，而第次操作后的整式串各項(xiàng)之和為，∴第次操作增加的項(xiàng)為．∵，∴第次操作后的整式串各項(xiàng)之和為，而第次操作后的整式串各項(xiàng)之和為，∴第次操作增加的項(xiàng)為，∴第次操作增加的項(xiàng)與第次操作增加的項(xiàng)一定互為相反數(shù)，故說法③正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字（字母）規(guī)律問題，利用列舉法把有限次的結(jié)果表示出來，找到字母見的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．5．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）按順序觀察下列五個數(shù)-1，5，-7，17，-31……，找出以上數(shù)據(jù)依次出現(xiàn)的規(guī)律，則第個數(shù)是_____________．【答案】【分析】所給的數(shù)可轉(zhuǎn)化為：-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…據(jù)此即可得第n個數(shù)，從而可求解．【詳解】解：∵-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…，∴第奇數(shù)個數(shù)為：1-2n；第偶數(shù)個數(shù)為：1+2n；∴第n個數(shù)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)字分析出存在的規(guī)律．6．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2022是表中第____行第___列．【答案】

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6【分析】根據(jù)每一行最后一個數(shù)得到規(guī)律：第n行最后一個數(shù)是1+2+3++n=，計算第63行最后一個數(shù)，由此得到答案．【詳解】解：第一行最后一個數(shù)是1，第二行最后一個數(shù)是3=1+2，第三行最后一個數(shù)是6=1+2+3，第四行最后一個數(shù)是10=1+2+3+4，∴第n行最后一個數(shù)是1+2+3++n=，=2080，∴第63行最后一個數(shù)是2016，∴2022是第64行第6個數(shù)，故答案為：64，6．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的排列規(guī)律，正確理解各行數(shù)字的排列規(guī)律并總結(jié)規(guī)律運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·常州市北郊初級中學(xué)二模）如圖，一個機(jī)器人最初面向北站立，按程序：每次移動都向前直走，然后逆時針轉(zhuǎn)動一個角度，每次轉(zhuǎn)動的角度增加．第一次直走后轉(zhuǎn)動，第二次直走后轉(zhuǎn)動，第三次直走后轉(zhuǎn)動，如此下去．那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了_____米．【答案】45【分析】根據(jù)走路規(guī)律，求出走的次數(shù)即可解得．【詳解】解：設(shè)第n次轉(zhuǎn)動面向西方，第二次面向西方時一共轉(zhuǎn)了，當(dāng)時第二次面向西方，一共走了（米）；故答案為：45．【點(diǎn)睛】此題考查了行程規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵時根據(jù)規(guī)律列式求出走的次數(shù)．8．（2022·湖北恩施·九年級期中）我們知道，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個實(shí)數(shù)的平方等于-1．若我們規(guī)定一個新數(shù)i，使其滿足（即方程有一個根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算法則仍然成立，于是有，，，，從而對任意正整數(shù)n，我們可以得到，同理可得，，，那么的值為______．【答案】【分析】，，，，，，從而可知4次一循環(huán)，一個循環(huán)內(nèi)的和為0，據(jù)此計算即可．【詳解】解：由題意得，，，，，，，故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個循環(huán)內(nèi)的和為0，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是計算出前面幾個數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出一個循環(huán)內(nèi)的和再計算．9．（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校九年級期末）在求兩位數(shù)的平方時，可以用“列豎式”的方法進(jìn)行速算，求解過程如圖1所示．仿照圖1，用“列豎式”的方法計算一個兩位數(shù)的平方，過程部分如圖2所示，則a+b+c+d+e+f+g+h=_____．【答案】23或32##32或23【分析】觀察圖象可知，第一行從右向左分別為個位數(shù)和十位數(shù)字的平方，每個數(shù)的平方占兩個空，平方是一位數(shù)的前面的空用0填補(bǔ)，第二行從左邊第2個空開始向右是這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的乘積的2倍，然后相加即為這個兩位數(shù)的平方，根據(jù)此規(guī)律求解即可【詳解】解：觀察圖象可知，第一行從右向左分別為個位數(shù)和十位數(shù)字的平方，每個數(shù)的平方占兩個空，平方是一位數(shù)的前面的空用0填補(bǔ)，第二行從左邊第2個空開始向右是這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的乘積的2倍，然后相加即為這個兩位數(shù)的平方．第2行數(shù)是40，所以原數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字的乘積是40÷2=20，那么這兩個數(shù)就應(yīng)該是4和5，所以這兩位數(shù)是45或54，即或，所以a+b+c+d+e+f+g+h=1+6+2+5+2+0+2+5=23；或a+b+c+d+e+f+g+h=2+5+1+6+2+9+1+6=32；故答案為：23或32．【點(diǎn)睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，仔細(xì)觀察圖形，觀察出前兩行的數(shù)與兩位數(shù)的十位和個位上的數(shù)字的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個方格可以生成個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對的理解如下：YYDS（永遠(yuǎn)的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺醒年代）：的個位數(shù)字是6；QGYW（強(qiáng)國有我）：我知道，所以我估計比大．其中對的理解錯誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．【答案】DDDD【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將化為，再與比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；根據(jù)2的乘方的個位數(shù)字的規(guī)律即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得，即可判斷QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的．【詳解】是200個2相乘，YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；，DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；，2的乘方的個位數(shù)字4個一循環(huán)，，的個位數(shù)字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；，，且，故QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的；故答案為：DDDD．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．11．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：若有序數(shù)對表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如表示6，則表示99的有序數(shù)對是_______．【答案】【分析】分析每一行的第一個數(shù)字的規(guī)律，得出第行的第一個數(shù)字為，從而求得最終的答案．【詳解】第1行的第一個數(shù)字：第2行的第一個數(shù)字：第3行的第一個數(shù)字：第4行的第一個數(shù)字：第5行的第一個數(shù)字：…..，設(shè)第行的第一個數(shù)字為，得設(shè)第行的第一個數(shù)字為，得設(shè)第n行，從左到右第m個數(shù)為當(dāng)時∴∵為整數(shù)∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律的相關(guān)性質(zhì)．12．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）如圖，下列各正方形中的四個數(shù)之間具有相同的規(guī)律．根據(jù)此規(guī)律，則第個圖中的______．【答案】【分析】通過觀察圖形可得出，，，代入即可得到答案．【詳解】解：觀察圖形可知：，，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律型題．關(guān)鍵是由特殊到一般，找出數(shù)字算式運(yùn)算規(guī)律．13．（2022·臺灣·模擬預(yù)測）健康生技公司培養(yǎng)綠藻以制作「綠藻粉」，再經(jīng)過后續(xù)的加工步驟，制成綠藻相關(guān)的保健食品．已知該公司制作每1公克的「綠藻粉」需要60億個綠藻細(xì)胞．請根據(jù)上述信息回答下列問題，完整寫出你的解題過程并詳細(xì)解釋：(1)假設(shè)在光照充沛的環(huán)境下，1個綠藻細(xì)胞每20小時可分裂成4個綠藻細(xì)胞，且分裂后的細(xì)胞亦可繼續(xù)分裂．今從1個綠藻細(xì)胞開始培養(yǎng)，若培養(yǎng)期間綠藻細(xì)胞皆未死亡且培養(yǎng)環(huán)境的光照充沛，經(jīng)過15天后，共分裂成個綠藻細(xì)胞，則之值為何？(2)承（1），已知60億介于與之間，請判斷個綠藻細(xì)胞是否足夠制作8公克的「綠藻粉」？【答案】(1)18(2)足夠【分析】（1）根據(jù)題意，分別寫出從1個綠藻細(xì)胞開始培養(yǎng)，經(jīng)過20小時分裂成4個綠藻細(xì)胞，經(jīng)過40小時分裂成個綠藻細(xì)胞，即可得出答案；（2）根據(jù)題意可得制作8公克的「綠藻粉」需要億個綠藻細(xì)胞，再估算出億的范圍，并與進(jìn)行比較，即可判斷．(1)15天小時小時，個綠藻細(xì)胞每20小時可分裂成4個綠藻細(xì)胞，從1個綠藻細(xì)胞開始培養(yǎng)，經(jīng)過20小時分裂成4個綠藻細(xì)胞，經(jīng)過（小時），分裂成個綠藻細(xì)胞，經(jīng)過（小時），分裂成個綠藻細(xì)胞，．經(jīng)過（小時），分裂成個綠藻細(xì)胞，之值為18；(2)每1公克的「綠藻粉」需要60億個綠藻細(xì)胞，制作8公克的「綠藻粉」需要億個綠藻細(xì)胞，億介于與之間，億，即億，而，億，個綠藻細(xì)胞足夠制作8公克的「綠藻粉」．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)已知找到規(guī)律求出的值．14．（2022·重慶·三模）對任意一個四位正整數(shù)m，如果m的百位數(shù)字等于個位數(shù)字與十位數(shù)字之和，m的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個位數(shù)字之和，那么稱這個數(shù)m為“筋斗數(shù)”．例如：m＝5321，滿足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗數(shù)”．例如：m＝8523，滿足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗數(shù)”．(1)判斷9633和2642是不是“筋斗數(shù)”，并說明理由；(2)若m是“筋斗數(shù)”，且m與13的和能被11整除，求滿足條件的所有“筋斗數(shù)”m．【答案】(1)9633是“筋斗數(shù)”；2642不是“筋斗數(shù)”；理由見解析(2)m的值為9909或2110或6422【分析】（1）根據(jù)“筋斗數(shù)”的定義即可判斷；（2）設(shè)m的個位數(shù)為a，十位數(shù)為b，根據(jù)是“筋斗數(shù)”，則m的百位數(shù)為a+b，千位數(shù)為2b+a，再根據(jù)與13的和能被11整除，即可解答．(1)解：9633是“筋斗數(shù)”，2642不是“筋斗數(shù)”，理由如下：∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗數(shù)”；∵6=4+2，，∴2642不是“筋斗數(shù)”；(2)設(shè)m的個位數(shù)為a，0≤a≤9，十位數(shù)為0＜b≤9，且a、b為整數(shù)∵是“筋斗數(shù)”，∴m的百位數(shù)為a+b，千位數(shù)為2b+a；∴m=1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a=1100a+110b+2000b+a∵與13的和能被11整除，∴1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，∵2b+a≤9且a、b為整數(shù)∴b≤4.5∵1100a+110b能被11整除，∴2000b+a+13能被11整除，∴b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2或b=3，a=4，或b=4，a=6，∴a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10（舍去）或a+b=10，2b+a=14（舍去）∴的值為9909或2110或6422【點(diǎn)睛】本題是一道新定義題目，考查了有理數(shù)整除的相關(guān)性質(zhì)，利用代數(shù)式的值進(jìn)行相關(guān)分類討論，得出結(jié)果，解題的關(guān)鍵是能夠理解定義．15.（2022·全國·九年級專題練習(xí)）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．（1）解：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：，故答案為：；（2）解：第n個等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．16．（2022·浙江嘉興·九年級專題練習(xí)）設(shè)是一個兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時，表示的兩位數(shù)是45．(1)嘗試：①當(dāng)a＝1時，152＝225＝1×2×100＋25；②當(dāng)a＝2時，252＝625＝2×3×100＋25；③當(dāng)a＝3時，352＝1225＝；……(2)歸納：與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．(3)運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．【答案】(1)③；(2)相等，證明見解析；(3)【分析】（1）③仔細(xì)觀察①②的提示，再用含有相同規(guī)律的代數(shù)式表示即可；（2）由再計算100a(a＋1)＋25，從而可得答案；（3）由與100a的差為2525，列方程，整理可得再利用平方根的含義解方程即可．（1）解：①當(dāng)a＝1時，152＝225＝1×2×100＋25；②當(dāng)a＝2時，252＝625＝2×3×100＋25；③當(dāng)a＝3時，352＝1225＝；（2）解：相等，理由如下：100a(a＋1)＋25=（3）與100a的差為2525，整理得：即解得：1≤a≤9，【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，完全平方公式的應(yīng)用，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，利用平方根的含義解方程，理解題意，列出運(yùn)算式或方程是解本題的關(guān)鍵．題型2：圖形規(guī)律探究典例：（2022·湖北宜昌·九年級期末）（1）探究：已知，如圖是一個三角形點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有一個點(diǎn)，第二行有兩個點(diǎn)…第n行有n個點(diǎn)…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角形點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)和．①求三角形點(diǎn)陣中前10行的點(diǎn)數(shù)和；②若三角形點(diǎn)陣中前a行的點(diǎn)數(shù)之和為300，求a的值；③三角形點(diǎn)陣中前b行的點(diǎn)數(shù)之和是600嗎？（填“能”或“不能”）（2）拓展：若果把（1）的三角形點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，…，①求這個三角形點(diǎn)陣中前n行點(diǎn)數(shù)和（用含n的代數(shù)式表示）；②這個三角形點(diǎn)陣中前n行點(diǎn)數(shù)和能是600嗎？若能，求出n；若不能，請說明理由．解：（1）①三角形點(diǎn)陣中前10行的點(diǎn)數(shù)和為：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55；②由題意可得：1＋2＋3＋4＋5＋…＋a＝300，即，整理得a2＋a－600＝0，（a＋25）（a－24）＝0，∴a1＝－25，a2＝24，∵a為正整數(shù)，∴a＝24；

③由（1）得b（b+1）＝600×2，即，方程無整數(shù)解，三角點(diǎn)陣中前b行的點(diǎn)數(shù)的和不能是600．（2）①這個三角形點(diǎn)陣中前n行點(diǎn)數(shù)和為：2＋4＋6＋…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）＝n（n＋1）；②三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600．理由如下：依題意，得n（n＋1）＝600，即n2＋n－600＝0，△＝49，開平方得出整數(shù)，故三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600．n＝24鞏固練習(xí)1．（2022·重慶市第七中學(xué)校九年級期中）下列圖形都是由同樣大小的黑點(diǎn)按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形中一共有4個黑點(diǎn)，第②個圖形中一共有9個黑點(diǎn)，第③個圖形中一共有14個黑點(diǎn)，…，則第⑩個圖形中黑點(diǎn)的個數(shù)是（

）A．44 B．48 C．49 D．54【答案】C【分析】仔細(xì)觀察圖形的變化情況找到規(guī)律，利用規(guī)律解答即可．【詳解】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第①個圖形有個黑點(diǎn)；第②個圖形有個黑點(diǎn)；第③個圖形有個黑點(diǎn)；第④個圖形有個黑點(diǎn)；…第n個圖形有個黑點(diǎn)；當(dāng)時，有個黑點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形的變化規(guī)律，然后利用規(guī)律求解．2．（2022·重慶市豐都縣平都中學(xué)校九年級期中）觀察下列圖形規(guī)律，其中第1個圖形由6個〇組成，第2個圖由14個〇組成，第3個圖由24個〇組成，，照此規(guī)律下去，則第6個圖由〇的個數(shù)一共是（）A．64 B．65 C．66 D．67【答案】C【分析】根據(jù)第1個圖形由6個〇組成，第2個圖形由14個〇組成，第3個圖形由24個〇組成，得出第個圖形〇的個數(shù)是，進(jìn)而得到第6個圖形〇的個數(shù)．【詳解】解：第1個圖形由6個〇組成，，第2個圖形由14個〇組成，，第3個圖形由24個〇組成，，第個圖形〇的個數(shù)是，第6個圖形〇的個數(shù)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)則的探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找出圖形的規(guī)律．3．（2022·浙江·北大附屬臺州書生學(xué)校二模）如圖所示，動點(diǎn)P從第一個數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)1的位置，第二次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)2的位置，第三次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)3的位置，第四次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動下去，點(diǎn)P從0跳動6次到達(dá)的位置，點(diǎn)P從0跳動21次到達(dá)的位置，…，點(diǎn)在一條直線上，則點(diǎn)P從0跳動（

）次可到達(dá)的位置．A．887 B．903 C．90 D．1024【答案】B【分析】由題意得：從點(diǎn)P從0跳動個單位長度，到達(dá)，跳動個單位長度，到達(dá)，可以得出，跳動次數(shù)為從1開始連續(xù)正整數(shù)的和，且最后一個加數(shù)為，進(jìn)而得到答案即可；【詳解】解：由題意得：從點(diǎn)P從0跳動個單位長度，到達(dá)，跳動個單位長度，到達(dá)，由此可得：跳動次數(shù)為從1開始連續(xù)的正整數(shù)的和，最后一個加數(shù)為，∵，∴點(diǎn)從跳到跳動了：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的規(guī)律探究．根據(jù)圖形，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．4．（2022·重慶南開中學(xué)九年級期中）用五角星按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有3個五角星，第②個圖案中有7個五角星，第③個圖案中有12個五角星，第④個圖案中有18個五角星，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案中五角星的個數(shù)為（）A．42 B．52 C．56 D．63【答案】B【分析】仔細(xì)觀察圖形，找到圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：第①個圖案中有個五角星，第②個圖案中有個五角星，第③個圖案中有個五角星，第④個圖案中有個五角星，∴第n個圖案中有個五角星，當(dāng)時，個五角星，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形的變化規(guī)律．5．（2022·浙江寧波·九年級專題練習(xí)）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME.7）的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中，若的值是整數(shù)，且，則符合條件的n有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理計算出，，，，…