2024年內(nèi)蒙古包頭高三二模高考理科數(shù)學(xué)試題答案詳解

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

（第二次模擬考試）理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.考生答卷前，務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)寫(xiě)在答題卡上.將條形碼粘貼在規(guī)

定區(qū)域.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知全集。=何一1<尤<5｝,集合A滿足莓，=何00<3｝,則（）

A.0GAB.l^A

C.2e.AD.3￡A

2.已知復(fù)數(shù)z=l+￡i（i為虛數(shù)單位），則I的虛部為（）

A.-5/3B.-V3iC.-1D.-i

3.設(shè)〃z,neR,貝U“〃幽=1”是“l(fā)g機(jī)+lg〃=0''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.將2個(gè)。和3個(gè)》隨機(jī)排成一行，則2個(gè)a不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

x+y-5>0,

5.若實(shí)數(shù)％,y滿足約束條件2y+lV04lJz=x+y的（）

x>l,

A.最小值為5B.最大值為5

C.最小值為6D.最大值為6

6.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且4=1,%=16,設(shè)等差數(shù)列色｝的前〃項(xiàng)和為S“，若

"5="5'則S9=()

A.—36或36B.-36C.36D.18

7.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)a,b,m(m>0)

為整數(shù)，若。和6被加除得的余數(shù)相同，則稱。和匕對(duì)模優(yōu)同余，記為。三b(mod〃z).

若a=C*2+C*22++C北"。，amb(modlO),則b的值可以是()

A.2018B.2020C.2022D.2024

8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)

y=Asind,但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)

合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/(x)=sinx+；sin2MxeR),則下列說(shuō)法正確的

是()

A.的一個(gè)周期為兀B.的最大值為1

C.””的圖象關(guān)于點(diǎn)［,。］對(duì)稱D.在區(qū)間［0,兀］上有2個(gè)零點(diǎn)

9.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(2,4),動(dòng)點(diǎn)P滿足尸0.尸4=-1,貝U

tan/PBO的最大值為()

A2A/21R4則「2國(guó)V2

A.-----D.--------C.-------Dn.----

2129412

10.在正方體ABCD-ABCP中，E為8。的中點(diǎn)，則直線與E與4。所成角的余弦值

為()

A.0B.；C.走D.正

222

22

11.已知雙曲線C：5-2=1(°>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F|、F2,雙曲線C的

ab

離心率為e,在第一象限存在點(diǎn)P,滿足e-sin/尸耳乙=1,且則雙曲線C

的漸近線方程為()

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3光土y=0D.九±3y=0

12.已知m<3且根e3=3e*〃<4且〃e4=4e〃，％<7且g=7e'，貝U()

A.m<n<tB.n<t<m

C.t<m<nD.t<n<m

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.拋物線的準(zhǔn)線方程為，=1,則實(shí)數(shù)。的值為.

a

14.在ABC中，A,B,C的對(duì)邊分另！J為a,b,c,已知”=應(yīng)，6=4,c-cosB+?=0,

貝|］邊。=.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

15.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為4兀的球0的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的

最大值為.

1b

16.已知不等式2^26對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則：的最大值為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)

要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤(pán)上“楚河漢界”的歷史

原型，滎陽(yáng)因此被授予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中

每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，

乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待

上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求前3局比賽甲都取勝的概率；

(2)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.如圖，在多面體D48CE中，ABC是等邊三角形，AB^AD^2,

DB=DC=EB=EC=亞.

(1)求證：BCA.AE；

(2)若二面角為30。，求直線OE與平面AC。所成角的正弦值.

19.己知函數(shù)-lnx)+(l-2a2)x(a?0).

⑴若x=l是函數(shù)y=/(%)的極值點(diǎn)，求。的值；

⑵求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

22_

20.已知橢圓R，+當(dāng)=16>6>0)過(guò)點(diǎn)(0,1),且焦距為26.

ab

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)5(1,0)作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)弦AB,的中點(diǎn)分別為M,N.

①證明：直線MV必過(guò)定點(diǎn)；

②若弦AB,C。的斜率均存在，求肱VS面積的最大值.

21.己知數(shù)列｛華,｝為有窮數(shù)列，且?！癳N*,若數(shù)列｛為｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列｛%｝

為機(jī)的4增數(shù)列：①弓+。2+%+…+%=加；②對(duì)于使得4<%的正整數(shù)

對(duì)(。力有左個(gè).

⑴寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列;

(2)當(dāng)77=5時(shí)，若存在7〃的6增數(shù)列，求機(jī)的最小值;

(3)若存在100的/增數(shù)列，求k的最大值.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,

則按所寫(xiě)的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

1

x=,

cosa,上仝必.7i、

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（。為參數(shù)，a）,

，3sina2

y

cosa

以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

0cos(夕+|^=1.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)尸(2,0),若直線/與曲線C交于A,3兩點(diǎn)，求向一向的值?

［選修4-5：不等式選講］

23.已知/(%)=|2%+2|+歸一3|.

⑴求不等式/(力(5的解集;

(2)若的最小值為機(jī)，正實(shí)數(shù)"，b,c滿足a+Z?+c=祇，求證:

a+bb+ca+c2m

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.B

【分析】根據(jù)全集和集合A在全集中的補(bǔ)集易得集合A,逐一判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】由。={x|-l<無(wú)<5},^A=|x|0<x<3j,可得A={x[T<x<0或3<尤<5}

則0走A,UA,2eA,3eA,故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.

故選：B.

2.A

【分析】由共軌復(fù)數(shù)以及虛部的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=l+6f,所以5=1-后的虛部為-石.

故選：A.

3.B

【分析】通過(guò)舉反例說(shuō)明“〃明=1”不是“坨〃2+坨〃=0”的充分條件，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)由

1gm+lg〃=O推得〃〃7=1,即得結(jié)論.

【詳解】由〃掰=1不能推出1g機(jī)+lg〃=。，如祖="=-1滿足7加=1,

但1g加,lgw無(wú)意義，故=不是“1g根+lg"=O”的充分條件；

再由1gm+1g〃=0可得lg(mn)=0,即得mn=1,故"'是"1g"，+1g〃=0”的必要條件

即“w=l”是“l(fā)gm+lgw=O”的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】先按要求計(jì)算2個(gè)。和3個(gè)8隨機(jī)排成一行時(shí)的排法，再計(jì)算2個(gè)。不相鄰時(shí)的排

法，最后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】2個(gè)a和3個(gè)6隨機(jī)排成一行，即五個(gè)確定的位置中選擇3個(gè)放字母6,其他放字

母。，故不同排法有C；=10種，

若再要求2個(gè)。不相鄰，則需3個(gè)萬(wàn)放好，有4個(gè)空，2個(gè)。插空擺放即可，即C：=6,

所以2個(gè)。不相鄰的概率為2=06

故選：C.

5.A

【分析】作出可行域，利用直線平移求解即可.

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

x+y-5>0,

【詳解】由不等式組％-2y+"0,作出可行域如圖:

x>1,

x=l

可得A（l,4）,

x+y-5=0'

由圖可知，平移直線x+y=0,

當(dāng)與尤+y—5=0重合時(shí)，z=x+y取最小值5,

故選：A.

6.C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得小=4,繼而求得以=%的值，利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)

和公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為4,且4=1,%=16,

則%=/=16,則爐=4,

%

則“5=。5="14=4,

則邑=也產(chǎn)9-，

故選：C.

7.B

【分析】依題意可得a+l=CC+CC-2+C°.22++C茶2%利用二項(xiàng)式定理說(shuō)明。被10除

得的余數(shù)為0,即可判斷.

【詳解】因?yàn)閍=C；o-2+C>22++C^-220,

所以a+l=C；o+C*2+C*22++C]"。

20M101010

=(1+2)=3=9=(10-1)=Cfox10-C；0x1()9+…-C；ox10+1,

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

K）

所以a=C；o>dO-C；（）xlO9+-c：（）xio=io（c：oXlO9-C；o><lO8+-c：o）,

即。被10除得的余數(shù)為0,結(jié)合選項(xiàng)可知只有2020被10除得的余數(shù)為0.

故選:B

8.D

【分析】對(duì)于A,考查函數(shù)y=$皿》與y=gsin2x的周期即可；對(duì)于B,考查函數(shù)'=$111》與

y=gsin2x的最大值，驗(yàn)證同時(shí)取最大值時(shí)的條件即可判斷；對(duì)于C,利用中心對(duì)稱的條件

進(jìn)行驗(yàn)證即可；對(duì)于D,令〃x）=0,解方程即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閥=sinx的周期為2兀，y=gsin2x的周期為兀，所以

〃x）=sinx+：sin2x的周期為2無(wú)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)、=5也》的最大值為l,y=：sin2x的最大值為:，

2/

□

故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，/（X）的最大值為彳，

7TJT

此時(shí)需滿足％=—+2fai,Z￡Z且2%=—+2%兀,aGZ,不能同時(shí)成立,

22

3

故最大值不能同時(shí)取到，故/（X）的最大值不為：，則B錯(cuò)誤;

/（兀一%）=sin（兀一兀）+；sin[2（?！?）]=

對(duì)于C,sinx——sin2x則

2

/（x）+/（7i-x）=2sinxw0,

故/（X）的圖象不關(guān)于點(diǎn)g，。卜寸稱，c錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)?（x）=sinx+gsin2x=sinx（l+cosx）=0時(shí),sinx=0,又工￡[0,兀],

所以I=0或者%=兀；或者l+cosx=0,此時(shí)cosx=-l,又XE[0,兀

所以兄=兀，綜上可知，"X）在區(qū)間[0,可上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，

故選：D.

9.C

【分析】設(shè)出點(diǎn)尸（%,y）,利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點(diǎn)P的軌跡，結(jié)合直線與圓的關(guān)系進(jìn)

行求解即可.

【詳解】設(shè)尸（九,y）,則PO=（—x,—y）,PA=（2—x,4—y）,

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

貝!JPOPA=-x（2-x）-y{^-y^=-1,BPx2-2x+y2-4^+1=0,

化為（x-lY+（y-2）2=4,則點(diǎn)尸的軌跡為以。（1,2）為圓心，半徑為2的圓,

顯然當(dāng)直線尸3與此圓相切時(shí)，tan/尸爪？的值最大.

XBZ）=732+62=3y/5,PD=2,

貝1JPB=y/BD2-PD2=745-4=廊,

則tanNMO=^=3=^.

PBaa

故選：c.

10.D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角余弦公式求出答案.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體ABCD-^QD,的棱長(zhǎng)為2,

則A（2,0,2）,D（0,0,0）,耳（2,2,2）,￡（1,1,0）,

則直線BtE與A.D所成角的余弦值為

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

66

cos\D,B{E\=J————L

?A。n?耳目“+4xJl+l+42>/2xV6-2

故選：D

11.A

【分析】由題意設(shè)戶耳|=乙則|尸閶=-2a,而sin/P/笆=:=’,|耳耳|=2c,由三角形

面積公式可得|P4|=4a,從而歸國(guó)=2a,在△因工中，運(yùn)用余弦定理可得'=2,由此即可

a

得解.

【詳解】

設(shè)閥|=f,則|P引=r—2a,而e-sinNP7但=1,所以sin/尸/第=4,

ec

所以點(diǎn)尸到久歷的距離為|尸用sin/P；笆=1，

C

又閨周=2c,所以S彷=；-2c?乃=4片，

解得f=4a,即|P耳|=4%從而|尸國(guó)=2°,

又因?yàn)閟in/尸耳凡=1=@,

ec

b

所以cosNP4心

c

在APFE中，由余弦定理有cosZPEF7=-=（4"+（2。）一一（2。）一,

12c2.4Q.2c

b24b

所以4ab=4a2+c2—a2=b2+4a2，即-----F4=0,

aa

b

解得g=2,雙曲線。的漸近線方程為2x±y=0.

a

故選：A.

12.D

【分析】構(gòu)造函數(shù)“X）=己，考查函數(shù)單調(diào)性，利用/（3）="7"）,"4）=/（"）,/（7）=/⑺,

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

得至u/")</(")</(陽(yáng))，即可求解.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)小)=十，(x>0),則尸(無(wú))=￡三，

當(dāng)0<x<l時(shí)，//(x)>0；當(dāng)x>l時(shí)，/,(x)<0,

則〃X)在(0,1)上單調(diào)遞增；

在(I,+8)上單調(diào)遞減，

又〃武=3建，貝|0<%<3,則，=￡，,⑶=/(間，

同理"4)=/㈤，/⑺=/?),0<n<4,0<Z<7,

則/⑺</(4)<43),

即/(0<f(n)</(m)，m

所以?vzivm,

故選：D.

13.—##—0.25

4

【分析】根據(jù)拋物線方程及準(zhǔn)線方程列出方程，解出即可.

【詳解】依題可知-3=1,

貝普=-9，

故答案為：

4

14.710

【分析】由余弦定理化角為邊，化簡(jiǎn)整理后，代值計(jì)算即得.

【詳解】因C?8SB+〃=0,由余弦定理，C-十>一°+〃=0,化簡(jiǎn)得3/+，=〃，

lac

因。=應(yīng)，6=4，故c=N『—3#=曬.

故答案為：>/10.

15.2TI

【分析】由題意，先求出球的半徑，再由球和圓柱的位置關(guān)系得到圓柱的底面半徑、母線和

球的半徑的關(guān)系，然后利用基本不等式求出圓柱的側(cè)面積的最大值.

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】設(shè)球的半徑為R，圓柱的底面半徑為「，母線為/,

由題意可知，S=4欣兀解得R=1,

又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為4兀的球。的球面上，

所以圓柱的兩個(gè)底面的的圓心關(guān)于球心對(duì)稱，且產(chǎn)+gj=R2=1,

圓柱的側(cè)面積S=271rl,Z>0,

因?yàn)椤?+￡22年,二r/,當(dāng)且僅當(dāng)廣二，即r=1,/=0時(shí)，等號(hào)成立，

4222

所以〃V1,S-2mi<2K.

故答案為：27r.

16.2-21n2

【分析】通過(guò):尤-1+1換元將不等式化成6'-2川+24-6-220,對(duì)任意的實(shí)數(shù)工恒成立,

a

設(shè)/?)=3—2〃+2。一/?一2,對(duì)。的取值分類討論，得至！J〃>0時(shí)

/(Omin=/(ln(2tz))=4a-2aln(2tz)-b-2,依題得b<4a-2aln(2a)-2,即

h22

-<4-21n(26i)—-再令g⑷=4-21n(2〃)—-,a〉0,分析得至！Jg(a)=8⑴=2—21n2,從

aaa111ax

b

而即得一42—21n2.

a

ii1

【詳解】令"x——+l,貝鼠="1+—,不等式可化為：以-2〃("1+—)2。對(duì)任意的實(shí)數(shù)

aaa

%恒成立，

BPer-2at+2a-b-2>0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立.

設(shè)于(t)=e'一2at+2a-b-2,則fr(t)=el-2a,

當(dāng)時(shí)，/W>0,/?)在R上單調(diào)遞增，m于⑴H不合題意；

當(dāng)〃〉0時(shí)，由-—2。=0可得，=ln(2〃),

當(dāng)，<ln(2a)時(shí)，［⑺<0,/⑺單調(diào)遞減，當(dāng)，>ln(2〃)時(shí)，尸⑺>0,/⑺單調(diào)遞增，

則當(dāng)，=ln(2〃)時(shí)，/?)*=/(ln(2〃))=4?！?。ln(2〃)—6—2.

因/⑺20對(duì)任意的實(shí)數(shù)入恒成立，故/(%=f(ln(2a))=4a-2aln(2a)—力—220恒成立,

b2

即Z??4Q_2aln(26Z)-2,貝!j_?4_2ln(2〃)一一.

aa

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

令g(a)=4-21n(2a)二,a>0,則g，(a)=二+2

aaaa

當(dāng)0<a<l時(shí)，g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a>l時(shí)，g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減.

故g(a)max=g⑴=2-21n2,

hh

即±42-21112,故士的最大值為2—21n2.

aa

故答案為：2-21n2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查由不等式恒成立求解參數(shù)范圍問(wèn)題，屬于難題.

解題的關(guān)鍵在于通過(guò)設(shè)，=》-工+1進(jìn)行換元，將不等式化成e'-2s+2“-6-220,設(shè)函數(shù)

a

/?)=e'一2以+2a—b—2,分析得至IJ/(力而。=/(ln(2〃))=4Q—2Qln(2a)—人一220,然后分

b22

離出一W4-21n(2〃)-一，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(a)=4-21n(2a)——,Q>0的最大值即得.

aaa

17.(1)-

8

9

⑵分布列見(jiàn)解析，-

O

【分析】(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得；

(2)列出隨機(jī)變量X的所有可能的值，分別求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出期

望值.

【詳解】(1)因各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，前3局比賽甲都獲勝，

則前3局甲都取勝的概率為尸=1、]又!=].

2228

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.

其中，X=0表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則尸(X=0)=；xg=；；

X=1表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，

貝ljP(X=l)=LxL+』xL=」；

'722222

X=2表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，

X=3表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏,

'72228

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

所以X的分布列為

故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0X：+1X=+2X：+3X：=S.

42ooo

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵立

7

【分析】(1)取BC中點(diǎn)。，連接A。，E0,利用線面垂直的判斷定理證明3c1平面AEO,

繼而可解；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,0D所在直線分別為x,?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

利用線面角的向量表示進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)取8C中點(diǎn)。，連接AO,E0.

：ABC是等邊三角形，。為中點(diǎn)，

AO±BC,

又EB=EC,：.EO1BC,

VAOEO=O,AO,EO^^AEO,

：.BCmAEO,

(2)連接。。，則DO_LBC,

由AB=AC=3C=2,

DB=DC=EB=EC=6得AO=下,DO=1,

又AD=2,/.AO2+DO2=AD2,ADOVAO,

又AOBC=O,AO,BCu平面ABC,

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

QO_L平面ABC.

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,所在直線分別為x,?z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系。-邙，

則。(0,0,0),A(V3,o,o),C(O,-I,O),r>(o,o,i),

/.CA=(73,1,0),CD=(0,1,1),

設(shè)平面AC￡>的法向量為〃=(x,y,z),

則卜即[瓜+，=&

[n-CD=0,[y+z=0,

取x=l,則〃

/AOE是二面角A-BC-E的平面角,

/AOE=30°,

又OE=1,/.E,0,——,DE=,0,——

,門(mén)"DEn"

則儂吶〃:阿T一亍，

19.(1)1

(2)單調(diào)減區(qū)間為(0M),單調(diào)增區(qū)間為(a,y)

【分析】(1)由x=l是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)，/⑴=0,求解驗(yàn)證即可;

(2)利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋╫,+8）,廣⑴=2-+（1-

因?yàn)閤=l是函數(shù)y=〃x）的極值點(diǎn)，

所以/'（l）=]+a_2a2=0,解得q=_g或口=1,

因?yàn)閍20,所以a=l.此時(shí)以（耳=2-7-1=（2苫+1）（尤-1）,

XX

令/‘（力＞。得,令r（%）＜。得ov尤vi,

???/（力在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+8）單調(diào)遞增，所以％=1是函數(shù)的極小值點(diǎn).

所以〃=1.

（2）,（x2依2+0-2Q2）%Q（2ov+l）（x—6Z）

xx

因?yàn)樗?辦20,令/'（%）＞。得光＞〃；令/'（%）＜0得0cx＜〃；

???函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0,〃），單調(diào)增區(qū)間為

20.（l）!+y2=i

（2）①證明見(jiàn)解析；嗎

【分析】（1）根據(jù)題意有6=1,c=拒,即可求解；

（2）①設(shè)直線&xn利+1（〃?學(xué)0）的方程，聯(lián)立與橢圓方程消元后，利用韋達(dá)定理可求

得點(diǎn)M的坐標(biāo)，繼而可得N點(diǎn)坐標(biāo)，考慮直線MN斜率情況，得到其方程，即可求解；②

根據(jù)5時(shí)邠=5“超+5'超=?區(qū)斗|%-％]，表示出肱\?的面積后，換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)，利

用單調(diào)性即可求得最大值.

【詳解】（1）依題意有6=1,c=0解得/=廿+°2=4,

所以橢圓的方程為二+V=L

4

（2）①設(shè)/刖：%=陽(yáng)+1（機(jī)。0）,A&，x）,3（%2，%），貝IJ/CD：x=—，y+l（MwO）,

m

\x=my+1/o-2m

聯(lián)“彳尤2+42—4,故（“79+4）y-+2my-3=0,A=16m2+48＞0,必+力=,心彳，

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

8

%+%2=根（％+%）+2=

m2+4

2

4-m,由一工代替》7,4mm

故M得N

m2+45m2+4m1+4m21+4m2

44m2r過(guò)點(diǎn)喂4。］

2

當(dāng)，即m=1時(shí)，IMNx=

m2+41+4m25

44m25m

，即/W1時(shí)，KMN

當(dāng)0--------T4（蘇-1），

m2+4l+4m

m5m4

yH---------=------------：加2w1,加w0）,

m2+44（m2-lm2+4

（2）

4m-144m2+164

令…'直線MN恒過(guò)點(diǎn)K

5（/+4）5

當(dāng)相=0,經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn)K（1,0

綜上，直線MV恒過(guò)點(diǎn)

KS

CIC=^\\'\yM-y\

②S=N

MNS~0MKS丁Q.NKS

1

I3,I7TZH

￡1mm2\mm\--1_______竺_

2?,1+4蘇加2+4-2'W+1W+4-2',2^4

4mH——y+17

m

1

mH——

m_1t_11

令"mH——G[2,+（x＞）

mQ.MNS-24-24?+9-2

4m92+—+172^4

m

,?*S^MNS在/￡[2,+8）上單調(diào)遞減,

11/111

=---------------—?---------ZZZ-----

2人，9一225，當(dāng)且僅當(dāng).=2,加=±1時(shí)取等號(hào).

4rH----oH----

r2

21.（1）1,2,1和1,3

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

（2）7

（3）1250

【分析】（1）由于1+2+1=4或1+3=4,從而得到所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)

歹Ub3；

（2）分析得到加26且機(jī)eN*,當(dāng)〃z=6時(shí)，不合要求，當(dāng)帆=7時(shí)，滿足要求，得到答案;

（3）分析得到數(shù)列｛6｝的各項(xiàng)只能為1或2,所以數(shù)列｛4｝為1,1,…，1,2,2,2

的形式，設(shè)其中有尤項(xiàng)為1,有y項(xiàng)為2,得到x+2y=100,左=孫=。00-2〉）丁，配方后

求出最值.

【詳解】（1）由題意得4+/++風(fēng)=4,

且對(duì)于14,<j44,使得q<%的正整數(shù)對(duì)（z,/）有1個(gè)，

由于1+2+1=4或1+3=4,

故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3.

（2）當(dāng)〃=5時(shí)，存在機(jī)的6增數(shù)列，

即%+%+%+%+/="，且對(duì)于1V，<JW5,使得令的正整數(shù)對(duì)億/）有6個(gè)，

所以數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以〃726且冽eN*.

若加=6,滿足要求的數(shù)列｛%｝中有四項(xiàng)為1,一項(xiàng)為2,

所以上V4,不符合題意，所以〃>6.

若〃?=7,滿足要求的數(shù)列｛4｝中有三項(xiàng)為1,兩項(xiàng)為2,

此時(shí)數(shù)列為L(zhǎng)1，122,滿足要求的正整數(shù)對(duì)億力分別為（1,4）,（2,4）,（3,4）,（1,5）,（2,5）,（3,5）,

符合m的6增數(shù)列，

所以當(dāng)〃=5時(shí)，若存在機(jī)的6增數(shù)列，機(jī)的最小值為7.

（3）若數(shù)列｛4｝中的每一項(xiàng)都相等，則％=0,

若心0,所以數(shù)列｛風(fēng)｝中存在大于1的項(xiàng)，

若首項(xiàng)qwl,將可拆分成％個(gè)1后改變大，

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

所以此時(shí)人不是最大值，所以4=1.

當(dāng)i=2,3,，〃時(shí),若%>.,交換%,4+1的順序后左變?yōu)樽?1,

所以此時(shí)上不是最大值，所以/<4+1.

若走｛0,1｝,所以.2%+2,

所以將改為4+1-1，并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1,所以發(fā)的值變大，

所以此時(shí)左不是最大值，所以而-0e｛0』｝.

若數(shù)列｛4｝中存在相鄰的兩項(xiàng)q=2,aM>3,設(shè)此時(shí)｛%｝中有尤項(xiàng)為2,

將改為2,并在數(shù)列首位前添加%「2個(gè)1后，%的值至少變?yōu)椋?1,

所以此時(shí)/不是最大值，

所以數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)只能為1或2,所以數(shù)列｛氏｝為1,1,…，1,2,2,2的形式.

設(shè)其中有x項(xiàng)為1,有y項(xiàng)為2,

因?yàn)榇嬖?00的上增數(shù)列，所以x+2y=10。，

所以k=^=(100-2y)y=-2y2+100y=-2(y-25)2+1250,

所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=50,y=25時(shí)，左取最大值為1250.

【點(diǎn)睛】數(shù)列新定義問(wèn)題，主要針對(duì)于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對(duì)常

見(jiàn)的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二

項(xiàng)式定理，數(shù)列與排列組合等知識(shí)的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性

的解決問(wèn)題.

22.(1)C：x2-^=l,直線/：x-y/3y-2=0

*

\x=pcos0

【分析】(1)用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式化極坐標(biāo)方程為直角

坐標(biāo)方程；

(2)化直線方程為尸點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入拋物線方程利用參數(shù)幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理

求解.

答案第14頁(yè)，共16頁(yè)

1

X=，

cosaTT

【詳解】（1）曲線。的參數(shù)方程為（a為參數(shù),左"十一）,

V3sincr2

y=