人教版八年級數(shù)學下冊重難點專題提升精講精練第一次月考重難點特訓(二)之勾股定理與全等三角形結(jié)合的壓軸題(原卷版+解析)

第一次月考重難點特訓（二）之勾股定理與全等三角形結(jié)合的壓軸題【重難點題型】1．（2023·全國·九年級專題練習）綜合與實踐．勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．(1)我國漢代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請你利用這個圖形說明．(2)業(yè)余數(shù)學愛好者向常春在年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，．請你利用這個圖形說明．(提示：連接，)2．（2023春·八年級課時練習）如圖（1）和為兩個全等的等邊三角形，邊和的中點重合與點，直線交直線于點．(1)求證：；(2)若，是判斷、、的數(shù)量關(guān)系；(3)若，請直接寫出的最小值．3．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）我們把“同一圖形的面積，用兩種不同的方法求出的結(jié)果相等，從而構(gòu)建等式，根據(jù)等式解決相關(guān)問題”的方法稱為“面積法”．(1)通過如圖①中圖形的面積關(guān)系，直接寫出一個多項式進行因式分解的等式：______；(2)“面積法”還可以作為幾何證明的工具，當兩個全等的直角三角形擺放成如圖②所示時，其中，借助圖中輔助線用兩種不同方法表示四邊形的面積，易得：______；______，構(gòu)建等式整理可得：；(3)如圖③，在中，，，P為邊上的任一點，過點P作，，垂足分別為M、N，連接，利用“面積法”求的值．4．（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第二十二中學?？计谀鹃喿x材料】小高同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂點的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小高把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．【材料理解】(1)如圖1，在“手拉手”圖形中，小高發(fā)現(xiàn)若，，，則，請證明小高的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】(2)如圖2，，，，試探索線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并證明結(jié)論；【延伸應用】(3)①如圖3，在四邊形中，，，，與的數(shù)量關(guān)系為：________（直接寫出答案，不需要說明理由）；②如圖4，在四邊形中，，若，，則的長為________（直接寫出答案，不需要說明理由）．5．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）【問題探究】（1）如圖1，銳角中，分別以、為邊向外作等腰直角和等腰直角，使，，，連接，，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【深入探究】（2）如圖2，四邊形中，，，，求的值；甲同學受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和全等的三角形，將進行轉(zhuǎn)化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形中，，，，，，則___________．6．（2022秋·浙江金華·八年級浙江省蘭溪市第二中學?？茧A段練習）如圖①，在中，，，，現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設(shè)運動時間為秒(1)如圖①，當時，求的值；(2)如圖①，當是等腰三角形時，求的值；(3)如圖②，點在邊上，點在邊上，，在的邊上，若另外有一個動點與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，求點的運動速度．7．（2023·全國·八年級專題練習）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結(jié)論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用，，分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高為______．(3)如圖4，在中，是邊上的高，，，，設(shè)，求的值．8．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）定義：一組對角互補，且對角線平分其中一個內(nèi)角，稱四邊形為余缺四邊形．如圖1，四邊形，，平分，則四邊形為余缺四邊形．【概念理解】(1)用（填序號）一定可以拼成余缺四邊形．①兩個全等的直角三角形，②兩個全等的等邊三角形；(2)如圖1，余缺四邊形，平分，若，，則；【初步應用】如圖2，已知△ABC，∠BAC的平分線AP與BC的垂直平分線交于P點，連接PB、PC．(3)求證：四邊形ABPC為余缺四邊形；(4)若，，則的值為．【遷移應用】(5)如圖3，，等腰的B、C兩點分別在射線上，且斜邊(P、A在兩側(cè))，若B、C兩點在射線、上滑動時，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變化，請說明理由；若變化，直接寫出面積的最大的值．9．（2022春·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期末）材料閱讀：如圖所示，已知直角梯形中，是上一點，，，，且，，現(xiàn)需探究直角三角形的三邊、、之間的數(shù)量關(guān)系：(1)【初步探究】猜想三角形是否與三角形全等，若是，請說明理由；(2)【問題解決】請用兩種含有，，的代數(shù)式的方法表示直角梯形的面積：______．______．由此，你能得到的、、的數(shù)量關(guān)系是：______．(3)【拓展應用】如圖，等腰三角形中，是底邊上的中點，，，、分別是線段和上的兩個動點，求：的最小值．10．（2022春·廣東廣州·八年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系xOy中，點B、C的坐標分別為（0，0）、（12，0），點A在第一象限，且△ABC是等邊三角形．點D的坐標為（4，0），E是邊AB上一動點，連接DE，以DE為邊在DE右側(cè)作等邊△DEF．(1)求出A點坐標；(2)當點F落在邊AC上時，△CDF與△BED全等嗎？若全等，請給予證明；若不全等，請說明理由；(3)連接CF，當△CDF是等腰三角形時，______．11．（2022秋·江蘇·八年級期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．(3)【初步運用】如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．(4)【靈活運用】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．12．（2021秋·河北保定·八年級保定市第十七中學?？计谀?）如圖1，在銳角中，分別以、為邊向外作等腰和等腰，使，，，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若，，則與相交所得的銳角______；（3）如圖2，四邊形中，，，，求的長．甲同學受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和全等的三角形，將進行轉(zhuǎn)化，據(jù)此可計算得______．13．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B、C的坐標分別為（0，0）、（6，0），A是第一象限內(nèi)的一點，且△ABC是等邊三角形．點D的坐標為（2，0），E是邊AB上一動點，連接DE，以DE為邊在DE右側(cè)作等邊△DEF．(1)求出A點坐標；(2)當點F落在邊AC上時，△CDF與△BED全等嗎？若全等，請給予證明；若不全等，請說明理由；(3)連接CF，當△CDF是等腰三角形時，直接寫出BE的長度．14．（2021秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）圖形的翻折就是將一個圖形沿著一條軸折疊的運動。翻折有如下性質(zhì)：(1)、把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形；(2)、關(guān)于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分【課堂提問】何老師在課堂中提出這樣的問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【互動生成】經(jīng)小組合作交流后，各小組派代表發(fā)言．（1）小華代表第3小組發(fā)言：AB＝2BC．請你補全小華的證明過程．證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°+90°＝180°，即：點B、C、D共線．（請在下面補全小華的證明過程）（2）受到第3小組“翻折”的啟發(fā)，小明代表第2小組發(fā)言：如圖2，在△ABC中，如果把條件“∠ACB＝90°”改為“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不變，若BC＝2，求AB的長．【能力遷移】我們發(fā)現(xiàn)，翻折可以探索圖形性質(zhì)，請利用翻折解決下面問題．如圖3，點D是△ABC內(nèi)一點，AD＝AC=，BD=8,∠BAD＝∠CAD＝30°，∠ADB＝135°，求BC的值15．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四邊形AECD＝，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，它們滿足的關(guān)系式為，化簡后，可得到勾股定理．【知識運用】如圖2，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距200米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD＝80米，BC＝70米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個抽水點P，使得抽水點P到兩個菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為米．【知識遷移】借助上面的思考過程，請直接寫出當0＜x＜15時，代數(shù)式的最小值＝．16．（2020·浙江紹興·模擬預測）問題理解：如圖1，在銳角中，分別以，為邊向外作等邊和等邊，連結(jié)，，通過證明和全等，可得．（不必證明）問題探究：（1）如圖2，在銳角中，分別以為邊向外作等腰和等腰，使，，，連結(jié)，試猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．問題拓展：（2）如圖3，在中，，，，求的長；（3）如圖4，在（2）的條件下，當在線段的左側(cè)時，請直接寫出的長．17．（2020秋·河北衡水·八年級校考期中）倍長中線的思想在丁倍長某條線段（被延長的線段要滿足兩個條件：線段一個端點是圖中一條線段的中點；線段與這條線段不共線)，然后進行連接，構(gòu)造三角形全等，再進一步將某些線段進行等量代換，再證明全等或其他的結(jié)論，從而解決問題．【應用舉例】如圖（1），已知：為的中線，求證：．簡證：如圖（2），延長到，使得，連接，易證，得，在中，，．【問題解決】（1）如圖（3），在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于，求證：．（2）如圖（4），在中，是邊的中點，分別在邊上，，若，求的長．（3）如圖（5），是的中線，，且，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系_及位置關(guān)系_．18．（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀：等邊三角形具有豐富的性質(zhì)，我們常?？梢越柚冗吶切魏腿冉鉀Q問題．如圖1，B、C、D三點在同一條直線上，等邊三角形ABC和等邊三角形ECD具有共同的頂點C，我們?nèi)菀鬃C明△BCE≌△ACD，從而得到BE=；理解：如圖2，已知點D在等邊三角形ABC內(nèi)，AD=5，BD=4，CD=3，以CD為邊在它的下方作等邊三角形CDE，求∠BDC的度數(shù)；應用：如圖3，在△ABC中，AC=10，BC=12，點D在△ABC外，位于BC下方，△ABD為等邊三角形，當∠ACD=30°時，．19．（2023秋·吉林長春·九年級?？计谀靖兄咳鐖D①，在正方形的內(nèi)部，作，且點、、、分別在、、、上，根據(jù)三角形全等的判定方法，易證：．（不需證明）【類比】如圖②，在等邊三角形的內(nèi)部，作，、、兩兩相交于、、三點．（1）求證：．（2）判斷：的形狀為___________．【拓展】在圖②中，若，，則的長為__________．20．（2022秋·全國·八年級期中）如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）（1）用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2＝c2；（2）用這樣的兩個三角形構(gòu)造圖3的圖形，你能利用這個圖形證明出題（1）的結(jié)論嗎？如果能，請寫出證明過程；（3）當a＝3，b＝4時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點C為線段OA上一點，將△ABC沿著直線BC翻折，點A恰好落在x軸上的D處．①請寫出C、D兩點的坐標；②若△CMD為等腰三角形，點M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標．21．（2021秋·浙江·八年級期末）如圖，點A是射線OE：y＝x（x≥0）上的一個動點，過點A作x軸的垂線，垂足為B，過點B作OA的平行線交∠AOB的平分線于點C．（1）若OA＝5，求點B的坐標；（2）如圖2，過點C作CG⊥AB于點G，CH⊥OE于點H，求證：CG＝CH．（3）①若點A的坐標為（2，2），射線OC與AB交于點D，在射線BC上是否存在一點P使得△ACP與△BDC全等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．②在（3）①的條件下，在平面內(nèi)另有三點P1（，），P2（2，2），P3（2+，2﹣），請你判斷也滿足△ACP與△BDC全等的點是．（寫出你認為正確的點）22．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖1，長方形ABCD中，AB＝5，AD＝12，E為AD邊上一點，DE＝4，動點P從點B出發(fā)，沿B→C→D以2個單位/s作勻速運動，設(shè)運動時間為t．⑴當t為s時，△ABP與△CDE全等；⑵如圖2，EF為△AEP的高，當點P在BC邊上運動時，EF的最小值是；⑶當點P在EC的垂直平分線上時，求出t的值．23．（2021秋·河南鄭州·八年級?？计谥校?1)我國著名的數(shù)學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成丁一個大的正方形（如圖1），這個矩形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×ab＋(b－a)2，∴4×ab＋(b－a)2＝c2.∴______________即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖2)，也能驗證這個結(jié)論，請你幫助小明完成驗證的過程.(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請你添加適當?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2＋b2＝c2.24．（2021春·廣東深圳·八年級深圳第二實驗學校?？计谥校┮阎堑冗吶切?，點D是BC邊上一動點，連結(jié)AD如圖1，若，，求AD的長；如圖2，以AD為邊作，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．小明通過觀察、實驗，提出猜想：在點D運動的過程中，始終有，小明把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的兩種想法想法1：利用AD是的角平分線，構(gòu)造角平分線的性質(zhì)定理的基本圖形，然后通過全等三角形的相關(guān)知識獲證．想法2：利用AD是的角平分線，構(gòu)造的全等三角形，然后通過等腰三角形的相關(guān)知識獲證．請你參考上面的想法，幫助小明證明一種方法即可小聰在小明的基礎(chǔ)上繼續(xù)進行思考，發(fā)現(xiàn)：四邊形AEDF的面積與AD長存在很好的關(guān)系若用S表示四邊形AEDF的面積，x表示AD的長，請你直接寫出S與x之間的關(guān)系式．25．（2022秋·河北石家莊·八年級石家莊市第四十中學校考期末）閱讀情境：在綜合實踐課上，同學們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”．如圖1，，其中，，此時，點與點重合．(1)操作探究1：小凡將圖1中的兩個全等的和按圖2方式擺放，點落在上，所在直線交所在直線于點，連結(jié)，求證：．(2)操作探究2：小彬?qū)D1中的繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，然后，分別延長、，它們相交于點．如圖3，在操作中，小彬提出如下問題，請你解答：①時，求證：為等邊三角形；②當________時，．（直接回答即可）(3)操作探究3：小穎將圖1中的繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度，線段和相交于點，當旋轉(zhuǎn)到點是邊的中點時（可利用圖4畫圖），直接寫出線段的長為________．26．（2022秋·浙江·八年級期中）如圖，，，且BC＝3cm，AB＝1cm，CD＝5cm，點P以每秒1cm的速度從點B開始沿射線運動，同時點Q在線段CD上由點C向終點D運動．設(shè)運動時間為t秒．點Q的速度為x．(1)P在線段BC上時，cm，cm．（用含t的代數(shù)式表示）(2)如圖①，當點P與點Q經(jīng)過幾秒時，使得△ABP與△PCQ全等？此時，點Q的速度x是多少？（寫出求解過程）(3)如圖②，是否存在點P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，請直接寫出t的值，若不存在，請說明理由．27．（2020秋·江蘇南通·八年級校考階段練習）初識模型：如果兩個等腰三角形頂角相等，且頂角頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四邊形，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手全等模型”．如圖1，已知與都是等腰三角形，，且，顯然．理解模型：如圖2，在中，，連接AD，若，求AD．運用模型：如圖3，已知，AB＝AC，點G為BC上一點，點D為BC中點，于點E，于點F，判斷的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．遷移模型：如圖3，等邊的邊長為6，D是BC的中點，E是AC邊上的一點，內(nèi)部作等邊三角形DEF，若，直接寫出線段CE的長．

28．（2021秋·八年級單元測試）我們知道，圖形的運動只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀、大小，運動前后的兩個圖形全等，翻折就是這樣．如圖1，將△ABC沿AD翻折，使點C落在AB邊上的點C'處，則△ADC≌△ADC'．嘗試解決：（1）如圖2，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，將△ABC沿AD翻折，使點C落在AB邊上的點C'處，求CD的長．（2）如圖3，在長方形ABCD中，AB=8，AD=6，點P在邊AD上，連接BP，將△ABP沿BP翻折，使點A落在點E處，PE、BE分別與CD交于點G、F，且DG=EG．①求證：PE=DF；②求AP的長．29．（2020秋·四川·八年級?？茧A段練習）(l)觀察猜想：如圖①，點、、在同一條直線上，，且，，則和是否全等？__________（填是或否），線段之間的數(shù)量關(guān)系為__________（2）問題解決：如圖②，在中，，，，以為直角邊向外作等腰，連接，求的長。（3）拓展延伸：如圖③，在四邊形中，,,,，于點．求的長．30．（2022秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）【問題背景】小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿翻折，使點A落在邊上的E處，展開后連接，則得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）（1）寫出圖2中全等的三角形____________________；（2）直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系__________________；【類比運用】（3）如圖3，在中，，平分，求的周長．小明的思路：借鑒上述方法，將沿翻折，使點C落在邊上的E處，展開后連接，這樣可以將問題解決（如圖4）；請幫小明寫出解答過程：【實踐拓展】（4）如圖5，在一塊形狀為四邊形ABCD的空地上，養(yǎng)殖場丁師傅想把這塊地用柵欄圍成兩個小型的養(yǎng)殖場，即圖5中的和，若平分．請你幫丁師傅算一下需要買多長的柵欄．第一次月考重難點特訓（二）之勾股定理與全等三角形結(jié)合的壓軸題【重難點題型】1．（2023·全國·九年級專題練習）綜合與實踐．勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．(1)我國漢代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請你利用這個圖形說明．(2)業(yè)余數(shù)學愛好者向常春在年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，．請你利用這個圖形說明．(提示：連接，)【答案】(1)說明見解析(2)說明見解析【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于4個直角三角形的面積加上小正方形的面積即可得出結(jié)論；（2）連接，，根據(jù)四邊形的面積，又四邊形的面積，根據(jù)的面積四邊形的面積四邊形的面積，得出等量關(guān)系，進而得證．【詳解】（1）∵大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為，∴，即；（2）連接，，，，，，，，∵四邊形的面積，四邊形的面積，的面積四邊形的面積四邊形的面積，∴．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級課時練習）如圖（1）和為兩個全等的等邊三角形，邊和的中點重合與點，直線交直線于點．(1)求證：；(2)若，是判斷、、的數(shù)量關(guān)系；(3)若，請直接寫出的最小值．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)【分析】（1）連接和，由，，得到，再由得到，從而得到即可得到答案；（2）連接，作交延長線于點，由（1）可知，再通過證明，得到，從而得到為等腰直角三角形，即可得到答案；（3）當點在內(nèi)部，且平分時，的值最小，延長交于，此時，由等邊三角形三線合一得出，，由勾股定理得出，通過證明可得到，，連接和，通過證明，再通過角度的轉(zhuǎn)化，從而得到，進而得到，最后得出了的最小值．【詳解】（1）證明：連接和，，，，，，，，即．（2）解：連接，作交延長線于點，由（1）可知，，，，即，，，（ASA），，為等腰直角三角形，．（3）解：如圖所示，當點在內(nèi)部，且平分時，的值最小，延長交于，此時，平分，為等邊三角形，，，，邊和的中點重合與點，，，在和中，，（SAS），，，，連接和，，，，∵，∴，∵，，∴，，為等腰直角三角形，，，，最小值等于．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出適當?shù)妮o助線，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．3．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）我們把“同一圖形的面積，用兩種不同的方法求出的結(jié)果相等，從而構(gòu)建等式，根據(jù)等式解決相關(guān)問題”的方法稱為“面積法”．(1)通過如圖①中圖形的面積關(guān)系，直接寫出一個多項式進行因式分解的等式：______；(2)“面積法”還可以作為幾何證明的工具，當兩個全等的直角三角形擺放成如圖②所示時，其中，借助圖中輔助線用兩種不同方法表示四邊形的面積，易得：______；______，構(gòu)建等式整理可得：；(3)如圖③，在中，，，P為邊上的任一點，過點P作，，垂足分別為M、N，連接，利用“面積法”求的值．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）用兩種不同的方法表示左上角正方形的面積，即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式表示即可；（3）過A作于點H，由等腰三角形三線合一可得，根據(jù)勾股定理可得，再由進行求解即可．【詳解】（1）解：左上角正方形的面積可以表示為，也可以表示為：即，故答案為：；（2）解：，故答案為：，．（3）解：如圖，過A作于點H，∵，∴，∴由勾股定理得，．∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了幾何圖形與整式乘法，三角形的面積的計算，等面積法的應用，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握等面積法的應用．4．（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第二十二中學?？计谀鹃喿x材料】小高同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂點的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小高把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．【材料理解】(1)如圖1，在“手拉手”圖形中，小高發(fā)現(xiàn)若，，，則，請證明小高的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】(2)如圖2，，，，試探索線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并證明結(jié)論；【延伸應用】(3)①如圖3，在四邊形中，，，，與的數(shù)量關(guān)系為：________（直接寫出答案，不需要說明理由）；②如圖4，在四邊形中，，若，，則的長為________（直接寫出答案，不需要說明理由）．【答案】(1)見詳解(2)，理由見詳解(3)①；②2【分析】（1）由題意易得，然后可根據(jù)“”判定三角形全等；（2）連接，然后根據(jù)題意可判定，則有，進而根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)可進行求解；（3）①由題意易得是等邊三角形，則有，然后可得，進而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進行求解；②過點C作于點H，過點B作，交的延長線于點G，然后可證，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則有，進而根據(jù)勾股定理建立方程進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴；（2）解：，理由如下：連接，如圖所示：∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴；（3）解：①∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為；②過點C作于點H，過點B作，交的延長線于點G，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，設(shè)，則有，在中，，由勾股定理得：，解得：，（負根舍去）∴；故答案為2．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）【問題探究】（1）如圖1，銳角中，分別以、為邊向外作等腰直角和等腰直角，使，，，連接，，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【深入探究】（2）如圖2，四邊形中，，，，求的值；甲同學受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和全等的三角形，將進行轉(zhuǎn)化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形中，，，，，，則___________．【答案】（1），理由見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明，則根據(jù)SAS即可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在的外部，以為直角頂點作等腰直角，使，，連接、、，證明，證明，然后在直角三角形中，利用勾股定理即可求解；（3）先證明是等邊三角形，再把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則可得是等邊三角形，再證是直角三角形，運用勾股定理求出的長，從而可得的長．【詳解】解：（1），理由如下：∵，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）如圖2，在的外部，以為直角頂點作等腰直角，使，，連接、、．∵，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴．∵，∴，，又∵，

∴，∴，∴．（3）如圖，∵，，∴是等邊三角形，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，是等邊三角形，∴，，∵，∴，在中，，∴．故答案為：【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確理解題目之間的聯(lián)系，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江金華·八年級浙江省蘭溪市第二中學?？茧A段練習）如圖①，在中，，，，現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設(shè)運動時間為秒(1)如圖①，當時，求的值；(2)如圖①，當是等腰三角形時，求的值；(3)如圖②，點在邊上，點在邊上，，在的邊上，若另外有一個動點與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，求點的運動速度．【答案】(1)的值為，19(2)的值為12，18，19，(3)點的運動速度為，，，【分析】（1）根據(jù)題意可知在的垂直平分線上時，，據(jù)此分類討論，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)題意，分分別為等腰三角形的頂點時，分別畫出圖形，進而即可求解；（3）根據(jù)題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點所走的路程，進而可求出的運動時間，即的運動時間，再利用速度路程時間求解即可．【詳解】（1）解：如圖，在中，，，，∴，∵，∴在的垂直平分線上，①當在上時，，∵點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，速度為，設(shè)運動時間為秒∴，即，解得：；②當在上時，，，在中，，即，解得，綜上所述，或時，；（2）解：①當時，∴，∵，∴，∴，∴為的中點，由（1）可得；②當時，如圖，∵，∴，即，解得：；③當時，當在上時，如圖，過點作，于點，∵，∵，∴，在中，，∵，，∴，∴∴，解得：，當在上時，如圖，，解得，綜上所述，的值為12，18，19，時，為等腰三角形，（3）設(shè)點的運動速度為，∵點在邊上，點在邊上，∴∴①當點在上，點在上，時，，∴解得；②當點在上，點在上，時，，∴，解得；③當點在上，點在上，時，，∴點P的路程為，點Q的路程為∴，解得：；④當點在上，點在上，時，，∴點P的路程為，點Q的路程為∴，解得：；∴點的運動速度為，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，分類討論思想，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關(guān)鍵．7．（2023·全國·八年級專題練習）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結(jié)論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用，，分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高為______．(3)如圖4，在中，是邊上的高，，，，設(shè)，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）表示出三個圖形的面積進行加減計算可證；（2）計算出的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得邊上的高；（3）運用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；【詳解】（1）證明：∵，，，∴∴∴（2），，，即AB邊上的高是（3）解：在中，由勾股定理得∵，∴在中，由勾股定理得∴，∴【點睛】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關(guān)鍵．構(gòu)造出直角三角形DEF是解本題的難點．8．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）定義：一組對角互補，且對角線平分其中一個內(nèi)角，稱四邊形為余缺四邊形．如圖1，四邊形，，平分，則四邊形為余缺四邊形．【概念理解】(1)用（填序號）一定可以拼成余缺四邊形．①兩個全等的直角三角形，②兩個全等的等邊三角形；(2)如圖1，余缺四邊形，平分，若，，則；【初步應用】如圖2，已知△ABC，∠BAC的平分線AP與BC的垂直平分線交于P點，連接PB、PC．(3)求證：四邊形ABPC為余缺四邊形；(4)若，，則的值為．【遷移應用】(5)如圖3，，等腰的B、C兩點分別在射線上，且斜邊(P、A在兩側(cè))，若B、C兩點在射線、上滑動時，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變化，請說明理由；若變化，直接寫出面積的最大的值．【答案】(1)①(2)3(3)見詳解(4)45(5)變化；最大值是50【分析】（1）依題意畫出圖形分析是否滿足條件即可得到答案；（2）利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)，可得與等高，然后運用面積比等于底邊長的比得到答案；（3）利用AP是角平分線構(gòu)造全等三角形證明即可；（4）運用勾股定理可得，，然后運用圖中等量關(guān)系將AG和BG轉(zhuǎn)化為AB與AC即可；（5）當時面積取得最大值．【詳解】（1）如圖4，將兩個全等的直角三角形沿斜邊拼在一起組成一個新的四邊形，則此四邊形滿足對角線平分一組對角；且一組對角互補兩個全等的直角三角形一定能拼成余缺四邊形；如圖5，將兩個全等的等邊三角形拼在一起組成一個新的四邊形，此四邊形的一組對角相加等于兩個全等的等邊三角形無法拼成余缺四邊形；故答案為：①（2）如圖6，過C點分別作AB，AD的垂線，垂足為E，F(xiàn)平分，（3）如圖7，過點P作，，垂足為G，HAP平分,，點P在BC的垂直平分線上在和中平分，是余缺四邊形．（4）由勾股定理可知，，（5）如圖8，取BC中O，連接OA，作于點Q，則在BC運動的過程中，始終有：是直角三角形，OA是斜邊上的中線，；是等腰直角三角形．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定以及勾股定理，綜合性較強，熟練掌握全等三角形的構(gòu)造與相關(guān)證明方法是本題的解題關(guān)鍵．9．（2022春·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期末）材料閱讀：如圖所示，已知直角梯形中，是上一點，，，，且，，現(xiàn)需探究直角三角形的三邊、、之間的數(shù)量關(guān)系：(1)【初步探究】猜想三角形是否與三角形全等，若是，請說明理由；(2)【問題解決】請用兩種含有，，的代數(shù)式的方法表示直角梯形的面積：______．______．由此，你能得到的、、的數(shù)量關(guān)系是：______．(3)【拓展應用】如圖，等腰三角形中，是底邊上的中點，，，、分別是線段和上的兩個動點，求：的最小值．【答案】(1)是，理由見解析(2)，，(3)【分析】（1）由可得，利用即可證明≌；（2）根據(jù)梯形的面積公式以及，可得兩種含有，，的代數(shù)式的的表示方法，進而得出、、的數(shù)量關(guān)系；（3）過點作于點，交于，此時，即的最小值，利用勾股定理求出，利用面積法可求出的值，即的最小值．（1）解：≌理由如下：四邊形是直角梯形，，，，，，，在和中，，≌．（2）解：≌，，，，，，，，，，，，，，故答案為：；；．（3）過點作于點，交于，此時，即的最小值，，點為底邊的中點，，，，，，，，，的最小值為．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及面積的計算，勾股定理等知識；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·廣東廣州·八年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系xOy中，點B、C的坐標分別為（0，0）、（12，0），點A在第一象限，且△ABC是等邊三角形．點D的坐標為（4，0），E是邊AB上一動點，連接DE，以DE為邊在DE右側(cè)作等邊△DEF．(1)求出A點坐標；(2)當點F落在邊AC上時，△CDF與△BED全等嗎？若全等，請給予證明；若不全等，請說明理由；(3)連接CF，當△CDF是等腰三角形時，______．【答案】(1)A（6，）；(2)△CDF≌△BED，證明見解析；(3)10＋2或6或2＋2．【分析】（1）如圖1中，過點A作AH⊥BCA于點H．解直角三角形求出BH，AH，可得結(jié)論；（2）如圖2中，結(jié)論：△CDF≌△BED．根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（3）分三種情形：如圖3?1中，當CD＝CF時，過點C作CJ⊥DF于點J，過點D作DK⊥BE于點K．如圖3?2中，當FD＝FC時，過點F作FT⊥CD于點T．如圖3?3中，當DF＝DC＝8時，DE＝DF＝8，分別求出KE，BK可得結(jié)論．（1）解：如圖1中，過點A作AH⊥BC于點H．∵C（6，0），∴BC＝6，∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，∴∠ABH＝60°，BH＝HC＝6，∴，∴A（6，）；（2）如圖2中，結(jié)論：△CDF≌△BED．理由：∵△DEF是等邊三角形，△ABC是等邊三角形，∴∠EDF＝∠ABC＝60°，DE＝DF，∵∠EDC＝∠ABC＋∠DEB＝∠EDF＋∠FDC，∴∠DEB＝∠CDF，在△CDF和△BED中，，∴△CDF≌△BED（AAS）；（3）如圖3?1中，當CD＝CF時，過點C作CJ⊥DF于點J，過點D作DK⊥BE于點K，過點F作FP⊥CD于點P．設(shè)DE＝DF＝x，∵D（4，0），∴OD＝4，∵∠DKB＝90°，∠DOK＝60°，∴∠BDK＝30°，∴BK＝OD＝2，．∵CD＝CF，CJ⊥DF，∴DJ＝FJ＝x，∵∠DKE＝∠FPD＝90°，∠DEK＝∠FDP，DE＝FD，∴△DKE≌△FPD（AAS），∴EK＝DP，DK＝FP＝，∵S△CDF＝?CD?FP＝?DF?CJ，∴，解得，或（舍去），∴∴∴EK＝，∴BE＝BK＋EK＝；如圖3?2中，當FD＝FC時，過點F作FT⊥CD于點T．∵FD＝FC，F(xiàn)T⊥CD，∴DT＝TC＝4，∵∠DKE＝∠DTF＝90°，∠DEK＝∠FDT，DE＝DF，∴△EKD≌△DTF（AAS），∴EK＝DT＝4，∴BE＝BK＋EK＝2＋4＝6；如圖3?3中，當DF＝DC＝8時，DE＝DF＝8，∴，∴BE＝BK＋EK＝2＋2，綜上所述，滿足條件的BE的值為10＋2或6或2＋2，故答案為：10＋2或6或2＋2．【點睛】本題屬三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．11．（2022秋·江蘇·八年級期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．(3)【初步運用】如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．(4)【靈活運用】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)見解析(4)BE2+CF2＝EF2，證明見解析【分析】[問題情境](1)根據(jù)全等三角形的判定定理解答；(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算；[初步運用]延長AD到M，使AD=DM，連接BM，證明△ADC≌△MDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；[靈活運用]延長ED到點G，使DG=ED，連接GF，GC，證明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】（1）解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故選：A；（2）解：由(1)得：△ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，在△ABE中，AB?BE<AE<AB+BE，即8?6<2AD<8+6，∴1<AD<7，故答案為：1<AD<7；（3）解：延長AD到M，使AD=DM，連接BM，如圖②所示：∵AD是△ABC中線，∴CD=BD，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM=AC，∠CAD=∠M，∵AC=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM，∵∠AFE=∠BFM，∴∠BFM=∠CAD=∠M，∴AE=FE；（4）解：線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為：BE2+CF2=EF2；理由如下：延長ED到點G，使DG=ED，連接GF，GC，如圖③所示：∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∵D是BC的中點，∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，，∴△DBE≌△DCG(SAS)，∴BE=CG，∠B=∠GCD，∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，∴Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2，∴BE2+CF2=EF2．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應用等知識；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋·河北保定·八年級保定市第十七中學?？计谀?）如圖1，在銳角中，分別以、為邊向外作等腰和等腰，使，，，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若，，則與相交所得的銳角______；（3）如圖2，四邊形中，，，，求的長．甲同學受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和全等的三角形，將進行轉(zhuǎn)化，據(jù)此可計算得______．【答案】（1），理由見解析（2）（3）【分析】（1）由得到，再證，即可得到；（2）利用全等三角形的性質(zhì)，先證，再結(jié)合，即可得到與相交所得的銳角；（3）先證，再利用勾股定理求出的長，再利用勾股定理求的長，即可求解．【詳解】解：（1），理由如下：∵∴，即在和中∴∴（2）如圖，設(shè)AC與BD相交于點O，EC與BD相交于點F，∵，，∴∵∴在和中，，∴∴與相交所得的銳角為，故答案為：．（3）如圖2，在的外部，以A為直角頂點作等腰直角，使，AE=AB，連接EA、EB、EC∵∴，∴，即在和中∴∴∵，∴，∴又∵∴∴，∴．故答案為：．【點睛】本題是考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強，證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B、C的坐標分別為（0，0）、（6，0），A是第一象限內(nèi)的一點，且△ABC是等邊三角形．點D的坐標為（2，0），E是邊AB上一動點，連接DE，以DE為邊在DE右側(cè)作等邊△DEF．(1)求出A點坐標；(2)當點F落在邊AC上時，△CDF與△BED全等嗎？若全等，請給予證明；若不全等，請說明理由；(3)連接CF，當△CDF是等腰三角形時，直接寫出BE的長度．【答案】(1)（3，）；(2)全等，見解析；(3)5-或3或1+【分析】（1）過點A作AH⊥BC于H，根據(jù)三線合一求出BH，再利用勾股定理求出AH，即可得到點A坐標；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出∠ABC=∠ACB=∠DEF=60°，DE=DF，由此得到∠CDF=∠BED，即可證得△CDF≌△BED（AAS）；（3）利用三角形外角性質(zhì)證出∠FDC=∠BED，分三種情況：當CD=CF=6-2=4時，過點F作FM⊥CD于M，過點D作DN⊥AB于N，證明△NDE≌△MFD（AAS），得到FM=DN，DM=NE，根據(jù)∠BDN=30°，求出BN，利用勾股定理求出DN，CM，即可得到BE；當DF=CF時，過點F作FH⊥CD于H，過點D作DG⊥AB于G，證明△DGE≌△FHD（AAS），得到DH=GE==2，求出BG=，即可得到BE；當CD=DE=4時，過點D作DN⊥AB于N，勾股定理求出DN及NE，即可得到BE．【詳解】（1）解：過點A作AH⊥BC于H，則∠AHB=90°，∵點B、C的坐標分別為（0，0）、（6，0），∴BC=6，∵△ABC是等邊三角形．∴AB=BC=6，∵AH⊥BC，∴BH=HC=3，∴，∴A點坐標為（3，）；（2）解：全等；∵△ABC、△DEF都是等邊三角形．∴∠ABC=∠ACB=∠DEF=60°，DE=DF，∴∠CDF+∠BDE=∠BDE+∠BED=120°，∴∠CDF=∠BED，∴△CDF≌△BED（AAS）；（3）解：∵∠CDE=∠EBD+∠BED，∠ABC=∠DEF=60°，∴∠FDC=∠BED，當CD=CF=6-2=4時，過點F作FM⊥CD于M，過點D作DN⊥AB于N，∴∠DNE=∠FMD=90°，又∵DE=DF，∴△NDE≌△MFD（AAS），∴FM=DN，DM=NE，∵∠ABC=60°，∠BND=90°，∴∠BDN=30°，∴BN=，∴，∴，∴NE=DM=，∴BE=BN+NE=1+=5-；當DF=CF時，過點F作FH⊥CD于H，過點D作DG⊥AB于G，∴∠DGE=∠FHD=90°，又∵DE=DF，∠FDC=∠BED，∴△DGE≌△FHD（AAS），∴DH=GE==2，∵∠ABC=60°，∠BND=90°，∴∠BDN=30°，∴BG=，∴BE=BG+GE=1+2=3；當CD=DE=4時，過點D作DN⊥AB于N，∵∠ABC=60°，∠BND=90°，∴∠BDN=30°，∴BN=，∴，∴，∴BE=BN+NE=1+；綜上，BE的長度為5-或3或1+．【點睛】從考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記各知識點是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）圖形的翻折就是將一個圖形沿著一條軸折疊的運動。翻折有如下性質(zhì)：(1)、把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形；(2)、關(guān)于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分【課堂提問】何老師在課堂中提出這樣的問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【互動生成】經(jīng)小組合作交流后，各小組派代表發(fā)言．（1）小華代表第3小組發(fā)言：AB＝2BC．請你補全小華的證明過程．證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°+90°＝180°，即：點B、C、D共線．（請在下面補全小華的證明過程）（2）受到第3小組“翻折”的啟發(fā)，小明代表第2小組發(fā)言：如圖2，在△ABC中，如果把條件“∠ACB＝90°”改為“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不變，若BC＝2，求AB的長．【能力遷移】我們發(fā)現(xiàn)，翻折可以探索圖形性質(zhì)，請利用翻折解決下面問題．如圖3，點D是△ABC內(nèi)一點，AD＝AC=，BD=8,∠BAD＝∠CAD＝30°，∠ADB＝135°，求BC的值【答案】（1）見解析；（2）AB＝；能力遷移：【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)和等邊三角形的判定：是等邊三角形，可得結(jié)論；（2）如圖2，同理把沿著翻折，得到，證明是等邊三角形，根據(jù)勾股定理得：的長，可得的長；能力遷移：把將沿著AC翻折，得到，連接，得出為等邊三角形，過點作交于點，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：（1）AB＝2BC，補全小華的證明過程．證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，即：點B、C、D共線，由翻折得：AD＝AB，∠CAD＝∠CAB＝30°，BC＝CD，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD＝2BC；（2）如圖2，把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC．由翻折得：AD＝AB，∠CAD＝∠CAB＝30°，BC＝CD＝1，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD，∵∠ACB＝∠ACD＝135°，∴∠BCD＝90°，∴BD＝＝＝，∴AB＝BD＝；能力遷移：把將沿著AC翻折，得到，連接，∵∠BAD＝∠CAD＝30°，∴共線，由翻折得：，，，∴為等邊三角形，∵，∴，∴，∴，∴，過點作交于點，∴，∴，∵AD＝AC=，∴，∴．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)，將原圖形進行折疊構(gòu)造出等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四邊形AECD＝，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，它們滿足的關(guān)系式為，化簡后，可得到勾股定理．【知識運用】如圖2，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距200米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD＝80米，BC＝70米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個抽水點P，使得抽水點P到兩個菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為米．【知識遷移】借助上面的思考過程，請直接寫出當0＜x＜15時，代數(shù)式的最小值＝．【答案】（小試牛刀），，，；（知識運用）米；（知識遷移）【分析】（小試牛刀）根據(jù)梯形、三角形的面積公式求解即可，四邊形面積為和的面積和，求解即可；（知識運用）作點關(guān)于的對稱點，連接，則，由三角形三邊關(guān)系可得當三點共線時，距離最?。唬ㄖR遷移）如下圖，，，、，點為線段上一點，則，由上可得當三點共線時，距離最?。驹斀狻拷猓海ㄐ≡嚺５叮┯蓤D形可得化簡可得故答案為：，，，；（知識運用）作點關(guān)于的對稱點，連接，如下圖：由題意可得：，則的最小值，即為的最小值由三角形三邊關(guān)系可得：，當三點共線時∴的最小值為，米故答案為米；（知識遷移）如下圖，，，、，點為線段上一點，則，由上可得當三點共線時，距離最小，最小為，故答案為【點睛】此題考查了勾股定理的證明以及勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的應用．16．（2020·浙江紹興·模擬預測）問題理解：如圖1，在銳角中，分別以，為邊向外作等邊和等邊，連結(jié)，，通過證明和全等，可得．（不必證明）問題探究：（1）如圖2，在銳角中，分別以為邊向外作等腰和等腰，使，，，連結(jié)，試猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．問題拓展：（2）如圖3，在中，，，，求的長；（3）如圖4，在（2）的條件下，當在線段的左側(cè)時，請直接寫出的長．【答案】（1）BD=CE，理由見解析；（2）；（3）-2【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在線段AC的右側(cè)過點A作AE⊥AB于點A，交BC的延長線于點E，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，即可求解．【詳解】解：（1）∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD=CE．（2）如圖，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC．∵∠ACD=∠ADC=45°，∴AC=AD，∠CAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE．∵AE=AB=7，∴BE==，∠ABE=∠AEB=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，∴EC==，∴BD=CE=；（3）如圖，在線段AC的右側(cè)過點A作AE⊥AB于點A，交BC的延長線于點E，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，又∵∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45°，∴AE=AB=5，BE=，又∵∠ACD=∠ADC=45°，∴∠BAE=∠DAC=90°，∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE，∵BC=2，∴BD=CE=-2（cm）．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．17．（2020秋·河北衡水·八年級?？计谥校┍堕L中線的思想在丁倍長某條線段（被延長的線段要滿足兩個條件：線段一個端點是圖中一條線段的中點；線段與這條線段不共線)，然后進行連接，構(gòu)造三角形全等，再進一步將某些線段進行等量代換，再證明全等或其他的結(jié)論，從而解決問題．【應用舉例】如圖（1），已知：為的中線，求證：．簡證：如圖（2），延長到，使得，連接，易證，得，在中，，．【問題解決】（1）如圖（3），在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于，求證：．（2）如圖（4），在中，是邊的中點，分別在邊上，，若，求的長．（3）如圖（5），是的中線，，且，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系_及位置關(guān)系_．【答案】；（1）詳見解析；（2）5；（3），【分析】【應用舉例】由全等的性質(zhì)可得AB=EC，由三角形三邊關(guān)系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案為EC，AE；【問題解決】（1）由題意不難得到所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC，∴有AF=EF；（2）延長ED到G，使DG=ED，連結(jié)CG、FG，不難得到EF=FG，另同（1）有△BDE≌△CDG，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的長；（3）由全等三角形的性質(zhì)可以得到解答．【詳解】【應用舉例】【問題解決】如圖延長到，使得連接易證得，．如圖，延長到，使得連接易證得，垂直平分即在中，，，理由如下：如圖3，延長AD到G，使AD=DG，延長DA交EF于P，連結(jié)BG，則不難得到△BGD≌△CAD，∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠BAC=∠EAF，∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD．【點睛】本題考查全等三角形的綜合運用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀：等邊三角形具有豐富的性質(zhì)，我們常?？梢越柚冗吶切魏腿冉鉀Q問題．如圖1，B、C、D三點在同一條直線上，等邊三角形ABC和等邊三角形ECD具有共同的頂點C，我們?nèi)菀鬃C明△BCE≌△ACD，從而得到BE=；理解：如圖2，已知點D在等邊三角形ABC內(nèi)，AD=5，BD=4，CD=3，以CD為邊在它的下方作等邊三角形CDE，求∠BDC的度數(shù)；應用：如圖3，在△ABC中，AC=10，BC=12，點D在△ABC外，位于BC下方，△ABD為等邊三角形，當∠ACD=30°時，．【答案】閱讀：AD；理解：150°；應用：44【分析】閱讀：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS證明△BCE≌△ACD，即可得出結(jié)論；理解：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS證明△BCE≌△ACD，得出BE＝AD＝5，進而可得出BD2+DE2＝BE2，由勾股定理的逆定理可得∠BDE＝90°，進一步即可求出答案；應用：以CD為邊在△ABC的下方作等邊△CDE，如圖3，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS可證△ADE≌△BDC，從而可得AE＝BC＝12，易求得∠ACE＝90°，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】解：閱讀：如圖1，∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，故答案為：AD；理解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△BCE和△ACD中，∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD＝5，∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，∴BD2+DE2＝BE2，∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；應用：以CD為邊在△ABC的下方作等邊△CDE，連接AE，如圖3所示：則∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，∵△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝BD，∴∠ADE＝∠BDC，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴AE＝BC＝12，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．故答案為：44．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理等知識；正確添加輔助線、熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋·吉林長春·九年級?？计谀靖兄咳鐖D①，在正方形的內(nèi)部，作，且點、、、分別在、、、上，根據(jù)三角形全等的判定方法，易證：．（不需證明）【類比】如圖②，在等邊三角形的內(nèi)部，作，、、兩兩相交于、、三點．（1）求證：．（2）判斷：的形狀為___________．【拓展】在圖②中，若，，則的長為__________．【答案】【類比】（1）見解析；（2）等邊三角形；【拓展】【分析】（1）由正三角形的性質(zhì)得出∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，證出∠ABF＝∠BCE，由ASA證明△ABF≌△BCE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠AFB＝∠BEC＝∠CDA，證出∠FDE＝∠FED＝∠EFD，即可得出結(jié)論；（3）作BG⊥AF于G，，由正三角形的性質(zhì)得出∠AFB＝60°，在Rt△ADG中，求出FG和BG，在Rt△ABG中，求出AG，即可求出AF，進而得到DF的值．【詳解】類比：（1）證明：∵為正三角形，∴，．又，∴．∴（2）△DEF是等邊三角形．理由如下：∵△ABF≌△BCE≌△CAD，∴∠AFB＝∠BEC＝∠CDA，∴∠FDE＝∠FED＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；拓展：作BG⊥AF于G，如圖所示：∵△DEF是正三角形，∴∠AFB＝60°，在Rt△ADG中，BF=2，F(xiàn)G＝BF=1，BG＝，在Rt△ABG中，AG＝，∴AF=AG-FG=-1，∴DF=AD-AF=BF-AF=3-．故答案為：3-【點睛】本題是綜合題目，考查了正三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握正三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．20．（2022秋·全國·八年級期中）如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）（1）用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2＝c2；（2）用這樣的兩個三角形構(gòu)造圖3的圖形，你能利用這個圖形證明出題（1）的結(jié)論嗎？如果能，請寫出證明過程；（3）當a＝3，b＝4時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點C為線段OA上一點，將△ABC沿著直線BC翻折，點A恰好落在x軸上的D處．①請寫出C、D兩點的坐標；②若△CMD為等腰三角形，點M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標．【答案】（1）見解析；（2）能，見解析；（3）①C、D兩點的坐標為C（0，），D（2，0）；②符合條件的所有點M的坐標為：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0）【分析】（1）根據(jù)梯形的面積的兩種表示方法即可證明；（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積的兩種表示方法即可證明；（3）①根據(jù)翻折的性質(zhì)和勾股定理即可求解；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分四種情況求解即可．【詳解】解：（1）∵S梯形ABCD=S梯形ABCD=．（2）連接，如圖：S四邊形ABCD=，S四邊形ABCD=，，．（3）①設(shè)，則，又，根據(jù)翻折可知：，，．在中，根據(jù)勾股定理，得，解得．，．答：、兩點的坐標為，．②如圖：當點在軸正半軸上時，，設(shè)，則，解得，，，；，，，，；當點在軸負半軸上時，，，；，，，，．∴符合條件的所有點的坐標為：，、，、、，．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，是三角形的綜合題，解決本題的關(guān)鍵是分情況討論思想的運用．21．（2021秋·浙江·八年級期末）如圖，點A是射線OE：y＝x（x≥0）上的一個動點，過點A作x軸的垂線，垂足為B，過點B作OA的平行線交∠AOB的平分線于點C．（1）若OA＝5，求點B的坐標；（2）如圖2，過點C作CG⊥AB于點G，CH⊥OE于點H，求證：CG＝CH．（3）①若點A的坐標為（2，2），射線OC與AB交于點D，在射線BC上是否存在一點P使得△ACP與△BDC全等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．②在（3）①的條件下，在平面內(nèi)另有三點P1（，），P2（2，2），P3（2+，2﹣），請你判斷也滿足△ACP與△BDC全等的點是．（寫出你認為正確的點）【答案】（1）（5，0）；（2）見解析；（3）①P（4，2），②滿足△ACP與△BDC全等的點是P1、P2，P3．理由見解析【分析】（1）由題意可以假設(shè)A（a，a）（a＞0），根據(jù)AB2+OB2=OA2，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）由角平分線的性質(zhì)定理證明CH=CF，CG=CF即可解決問題；（3）①如圖3中，在BC的延長線上取點P，使得CP=DB，連接AP．只要證明△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解決問題；②根據(jù)SAS即可判斷滿足△ACP與△BDC全等的點是P1、P2，P3；【詳解】解：（1）∵點A在射線y＝x（x≥0）上，故可以假設(shè)A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x軸，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（5）2，解得a＝5，∴點B坐標為（5，0）．（2）如圖2中，作CF⊥x軸于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如圖3中，在BC的延長線上取點P，使得CP＝DB，連接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠DAE＝（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②滿足△ACP與△BDC全等的點是P1、P2，P3．理由：如圖4中，由題意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根據(jù)SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根據(jù)SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根據(jù)SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案為P1、P2，P3．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．22．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖1，長方形ABCD中，AB＝5，AD＝12，E為AD邊上一點，DE＝4，動點P從點B出發(fā)，沿B→C→D以2個單位/s作勻速運動，設(shè)運動時間為t．⑴當t為s時，△ABP與△CDE全等；⑵如圖2，EF為△AEP的高，當點P在BC邊上運動時，EF的最小值是；⑶當點P在EC的垂直平分線上時，求出t的值．【答案】（1）2；（2）；（3）t的值為或.【分析】（1）由△ABP與△CDE全等可得，通過時間=路程速度可以得出；（2）當P點運動到C點時，EF最小，據(jù)此利用面積法求解；（3）分兩種情況討論：當點P在BC上時或當點P在CD上時，分別利用勾股定理求解即可.【詳解】解：⑴當△ABP與△CDE全等時，∴，⑵如圖示，依題意得：當P點運動到C點時，EF最小，∵AB＝5，AD＝12，∴由