安徽中科大附中2024年高一年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

中科大附中2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)月考

數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：120分鐘卷面滿分150分

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)Q，3）表示復(fù)數(shù)z,則W的虛部是（）

A.3B.3iC.-3D.-3i

2.已知點(diǎn)A。,3）,8（4,-1）,則與通同方向的單位向量為

L2

3.4ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知。=君，c=2,cosA=-,則b=

3

A.V2B.V3C.2D.3

4.已知Q=g施，用厲，礪表示而，則而等于（）

A.-OA--OBB.-OA+-OB

3344

C.--OA+-OBD.--OA--OB

3333

5.在口43。中，AB=（cos21°,sin21°）,AC=（2sin39°,2cos39°）,則口ABC的面積為（）

A.1B.1C.火D.V3

22

n—h

6.在口ABC中，若cosA-cosB+J」=0,則DABC的形狀是（）

c

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

7.點(diǎn)尸是銳角口ABC內(nèi)一點(diǎn)，且存在/leR,使而="礪+衣），則下列條件中，不能判斷出口48。為

等腰三角形的是（）

A.點(diǎn)尸是043。的垂心B.點(diǎn)尸是DABC的重心

C.點(diǎn)尸是048。的外心D.點(diǎn)P是口ABC的內(nèi)心

8.設(shè)。為兩個(gè)非零向量a，B的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)/,|a+仍|是最小值為1,則（

A.若6確定，則|）|唯一確定B.若6確定，貝日加唯一確定

C.若|）|確定，則。唯一確定D.若|時(shí)確定，則。唯一確定

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下面四個(gè)命題中的真命題為（）

A.若復(fù)數(shù)zeR,則彳eRB.復(fù)數(shù)zeR的充要條件條件是z=1

C.對(duì)任意復(fù)數(shù)z,?都有二^=1+7D.若復(fù)數(shù)z=a+i（aeR）,且|z|=JL貝U

a=1

io.如圖所示設(shè)ox,Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，。1分別是與匕丁軸正方向同向的單

位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為6反射坐標(biāo)系，若兩=+則把有序數(shù)對(duì)（x,y）叫做向量的

的反射坐標(biāo)，記為由=（x,y）.在。=莖的反射坐標(biāo)系中，3=（L2）J=（2,-1）.則下列結(jié)論中，正

確的是（）

A.a-/?=(-1,3)B.|tz|=Vs

c.albD.G在B上的投影向量為一封Zg

14

TT

11.在DABC中，a=2,A=~,則下列結(jié)論正確的是（）

6

A.若b=3,貝?。菘贏BC有兩解B.DABC周長(zhǎng)有最大值6

C.若口48。是鈍角三角形，則邊上的高的范圍為（0,23）D.口48。面積有最大值2+百

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a=（x』）,B=（―1,2）,且歸+2,=卜—2,，則％=.

13.如圖,OM〃AB,點(diǎn)尸在由射線OM線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且

OP^xOA+yOB,則x的取值范圍是—；當(dāng)x=—/時(shí)，＞的取值范圍是—.

〃+u

14.在DABC中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,4c,角B為銳角，M8sinAsinC=sin2B＞則---的

b

取值范圍為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量西、電、西分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4、Z］、Z3,且％=/+（2—a）i,

z2=-l+（3-2t?）i,z3=2-mi（a,meR）.已知4+z2是純虛數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）若Z1,Z2，Z3三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)冽的值.

16.已知向量a,B滿足同=1,忖=2,悔_同=26.

（1）求向量3］的夾角；

（2）求向量3%+B與￡的夾角的余弦值.

17.在AABC中，內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為a,4c.已知儂"-2cosc=生心

cosBb

?sinC…

（1）求-----的值

sinA

（2）若COS5=L/?=2,求AABC的面積.

4

18.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑，一種是從A沿直線步行到C,另一種是

先從A沿索道乘纜車到8,然后從8沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步

行，速度為50m/min.在甲出發(fā)4min后，乙從A乘纜車到B,在8處停留Imin后，再?gòu)?勻速步行到

123

C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,索道AB長(zhǎng)為2080m,經(jīng)測(cè)量cosA=—，cosC=-.

135

（1）求AC的長(zhǎng)；

（2）問(wèn)：乙從A出發(fā)多少min后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)5min,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

19.在DABC中，內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別是。，仇c,且sinC+V^cosCuq，b=V3-

(1)求角8;

(2)若a+c=2,求邊AC上的角平分線3。長(zhǎng)；

(3)若口ABC為銳角三角形，求邊AC上的中線8E的取值范圍.

中科大附中2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)月考

數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：120分鐘卷面滿分150分

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)Q，3）表示復(fù)數(shù)z,則W的虛部是（）

A.3B.3iC.-3D.-3i

【答案】C

【解析】

【分析】先得到z=2+3i,則％=2—3i，再求出其虛部即可.

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義得z=2+3i,從而』=2-3i，其虛部為-3.

故選：C

2.已知點(diǎn)A（l,3）,8（4,-1）,則與AB同方向的單位向量為

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：而=（4-1,-1-3）=（3,-4），所以與荏同方向的單位向量為

-一荏_1/-34

,=倒=斜3'—4）=（丁—?，故選A.

考點(diǎn)：向量運(yùn)算及相關(guān)概念.

L2

3.4ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知迅，c=2,cosA=-,則b=

3

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】D

【解析】

【詳解】由余弦定理得、一〃?42K/>X2；「，

3

解得6=3(b=-j舍去)，故選D.

【考點(diǎn)】余弦定理

【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一，根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程，再通過(guò)解方程求

b.運(yùn)算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因，請(qǐng)考生切記！

—?4—?__??

4,已知AP=§AB,用。4,03表示而，則而等于()

A.那一舞B.-OA+-OB

44

D.--0A--0B

33

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量減法，將而，通用0尸，04,08表示，然后整理可得.

—4—

【詳解】因?yàn)?

所以而—麗=g(礪—礪)，整理得而=_；而+：礪.

故選：C

5.在nABC中，AB=(cos21°,sin21°),AC=(2sin39°,2cos39°),則HABC的面積為()

A.1B.1C.也D.V3

22

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的坐標(biāo)求出|通i，wq,而，恁，然后由三角形面積公式可得.

【詳解】因?yàn)檐?(cos2io,sin21。)，AC=(2sin39°,2cos39°),

所以|而|=Vcos221o+sin221°=1,|AC|=V4sin2390+4cos239°=2,

cosAB,AC=2cos21=390+2sin2108s39。=sin60°=

1x22

又通,無(wú)亍€［0,可，所以Z及箍=四，

6

1兀］

所以鼠甌=7,lx2sinz=7.

2OZ

故選：A

n—h

6.在口ABC中，若cosA-cosB+——=0,則口48。的形狀是（）

c

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

?Z,2_22：h2—r2

［分析］利用余弦定理將cosA-cosB+?=0化簡(jiǎn)為if—￡__r=n_J,從而可求解.

cab

【詳解】由cosA-cos8+"<3--=0,得a-ccosB=0—ccosA,

c

222221122222

r+An+士工E/旦tz+C-b,b+c-a,,a+b-ca+b-c

由1余弦定理得a-cx---------------=b-cx-----------,化徇得-----------=-----------,

lac2bcab

當(dāng)/+/—02=0時(shí)，即/+尸”？，則口48。為直角三角形；

當(dāng)/+廿一02/。時(shí)，得口二萬(wàn)，則DABC為等腰三角形；

綜上：DABC為等腰或直角三角形，故D正確.

故選：D.

7.點(diǎn)尸是銳角口ABC內(nèi)一點(diǎn)，且存在/leR,使而=2（而+/），則下列條件中，不能判斷出048。為

等腰三角形的是（）

A.點(diǎn)P是口ABC的垂心B.點(diǎn)尸是048。的重心

C.點(diǎn)尸是O48C的外心D.點(diǎn)P是DABC的內(nèi)心

【答案】B

【解析】

【分析】由已知判斷點(diǎn)P在直線AD上，結(jié)合垂心、重心、外心、內(nèi)心的定義逐一判斷即可.

【詳解】記的中點(diǎn)為。，則酢=4（而+恁）=24而，

所以，點(diǎn)P在直線上.

A選項(xiàng)：若點(diǎn)尸是口ABC的垂心，則

所以AB=AC,所以口48。為等腰三角形，A正確；

B選項(xiàng)：若點(diǎn)尸是DABC的重心，則點(diǎn)尸在邊的中線上，無(wú)法推出ADIBC,B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)：若點(diǎn)P是DABC的外心，則點(diǎn)P在邊的中垂線上，

所以1BC,所以口48。為等腰三角形，C正確；

D選項(xiàng)：若點(diǎn)尸是口48。的內(nèi)心，則為/B4c的角平分線，

所以N84￡>=NC4￡>,

又AP=AP,BD=CD,所以口AD3與△ADC全等，

故A8=AC,D正確.

故選：BB廠

8.設(shè)。為兩個(gè)非零向量Z，B的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)/,|2+7|是最小值為1,則（）

A.若。確定，則|）|唯一確定B.若6確定，則唯一確定

C.若|必確定，則。唯一確定D.若|引確定，則。唯一確定

【答案】A

【解析】

【分析】畫圖，利用點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離大小關(guān)系，以及向量的加減法性質(zhì)判定即可.

【詳解】如圖，記而<、AB=b>AH=tb>則麗=5+石，

則當(dāng)3_1_（。+區(qū)）時(shí)，|。+正?取得最小值1,

若6確定,則|Z|唯一，出|不確定,

若|a|確定，6可能有兩解（圖中％?；?A=N），

若確定，則Z不確定，從而6也不確定.

II

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下面四個(gè)命題中的真命題為()

A.若復(fù)數(shù)zeR,則彳eRB.復(fù)數(shù)zeR的充要條件條件是z=3

C.對(duì)任意復(fù)數(shù)z,w都有)D.若復(fù)數(shù)z=a+i(aeR),且|z|=JL貝i］

a=1

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)共甄復(fù)數(shù)的概念判斷AC,根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)及共甄復(fù)數(shù)的概念判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算判斷

D.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)z=o+歷(a,beR),若復(fù)數(shù)zeR,即匕=0,則彳=zeR,正確；

對(duì)于B,設(shè)z=。+歷eR),若2=z=o+0i=。一歷=Z?=0，

所以，復(fù)數(shù)zeR的充要條件是z=7正確；

對(duì)于C,設(shè)2=。+歷(a,〃eR),w=c+di(^c,deR),則z+w=(a+c)+(0+d)i,

所以z+w=(a+c)-(b+d)i,而Z+刃=(a—?dú)v)+(c-di)=(a+c)—(匕+d)i,

即有z+vv=z+w,正確；

對(duì)于D,若復(fù)數(shù)z=a+i(aeR),且|z|=J^,所以，合十儼=夜,解得。=±1,錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.如圖所示設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成。［。力1］角的兩條數(shù)軸，qI分別是與x，y軸正方向同向的單

位向量，則稱平面坐標(biāo)系X0V為6反射坐標(biāo)系，若麗=+則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量?jī)?/p>

的反射坐標(biāo)，記為兩=(%>).在。=T的反射坐標(biāo)系中，a=(L2)J=(2,-l).則下列結(jié)論中，正

確的是()

B.|a|=V5

C.aJ-bD.G在B上的投影向量為---b

14

【答案】AD

【解析】

【分析】向量差的坐標(biāo)運(yùn)算判斷選項(xiàng)A；利用向量的模公式計(jì)算判斷選項(xiàng)B；用向量的數(shù)量積公式判斷選項(xiàng)

C；利用N在B上的投影向量公式判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,。=（1,2）石=（2,—1）*一3=（—1,3）,故人正確；

對(duì)于B,同=J（1+2.）2=j5+4cosg=百，故B錯(cuò)誤；

~?—?—?—?—?—?2—?—?—?2

對(duì)于C,a,b=（G+2q）（2弓—4）=2,+3弓e?~2e?=一］，故C錯(cuò)誤；

____________________3

對(duì)于D,同=1（24—療=5-4cos”=正，彳在行上的投影向量為紅3=，3=_次小

11V3忖甘14

故D正確；

故選：AD.

7T

11.在048。中，a=2,A=~,則下列結(jié)論正確的是（）

6

A.若b=3,貝nABC有兩解B.048。周長(zhǎng)有最大值6

C.若DABC是鈍角三角形，則邊上的高的范圍為（0,2百）D.口48。面積有最大值2+百

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)6sinA<a<0得到結(jié)論；B選項(xiàng)，由余弦定理和基本不等式求出周長(zhǎng)的最大值；C

選項(xiàng)，求出三角形的外接圓半徑，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得A在也或以后上，邊上的高AD的范圍為

（0,273）；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出面積最大值.

兀3

【詳解】A選項(xiàng)，bsinA=3sin—=一,故〃sinA<〃<b,故DABC有兩解，A正確;

62

B選項(xiàng)，由余弦定理得/+（?一/=20CCOSA，

即(Z?+c)2-2bc-4=2bccos—,化簡(jiǎn)得(0+c『一4=(2+百“c,

6

由基本不等式得匕cW（0+c）

故9+c『-4V

4

當(dāng)且僅當(dāng)匕=6?時(shí)，等號(hào)成立，

解得b+cW2#+2&,故□ABC的周長(zhǎng)最大值為2指+2&+2，B錯(cuò)誤；

a2.

---------------4

C選項(xiàng)，由正弦定理得sinA.71，故口人8。的外接圓半徑為2,

sin——

6

7T

如圖所示，將口48。放入半徑為2的圓中，其中BC=DE=2,ZBDC=-,

6

故BE=CD=26，

□ABC是鈍角三角形，故A在心或以后上，

故邊上的高AD的范圍為(0,26)，C正確；

D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，當(dāng)A落在BE的中點(diǎn)時(shí)，口48。邊上的高4口最大，

其中OE=O3sinN=G,

3

此時(shí)高A'E為2+百，面積最大值為g5C-AE=2+G,D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范

圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，

通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a==(―1,2),且歸+2.=口—2.，則％=.

【答案】2

【解析】

【分析】由歸+2同=忖-2司可得力=0,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】由|，+2同=忖—2司兩邊同時(shí)平方可得：忖+242=忖—2年，

所以示+41.3+4店=示一41Z+4廬，整理得=B=0,

而5-B=XX(-1)+1X2=0,解得：x=2,

故答案為：2.

13.如圖,0M〃A8,點(diǎn)P在由射線0M線段。8及A3的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，且

OP^xOA+yOB,則x的取值范圍是一；當(dāng)x=—萬(wàn)時(shí)，y的取值范圍是—.

【解析】

【分析】由向量加法的平行四邊形法則，0P為平行四邊形的對(duì)角線，該四邊形應(yīng)是以。瓦。4的反向延

長(zhǎng)線為相鄰兩邊，得到x的取值范圍，當(dāng)工=-工時(shí)，要使點(diǎn)尸落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)尸應(yīng)落在DE上，

2

得到了的取值范圍.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)尸在射線,線段。8及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)

動(dòng)，且而=》而+丁而，由向量加法的平行四邊形法則，0。為平行四邊形的對(duì)角線，該四邊形應(yīng)是以

。瓦。4的反向延長(zhǎng)線為相鄰兩邊,

故x的取值范圍是(-8,0);

113

當(dāng)天=——時(shí)，要使點(diǎn)尸落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)尸應(yīng)落在DE上，CD=-OB,CE=-OB,

222

故y的取值范圍是:

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四邊形法則，屬基礎(chǔ)題.

〃+C

14.在口ABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為。，仇c,角8為銳角，且85布4$畝。=5：11128，則的

b

取值范圍為.

I答案】若號(hào)

【解析】

Q+C

【詳解】設(shè)一-一則a+c=tb,由8sinAsinC=siYB,得8ac=Z?2,.

b

a2+c2-b2（a+c）2-2ac-b2-b"

由余弦定理得cosB=---------=——.........=------把-------=4廣一5,由角8為銳角得

2acLac1從

4

0<cosB<l,所以o<4〃—5<1，所以好〈/<逅，即好<q±g<4t.

222b2

4g聲?[A/55/6

故答案為

22

\7

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量西、至、西分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4、Z]、z3,且％=/+（2—o）i,

?2=—1+（3—2a）i,z3=2-mi（a,meR）.已知馬+z2是純虛數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）若ZI,Z2，Z3三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)冽的值.

【答案】（1）a=-\

（2）m=-2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)）+Z2是純虛數(shù)，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)、純虛數(shù)的定義求解即可；

（2）根據(jù)ZZ2//Z1Z3求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得Z]+z,=。~—1+(1—a)i,

一a2—1=0

由于復(fù)數(shù)Z+Z2是純虛數(shù)，貝I*a。。，解得。=-1；

【小問(wèn)2詳解】

由⑴可得馬=1+31,z2=-l+5i,則點(diǎn)Z](l,3),Zz(T,5),點(diǎn)Z3。,—m)

所以，范=(—2,2),拓=—3)

因Zj,Z2，Z3三點(diǎn)共線，所以范//拓，所以(―2)x(—3)=lx2,

所以〃?=-2

16.已知向量癡滿足同=1,忖=2,忸—同=2月.

(D求向量Z]的夾角；

(2)求向量33+B與Z的夾角的余弦值.

【答案】(1)—

3

【解析】

【分析】(1)將|2G-q=23兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案；

(2)求出向量33+B與Z的數(shù)量積，求得3Z+B的模，根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由忸一同=2百，得|2方-42=12,即4方2一4展B+廬=12,

一_-1

故4-4xlx2cos〈2Z?〉+4=12,則cos〈G,b)=,

一一一，一；*、271

而〈。,力6[0,兀],所以〈扇6〉=7；

【小問(wèn)2詳解】

—**—*2—*-*2兀

(3。+6).。=3。+6/-Z?=3+lx2xcos—=3-1=2,

M+q=J(33+B)2=y/9a2+6a-b+b2=,9-6+4=V7,

由I、I八一￡一'（3。+分，22s

所以cos〈3〃+瓦〃〉=-―—―=—1==----.

|3〃+b||〃|V77

17.在AABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,4c.已知儂"-2cosc=生心

cos5b

（i）求絲c的值

sinA

（2）若COS5=LZ?=2,求AA_BC的面積.

4

【答案】（1）U￡=2（2）叵

sinA4

【解析】

【分析】（1）正弦定理得邊化角整理可得sin（A+B）=2sin（B+C）,化簡(jiǎn)即得答案.

（2）由（1）知￡=也叫=2,結(jié)合題意由余弦定理可解得a=1,sinB=叵,從而計(jì)算出面積.

asmA4

【詳解】（1）由正弦定理得a=2火sinA,/?=2Rsin瓦c=2RsinC,

cosA-cosC2c-a2sinC-sinA

所以

cosBbsinB

即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB

即有sin（A+JB）=2sin（5+C）,即sinC=2sinA

所以包￡=2

sinA

csinC

（2）由（1）知一=J^=2,即c=2a,

asinA

又因?yàn)?=2,所以由余弦定理得：

b2—c1+cT—2accosB>即2~=4a~+a~—2ax2a義工，解得a=l,

4

所以c=2,又因?yàn)镃OS3=L,所以sin3=415，

44

故AA8C的面積為工acsin5=Lxlx2x@l=m5.

2244

【點(diǎn)睛】正弦定理與余弦定理是高考的重要考點(diǎn)，本題主要考查由正余弦定理解三角形，屬于一般題.

18.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑，一種是從A沿直線步行到C,另一種是

先從A沿索道乘纜車到B,然后從8沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步

行，速度為50m/min.在甲出發(fā)4min后，乙從A乘纜車到8,在8處停留Imin后，再?gòu)?勻速步行到

123

C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,索道A3長(zhǎng)為2080m,經(jīng)測(cè)量cosA=—，cosC=-.

135

(1)求AC的長(zhǎng)；

(2)問(wèn)：乙從A出發(fā)多少min后，乙在纜車上與甲的距離最短？

(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)5min,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

【答案】⑴2520米

(/2_)、t-7-0m.in

37

“25025001

(3)(單位：m/imm)

4361

【解析】

【分析】(1)根據(jù)同角關(guān)系由余弦可求正弦值，進(jìn)而可由和差角公式求解sin8,然后在口ABC中，利用正

弦定理即可求解AC.(2)根據(jù)余弦定理表達(dá)出兩人之間的距離，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解.

(3)根據(jù)甲乙兩人行走的時(shí)間與路程之間的關(guān)系即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

123

在DABC中，因?yàn)閏osA=—，cosC=-

135

54

所以sinA=-，sinC=—

135

sa19An

sinB=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=——x—H----x—=——

13513565

—AB.八208063

由正弦定理黑=益AC=------xsinB=---x—=2520

sinC465

5

所以AC的長(zhǎng)為2520米.

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)乙出發(fā)miin后，甲、乙兩游客距離為,，此時(shí)，甲行走了(200+50%)m,乙距離A處130/m,

1Q

所以由余弦定理得d2=(200+50力2+(130?)2—2x130fx(200+50力x—=200(37r2-140r+200)

20Q0

由于0<f<——，即0WfW16,

130

70

故當(dāng)t==min時(shí)，甲、乙兩游客距離最短.

【小問(wèn)3詳解】

—抻BCAC

由正弦定理----=-----,

sinAsinB

B“C=--A--C--xsin-AA=—2—52—0x—5=1i00n0

；?sin36313

65

中泮2520

甲到達(dá)。共=50.4分鐘，乙開(kāi)始從B出發(fā)時(shí)，已經(jīng)用去16+4+1=21分鐘.

50

乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50x(16+4+1)=1050米，還有1470米到達(dá)C.

設(shè)乙步行的速度為vm/min,由題意得一5〈儂一段V5解得段＜v〈生油

v504361

12502500

所以為使兩位游客在/處互相等待的時(shí)間不超過(guò)5min,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:

~^3~，61

m/mim)范圍內(nèi).

19.在口ABC中，內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別是。，仇c,且sinC+J^cosC=a，b=V3"

(1)求角8

(2)若a+c=2,求邊AC上的角平分線長(zhǎng)；

(3)若DABC為銳角三角形，求邊AC上的中線B