2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編：立體幾何（解析版）（廣東專用）

專題09立體幾何

題型01幾何體表面積和體積

1.（2024下?廣東湛江?高三一模）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，中國瓷器的發(fā)明是中華民族對世界文明的偉

大貢獻(xiàn).下圖是明清時期的一件圓臺形青花纏枝紋大花盆，其上口直徑為20cm,下底直徑為18cm,

高為24cm,則其容積約為（）

A.1448兀cm3B.16687icm3C.216871cm3D.3252兀cm3

【答案】C

【解析】

【詳解】依題意可得該圓臺形大花盆的上底面面積為H=100兀cn?,

下底面面積為S?=81兀cn?,又高為力二24cm,

代入圓臺體積公式可得%=+$2+而區(qū)=216871cm3.

故選：C

2.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在各棱長都為2的正四棱錐％-48CD中，側(cè)棱以

在平面EBC上的射影長度為（）

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',巫B."C.V3D.2

33

【答案】B

【解析】

【詳解】把正四棱錐ABCD放入正四棱柱ABCD-44GA中,

則K是上底面的中心，取4片的中點E，G2的中點R

連接E尸，BE,CF,過/作/G_L8E,垂足為G,

在正四棱柱45cL>—44GA中，

BC1平面4BB4,ZGu平面4BB4,

所以5C_L/G,又BCCBE=B,BC,BEu平面EFCB,

所以ZGJ_平面EFCB,所以側(cè)棱VA在平面EBC上的射影為VG,

由已知得，AA、=G,EB=[/+[F]=6，

所以=；*2義正=；xe./G2V2

所以ZG=

所以〃G=J/—NG2

故選：B.

3.(2024下?廣東?省一模)分別以銳角三角形/5C的邊N3,BC,/C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到

的幾何體體積之比為6：指：2,則cos8=()

5735A/2

Nc3V|V6

1212'丁~12

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【答案】c

【解析】

【詳解】設(shè)43邊上的高為CD=X,以邊N8,BC,4C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積分

別為匕，匕，匕,

則工以.。85由。=128/,可得x=a.C'sinC

22AB

可得：匕=。.3+小2皿=皿6能0

333AB

nAB2-AC2-sin2AnAB2-BC2B

，匕=

3BC3AC

,7tC^2-C52-sin2C7L4B2-AC2-sin2A

由題意可得：-------------------:--------------------處』=8行.2

3AB3BC3AC

整理得/。=注/民3。=Jas,

22

所以詼5=坐上二貯=還

2AB-BC8

故選：C.

4.（2024下廣東廣州市一模）已知正四棱臺4BCD-的上,下底面邊長分別為1和2,且

AB］則該棱臺的體積為（）

n7行77

D.-------------C.一D.-

662

【答案】B

【解析】設(shè)上、下底面中心分別為。,。1，班1與">1交于點M">=應(yīng)出A=2近,

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MO=-BD=—,MOi=-B,D1=V2,/z=—,K=-（1+4+2）?—=,選B.

22121123、726

5.（2024下?廣東?梅州市一模）已知圓錐的頂點為S,。為底面圓心，母線1s4與SB互相垂直,

△S4B的面積為8,皮與圓錐底面所成的角為30。，則（）

A.圓錐的高為1B.圓錐的體積為24兀

C.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為哀況

3

D.二面角S—48—0的大小為45°

【答案】D

【解析】

【詳解】對于A選項，因為SO與底面垂直，為底面圓的一條半徑，則SOLCM,

所以，1s4與圓錐底面所成的角為NS4O=30°，

又因為所以，△S4B的面積為一￡4-S3=—X"2=8,解得”=4,

22

所以，該圓錐的高為SO=S4-sin30°=4x^=2,A錯;

2

對于B選項，該圓錐的底面半徑為Q4=S4-cos30°=4x3=26，

2

故該圓錐的體積為「=31兀*。42*5。=51兀、（2百）2x2=8兀，B錯；

對于C選項，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，，

底面圓周長為2兀x/O=，則，=4拒兀=，也"=6兀,C錯；

SA4

對于D選項，取48的中點E,連接?！?、SE,

因為￡4=S8,E為Z5的中點，則由垂徑定理可得OE，N8,

所以，二面角S—45—。的平面角為NSEO,

第4頁共54頁

因為SO_L平面。4￡,。￡<=平面/。8，則SOJ_O￡,

因為&4,SB,SA=SB,則△S4B為等腰直角三角形,

則N5=JS42+s§2=(42+42=4也，所以，SE=^AB=242,

2_V2

所以，sinZSEO=—

SE2行一2

因為0°VNSEOW90。，故NSEO=45°，所以，二面角S—48—。的大小為45°，D對.

故選：D.

6.（2024下?廣東?珠海模擬）（多選）對于棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略

不計），下列說法正確的是（）

A.底面半徑為1m,高為2m的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體

B.以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為注

2

C.該正方體內(nèi)能同時整體放入兩個底面半徑為0.5m,高為0.7m的圓錐

D.該正方體內(nèi)能整體放入一個體積為叵n?的圓錐

17

【解析】BCD.對于A,若高為2m的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面,

如圖，BC=C，因為△4BCS^4DE,所以生=工，所以DE=2也，圓錐底面圓半徑最

DE2

小為A錯誤；

對于B,如圖，以48,4D三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面&助，等價于求45

與平面48。所成角的正切值，因為右一4助=/T&D，所以點Z到平面48。的距離為日,正切

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41

三，B正確;

0.

4鳥

對于C,如圖，以矩形ABQQ的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5,分別以441,CG的中點E，

R為兩個圓錐的頂點，每個圓錐高的最大值為在〉0.7,C正確;

2

對于D,如圖，ZG的中點尸作垂線”乂，分別交4C，4G于點〃，N,則

PM=AP.tan/CiAC=g義與='，以正方體的體對角線ZC；作為圓錐的軸，0為圓錐頂

點，跖V為圓錐底面圓的直徑時，該圓錐的體積為

K（x）=|nxPM2xCP=

1—71,D正確.

17

事實上，以正方體的體對角線zq作為軸，q為頂點的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心尸在線

段幺尸上（不含尸點），設(shè)ZG=x,當(dāng)GI與MN（M為/C的四等分點）重合時，MP=NP,

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3、歷ZG

因此0<x<土，因為所以=AH=GH,則z笈=*x，

4ZC]ACCQ3

GH=-^-xC[H=M一^~x，圓錐體積廠(x)=4兀xGT/?xv?1--^-x

333913)

(0<x<￡l),X(x)="x(2—岳)〉0,所以憶(x)在。，手上單調(diào)遞增，體積的最大

49V

(3⑨V3V3

值為「工一=—7i>—7i,D正確.

7.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是一個正四棱臺43co-44GA，已知正四棱臺

的上、下底面的邊長分別為2和6,體積為竺迪，則側(cè)面積為

【答案】3273

【解析】

【詳解】設(shè)該正四棱臺的高、斜高分別為〃，h',

所以正四棱臺側(cè)面積為S=4義出生述=32百.

故答案為：32G.

8.（2024下?廣東?江門一模）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相

同的四面體得到的（如圖），則該幾何體共有個面；若被截正方體的棱長是60cm,那

么該幾何體的表面積是cm2.

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【答案】14②.10800+360073

【解析】

【詳解】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，

再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；

如果被截正方體的棱長是60cm,那么石凳的表面積是

5=8x1x30A/2x30V2xsin60°+6x30^x30^=（10800+36002）,

故答案為：14,10800+3600百

題型02球外接球和內(nèi)切球

1.（2024下?廣東?深圳市一模）已知某圓臺的上、下底面半徑分別為小々，且弓=2、若半徑為

2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為（）

28兀407r56兀112兀

A---B.---C.——D.----

,3333

【答案】C

【解析】

【詳解】如圖，

設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為則圓臺內(nèi)切球的球心。一定在的中點處，

設(shè)球。與母線4B切于M點，所以所以＜W=OO]=。。2=2，

所以AZOO]與全等，所以ZM=不同理8M=々，所以45=八+4=3勺，

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過/作ZGL8O2,垂足為G,則3G=々—7[=i，AG=Op,=A,

所以/G2=/B2一BG2,所以16=（3八『―片=的2,所以外=也，所以々=2近,

所以該圓臺的體積為;（2兀+8兀+4兀）x4=等.

故選：C

2.（2024下?廣東湛江?高三一模）（多選）在直三棱柱Z5C-44cl中，ABIBC,AB=2BB1=4,

BC=3,",N分別為Bq和CG的中點，尸為棱用C上的一點，且PCJ_PM,則下列選項中正

確的有（）

A.三棱柱44。存在內(nèi)切球

B.直線"N被三棱柱48C-44G的外接球截得的線段長為JR

C.點尸在棱片G上的位置唯一確定

D.四面體ZCW的外接球的表面積為26兀

【答案】ABD

【解析】

【詳解】對于A,取棱Z4中點。，連接MQ,NQ,

若三棱柱4BC-44cl存在內(nèi)切球，則三棱柱4BC-44cl內(nèi)切球球心即為△跖V。的內(nèi)切圓圓

心，

?.?△?V。的內(nèi)切圓半徑即為一5。的內(nèi)切圓半徑，又AB_LBC,AB=4,BC=3,

0xx4xa

.-.AC=5,:.AABC的內(nèi)切圓半徑y(tǒng)=2s:=2=］，

r~AB+BC+AC~4+3+5—

即△跖V。的內(nèi)切圓半徑為1,

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又平面4SC、平面48cl到平面兒WQ的距離均為1,

二.三棱柱45C-44G存在內(nèi)切球，內(nèi)切球半徑為1,A正確；

對于B,取ZC中點G,NQ中點。，MN中點、H,連接5G,0G,0〃,5C，05],

ABIBC,，G為AA8C的外接圓圓心，又OGIIAAJIBB、,8耳，平面Z5C,

0為三棱柱ABC-A^Q的外接球的球心；

?.?8月，平面/8。，ABu平面4BC,：.BBl上AB,

又ABLBC,BBQBC=B,88],8。匚平面5。。啰1，.:281平面5。。]81，

VOHHMQHAB,OHI平面BCCXBX,H為四邊形BCC^的外接圓圓心，

???四邊形BCCNi為矩形，

:?直線MN被三棱柱ABC-4耳G截得的線段長即為矩形BCCXBX的外接圓直徑，

■/B.C=^BC2+BB^=V9+4=岳，：.直線MN被三棱柱ABC-481G截得的線段長為岳，

B正確；

對于c,在平面中作出矩形5cq與，

設(shè)GP=M(0＜加＜3),則5/=3-加，

PC2=4+m2＞MP2=l+(3-m)2,MC2=32+12=10.

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又PCLPM,：,PC2+PM-=MC2）即4+掰2+1+（3—加）2=10,

解得：加=1或加=2,.?.0為棱用G的三等分點，不是唯一確定的，c錯誤；

對于D,取MC中點S,

?rPCLPM,.:S為△PCM的外接圓圓心，且55==加。=：）為+12=叵，

222

則四面體ACMP的外接球球心。在過S且垂直于平面PCM的直線上，

■二/臺,平面73。/,平面PCA/,

設(shè)05=。，四面體ZCW的外接球半徑為火'，

.-.7?,2=f—+/=（a]+（4—of,解得：a=2,R'2=—,

22v'2

\7\7

，四面體ACMP的外接球表面積為4兀氏”=26兀，D正確.

故選：ABD.

3.（2024下?廣東珠海?模擬）（多選）如圖，已知正三棱臺ABC-4/的的上、下底面邊長分別為2

和6,側(cè)棱長為4,點P在側(cè)面BCC/i內(nèi)運動（包含邊界），且AP與平面BCC/i所成角的正切值為

2加，點Q為CCi上一點，且&=3百，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.正三棱臺48。一4/1r的高為苧

B.點P的軌跡長度為舊兀

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C.高為包，底面圓的半徑為它的圓柱可以放在棱臺內(nèi)

36

D.過點4B,Q的平面截該棱臺內(nèi)最大的球所得的截面面積為多

【答案】ACD

【詳解】延長正三棱臺側(cè)棱相交于點。，由題意可知：0A=OB=0C,

在等腰梯形中，因為BC=6,8?=2,BBX=CC1=4,貝1kBiBC=NgCB=60。.

即AOBC為等邊三角形，可知三棱錐。—力BC為正四面體，且。當(dāng)=2.

對于選項A：設(shè)H為等邊AOBC的中心，

由正四面體的性質(zhì)可知：AH1側(cè)面。8C,且a”=,一偌J=2逐，

即。點到底面A8C的距離為2傷，

又因為。/=2,BBi=4,所以正三棱臺力BC—4出的的高為：義2遙=壁，故A正確;

對于選項B：因為力P與平面BCCiBi所成角的正切值為2vL

即tan/APH——==2a,解得HP=V3,

HPHP

且等邊AOBC的內(nèi)切圓半徑r=V3,

可知點P的軌跡為等邊AOBC的內(nèi)切圓，所以點P的軌跡長度為2舊11,故B錯誤；

對于選項C：因為正三棱臺力BC-4/1的的高量，且的內(nèi)切圓半徑為漁〉漁，

336

所以高為延，底面圓的半徑為它的圓柱可以放在棱臺內(nèi)，故C正確；

36

對于選項D：設(shè)正四面體。-Z8C的內(nèi)切球半徑r,

由等體積法可得：[SA4BCX2乃=4x]s”B「r，解得r=--

因為2r＜延，則該棱臺內(nèi)最大的球即為正四面體。-ABC的內(nèi)切球.

3

又因為我=3西\CCi=4,OC=6,

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則Q為。C的中點，過點4B,Q的平面正好過該內(nèi)切球的球心,

2

TT=—故D正確.

2

故選：ACD.

4.（2024下?廣東?深圳市一模）（多選）如圖，八面體。的每一個面都是邊長為4的正三角形,

且頂點B,C,D,E在同一個平面內(nèi).若點M在四邊形8CDE內(nèi)（包含邊界）運動，N為的中

點，貝I（）

TT

A.當(dāng)"為。E的中點時，異面直線跖V與C9所成角為］

B.當(dāng)人W〃平面/CD時，點M的軌跡長度為2a

C.當(dāng)時，點M到5C的距離可能為G

D.存在一個體積為”的圓柱體可整體放入。內(nèi)

3

【答案】ACD

【解析】

因為8CDE為正方形，連接BD馬CE,相交于點°,連接則O￡>,OE,兩兩垂直,

故以為正交基地,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

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D(20O,O)B(-2也,0,0)E(0,2A/2,0)C(0,-272,0)Z(0,0,20)F(0,0,-2A/2)

，，，，，

N為的中點，則N(0,亞,亞),

當(dāng)M為DE的中點時，,雨八-叵。，吟,赤=(0,2"-2班)，

cos"cos/麗CF\\--吞-l0+0-4l-1

\5/r麗唇|2

設(shè)異面直線"N與5所成角為夕，?II?

0e(O,-]0=-

2,故3,A正確；

設(shè)尸為DE的中點，N為/￡的中點，則PN〃N￡>,NDu平面/CD,尸N<Z平面4G0,

則PN〃平面/CD,又上W〃平面/CD,又MNcPN=N,設(shè)。

故平面MVP〃平面/CO,平面NC?n平面BCD￡=CO,

平面MVPD平面8cDE=P。，^,jPQ//CD,則。為的中點，

點河在四邊形8CDE內(nèi)(包含邊界)運動，則MePQ,

點M的軌跡是過點。與3平行的線段尸0,長度為4,B不正確；

當(dāng)阪時，設(shè)M(x/，0),MA=(-x,-y,26),ME=(-x,2C-y,0),

2

MA-ME=x+y(y-2A/2)=0；得》2+72_2向=0,即丁+^一行了二？，

即點”的軌跡以°￡中點K為圓心，半徑為血的圓在四邊5CDE內(nèi)(包含邊界)的一段弧(如

下圖)，

K到的距離為3,弧上的點到的距離最小值為3-血，

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因為3一行〈行，所以存在點M到的距離為百，c正確;

由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐力一BCD￡內(nèi)接最大圓柱的體積，

設(shè)圓柱底面半徑為人高為h,P為DE的中點，。為8C的中點，「2=4,AO=2y/2t

GHAGr

根據(jù)A/GH相似ANOP,得OPAO,即22V2,h=?2-r),

則圓柱體積聯(lián).〃=五兀/QT),

設(shè)外打=亞萬(2/—/)(o(尸<2),求導(dǎo)得『&)=也萬(4「—3/),

_4_4

令片&)=°得，'3或〃=0,因為0<廠<2,所以尸=0舍去，即’3,

I八1V*y<*4_4,y

當(dāng)3時，『⑺>0,當(dāng)3時，廣&)<0,

_432正

即§時修有極大值也是最大值，%有最大值27,

32正596收-135也6°x2-任亨戊8432—?8225八32行5

273272727，故273

10萬

所以存在一個體積為3的圓柱體可整體放入。內(nèi)，D正確.

故選：ACD.

5.(2024下?廣東?番禺)三棱錐A-BCD中，ZABC=ZCBD=ZDBA=60°，BC=BD=2,點、E

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為CD中點，的面積為2血，則與平面BCD所成角的正弦值為，此三棱錐外接

球的體積為.

【答案】①.逅②.逝

33

【解析】

【詳解】設(shè)NOJ_平面5cD,垂足為0,如圖，

A

過。作0EL8C于點過。作0GL3Z）于G,連接NE,ZG,

由平面BCD,BCu平面BCD,得A0上BC,

又OFcAO=0,平面4F。，BCJ,平面4F0,

4Fu平面4F0,得4F人BC,同理/GLBD,

從而AABFQABGQBFO均為直角三角形，

AABC=ZCBD=ZDBA=60°>BC=BD=2,

：.OF=OG,則。在NCB。的平分線BE上，易知48與平面BCD所成角即為/Z8E.

BFBOBF

***cos/4BC-,cos/4BE-,cos/EBC-,

ABABBO

cos/ABC=cos/ABEcosZEBC,

又/ABC=60°,ZEBC=30°,

:.cosZABE=—，即sinN48E=Y6，則N3與平面BCD所成角的正弦值為逅，

333

又BE=&SABE=L-&B-BE-sinNABE=26,解得23=4,

又ZABC=NABD=60°,BC=BD=2,

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=12.

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:.AC2+BC2=AB2，同理=2^2,

ZACB=ZADB=90°，.：AB為外接球直徑，

二三棱錐外接球的體積為手■?(g)3=■

故答案為：逅，出.

33

6.(2024下?廣東?茂名市一模)如圖，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人為了實現(xiàn)四個現(xiàn)代化

而努力奮斗的真實寫照.被托舉的四個球堆砌兩層放在平臺上，下層3個，上層1個，兩兩相切.若球

的半徑都為。，則上層的最高點離平臺的距離為.

【解析】

【詳解】依次連接四個球的球心則四面體。2。3。4為正四面體，且邊長為2a,

o

正AQCQ外接圓半徑r=|(92(93sin60,則。?到底面020304的距離

h=1(2a)2-12=2,a，

所以最高點到平臺的距離為+=

33

276+6

故答案為:------------a

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。1

Q

題型03點、線、面位置關(guān)系

1.（2024下?廣東?番禺）已知直線///平面平面夕，平面a,則以下關(guān)于直線/與平面尸的位

置關(guān)系的表述（）

A./與月不平行B./與￡不相交

C./不在平面月上D./在月上，與萬平行，與尸相交都有可能

【答案】D

【解析】

【詳解】如圖所示，正方體48CD—44GA中，易知平面48CD1平面CDRC，

不妨設(shè)a為平面48C2"為平面CDDG,

又可知&B"/a//￡,所以當(dāng)/=4用時，/與月平行；

AXDJla,AiD^/3=Dx,所以當(dāng)/=44時，/與月相交;

C\DJIaf[D[U0,所以當(dāng)/=G。時，/在月內(nèi).

故選：D.

2.（2024下?廣東深圳?聯(lián)考）設(shè)6為兩條不同的直線，％尸為兩個不同的平面，下列說法正確的是

（）

A.若?！╝,6//a,貝i]a//bB.若。,6與&所成的角相等，貝

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C.若a_L尸,a//〃萬，則D.若a_L_L_L尸，則"_L「

【答案】D

【詳解】對于A,平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯誤，

對于B,見6與。所成的角相等，則°力可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯誤，

對于C,a,bI]B,貝產(chǎn)/可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯誤，

對于D,aLB,aLO/3,貝仃,石，D正確，

故選：D

3.（2024下?廣東廣州?模擬）設(shè)私凡/是三條不同的直線，名夕是兩個不同的平面，則下列說法中正

確的是（）

A.若/_L冽,/_L%加u尸,〃u，，貝B.若相〃。，冽〃"，貝！j〃〃a

C.若m〃n,n1（3,mua,則。_LQD.若加〃夕,〃〃夕，%uua,貝!Ja〃6

【答案】C

【詳解】A.如果私〃是平行直線，那么/與0不一定垂直，故A錯誤；

B.若冽〃a,機〃“，貝ij"〃a或〃ua,故B錯誤；

C.若冽〃〃/，"，則若mua,則故C正確；

D.若私”是平行直線，則。與萬有可能不平行，故D錯誤.

故選：C

4.（2024下?廣東惠州?模擬）已知/,根是兩條不同的直線，a為平面，inua,下列說法中正確的

是（）

A.若/與。不平行，貝!1/與冽一定是異面直線

B.若/〃a,貝！J/與冽可能垂直

C.若/Cla=4,且/g加，貝!J/與加可能平行

D.若/口。=/,且/與。不垂直，則/與加一定不垂直

【答案】B

【詳解】對于選項A：若I與。不平行，則I與。的位置關(guān)系有：相交或直線在平面內(nèi)，

且加ua,貝lj|與m的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故A錯誤；

對于選項B：若/〃。，則I與m可能垂直，

如圖所示：/〃/'/ua/可知：機，故B正確；

第19頁共54頁

對于選項C：若/Ca=/,且/￡加，mua,則|與m異面，故C錯誤;

對于選項D：若/口￡=/,且|與。不垂直，則I與m可能垂直,

如圖，取a為平面48。，/二/鼻川二48,

符合題意，但“加，故D錯誤;

故選：B.

5.（2024下?廣東?廣州天河區(qū)一模）（多選）己知掰,〃是不同的直線，生尸是不重合的平面，則下

列命題為真命題的是（）

A,若加//則加//n

B.若加民加//〃，則a///?

C,若a//團(tuán)加ua,則加///?

D.若aI//3,mua,nu/3,則加//〃

【答案】BC

【解析】

【詳解】對于A,當(dāng)加//a,〃ua時，加，〃有可能異面，故A錯誤；

對于B,因為加_L_1_尸，

所以加，〃對應(yīng)的方向向量加深分別是a,尸的法向量，

又加//〃，所以石〃幾所以。//月，故B正確；

對于C,因為a///?,加ua,由面面平行的性質(zhì)易知加//月，故C正確;

對于D,當(dāng)a11/3,mua,〃uB時,加，〃有可能異面，故D錯誤.

第20頁共54頁

故選：BC.

6.（2024下?廣東?梅州市一模）（多選）已知直線加，〃和平面,且"ua,則下列條件

中，P是4的充分不必要條件的是（）

Ap'.m//a,q'.m//nB.p'.mLa,q'.mLn

C.p\a//P,q:n//PD.p'.nLp,q:aL/3

【答案】BCD

【解析】

【詳解】A：若優(yōu)〃a,〃ua,則直線加，〃可能平行或異面，所以P不能推出/故A錯誤；

B：若）：加_L（z,則直線"?垂直于平面a的每一條直線，又〃ua,所以q:掰，〃成立，

但若q:加，〃成立，根據(jù)線面垂直的判定，還需在平面a找一條與〃相交的直線，且加不在平面a

內(nèi)，故g不能推出°,故B正確；

C：若）：a〃夕，且“ua,由面面平行的性質(zhì)可知，q:n〃B成立;反之，由線面平行的判定

可知當(dāng)4：〃〃，，不能推出）：a〃夕，故C正確；

D：若）：〃_!_/?,且"ua,由面面垂直的判定定理可知q:a_1_/成立；反之，若q:a_L夕，且

〃ua,則直線”與平面月可能成任意角度，故D正確.

故選：BCD.

題型04空間直線、平面的平行

1.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）（多選）如圖，在長方體488—48CQ中，4B=BC=2,'4=4,

E是棱8四上的一點，點R在棱上，則下列結(jié)論正確的是（）

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A.若4，c,E,E四點共面，則=

B.存在點E,使得AD//平面A.CE

c.若4,c,E,尸四點共面，則四棱錐G-4ECE的體積為定值

D.若E為A8］的中點，則三棱錐￡-4。。的外接球的表面積是32兀

【答案】BCD

【解析】

【詳解】對A,由4，C,E,尸四點共面，得CF//&E,則=用￡,

若E不是棱5片的中點，則尸，故A錯誤.

對B,當(dāng)E是棱3片的中點時，取4c的中點G,連接GE,8Q,則G為耳。的中點.

因為E為8片的中點，則G￡//5￡).

因為G￡u平面4CE,8Da平面&CE,所以5。//平面&CE,則B正確.

根據(jù)長方體性質(zhì)知BBJ/CQ,且C￡u平面&CG,AS1?平面&CG,

所以3片//平面ZCG，同理可得DDJ/平面4CG，

則點E,F到平面4CG的距離為定值，

又因為△&CG的面積為定值，所以三棱錐E-4CG和三棱錐/-&CG的體積都為定值,

則四棱錐G-4EC下的體積為定值，故C正確.

取棱CG的中點?！赣深}中數(shù)據(jù)可得CE=GE=2后,CG=4,

則。爐+。也2=cc；,所以ACGE為等腰直角三角形，所以。是ACGE外接圓的圓心，

△CQE外接圓的半徑r=2.設(shè)三棱錐E-AXCCX的外按球的球心為0,

半徑為R,設(shè)。a=d,則氏2=廢+/=@耳+(4用一內(nèi)2=8+(2—d)2,

即/+4=8+(2—dp,解得d=2,貝！JR2=8,此時。點位于。A中點，

從而三棱錐E-4CG的外接球的表面積是4成2=32兀，故D正確.

故選：BCD.

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2.（2024下?廣東?省一模）（多選）己知正方體48CD-44GA的各個頂點都在表面積為3兀的

球面上，點尸為該球面上的任意一點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.有無數(shù)個點P,使得4P//平面BDC,

B.有無數(shù)個點尸，使得4P1平面AD。

C.若點尸?平面8CG四，則四棱錐P-45CD的體積的最大值為立衛(wèi)

6

D.若點Pe平面BCC^,則AP+PCA的最大值為76

【答案】ACD

【解析】

【詳解】令正方體ABCD-44GA的外接球半徑為r,4/=3兀，「=等，則叫=百/8=1,

連接481,NR,由四邊形是該正方體的對角面，得四邊形是矩形,

即有ADJ/BC{,而Bqu平面BDC],ADt0平面BDQ,則ADJ/平面BDQ,

同理/4〃平面BDG,又451n40]=A,ABl,ADiu平面力4口，

因此平面4812//平面BO。，令平面482截球面所得截面小圓為圓”，

第23頁共54頁

對圓M上任意一點(除點A外)均有4P//平面B￡?G，A正確;

對于B,過A與平面8DG垂直的直線么尸僅有一條，這樣的尸點至多一個，B錯誤；

對于C,平面BCqg截球面為圓R,圓R的半徑為注，則圓R上的點到底面45CD的距離的最

2

大值為克里，

2

因此四棱錐P—45CD的體積的最大值為‘義1義正史=立土1,C正確；

326

對于D,顯然481平面3。。田1，在平面BCG片內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

口Pj1111

令點尸(——cos。,——sin6)，而3(-5，-5),。1(不,不),

222222

cos6>+^)2+(^-sin1-)2=^2+^-(sin6*+cos6>)，

因此4?=

V212zV2.121/-2/y

PJ=-y-cos6^--)+(-^-sm0--)=J1—(sin8+cosd)，令一^-(sin6+cos。)=x,

A.P+PC]—+x+y/\—x-=芯,當(dāng)且僅

當(dāng)％=—L取等號,

2

此時^^(sin6+cos。)=—■即sin(8+7)=—§，因此/尸+尸。］的最大值為，D正確.

故選：ACD

第24頁共54頁

3.(2024下?廣東?百校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面/BCD為矩形，PN,平面/BCD,

E,尸分別為棱ND,PC的中點，PA=AD=2AB.

(1)證明：EF//平面P4B.

(2)求平面8EE與平面CE方所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)-

9

【解析】

【小問1詳解】

取棱心的中點〃，連接FH.

因為〃，尸分別是棱尸8,PC的中點，所以HF//BC,HF=LBC.

2

因為￡是棱/。的中點，所以4E//BC,AE=^BC,

2

所以HF//AE,HF=AE,

所以四邊形ZEE〃為平行四邊形，所以EF//AH.

因為平面R4氏平面尸48,所以斯//平面尸48.

【小問2詳解】

以A為坐標(biāo)原點，分別以五瓦而，石的方向為x,V,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.

設(shè)45=2,則5(2,0,0),。(2,4,0),5(0,2,0),廠(1,2,2),

故阮=(-2,2,0),CE=(-2,-2,0),EF=(1,0,2).

/、ri'BE--2x,+2y,=0一

設(shè)平面下的法向量為為=(石,必，4),則[—.,令玉=2,得〃=(2,2,—1).

n?EF=匹+2Z]=0

設(shè)平面CER的法向量為應(yīng)=(9J2/2),

第25頁共54頁

mCE=-2X-2y2=0

則《2令王=2,得而=(2,—2,—1).

m-EF=x2+2z,=0

設(shè)平面BEF與平面CEF所成的角為6,

—?—?In,rT711