上海市2024屆高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

上海市向明中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)二模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

JT3

1.在直角AABC中，ZC=-,AB=4,AC=2,若=則()

A.-18B._6石C.18D.6小

2.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距

離.已知平面a,0,X兩兩互相垂直，點(diǎn)Aea,點(diǎn)A到/，/的距離都是3,點(diǎn)P是a上的動(dòng)點(diǎn)，滿足P到夕的

距離與P到點(diǎn)A的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到B的距離的最小值是()

3

A.3-6B.3C.3-6D.-

22

復(fù)數(shù)”

3.的虛部是()

l+2i

A.iB.-iC.1D.-1

4.將函數(shù)/(x)=sin[x+Vj圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移g個(gè)單位長度，得到函數(shù)

y=g(%)的圖象，則函數(shù)y=g(%)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()

A.信0)B.與°)C.(萬,0)D.1,0)

5.已知m,n為異面直線，m_L平面a,n_L平面p,直線1滿足1_Lm,1_Ln,//?,則

()

A.a〃0且/〃aB.a邛且/_L0

C.a與0相交，且交線垂直于/D.a與0相交，且交線平行于/

6.設(shè)拋物線/=4x上一點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為4,到直線/：3x+4y+12=0的距離為由，則4+4的最小值為

()

1516

A.2B.—C.—D.3

33

22

7.已知橢圓j+==l（a〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為&、F2,過耳的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)

ab

若耳、M是線段AB的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）

2百

A.C.

2

8.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單

位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（）

A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%

-x1+2x,x>0

9.已知函數(shù)〃x）=＜,若關(guān)于X的不等式[7（%）了+4"）＜0恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的最大值

x2-2x,x<0

為（）

A.2B.3C.5D.8

10.已知ZVIBC的面積是:，A3=1,BC=行，則AC=（）

A.5B.6或1C.5或1D.75

22

11.已知雙曲線「：=-4=1（。〉0,?！?）的右焦點(diǎn)為口，過原點(diǎn)的直線/與雙曲線「的左、右兩支分別交于A,3

ab

兩點(diǎn)，延長BF交右支于C點(diǎn),若A尸，尸民|C尸|=3|￡8],則雙曲線「的離心率是（）

V1735

A.B.C.

3232

22

12.已知雙曲線C：=一與=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,且，過耳的直線/與雙曲線C的左支交于4、

ab

3兩點(diǎn).若|AB|=|9|,4傷=120,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=+—XB.y=±—XC.y=±(6—忘)xD.y=±(G-l)x

32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(%)=公+3+|2%2+(4—。)％-1|的最小值為2,則。=.

x-l<0

14.變量光,V滿足約束條件卜+y+120,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值是.

x-y+3>0

15.若非零向量q,滿足,力)=￡,|a|=6,卜+。|=6，則卜卜.

16.已知數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，a3a6a9=27,則%%()+a6a2+a6aio的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=l--g(x)=lnx,

yjx

(I)求曲線y=/(2x—l)在點(diǎn)(i,o)處的切線方程；

(II)求函數(shù)y=/(%)?g(x)在區(qū)間［~,e］上的取值范圍.

e

18.(12分)如圖，已知三棱柱ABC-A5cl中，6c與gBC是全等的等邊三角形.

(1)求證：BC±ABX.

(2)若(\)5/4癡=4,求二面角B—gC—A的余弦值.

19.(12分)已知｛4｝,｛%｝,｛&｝都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足64+出優(yōu)+…+%么=qS“/eN*,其中S“是數(shù)

列｛4｝的前〃項(xiàng)和，｛g｝是公差為d(d20)的等差數(shù)列.

⑴若數(shù)列｛%｝是常數(shù)列，d=2,。2=3,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

⑵若％=助期是不為零的常數(shù))，求證：數(shù)列出｝是等差數(shù)列；

bb

若左(左為常數(shù)，kwN*),b^cn>2,n&N*}.求證：對(duì)任意〃22,“eN*,?！祋1■的恒

(3)q=q=d=nn+k7

a=an+l

成立.

20.(12分)隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的

普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析，從而

得到表(單位：人)

經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)

男性50100

女性70100

合計(jì)

(1)完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)？

(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券，求選取的3

人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;

②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為X,求隨機(jī)變

量X的數(shù)學(xué)期望和方差.

n(ad—be)-

參考公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(>+d)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

K。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

zvcowA

21.(12分)已知a,dc分別是ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊，且2=------------

b2-cosB

(I)求人.

c

(II)若b=4,cosC=-,求ABC的面積.

4

(in)在(ii)的條件下，求cos。。的值.

22.(10分)已知函數(shù)f(x)=|2xT|+|x+l|

(1)解不等式/(x)23；

b2223

(2)若〃、b、c均為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=m，加為/(%)的最小值，求證：-+—c+a

abc2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

AC1

在直角三角形ABC中，求得cosNCAB=—=-,再由向量的加減運(yùn)算，運(yùn)用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量

AB2

積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計(jì)算即可得到所求值.

【詳解】

7T

在直角AABC中，NC=一,AB=4,AC=2,,

2

AC1

cos/CAB==-

AB29

3

^AD=-AB,則C?CB=(A￡>-AC)(AB-AC)=ADAC-ACAB+AC?

33351

=-AB2--ABAC-ACAB+AC2=-xl6--x4x2x-+4=18.

22222

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

2、D

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到x軸的距離的最小值，利用P到x軸的距離等于P到點(diǎn)A的

距離得到P點(diǎn)軌跡方程，得到6y=(尤-3)2+929,進(jìn)而得到所求最小值.

【詳解】

如圖，原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系x0y中，點(diǎn)4(3,3),尸是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)4的

距離，求點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到x軸的距離的最小值.

設(shè)則y=J(x-3)2+(y_3)2，化簡得：(了—3了—6y+9=0,

93

則6y=(%—3)+9N9,解得：y>-9

即點(diǎn)p的軌跡上的點(diǎn)到￡的距離的最小值是

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得

最值.

3、C

【解析】

5i5z(l-2z)

=10+5z=2+.,所以的虛部是1,故選c.

因?yàn)椤?7一、/、

1+2，(l+2z)(l-2z)51+21

4、D

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到y(tǒng)=g(%)解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.

【詳解】

解：/(x)=sinH圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到sin中+高

再將圖像向左平移￡個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)=sin++9的圖象

32\3J6

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

試題分析：由加，平面a，直線/滿足/，加，且/<za,所以///a,又〃，平面￡,l±n,l^/3,所以〃//7,由

直線私7?為異面直線，且加_L平面％平面￡,則a與夕相交，否則，若a//月則推出相〃“，與77M異面矛盾,

所以a,尸相交，且交線平行于/,故選D.

考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論.

6、A

【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，4+%可以化成4+1+4-1，其中4+1是點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，也就是P到

焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到4+1+a的最小值，從而得到4+4的最小值.

Y?=

詳解：由“①得到3/+16y+48=0,A=256-12x48<0,故①無解，

3x+4y+12=0

所以直線3x+4y+12=0與拋物線是相離的.

由4+&=4+1+6?2—1,

而4+1為尸到準(zhǔn)線x=—1的距離，故4+1為尸到焦點(diǎn)歹(1,0)的距離，

11x3+0x4+121

從而4+1+%的最小值為F到直線3x+4y+12=0的距離J~r==~=3,

一A/32+42

故4+4的最小值為2,故選A.

點(diǎn)睛：拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動(dòng)線段的長度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離

來求解.

7、D

【解析】

根據(jù)題意，求得A",B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，即可求得結(jié)果.

【詳解】

由已知可知，〃點(diǎn)為A耳中點(diǎn)，K為BM中點(diǎn),

故可得勤+4=2次=0,故可得4=。；

221

代入橢圓方程可得4/+多v=1,解得y=±bL,不妨取以=b2,

ab'aa

(b2}

故可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為c,一，

Ia)

(b2}_(b2}

則Af0,——,易知3點(diǎn)坐標(biāo)—2c,———,

、2a)I2aJ

J?

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得a2=5c2,所以離心率為g，

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓離心率的求解，難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得A瓦”點(diǎn)的坐標(biāo)，屬中檔題.

8、A

【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)

開支占總開支的百分比.

【詳解】

250

水費(fèi)開支占總開支的百分比為，”x20%=6.25%.

250+450+100

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

畫出函數(shù)/(%)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.

【詳解】

解：函數(shù)/(%),如圖所示

[7(x)T+4(x)<0n/(x)(y(x)+a)<0

當(dāng)a>0時(shí)，-a</(x)<0,

由于關(guān)于x的不等式[/(x)]2+W(x)<0恰有1個(gè)整數(shù)解

因此其整數(shù)解為3,又/(3)=—9+6=—3

—a<—3<0?―。之f(4)=—8,則3<a<8

當(dāng)a=0時(shí)，[/(x)丁<0,則a=0不滿足題意；

當(dāng)a<0時(shí)，0</(x)<—a

當(dāng)0<—aWl時(shí)，0</(x)<—a,沒有整數(shù)解

當(dāng)—a>l時(shí)，0</(x)<—a,至少有兩個(gè)整數(shù)解

綜上，實(shí)數(shù)。的最大值為8

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.

10、B

【解析】

S6ABe=~,AB-BC-sinB=—,AB=1,BC=y/2

1_V2

:.sinB-

0—2

丘

①若3為鈍角，貝!Icos8=—,由余弦定理得AC2=AB~+BC2—2COSBABBC，

2

解得AC=?;

②若3為銳角，貝！Icos5=正，同理得AC=1.

2

故選B.

11,D

【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為小，連接5尸，AF,,C尸，設(shè)5F=x，則CV=3x,BF,=2a+x,CF'=3x+2a,RtACBF'

和RtAFBF'中，利用勾股定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為FL連接5F，，AF',CF',

設(shè)3/二1，則CF=3i,BF'=2a+x,CF'=3x+2a,

AFLFB,根據(jù)對(duì)稱性知四邊形A/W為矩形，

RtACBF,中:CF°=CB?+BF'2,即（3%+24=（4%『+（2a+尤丁，解得x=a；

RtAFBF'中:FF'2=BF2+BF'2>BP（2c）2=a2+（3?）2,故0=g，故《=羋.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

12、D

【解析】

設(shè)|Ag|=加，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)IAB|=I人聞=.?.忸B|=+1A用『—2|AB"人用.cos120=舟1,由雙曲線的定義可知：M制=m—2a,

因此忸胤=2a,再由雙曲線的定義可知：忸可―忸周=2。=>〃2=￥。，在三角形4耳叢中，由余弦定理可知：

222222

閨閶2=||+1AF；|-21|■|A7^|■cos120°c=(5-273)?=>a+=(5-273)?

=>b?=(4—2，^)/=>[=(4—2^3)=>—=A/3—1>因此雙曲線的漸近線方程為：

aa

y=±(g_l)x.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

首先利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式，對(duì)照函數(shù)值等于2的時(shí)候?qū)?yīng)的自變量的值,

從而得到分段函數(shù)的分界點(diǎn)，從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，求得參數(shù)的值.

【詳解】

2x~+4x+2,2x"+（4-a）x-120

根據(jù)題意可知/(x)=<

-2x~+（2a-4）x+4,2x?+（4-a）x-1<0

可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)％=-2或x=0時(shí)是分界點(diǎn),

結(jié)合函數(shù)的解析式，可以判斷。不可能，所以只能是％=-2是分界點(diǎn)，

,11

故2x(—2)~+(4—a)x(—2)—1=0,解得a=,,故答案是5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

14、5

【解析】

x+y+1=0x=-2

由《可得＜

x-y+3=0丁=1

可得A（-2,1）,

目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y變形為y=2x+z,

平移直線y=2x+z,

當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過A(-2,l)時(shí),

可得z=-2x+y有最大值4+1=5,

故答案為5.

點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線)；(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變

形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的定點(diǎn)就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

15、1

【解析】

根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式，得出|6『+3g|y=0,解方程即可得出答案.

【詳解】

|a+Z?|=+b)2=^|a|2+2a-b+|/?|=V7

|/?|+2xxcosx|/j|+3=7,HP|/?p+31Z?|-4=0

解得|6|=1或|切=—4(舍)

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

16、27

【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得4，結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知％=3,則4%0=9,

a

.,.《OJO+a6a2+34()=9+34+3/29+6Ja2io=9+6a6=27.

當(dāng)且僅當(dāng)g=%。=3時(shí)取得最小值.

故答案為：27.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)y=x-l(2)[0,7e-1]

【解析】

分析：⑴先斷定(L0)在曲線y=/(2x-l)上，從而需要求/(2%-1),令％=1,求得結(jié)果，注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,

接著應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；

⑵先將函數(shù)解析式求出，之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.

詳解：([)當(dāng)x=l,y=/(2—==y=/(2x—1)=(2X」)3/2,

當(dāng)x=l,y'=/'(l)=l,所以切線方程為y=x—L

1?—1+；,因?yàn)閤e])

所以xy[x>0.

xxy[x2xy[xxy/x

令/i(x)=?—1+與，〃(x)=1土l〉o,則人⑺在|,e單調(diào)遞減,

因?yàn)椤á?0,所以y=〃x).g(x)在1,1上增，在[1,4單調(diào)遞增.

%n=〃l).g⑴=°，為獻(xiàn)=max<>=max<6―1,1—爰

因?yàn)閟[e—1>1—『,所以y=/(x)g(x)在區(qū)間),e上的值域?yàn)閇o,G-1].

，e

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程

的求法，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等，在解題的過程中，需要對(duì)公式的正確使用.

18、(1)證明見解析；(2)6.

5

【解析】

(1)取8c的中點(diǎn)。，則用。，3。，由A6C是等邊三角形，得AOL3C,從而得到3cL平面4A。，由此能

證明BC±ABX

(2)以O(shè)B,。用所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結(jié)

果.

【詳解】

(1)取3C的中點(diǎn)O,連接AO,Bxo,

由于ABC與是等邊三角形，所以有AOL3C,BQ_LBC,

且AOBiO=O,

所以平面gAO,AB]U平面片49,所以

(2)設(shè)ABC與￡5C是全等的等邊三角形，

所以BBX=AB=BC=AC=BXC=a,

。1J

又cosZB^A=由余弦定理可得AB；=a2+〃2-2d?ClX—=—CL2

429

在VA50中，<ABf=AO2+B,(92,

所以以Q4,OB,。用所在直線分別為x,山z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A-^-tz,0,0,0,—,0\B0,0,W3)

x—a,

I2J<2Jl/

+=

\.AB=o\-T^2^°

設(shè)平面AB片的一個(gè)法向量為〃=(羽y,z),則

n-AB=0I73V3.

{------cix-\-----az=0

122

令x=i,則

又平面3C3］的一個(gè)法向量為7〃=(1,0,0),

?m1x1+^xO+lxOA/5

所以二面角8_4C-A的余弦值為cos6=

H?|m|y/5xl5'

即二面角B-3。-A的余弦值為好.

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直，利用向量法求二面角的余弦值,

屬于中檔題目.

19、(1)bn=4n-3；(2)詳見解析；(3)詳見解析.

【解析】

⑴根據(jù)d=2,。2=3可求得c?，再根據(jù)｛??)是常數(shù)列代入岫+a2b2+...+anbn=cnSn，九eN*,根據(jù)通項(xiàng)與前n項(xiàng)和

的關(guān)系求解｛2｝即可.

⑵取n=1,并結(jié)合通項(xiàng)與前幾項(xiàng)和的關(guān)系可求得S“q「5._1%1=。也,，再根據(jù)an=Sn-Sn_｛化簡可得

5“"+/1嗎!=/1成3代入，1="“（；—I化簡即可知I—=|j（?>3），再證明%-偽=|d也成立即可.

⑶由（2）當(dāng)〃22時(shí),S,T（C,-%）+。,￡,=。也,代入所給的條件化簡可得5“_1=3"，5"=50_]+%=（左+1）%,進(jìn)而證

71z,y\n-2bb

明可得%=丁。一],即數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.繼而求得為=9，再根據(jù)作商法證明—>—即可.

k\kJanan+l

【詳解】

⑴解：d=2,c=3,

c=2n-l.

｛q｝是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，

q=%=...-cin,

則5“=呵，

則由c￡=%2+a2M+…+a,,b?,

及c=2n-l,得“（2“T）=4+b2+...+bn,

當(dāng)九22時(shí)，（九T）（2九-3）=4+&+…,

兩式作差，可得2=4〃-3.

當(dāng)”=1時(shí),偽=1滿足上式，

則Z?,=4zz-3；

（2）證明：+a2b2+...+altbn=cnSn,

c

當(dāng)"22時(shí),+a力2+…+a11Tbit-1—n-i^n-i'）

兩式相減得：S,cjS：=a”b”,

即（S〃-i—a"b",S"T（c“-cn_x）+cincn一。,耳.

即S〃_/+.

〃T2'

—1)

/.——------d+力ic“=Anh,

2

n—1,7

即《-d+q,=〃?

72—2

二當(dāng)時(shí)d+c,i=b“》

3

兩式相減得：bn—bn_x=-6?(zi>3).

??數(shù)列｛bn｝從第二項(xiàng)起是公差為-d的等差數(shù)列.

又當(dāng)n=l時(shí)，由31。1=。也1,得q=4,

2—1I33

當(dāng)時(shí),由4=~~~dc=~^d+5+d=b[+3d，得b?—b1=—d.

故數(shù)列｛bn｝是公差為-d的等差數(shù)列；

(3)證明:由(2),當(dāng)〃22時(shí),

CaCa

S”-I(%-n-l)+nn—>Pn，即^n-1^一%(包一?！?，

b”=3+k,

b”=c“+kd，即b-c=kd,

?秘即Sn_^kan.

■-S=SnA+a=(k+l)an,

T

當(dāng)”23時(shí),S“=(左+^)an=kan,即an=個(gè)％.

K

故從第二項(xiàng)起數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，

.當(dāng)葉P+1V-2

??當(dāng)〃N2時(shí),4=%1—j—I-

2=C〃+A=C"+Z^/=G+(孔—1)左+左2=k+(H—1)左+左2=k(n+k),

另外，由已知條件可得(q+%)+a力2,

又02=:2左,/?]=:匕人2==左(2+k),

/.%=1,

田布「人+1丫一2

因而-

7b

令—

（"+左+1）左］n-

貝q4iL_l=7---U---r<0.

dna,+h（"+1）（左+1）（九+左）（左+1）

bb

故對(duì)任意的〃N2,nvN—>4恒成立.

a

n%+1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，需要熟練運(yùn)用通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項(xiàng)公

式或證明等差數(shù)列等.同時(shí)也考查了數(shù)列中的不等式證明等，需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項(xiàng)，再利用作商

法證明.屬于難題.

4Q

20、(I)詳見解析；(II)①券；②數(shù)學(xué)期望為6,方差為2.4.

60

【解析】

(1)完成列聯(lián)表，由列聯(lián)表，得長2=1。8.333>6.635,由此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民

網(wǎng)購與性別有關(guān).

7030

(2)①由題意所抽取的10名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購的有10x——=7人，偶爾或不用網(wǎng)購的有10x——=3人，由此

100100

能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率.

②由2x2列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為：112^0=0.6,由題意X3(10,0.6),由此能求出隨機(jī)變量X的

數(shù)學(xué)期望石(X)和方差。(X).

【詳解】

解：(1)完成列聯(lián)表(單位：人):

經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)

男性5050100

女性7030100

合計(jì)12080200

由列聯(lián)表，得:

2200x（50x30-50x70?25

K=---------------------=—p8.333>6.635,

120x80x100x1003

，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).

(2)①由題意所抽取的10名女市民中，經(jīng)常網(wǎng)購的有10x—=7人,

100

偶爾或不用網(wǎng)購的有10x二30=3人，

100

二選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率為：

「C+,_49

460,

②由2x2列聯(lián)表可知，抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為：^=0.6,

將頻率視為概率，

二從我市市民中任意抽取一人，恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購市民的概率為0.6,

由題意X5(10,0.6),

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=10x0.6=6,

方差O(X)=r>(X)=10x0.6x0.4=2.4.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查古典概型、二項(xiàng)分布

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

21、(I)-；(II)/;(III)一7一3舊.

216

【解析】

(I)由已知結(jié)合正弦定理先進(jìn)行代換，然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求；(II