試卷類型：A
梅州市高三總復(fù)習(xí)質(zhì)檢試卷（2024.4）
數(shù)學(xué)-，?
本試卷共6頁.滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如
需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答
題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的.
1.常言道：“不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎么見彩虹”.就此話而言，“經(jīng)歷風(fēng)雨”是“見彩虹”的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2.已知集合1={x4=ln(x-1)},B-{y\y=^-4x,x^A},則4UB=
A.(l,+oo)B.[-4,1)C.(-3,+oo)D.[-4,+oo)
3.三個函數(shù)f(x)=x3+x-3,g(x)=Inx+x-3,h(x)-ex+x~3的零點分別為a,b,c,則a,b,c
之間的大小關(guān)系為
A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a
4.如右圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子45上.已知物
體M的重力大小為20牛，且N40M'=150°,在下列角度
中，當(dāng)角6取哪個值時，繩08承受的拉力最小.
A.45°B.60°
C.90°D.120°
高三數(shù)學(xué)試卷第1頁共6頁
5.若把函數(shù)/(x)=sinx+acosx的圖象向左平移三個單位后得到的是一個偶函數(shù)，則a=
A.石B.-A/3C.3D.-世
:33
6.據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(七,乂),(%〃%)，…，(*io,力o)，求得經(jīng)驗回歸方程為$=L2x+0.4,且平均數(shù)
x=3.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點(1.2,0.5)和(4.8,7.5)誤差較大，去除后，重新
求得的經(jīng)驗回歸方程為3=l.lx+a,貝l」a=
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
7.某學(xué)校為參加辯論比賽，選出8名學(xué)生，其中3名男生和5名女生，為了更好備賽和作進
一步選拔，現(xiàn)將這8名學(xué)生隨機地平均分成兩隊進行試賽，那么兩隊中均有男生的概率是
A.1B.JC.-D.。
7777
8.已知點尸為雙曲線C:二-歹2=1的右焦點，點N在％軸上(非雙曲線頂點)，若對于在雙
3
曲線。上(除頂點外)任一點P,/產(chǎn)PN恒是銳角，則點N的橫坐標(biāo)的取值范圍為
A.(2,y)B.(2,y)C.(V3,y)D.(V3,y)
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.
9.設(shè)Z],Z2是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是
A.若z；=0,則Zi=0B.若z；+z；=0,則Z[=Z2=0
C.\zx-i-zx\=\zx+i'z｛\D.若z；=z；,則|zi1=%|
10.已知數(shù)列｛冊｝的通項公式為許=3",MWN*,在｛%｝中依次選取若干項(至少3項)
。卬%，%，…，縱，…，使｛%｝成為一個等比數(shù)列，則下列說法正確的是
A.若取用=1,%=3,則上3=9
B.滿足題意的｛院｝也必是一個等比數(shù)列
C.在｛?。那?00項中，｛%,｝的可能項數(shù)最多是6
D.如果把｛%｝中滿足等比的項一直取下去，｛4“｝總是無窮數(shù)列
高三數(shù)學(xué)試卷第2頁共6頁
11.如圖，平面45N_L平面a,\AB\=\MN\=2,M為線段48的中點，直線MN與平面a的
所成角大小為30。，點尸為平面a內(nèi)的動點，則
A.以N為球心，半徑為2的球面在平面a上的截痕長為2兀
N
B.若P到點”和點N的距離相等，則點尸的軌跡是一條直線一
C.若尸到直線MN的距離為1,則NZ尸B的最大值為］
D.滿足/MMP=45°的點P的軌跡是橢圓虹m
題11圖
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測試，經(jīng)統(tǒng)計，成績X近似服從正態(tài)分布"(150,『),
已知成績大于170次的有300人，則可估計該校一分鐘跳繩成績X在130?150次之間的
人數(shù)約為.
13.已知數(shù)列｛4｝的通項公式%=(-1)"一黑二，(〃GN*),則1|寄=々。。2…4的最小值
2jt=i
為.
14.在平面直角坐標(biāo)系X。歹中，。為坐標(biāo)原點，定義尸(修，為)、。(％2,歹2)兩點之間的
“直角距離”為外尸,0)=|/-必|+|乃-力|.已知兩定點力(-1,0),3(1,0),則滿足
d(M,A)+d(M,3)=4的點M的軌跡所圍成的圖形面積為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
4+4=l(a>6>0)的離心率為。，且經(jīng)過點7(1,1)-
15.(13分)已知橢圓C:
ab22
(1)求橢圓。的方程;
(2)求橢圓C上的點到直線/:丁=2x的距離的最大值.
高三數(shù)學(xué)試卷第3頁共6頁
16.(15分)在AA8C中，角4BC所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,也acosB-bsinA=6c,c=2,
(1)求4的大??；
(2)點。在BC上，
(I)當(dāng)4D_L4ff,且40=1時，求幺C的長；
(II)當(dāng)3Q=2Z)C,且4D=1時，求A4BC的面積顯四￡??
17.(15分)如圖，在四棱錐P-Z5CD中，平面BLDJ_平面488,底面4BCQ為直角梯形,
AE4。為等邊三角形，AD//BC,AD上AB,AD=AB=2BC=2.
(1)求證：ADLPC；
(2)點N在棱尸C上運動，求A4DN面積的最小值；
(3)點M為尸3的中點，在棱尸。上找一點0,使得4核〃平面5。。，求嬰的值.
題17圖
高三數(shù)學(xué)試卷第4頁共6頁
18.(17分)已知函數(shù)/'(x)=e、，g(x)=x2+l?A(x)=asinx+l(a>0).
(1)證明:當(dāng)xe(0,+8)時，f(x)>g(x);
(2)討論函數(shù)F(x)=/(x)-似x)在(0,燈上的零點個數(shù).
高三數(shù)學(xué)試卷第5頁共6頁
19.(17分)已知｛冊｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前〃項的最大值記為M”，即
M?=max｛apa2,,,,,an｝；前〃項的最小值記為%，即m”=min｛@],勾，…，冊｝，令
p?=M?~m?(n=1,2,3,—),并將數(shù)列｛p”｝稱為｛4｝的"生成數(shù)列
(1)若瑪=3"，求其生成數(shù)列｛乃｝的前九項和；
(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的“生成數(shù)列”為｛%｝,求證：pn=q?;
(3)若｛%｝是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)〃°,當(dāng)“之見時，％,a”+i，4+2,…是等差數(shù)列.
高三數(shù)學(xué)試卷第6頁共6頁
梅州市高三第二次質(zhì)檢(2024.4)
數(shù)學(xué)參考答案與評分意見
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只
有一項是符合題目要求的。
12345678
BDBCCCDC
二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合
題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
91011
ACDABDBC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
7
12.45013.--14.6
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(本小題滿分13分)
解：(1)由題意可得e=￡=L，設(shè)。=2〃，c=k,k>0,..........................................1分
a2
由。得：b=y/3k...........................................2分
橢圓C的方程為三+《=1,
4k-3k~
又因為橢圓c經(jīng)過的點(i,I),
9
所以有_L+_L=i，..........................................3分
4G23k2~
從而解得：k=l,..........................................4分
于是4=2,b=6，..........................................5分
故橢圓的標(biāo)準方程為=+?=1...........................................6分
43
（2）設(shè)與直線/平行的橢圓C的切線方程為，=2x+b,..........................................7分
y=2x+b
得3必+4(2》+6)2=12,即19/+16打+4加-12=0,
因為相切，所以A=256Z>2—76（4/-12）=0,..........................................9分
解得b=+>/?9>..........................................10分
此時切線與直線/的距離為4=匕里=叵，.......................11分
V55
即有橢圓。上的點到直線l:y=2x的最大距離為叵...............................................13分
5
16.（本小題滿分15分）
解:（1）因為J§acosB-6sin4=Jic，
由正弦定理可得：J^sin4cosB-sinBsin4=JJsinC，....................................1分
而C=
所以sinC=sin[^-(-4+B)]=sin(y4+B)=sinAcosB+cosAsinB,..............2分
石sinZcosB-sinBsinA=V3(sinAcosB+cos4sin5),
-sin5sin=VJcos/sinB，..........................................3分
因為一￡(0,萬)所以sin?B>0,
-sin/l=V3cosJ?即tanZ=-V^，..........................................4分
又4w(0,%),因此4二,"........................5分
(2)(I)依題意可知，在sin8=且,cosB=述，.......................6分
55
在M.BC中，sinC=sin(ZB>4C+B)
=sinN54c?cosB+cosNB/4C?sin3
62A/51M=2屈-加，
~25--2~T~IO-
AC_AD
在A4C。中,..........................................8分
s\nZADCsinC
275
AD-sinZADC_AD-sinZADB_5_8-73+4
sinCsinC2-715-7511
10
(II)設(shè)OC=x聞=2x,
2
在A4BC中，由余弦定理得：9x2=4+tz2-2-2.<7-cos—^r,
3
即9x2=4+/+2a...............①........................................11分
ZADB+ZAUC=71,cosZADB+cosZADC=0
l+4x2-4x2+l-a2
即有:-----------------1----------------=0,
2,2x2?1,x
6x2=l+2a2.................②，........................................12分
由①②，可解得。=2普（舍去負根），.......................13分
c1c1+V6V3_3A/2+V3
..........................................15分
^2224
17.（本小題滿分15分）
(1)證明：取4D的中點H,從而4H"BC,AH=BC,又40J.4B,
可得四邊形43cH為矩形...............1分
因此CHLZO.............................................2分
因為APAD為等邊三角形,
所以PHJ.ZD.............................................3分
而PHClCH=H
所以40,平面PHC................................4分
而尸Cu平面P4C
所以4D-LPC............................................5分
(2)解：連結(jié)HV,由40,平面尸HC,
有AD1HN,.....................6分
于是MDN的面積S..,=-ADHN=HN，
MDMN2?
要使A4DN的面積最小，即要班最小.............7分
而知當(dāng)且僅當(dāng)月N1PC時，HN最小............8分
而在RAHPC中，CH=2,PH=6,PC=幣,
故當(dāng)eN_LPC時，
“PH-CH26八
*二=不........................9分
.2面
因而t^ADN的面積的最小值為一--..............10分
(3)連結(jié)42交50于點G,連結(jié)交5。于點尸，連結(jié)PG,如圖
因為3?！?0且4D=2BC=2,所以邕=空=1，..........11分
GAAD2
因為平面5。。，又41/u平面ZCW,平面BOQn平面2&0=6下
因此G..........12分
于是空二里」
..........13分
FMGA2
在△尸BC中,過點M作MK〃尸C
MKMF八八八…~八
則有"^77="^_=2,PQ=2MK,...........14分
CQCF
PQ
因此PQ=2MK=4CQ,即=4...........15分
QC
18.(本小題滿分17分)
(1)證明：令G(x)=/(x)-g(x)=e*-x2-i,........................................1分
貝(lG'(x)=e'-2x,........................................2分
記p(x)=e'-2x,則p\x)=e*-2,........................................3分
當(dāng)xe(0』n2)時，p，(x)<0；當(dāng)xe(ln2,+oo)時，p，(x)>0,...............................4分
所以p(x)=e<-2x在(0,In2)上單調(diào)遞減；在(In2,”)上單調(diào)遞增.............5分
從而在(0,+00)上，G'{x}=p(x)>P(ln2)=2-21n2>0...........................................6分
所以G(x)在(0,*?)單調(diào)遞增，......................7分
因此在(0,內(nèi))上，G(x)>G(0)=0,即/(x)>g(x)得證......................8分
(2)解：F(x)=/(x)-h(x)=e1-asinr-1,
F\x)=ex-acosx,........................................9分
①在(0,兀)上，F(xiàn),(x)=eI-acosx>l-a>0,......................................10分
所以，R(x)在［0,兀)上遞增，
在(0,?上，F(xiàn)(x)>F(0)=0,........................................11分
即函數(shù)9(x)在(0,?上無零點.......................12分
②。>1,記夕(x)=R'(x)=e*-acosx,
q'(x)=eT+asinx>0,q(x)在［0,兀］上遞增，......................13分
It
而q(0)=l-a<0,q(］)=e5>0,
%)w(0,9,使我口)=0,
.?.當(dāng)Ovxvx。時,尸(x)遞減,x0<x<n,尸(x)遞增，.....................14分
：?F⑺劭=Fg),
n
rfnF(x0)<g(0)=0,F(^)=e-1>0,........................................15分
尸(x)在(0,%)上無零點，在(％,萬)上有唯一零點............................16分
綜上，當(dāng)。41時，g(x)在(0,兀)上沒有零點；
當(dāng)a>l時，g(x)在(0,兀)上有且僅有1個零點.......................17分
19.(本小題滿分17分)
(1)解：因為(=3"關(guān)于〃單調(diào)遞增，
所以=max｛q,%,…,q,｝=a“=3",...........................................1分
/n“=min｛q,&，…，4｝=%=3,...........................................2分
于是P“=M,-%=3"-3,...........................................3分
｛p“｝
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