高考沖刺資源培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類（含答案解析）

培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：含參雙動(dòng)直線 1題型二：直線系與方程 2題型三：圓：定角 3題型四：圓：切點(diǎn)弦 3題型五：圓綜合 4題型六：離心率：第一定義型 4題型七：離心率：焦半徑型 5題型八：離心率：第三定義型 6題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型 7題型十：離心率：重心型 8題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線） 8題型十二：離心率：共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型 9題型十三：離心率：雙曲線漸近線型 10題型十四：離心率：求參數(shù) 10題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化 11題型十六：拋物線焦點(diǎn)弦：梯形轉(zhuǎn)化型 12題型十七：拋物線焦點(diǎn)弦極坐標(biāo)公式應(yīng)用 12題型十八：拋物線切線型 13題型一：含參雙動(dòng)直線直線含參。一般情況下，過定點(diǎn)如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動(dòng)態(tài)”垂直。則直線交點(diǎn)必在定點(diǎn)線段為直徑的圓上。每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點(diǎn)。兩條動(dòng)直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動(dòng)態(tài)垂直”。如果兩條動(dòng)直線“動(dòng)態(tài)垂直”，則兩直線交點(diǎn)必在兩條直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上。如果兩條動(dòng)直線交點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的兩直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的最值求解計(jì)算1.（2024上·河北承德·高三統(tǒng)考）已知直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2.（2024上·北京·高按清華附中?？迹┮阎本€恒過定點(diǎn)A，直線恒過定點(diǎn)B，且直線與交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．4 B． C．3 D．23.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線相交于點(diǎn)，則到直線的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，不過原點(diǎn)的兩直線，的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．題型二：直線系與方程直線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如，不含想若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如，不含若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如與平行1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)．有下列三個(gè)說法：①存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)N在直線l上；②若，則過MN兩點(diǎn)的直線與直線l平行；③若，則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．上述所有正確說法的序號(hào)是．2.（2023上·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)?？迹┮阎c(diǎn)，直線，且點(diǎn)不在直線上，則點(diǎn)到直線的距離；類比有：當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上時(shí)，距離公式變?yōu)?，根?jù)該公式可求的最小值是3.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考一模）設(shè)為兩個(gè)不同的點(diǎn),直線l:ax+by+c=0,.有下列命題：①不論為何值,點(diǎn)N都不在直線l上；②若直線l垂直平分線段MN,則=1；③若=-1,則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)；④若>1,則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且l與線段MN的延長線相交.其中正確命題的序號(hào)是（寫出所有正確命題的序號(hào)）.題型三：圓：定角1.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為______________.2.（2023·四川省通江中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓：上存在兩點(diǎn)、滿足：，則實(shí)數(shù)的最大值是______.3.（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點(diǎn)為M，N，若圓心C在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軸正半軸上總存在定點(diǎn)，使得為定值，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_________.題型四：圓：切點(diǎn)弦切點(diǎn)弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切點(diǎn)與四點(diǎn)共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級(jí)結(jié)論法：外一點(diǎn)做切線，切點(diǎn)所在直線方程（切點(diǎn)弦方程）為：1.（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓M：，直線l：，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)最小時(shí)，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．2.（2023春·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，直線與圓相切，與圓相交于兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)為切點(diǎn)作圓的切線．設(shè)直線的交點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．9 B．7 C． D．3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中?？茧A段練習(xí)）若是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．2題型五：圓綜合1.（2023·黑龍江·一模）設(shè)，則的最小值為A．4 B．16 C．5 D．252.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，，則面積的最大值為______.3.（2022山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室高三模擬）已知圓，為圓外的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，使取得最小值的點(diǎn)稱為圓的萌點(diǎn)，則圓的萌點(diǎn)的軌跡方程為_______.4.（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知圓與軸交于點(diǎn)、，過圓上動(dòng)點(diǎn)(不與、重合)作圓的切線，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與切線分別交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為_______題型六：離心率：第一定義型求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.1.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于A?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為，且為線段的中點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3.（江蘇省常州市第一中學(xué)2022-2023年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．4.（2023春·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左支分別交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3題型七：離心率：焦半徑型橢圓焦半徑焦半徑范圍：(長軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)最近和最遠(yuǎn)，即遠(yuǎn)、近地點(diǎn))雙曲線焦半徑動(dòng)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離最小值為：1.（江蘇省啟東中學(xué)2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該離心率的取值范圍是________．2.（2022-2023學(xué)年江西省上饒中學(xué)高三下學(xué)期第一次月）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山一中、東北育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．4.（2023秋·廣東深圳·高三?？迹┰O(shè)，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型八：離心率：第三定義型（1）橢圓1.是橢圓上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.如果是焦點(diǎn)在y軸上，則是2.是雙曲線上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.如果是焦點(diǎn)在y軸上，則是1.（陜西省渭南市富平縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的左焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在圓上．記直線的斜率為，若，則橢圓離心率的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2022·新疆喀什·高十三新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)校考開學(xué)考試）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A． B． C． D．3.（山西省臨汾市2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，與橢圓上、下頂點(diǎn)連線的斜率之積為，則的離心率為_________.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，且恰為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型焦點(diǎn)弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖：可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率1.（廣東省佛山市2022-2023學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2.（東北三省三校2023屆高三聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題）橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)4.如圖，橢圓M：的左、右焦點(diǎn)分別為，，兩平行直線，分別過，交M于A，B、C，D四點(diǎn)，且，，則M的離心率為___．題型十：離心率：重心型1.（2023春·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線的虛軸的上頂點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，存在斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．2.已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線）1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上不同于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，若橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．2.（2023秋·河南鄭州·高三鄭州市第一〇六高級(jí)中學(xué)?？迹┮阎c(diǎn)P是雙曲線（a0，b0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M是△PF1F2的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．3..已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，橢圓C的離心率為_____.題型十二：離心率：共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．1.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2.（2023秋·高三聯(lián)考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，其中為右焦點(diǎn)，兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，離心率分別為，．若線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B．2 C． D．33.（2023·全國·高三模擬）已知橢圓：與雙曲線：（，）具有共同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，且.點(diǎn)是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．題型十三：離心率：雙曲線漸近線型與雙曲線有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為．焦點(diǎn)到漸近線的距離為：；漸近線求法結(jié)論：可直接令方程等號(hào)右邊的常數(shù)為0，化簡解得1.（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．3.（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，的面積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（

）A． B．或 C． D．24.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率（

）A． B．2 C． D．題型十四：離心率：求參數(shù)1.（2023秋·高三專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且為等腰三角形，若雙曲線的離心率為，則的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．30°或120°2.（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中階段練習(xí)）已知方程的三個(gè)實(shí)根可分別作為一橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心率，則的取值范圍是A． B． C． D．3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）若直線和直線相交于一點(diǎn)，將直線繞該點(diǎn)依逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與第一次重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角為，則角就叫做到的角，，其中分別是的斜率，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，是右頂點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，是雙曲線的離心率，，則的最大值為（

）A． B． C． D．4.（2023全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線的傾斜角的取值范圍是，其斜率為，則的取值范圍是A． B．C． D．題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)E，準(zhǔn)線為l.焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點(diǎn)位置變動(dòng)而改變)；②焦點(diǎn)弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半徑公式得：，，(2)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(隨焦點(diǎn)動(dòng)而變)； 圖4(3)其他結(jié)論：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)H．1.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．2.是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，則的最小值為________．3.設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．4.點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，若對(duì)于拋物線上的任意點(diǎn)，的最小值為41，則的值等于______.題型十六：拋物線焦點(diǎn)弦：梯形轉(zhuǎn)化型有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.（2）本題還運(yùn)用到點(diǎn)差法，設(shè)而不求，利用拋物線方程作差有效地簡化了計(jì)算量，從而到達(dá)所需的變量等式，此方法在橢圓和雙曲線中也廣泛運(yùn)用.1.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l（不平行于y軸）交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，若，則線段FM的長度為（

）A．1 B．2 C．3 D．42.（河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為（

）．A． B． C． D．3.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．4.（湖南省邵陽市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若，則直線的方程為__________．5.（內(nèi)蒙古赤峰二中2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為__________．題型十七：拋物線焦點(diǎn)弦極坐標(biāo)公式應(yīng)用設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，若，，則：若點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，則，，弦長，（為直線的傾斜角）；1.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若與面積之和的最小值為32，則拋物線的方程為___________．2.若過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角，點(diǎn)A在x軸上方，則的取值范圍是______．3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________.題型十八：拋物線切線型（1）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：；（2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：．1.（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線在點(diǎn)A，B處的切線分別為和，若和交于點(diǎn)P，則的最小值為______．2.（四川省成都市第七中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，又直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么=______.3..（上海市控江中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知是拋物線：上一點(diǎn)，且位于第一象限，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．1 C．16 D．

培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：含參雙動(dòng)直線 1題型二：直線系與方程 4題型三：圓：定角 6題型四：圓：切點(diǎn)弦 8題型五：圓綜合 10題型六：離心率：第一定義型 12題型七：離心率：焦半徑型 15題型八：離心率：第三定義型 16題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型 19題型十：離心率：重心型 22題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線） 24題型十二：離心率：共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型 26題型十三：離心率：雙曲線漸近線型 28題型十四：離心率：求參數(shù) 30題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化 32題型十六：拋物線焦點(diǎn)弦：梯形轉(zhuǎn)化型 35題型十七：拋物線焦點(diǎn)弦極坐標(biāo)公式應(yīng)用 37題型十八：拋物線切線型 40題型一：含參雙動(dòng)直線直線含參。一般情況下，過定點(diǎn)如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動(dòng)態(tài)”垂直。則直線交點(diǎn)必在定點(diǎn)線段為直徑的圓上。每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點(diǎn)。兩條動(dòng)直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動(dòng)態(tài)垂直”。如果兩條動(dòng)直線“動(dòng)態(tài)垂直”，則兩直線交點(diǎn)必在兩條直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上。如果兩條動(dòng)直線交點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的兩直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的最值求解計(jì)算1.（2024上·河北承德·高三統(tǒng)考）已知直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)，用三角換元求的最大值.【詳解】由題意可得直線恒過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，且，所以，所以與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（不含點(diǎn)）．可設(shè)，且，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．故選：D2.（2024上·北京·高按清華附中校考）已知直線恒過定點(diǎn)A，直線恒過定點(diǎn)B，且直線與交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷兩條直線的位置關(guān)系，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值等于點(diǎn)P到圓心的距離與半徑之和即點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)距離與半徑之和【詳解】設(shè)由直線，可得由直線，可得，因?yàn)橹本€與直線滿足，所以，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值等于點(diǎn)P到圓心的距離與半徑之和即點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)距離與半徑之和，由，，得AB中點(diǎn)為，半徑為1，所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為，故選：A

3.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線相交于點(diǎn)，則到直線的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解法一：求出兩直線所過定點(diǎn)，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值，即可求得答案；解法二：求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出P到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合不等式知識(shí)，即可求得答案.【詳解】解法一：直線整理可得，，即直線恒過，同理可得恒過，又，直線和互相垂直，兩條直線的交點(diǎn)在以，為直徑的圓上，即的軌跡方程為，（去掉，（這是因?yàn)椴荒鼙硎局本€，不能表示直線，）設(shè)該圓心為，則，則，由于垂直于直線，故M到的距離即為，而，即，而當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，不符合題意。故的取值范圍是，故選：A．解法二：聯(lián)立兩條直線的方程，解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，由，故得的取值范圍是,故選：A．4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，不過原點(diǎn)的兩直線，的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】D【分析】由、的方程可得它們都過定點(diǎn)，，然后可得四邊形OMPN為矩形，且，然后可求出答案.【詳解】將直線的方程變形得，由，得，則直線過定點(diǎn)，同理可知，直線過定點(diǎn)，

所以，直線和直線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，易知，直線，如圖所示，易知，四邊形OMPN為矩形，且，設(shè)，，則，四邊形OMPN的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，四邊形OMPN面積的最大值為，故選：D題型二：直線系與方程直線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如，不含想若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如，不含若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如與平行1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)．有下列三個(gè)說法：①存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)N在直線l上；②若，則過MN兩點(diǎn)的直線與直線l平行；③若，則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．上述所有正確說法的序號(hào)是．【答案】②③【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合直線方程可判斷①，③；判斷兩直線的斜率是否相等，并判斷直線是否重合可判斷②；【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)不可能在直線l上，錯(cuò)誤．對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，若，則，不合題意，故，所以，所以直線MN的方程為，即，又，所以過M、N兩點(diǎn)的直線與直線l平行，正確．對(duì)于③，因?yàn)椋?，所以，即在直線上，所以直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)，正確．綜上所述，正確的有②③，故答案為：②③2.（2023上·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)校考）已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)不在直線上，則點(diǎn)到直線的距離；類比有：當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上時(shí)，距離公式變?yōu)椋鶕?jù)該公式可求的最小值是【答案】4【分析】依題意可得，，令，則表示半圓上的點(diǎn)到直線和的距離之和，設(shè)為d，則，再結(jié)合圖象進(jìn)行求解.【詳解】解：依題意可得，，令，則，該方程表示以為圓心，以1為半徑的半圓，依題意表示該半圓上的點(diǎn)到直線的距離，表示該半圓上的點(diǎn)到直線的距離，則表示半圓上的點(diǎn)到直線和的距離之和，設(shè)為d，則，如圖所示：結(jié)合圖象，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)d取得取小值，則，則的最小值為.故答案為：4.3.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考一模）設(shè)為兩個(gè)不同的點(diǎn),直線l:ax+by+c=0,.有下列命題：①不論為何值,點(diǎn)N都不在直線l上；②若直線l垂直平分線段MN,則=1；③若=-1,則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)；④若>1,則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且l與線段MN的延長線相交.其中正確命題的序號(hào)是（寫出所有正確命題的序號(hào)）.【答案】①③④【詳解】試題分析：①因?yàn)橹?，，所以點(diǎn)不在直線上，本選項(xiàng)正確；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)，得到，化簡得，即直線的斜率為，又直線的斜率為，①知點(diǎn)不在直線上，得到直線與直線平行，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，得到，化簡得：，直線與直線的斜率不存在，都與軸平行，①知點(diǎn)不在直線上，得到直線與直線平行，綜上，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，化簡得：，而線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)，本選項(xiàng)正確；④當(dāng)時(shí)，，即，所以點(diǎn)在直線的同側(cè)，且，得到點(diǎn)到直線的距離不等，所以延長線于直線相交，本選項(xiàng)正確，所以命題正確的是①③④，故填：①③④.題型三：圓：定角1.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為______________.【答案】．【解析】由直徑所對(duì)的圓周角為可求得直線的方程，進(jìn)而解得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)在以為直徑的圓上，，即，，又均在直線，，，又，：，聯(lián)立：，解得：，；設(shè)，則，，，又，，即，解得：或（舍去），故點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為：.故答案為：.2.（2023·四川省通江中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓：上存在兩點(diǎn)、滿足：，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】根據(jù)題意，圓C的圓心為，在直線上，當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠(yuǎn)，越小，結(jié)合圖像可知當(dāng)時(shí)，圓心C在x軸上方，若、為圓的切線且，此時(shí)a取得最大值，可得，即，解可得a的值，即可得答案.【詳解】由題得，圓C的圓心為，在直線上，當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠(yuǎn)，越小，如圖所示：當(dāng)時(shí)，圓心C在x軸上方，若、為圓的切線且，此時(shí)a取得最大值，此時(shí)，有，即，解可得，故答案為：.3.（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點(diǎn)為M，N，若圓心C在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軸正半軸上總存在定點(diǎn)，使得為定值，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_________.【答案】【分析】設(shè)C（c，0），P（0，p），（p＞0），圓C半徑為r，用c、p、r表示∠OPM，∠OPN的正切值，再利用兩角差的正切公式表示∠MPN的正切值，分析該值為定值的條件可確定P的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，設(shè)C（c，0），P（0，p），（p＞0）圓C半徑為r，則OM＝c﹣r，ON＝c+r，OP＝p，∴tan∠OPM＝，tan∠OPN＝，∴tan∠MPN＝tan（∠OPN﹣∠OPM）＝＝，由兩圓外切可知，r+1＝，得c2＝r2+2r﹣3，∴tan∠MPN＝＝，∵上式為與無關(guān)的定值，∴p2﹣3＝0，∴p＝．故答案為：題型四：圓：切點(diǎn)弦切點(diǎn)弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切點(diǎn)與四點(diǎn)共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級(jí)結(jié)論法：外一點(diǎn)做切線，切點(diǎn)所在直線方程（切點(diǎn)弦方程）為：1.（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓M：，直線l：，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)最小時(shí)，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得，說明要使最小，則需最小，此時(shí)PM與直線l垂直．寫出PM所在直線方程，與直線l的方程聯(lián)立，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出以PM為直徑的圓的方程，再與圓M的方程聯(lián)立可得AB所在直線方程．【詳解】解：因?yàn)閳A，即為，所以圓心，半徑．．要使最小，則需最小，此時(shí)PM與直線l垂直．直線PM的方程為，即，聯(lián)立，解得，即．則以PM為直徑的圓O的方程為．直線AB為圓M與圓O公共弦所在直線，聯(lián)立相減可得直線AB的方程為．故選：A．2.（2023春·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，直線與圓相切，與圓相交于兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)為切點(diǎn)作圓的切線．設(shè)直線的交點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．9 B．7 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得切點(diǎn)弦的方程為，進(jìn)而根據(jù)其與圓相切得，即，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得最小值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，，，因?yàn)榉謩e以點(diǎn)為切點(diǎn)作圓的切線．設(shè)直線的交點(diǎn)為，所以，則，即，所以，因?yàn)?，所以，即是方程的解，所以點(diǎn)在直線上，同理可得在直線上，所以切點(diǎn)弦的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得，即所以，所以當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)所以的最小值為.故選：D3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中?？茧A段練習(xí)）若是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．2【答案】A【分析】由題意可得當(dāng)取最小值時(shí)，的值最小，求得圓心到直線的距離即得，即可得.【詳解】如下圖所示，易知且垂直平分，所以，且，由勾股定理可得，所以，即取最小值時(shí)，取得最小值；易知為圓心到直線的距離，即，所以.故選：A題型五：圓綜合1.（2023·黑龍江·一模）設(shè)，則的最小值為A．4 B．16 C．5 D．25【答案】B【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題，然后數(shù)形結(jié)合求解最小值即可.【詳解】表示點(diǎn)P(3-4y，4+3y)、Q(cosx，-sinx)兩點(diǎn)距離的平方，由得點(diǎn)P的軌跡方程為，由得點(diǎn)Q的軌跡方程為，則，，即的最小值為16.2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，，則面積的最大值為______.【答案】【解析】由，可得，在圓中可得，從而有，即可求出點(diǎn)的軌跡，然后就可得出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，且是的中點(diǎn)所以因?yàn)樗?，即設(shè)點(diǎn)，則有化簡得：即點(diǎn)的軌跡是圓心為，半徑為的圓。因?yàn)?，且直線經(jīng)過點(diǎn)所以點(diǎn)到直線的距離的最大值就為半徑。所以面積的最大值為故答案為：3.（2022山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室高三模擬）已知圓，為圓外的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，使取得最小值的點(diǎn)稱為圓的萌點(diǎn)，則圓的萌點(diǎn)的軌跡方程為_______.【答案】.【分析】根據(jù)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等可得，再利用切線長公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、結(jié)合基本不等式，即可得到答案；【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由在圓外知的取值范圍是，所以能成立，故的最小值為.由知，萌點(diǎn)的軌跡為圓，方程為.故答案為：4.（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知圓與軸交于點(diǎn)、，過圓上動(dòng)點(diǎn)(不與、重合)作圓的切線，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與切線分別交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為_______【答案】【分析】相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程：設(shè)，先根據(jù)條件，求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線和求出交點(diǎn)，根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，確定用，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)在圓上，列方程整理即可.【詳解】依題意作圖，有，，設(shè)()，.過點(diǎn)的圓的切線的方程為，所以，.聯(lián)立解得，所以點(diǎn).又點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，又點(diǎn)在圓上，所以，把代入整理得，，又，所以點(diǎn)的軌跡方程().故答案為：().題型六：離心率：第一定義型求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.1.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于A?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題干條件得到，表達(dá)出，，利用橢圓定義得到關(guān)系，結(jié)合的范圍求出離心率的最小值.【詳解】連接，由題知點(diǎn)A?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，，則，，又，即，，由得，所以，D正確.故選：D2.（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為，且為線段的中點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由條件證明為線段的中點(diǎn)，由此可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關(guān)系，由此可求曲線的離心率.【詳解】因?yàn)?，為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)樗?，又為線段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，且，又為線段的中點(diǎn)，所以，在中，，，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，故，在中，，，，由勾股定理可得：，所以，即，所以，又，故，所以，故選：D.3.（江蘇省常州市第一中學(xué)2022-2023年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，以及列不等式，化簡后求得橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.因?yàn)椋?，所以，即，由三角形的性質(zhì)可得，因?yàn)槭菣E圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，所以，所以，即，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：A4.（2023春·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左支分別交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由條件結(jié)合雙曲線定義列出關(guān)于的齊次方程，由此可求的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)?，所以，由雙曲線定義可得，所以因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以，即所以，所以，所以離心率，故選：A.題型七：離心率：焦半徑型橢圓焦半徑焦半徑范圍：(長軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)最近和最遠(yuǎn)，即遠(yuǎn)、近地點(diǎn))雙曲線焦半徑動(dòng)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離最小值為：1.（江蘇省啟東中學(xué)2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該離心率的取值范圍是________．【答案】.由題意可得：|PF1|=e|PF2|，又|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|(1+e)=2a，由于a-c≤|PF2|≤a+c，所以(a+c)(1+e)≥2a①，且(a-c)(1+e)≤2a②，①式兩邊除以a，得(1+e)(1+e)≥2，解得e≥②式兩邊除以a，得(1-e)(1+e)≤2，恒成立，所以離心率e的取值范圍是.2.（2022-2023學(xué)年江西省上饒中學(xué)高三下學(xué)期第一次月）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，再利用基本不等式求出的最小值，從而得到，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則，由雙曲線的定義知，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，，，此時(shí)，解得，又，∴．故選：C．3.（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山一中、東北育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【詳解】根據(jù)焦半徑公式，化簡得，解得，根據(jù)橢圓橫坐標(biāo)的取值范圍，得，不等式同時(shí)除以化為.解得.即離心率的取值范圍為.4.（2023秋·廣東深圳·高三?？迹┰O(shè)，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，設(shè)，先由雙曲線的定義，再利用余弦定理，由題意可得，最后再用可得、的不等關(guān)系，可得離心率.【詳解】由題，取點(diǎn)為右支上的點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義知：，在三角形中，由余弦定理可得：，又因?yàn)榭傻茫?，又因?yàn)椋约矗?故選：.題型八：離心率：第三定義型（1）橢圓1.是橢圓上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.如果是焦點(diǎn)在y軸上，則是2.是雙曲線上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.如果是焦點(diǎn)在y軸上，則是1.（陜西省渭南市富平縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的左焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在圓上．記直線的斜率為，若，則橢圓離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，由題意得，設(shè)，則，在中，利用余弦定理，即可求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)在上，，所以，，設(shè)，則，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，離心率，故選：D.2.（2022·新疆喀什·高十三新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)校考開學(xué)考試）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進(jìn)而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標(biāo)進(jìn)而求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率．【詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點(diǎn)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：．3.（山西省臨汾市2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，與橢圓上、下頂點(diǎn)連線的斜率之積為，則的離心率為_________.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，則，可得出，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出，再利用離心率公式可求得橢圓的離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，則，則，橢圓的上、下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，所以，由已知可得，可得，所以，.故答案為：.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，且恰為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用中位線關(guān)系求得，再利用雙曲線的定義，表示的三邊，最后根據(jù)勾股定理求雙曲線的離心率.【詳解】連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，所以，且設(shè)點(diǎn)到一條漸近線的距離，所以，又，所以，中，滿足，整理為：，雙曲線的離心率.故選：D題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型焦點(diǎn)弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖：可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率1.（廣東省佛山市2022-2023學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根據(jù)，得到方程，解得.【詳解】解：，，在和中利用余弦定理可得。即化簡可得同除得：解得或（舍去）故選：2.（東北三省三校2023屆高三聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題）橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得到，分別在和，利用余弦定理列出方程組，求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】解：設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，令，在中，，則，即在中，，則，即，聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)椋詸E圓的離心率為.故選：B.3.已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)【答案】B【分析】如圖設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計(jì)算即可.【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B4.如圖，橢圓M：的左、右焦點(diǎn)分別為，，兩平行直線，分別過，交M于A，B、C，D四點(diǎn)，且，，則M的離心率為___．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓定義、對(duì)稱性得到、、、，再利用勾股定理得到參數(shù)的齊次方程，進(jìn)而求離心率.【詳解】設(shè)，則，故．由橢圓的對(duì)稱性知：，連接，則．又，，所以，在Rt中，即，解得，則，．在中，即＋，得，所以M的離心率．故答案為：題型十：離心率：重心型1.（2023春·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線的虛軸的上頂點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，存在斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，得和，根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式列式，得到，結(jié)合，可求出離心率.【詳解】，設(shè)，設(shè)斜率為的直線為，聯(lián)立，消去并整理得，，，即，設(shè)，，則，，因?yàn)榈闹匦臑辄c(diǎn)，所以，，所以，，所以，，消去得，得，得，得，得，得，得，.故選：A2.已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點(diǎn)為，將B代入直線方程得，再利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)為的重心，求得，由直線與的右支交于兩點(diǎn)，得到，求得，再由時(shí)，證得四點(diǎn)共線不滿足題意，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由題意，雙曲線的右焦點(diǎn)為，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，即，解得，即，因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，則滿足，整理得，解得或（舍去），當(dāng)離心率為時(shí)，即時(shí)，可得，此時(shí)，設(shè)，可得，又由，兩式相減可得，即直線的斜率為，又因?yàn)?，所以，此時(shí)四點(diǎn)共線，此時(shí)不滿足題意，綜上可得，雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：A.題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線）1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上不同于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，若橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)題意化簡得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為則，，·∵，∴整理得.∵為橢圓上的點(diǎn)，∴，解得.故選：2.（2023秋·河南鄭州·高三鄭州市第一〇六高級(jí)中學(xué)?？迹┮阎c(diǎn)P是雙曲線（a0，b0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M是△PF1F2的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓與的三邊，，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，易得，，，設(shè)r為圓M的半徑，分別計(jì)算、和，由可得，再結(jié)合雙曲線的定義，可得出，最后求得離心率即可.【詳解】如圖，設(shè)圓M與的三邊分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，則，設(shè)r為內(nèi)切圓M的半徑，，，化簡得：，由雙曲線的定義可得：，∴離心率故選：D.3..已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，橢圓C的離心率為_____.【答案】【解析】首先找到特殊位置，即取P在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)心和重心都在y軸上，由于內(nèi)心和重心連線的斜率不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內(nèi)切圓半徑為y0，再利用等面積法列式解方程可得：.【詳解】當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，取P特殊情況在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，由此可得不論P(yáng)在何處，GI始終垂直于x軸，設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)分別為Q，N，A，如圖所示：設(shè)P在第一象限，坐標(biāo)為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長交x軸于M點(diǎn)，連接GI并延長交x軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，可得重心G（，）所以I的橫坐標(biāo)也為，|ON|，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG=PA，F(xiàn)1Q=F1N，NF2=AF2，所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，由角平分線的性質(zhì)可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），所以整理為：，故答案為：.題型十二：離心率：共焦點(diǎn)橢圓雙曲線型橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．1.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義以及焦點(diǎn)三角形中用余弦定理、離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，在橢圓中：①,在雙曲線中:

②,聯(lián)立①②解得,,在中由余弦定理得：即即橢圓的離心率，雙曲線的離心率，故選：B2.（2023秋·高三聯(lián)考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，其中為右焦點(diǎn)，兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，離心率分別為，．若線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，焦距為，利用中垂線可得到，利用橢圓和雙曲線的定義可得到，即可求得答案【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，焦距為，因?yàn)榫€段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，所以是以為底邊的等腰三角形，則，由橢圓和雙曲線的定義可得，兩式相加得，兩邊同時(shí)除以得，所以，故選：B3.（2023·全國·高三模擬）已知橢圓：與雙曲線：（，）具有共同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，且.點(diǎn)是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，.根據(jù)圓錐曲線定義與勾股定理可得，從而可得，結(jié)合，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，.在橢圓中，，所以.在雙曲線中，，所以，所以，即，得，即.因?yàn)?，所以，解?故選：C.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】設(shè)，，利用余弦定理可得，再分別利用橢圓與雙曲線的定義可得，可得，結(jié)合，解方程即可得答案.【詳解】設(shè)，，在橢圓：中，，，在雙曲線：中，，即，則所以，又因?yàn)椋?，解得，故選：C.題型十三：離心率：雙曲線漸近線型與雙曲線有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為．焦點(diǎn)到漸近線的距離為：；漸近線求法結(jié)論：可直接令方程等號(hào)右邊的常數(shù)為0，化簡解得1.（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】求出兩漸近線的傾斜角，得到漸近線方程，得到，求出離心率.【詳解】因?yàn)橐粭l漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，且這兩條漸近線傾斜角的和等于，所以漸近線的傾斜角分別為，故漸近線方程為，故，，故離心率為.故選：B.2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知：雙曲線與沒有公共點(diǎn)，則，即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，若雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則應(yīng)有，所以離心率，故選：D3.（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，的面積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（

）A． B．或 C． D．2【答案】B【分析】先求邊長，然后根據(jù)相似三角形求邊長，再由面積得a、b、c的齊次式，然后可求.【詳解】由題意，可得圖象如圖所示，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，，所以，所以，所以，解得或，故?故選：B.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由已知可得，設(shè)，，，，由點(diǎn)在漸近線上，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由為的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，把代入漸近線，即可求得的離心率．【詳解】A是的中點(diǎn)，為△的中位線，，所以，所以．設(shè)，，，，點(diǎn)在漸近線上，，得．又為的中點(diǎn)，，在漸近線上，，得，則雙曲線的離心率．故選：B題型十四：離心率：求參數(shù)1.（2023秋·高三專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且為等腰三角形，若雙曲線的離心率為，則的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．30°或120°【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，再設(shè)，分與兩種情況分別列式求解即可.【詳解】雙曲線的離心率為,則，雙曲線方程為，若，設(shè)，則，兩式相加有，即，由圖，故，∴，所以∠PBx=60°,∴∠ABP=120°；若，設(shè)，則，兩式相加有，即，由圖，故，∴，所以∠PAB=120°,∴∠ABP=30°.故選：D2.（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中階段練習(xí)）已知方程的三個(gè)實(shí)根可分別作為一橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心率，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的離心率為，可得，所以，根據(jù)方程另外兩根分別是一橢圓、一雙曲線的離心率，故有兩個(gè)分別屬于和的零點(diǎn)，故有且，即且，運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)可求得.【詳解】令，由于拋物線的離心率為，可得，故，所以，令，因?yàn)榉匠塘硗鈨筛謩e是一橢圓、一雙曲線的離心率，所以有兩個(gè)分別屬于和的零點(diǎn)，故有且，即且，則問題轉(zhuǎn)化為在條件下，求的取值范圍，作出可行域如圖：聯(lián)立，解得，所以，因?yàn)楸硎军c(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方，由圖可知，點(diǎn)為最優(yōu)解，所以，所以的取值范圍是.故選：D3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）若直線和直線相交于一點(diǎn)，將直線繞該點(diǎn)依逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與第一次重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角為，則角就叫做到的角，，其中分別是的斜率，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，是右頂點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，是雙曲線的離心率，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)的斜率為，故，由對(duì)稱性可設(shè)，令，結(jié)合基本不等式可求解.【詳解】解：設(shè)的斜率為，由題意可知：，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)由對(duì)稱性可知結(jié)果一致，則：，令，則，當(dāng)取得最小值時(shí)滿足題意，很明顯，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)：.故選:C.4.（2023全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線的傾斜角的取值范圍是，其斜率為，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，可得，即，轉(zhuǎn)化，分析單調(diào)性，即得解【詳解】雙曲線漸近線方程為，所以，即，所以，則，記，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，.所以，故選：D題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)E，準(zhǔn)線為l.焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點(diǎn)位置變動(dòng)而改變)；②焦點(diǎn)弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半徑公式得：，，(2)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(隨焦點(diǎn)動(dòng)而變)； 圖4(3)其他結(jié)論：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)H．1.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過焦點(diǎn)作直線的垂線，此時(shí)最小，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過焦點(diǎn)作直線的垂線，如下圖所示，此時(shí)最小，為點(diǎn)到直線的距離.，則．故選：B．2.是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，則的最小值為________．【答案】##【分析】求出圓心坐標(biāo)和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，把的最小值轉(zhuǎn)化為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)槭菕佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點(diǎn)與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，所以的最小值為，故答案為：3.設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．【答案】##【分析】當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到直線的距離之和最小，由兩點(diǎn)間的距離公式可得M，當(dāng)P、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，由點(diǎn)到直線距離公式可得.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，即．如圖所示，過點(diǎn)作直線垂直于直線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，即，因此．故答案為：4.點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，若對(duì)于拋物線上的任意點(diǎn)，的最小值為41，則的值等于______.【答案】42或22【分析】當(dāng)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部時(shí)，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)的距離最小，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在拋物線的外部時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的距離最小，即可求解.【詳解】由題意，（1）當(dāng)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部或曲線上時(shí)，則滿足，解得，過點(diǎn)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)的距離最小，且最小值為，可得，解得；（2）當(dāng)點(diǎn)在拋物線的外部時(shí)，則滿足，解得，如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的距離最小，且最小值為，即，解得或（舍去），綜上所述，實(shí)數(shù)的值等于42或22.故答案為42或22.題型十六：拋物線焦點(diǎn)弦：梯形轉(zhuǎn)化型有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.（2）本題還運(yùn)用到點(diǎn)差法，設(shè)而不求，利用拋物線方程作差有效地簡化了計(jì)算量，從而到達(dá)所需的變量等式，此方法在橢圓和雙曲線中也廣泛運(yùn)用.1.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l（不平行于y軸）交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，若，則線段FM的長度為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】先設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，再把的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率表示出來，進(jìn)一步可以求出線段AB的中垂線的方程，只需令，則的橫坐標(biāo)，故可計(jì)算出線段FM的長度為.【詳解】設(shè)，，由拋物線性質(zhì)可知.，由題可知.，即設(shè)線段AB的中垂線的斜率為，則.所以AB的中垂線方程為：令，則的橫坐標(biāo)則所以線段FM的長度為2.故選：B.2.（河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)的中點(diǎn)為，過作軸的垂線，根據(jù)梯形中位線和拋物線的定義可知，由此可求得最小值.【詳解】由拋物線方程知其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，與分別交軸于，則，．設(shè)的中點(diǎn)為，過作軸的垂線，垂足為，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立）線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為．故選：B.3.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【答案】ACD【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯(cuò)誤；利用斜率坐標(biāo)計(jì)算公式幾何中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤則，．又是的中點(diǎn)，則，所以，即，所以直