高考沖刺資源培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類（含答案解析）

培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：含參雙動直線 1題型二：直線系與方程 2題型三：圓：定角 3題型四：圓：切點弦 3題型五：圓綜合 4題型六：離心率：第一定義型 4題型七：離心率：焦半徑型 5題型八：離心率：第三定義型 6題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型 7題型十：離心率：重心型 8題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線） 8題型十二：離心率：共焦點橢圓雙曲線型 9題型十三：離心率：雙曲線漸近線型 10題型十四：離心率：求參數(shù) 10題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化 11題型十六：拋物線焦點弦：梯形轉(zhuǎn)化型 12題型十七：拋物線焦點弦極坐標公式應(yīng)用 12題型十八：拋物線切線型 13題型一：含參雙動直線直線含參。一般情況下，過定點如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點必在定點線段為直徑的圓上。每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點。兩條動直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動態(tài)垂直”。如果兩條動直線“動態(tài)垂直”，則兩直線交點必在兩條直線所過定點為直徑的圓上。如果兩條動直線交點在對應(yīng)的兩直線所過定點為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進行線段的最值求解計算1.（2024上·河北承德·高三統(tǒng)考）已知直線與交于點，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2.（2024上·北京·高按清華附中?？迹┮阎本€恒過定點A，直線恒過定點B，且直線與交于點P，則點P到點的距離的最大值為（

）A．4 B． C．3 D．23.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線相交于點，則到直線的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy(O為坐標原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．題型二：直線系與方程直線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如，不含想若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如，不含若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如與平行1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，設(shè)．有下列三個說法：①存在實數(shù)，使點N在直線l上；②若，則過MN兩點的直線與直線l平行；③若，則直線l經(jīng)過線段MN的中點．上述所有正確說法的序號是．2.（2023上·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)?？迹┮阎c，直線，且點不在直線上，則點到直線的距離；類比有：當點在函數(shù)圖像上時，距離公式變?yōu)?，根?jù)該公式可求的最小值是3.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考一模）設(shè)為兩個不同的點,直線l:ax+by+c=0,.有下列命題：①不論為何值,點N都不在直線l上；②若直線l垂直平分線段MN,則=1；③若=-1,則直線l經(jīng)過線段MN的中點；④若>1,則點M、N在直線l的同側(cè)且l與線段MN的延長線相交.其中正確命題的序號是（寫出所有正確命題的序號）.題型三：圓：定角1.在平面直角坐標系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點.若，則點的橫坐標的取值范圍為______________.2.（2023·四川省通江中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，若圓：上存在兩點、滿足：，則實數(shù)的最大值是______.3.（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點為M，N，若圓心C在軸上運動時，在軸正半軸上總存在定點，使得為定值，則點的縱坐標為_________.題型四：圓：切點弦切點弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點作圓的切線，則切點與四點共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級結(jié)論法：外一點做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：1.（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓M：，直線l：，P為直線l上的動點，過P點作圓M的切線PA、PB，切點為A、B，當最小時，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．2.（2023春·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校校考開學(xué)考試）在平面直角坐標系xOy中，已知圓，直線與圓相切，與圓相交于兩點，分別以點為切點作圓的切線．設(shè)直線的交點為，則的最小值為（

）A．9 B．7 C． D．3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考階段練習(xí)）若是直線上一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．2題型五：圓綜合1.（2023·黑龍江·一模）設(shè)，則的最小值為A．4 B．16 C．5 D．252.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知為圓上兩點，點，且，，則面積的最大值為______.3.（2022山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室高三模擬）已知圓，為圓外的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，使取得最小值的點稱為圓的萌點，則圓的萌點的軌跡方程為_______.4.（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知圓與軸交于點、，過圓上動點(不與、重合)作圓的切線，過點、分別作軸的垂線，與切線分別交于點，直線與交于點，關(guān)于的對稱點為，則點的軌跡方程為_______題型六：離心率：第一定義型求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.1.橢圓的左右焦點分別為?，直線與交于A?兩點，若，，當時，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點，過點作，垂足分別為，且為線段的中點，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3.（江蘇省常州市第一中學(xué)2022-2023年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，點在橢圓的內(nèi)部，點P是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．4.（2023春·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左支分別交于兩點，且，若點為的中點，，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3題型七：離心率：焦半徑型橢圓焦半徑焦半徑范圍：(長軸頂點到焦點最近和最遠，即遠、近地點)雙曲線焦半徑動點到同側(cè)焦點的距離最小值為：1.（江蘇省啟東中學(xué)2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，若橢圓上存在點，使得，則該離心率的取值范圍是________．2.（2022-2023學(xué)年江西省上饒中學(xué)高三下學(xué)期第一次月）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任意一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.（遼寧省實驗中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山一中、東北育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．4.（2023秋·廣東深圳·高三?？迹┰O(shè)，是雙曲線的左右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型八：離心率：第三定義型（1）橢圓1.是橢圓上兩點，為中點，則（可用點差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與橢圓相交于，兩點，為的中點，為坐標原點，則.如果是焦點在y軸上，則是2.是雙曲線上兩點，為中點，則（可用點差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與雙曲線相交于，兩點，為的中點，為坐標原點，則.如果是焦點在y軸上，則是1.（陜西省渭南市富平縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）已知點在橢圓上，是橢圓的左焦點，線段的中點在圓上．記直線的斜率為，若，則橢圓離心率的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2022·新疆喀什·高十三新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A． B． C． D．3.（山西省臨汾市2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點是橢圓上一點，與橢圓上、下頂點連線的斜率之積為，則的離心率為_________.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點，且恰為線段的中點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型焦點弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖：可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率1.（廣東省佛山市2022-2023學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2.（東北三省三校2023屆高三聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題）橢圓的左焦點為點，過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點為F，橢圓上的A，B兩點關(guān)于原點對稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)4.如圖，橢圓M：的左、右焦點分別為，，兩平行直線，分別過，交M于A，B、C，D四點，且，，則M的離心率為___．題型十：離心率：重心型1.（2023春·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點為雙曲線的虛軸的上頂點，為雙曲線的右焦點，存在斜率為的直線交雙曲線于點兩點，且的重心為點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．2.已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點為，，若直線與的右支交于兩點，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線）1.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上不同于左、右頂點的任意一點，為的內(nèi)心，且，若橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．2.（2023秋·河南鄭州·高三鄭州市第一〇六高級中學(xué)校考）已知點P是雙曲線（a0，b0）右支上一點，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右焦點，M是△PF1F2的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．3..已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上不與左右頂點重合的動點，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，橢圓C的離心率為_____.題型十二：離心率：共焦點橢圓雙曲線型橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．1.（2023·高三課時練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2.（2023秋·高三聯(lián)考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，其中為右焦點，兩曲線在第一象限的交點為，離心率分別為，．若線段的中垂線經(jīng)過點，則（

）A． B．2 C． D．33.（2023·全國·高三模擬）已知橢圓：與雙曲線：（，）具有共同的焦點，，離心率分別為，，且.點是橢圓和雙曲線的一個交點，且，則（

）A． B． C． D．.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．題型十三：離心率：雙曲線漸近線型與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為．焦點到漸近線的距離為：；漸近線求法結(jié)論：可直接令方程等號右邊的常數(shù)為0，化簡解得1.（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無公共點，則雙曲線的離心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．3.（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點分別為，，平面內(nèi)一點滿足，的面積為，點為線段的中點，直線為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（

）A． B．或 C． D．24.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，雙曲線：的左、右焦點分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，A是的中點，且，則雙曲線C的離心率（

）A． B．2 C． D．題型十四：離心率：求參數(shù)1.（2023秋·高三專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上一點，且為等腰三角形，若雙曲線的離心率為，則的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．30°或120°2.（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中階段練習(xí)）已知方程的三個實根可分別作為一橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心率，則的取值范圍是A． B． C． D．3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）若直線和直線相交于一點，將直線繞該點依逆時針旋轉(zhuǎn)到與第一次重合時所轉(zhuǎn)的角為，則角就叫做到的角，，其中分別是的斜率，已知雙曲線：的右焦點為，是右頂點，是直線上的一點，是雙曲線的離心率，，則的最大值為（

）A． B． C． D．4.（2023全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線的傾斜角的取值范圍是，其斜率為，則的取值范圍是A． B．C． D．題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)；②焦點弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半徑公式得：，，(2)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(隨焦點動而變)； 圖4(3)其他結(jié)論：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準線相切于點H．1.已知點為拋物線上的動點，設(shè)點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．2.是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，則的最小值為________．3.設(shè)是拋物線上的一個動點為拋物線的焦點，記點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．4.點，拋物線的焦點為，若對于拋物線上的任意點，的最小值為41，則的值等于______.題型十六：拋物線焦點弦：梯形轉(zhuǎn)化型有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.（2）本題還運用到點差法，設(shè)而不求，利用拋物線方程作差有效地簡化了計算量，從而到達所需的變量等式，此方法在橢圓和雙曲線中也廣泛運用.1.過拋物線的焦點F的直線l（不平行于y軸）交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點M，若，則線段FM的長度為（

）A．1 B．2 C．3 D．42.（河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知是拋物線上的兩點，且，則線段的中點到軸的距離的最小值為（

）．A． B． C． D．3.（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．4.（湖南省邵陽市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，過的中點作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點，若，則直線的方程為__________．5.（內(nèi)蒙古赤峰二中2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為__________．題型十七：拋物線焦點弦極坐標公式應(yīng)用設(shè)是過拋物線的焦點的弦，若，，則：若點在第一象限，點在第四象限，則，，弦長，（為直線的傾斜角）；1.如圖，過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若與面積之和的最小值為32，則拋物線的方程為___________．2.若過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，且直線l的傾斜角，點A在x軸上方，則的取值范圍是______．3.已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線與兩點，且，則拋物線的準線方程為________.題型十八：拋物線切線型（1）點是拋物線上一點，則拋物線過點P的切線方程是：；（2）點是拋物線上一點，則拋物線過點P的切線方程是：．1.（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知F為拋物線C：的焦點，過點F的直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，拋物線在點A，B處的切線分別為和，若和交于點P，則的最小值為______．2.（四川省成都市第七中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）過點作拋物線的兩條切線，切點分別為和，又直線經(jīng)過拋物線的焦點，那么=______.3..（上海市控江中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知是拋物線：上一點，且位于第一象限，點到拋物線的焦點的距離為4，過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B．1 C．16 D．

培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：含參雙動直線 1題型二：直線系與方程 4題型三：圓：定角 6題型四：圓：切點弦 8題型五：圓綜合 10題型六：離心率：第一定義型 12題型七：離心率：焦半徑型 15題型八：離心率：第三定義型 16題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型 19題型十：離心率：重心型 22題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線） 24題型十二：離心率：共焦點橢圓雙曲線型 26題型十三：離心率：雙曲線漸近線型 28題型十四：離心率：求參數(shù) 30題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化 32題型十六：拋物線焦點弦：梯形轉(zhuǎn)化型 35題型十七：拋物線焦點弦極坐標公式應(yīng)用 37題型十八：拋物線切線型 40題型一：含參雙動直線直線含參。一般情況下，過定點如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點必在定點線段為直徑的圓上。每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點。兩條動直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動態(tài)垂直”。如果兩條動直線“動態(tài)垂直”，則兩直線交點必在兩條直線所過定點為直徑的圓上。如果兩條動直線交點在對應(yīng)的兩直線所過定點為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進行線段的最值求解計算1.（2024上·河北承德·高三統(tǒng)考）已知直線與交于點，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得點為圓上動點，用三角換元求的最大值.【詳解】由題意可得直線恒過坐標原點，直線恒過定點，且，所以，所以與的交點在以為直徑的圓上，則點的坐標滿足（不含點）．可設(shè)，且，則，所以當時，的最大值為．故選：D2.（2024上·北京·高按清華附中?？迹┮阎本€恒過定點A，直線恒過定點B，且直線與交于點P，則點P到點的距離的最大值為（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【分析】首先求點的坐標，并判斷兩條直線的位置關(guān)系，則點P到點的距離的最大值等于點P到圓心的距離與半徑之和即點P到線段AB中點距離與半徑之和【詳解】設(shè)由直線，可得由直線，可得，因為直線與直線滿足，所以，所以點P在以AB為直徑的圓上，所以點P到點的距離的最大值等于點P到圓心的距離與半徑之和即點P到線段AB中點距離與半徑之和，由，，得AB中點為，半徑為1，所以點P到點的距離的最大值為，故選：A

3.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線相交于點，則到直線的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解法一：求出兩直線所過定點，確定動點P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點到定直線的距離的最值，即可求得答案；解法二：求出兩直線的交點坐標，利用點到直線的距離公式求出P到直線的距離的表達式，結(jié)合不等式知識，即可求得答案.【詳解】解法一：直線整理可得，，即直線恒過，同理可得恒過，又，直線和互相垂直，兩條直線的交點在以，為直徑的圓上，即的軌跡方程為，（去掉，（這是因為不能表示直線，不能表示直線，）設(shè)該圓心為，則，則，由于垂直于直線，故M到的距離即為，而，即，而當時，點的坐標為，不符合題意。故的取值范圍是，故選：A．解法二：聯(lián)立兩條直線的方程，解得交點的坐標為，∴，由，故得的取值范圍是,故選：A．4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy(O為坐標原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】D【分析】由、的方程可得它們都過定點，，然后可得四邊形OMPN為矩形，且，然后可求出答案.【詳解】將直線的方程變形得，由，得，則直線過定點，同理可知，直線過定點，

所以，直線和直線的交點P的坐標為，易知，直線，如圖所示，易知，四邊形OMPN為矩形，且，設(shè)，，則，四邊形OMPN的面積為，當且僅當，即當時，等號成立，因此，四邊形OMPN面積的最大值為，故選：D題型二：直線系與方程直線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如，不含想若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如，不含若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如與平行1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，設(shè)．有下列三個說法：①存在實數(shù)，使點N在直線l上；②若，則過MN兩點的直線與直線l平行；③若，則直線l經(jīng)過線段MN的中點．上述所有正確說法的序號是．【答案】②③【分析】根據(jù)點的坐標是否適合直線方程可判斷①，③；判斷兩直線的斜率是否相等，并判斷直線是否重合可判斷②；【詳解】對于①，因為，所以，所以點不可能在直線l上，錯誤．對于②，因為，所以，所以，若，則，不合題意，故，所以，所以直線MN的方程為，即，又，所以過M、N兩點的直線與直線l平行，正確．對于③，因為，所以，所以，即在直線上，所以直線l經(jīng)過線段MN的中點，正確．綜上所述，正確的有②③，故答案為：②③2.（2023上·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)?？迹┮阎c，直線，且點不在直線上，則點到直線的距離；類比有：當點在函數(shù)圖像上時，距離公式變?yōu)?，根?jù)該公式可求的最小值是【答案】4【分析】依題意可得，，令，則表示半圓上的點到直線和的距離之和，設(shè)為d，則，再結(jié)合圖象進行求解.【詳解】解：依題意可得，，令，則，該方程表示以為圓心，以1為半徑的半圓，依題意表示該半圓上的點到直線的距離，表示該半圓上的點到直線的距離，則表示半圓上的點到直線和的距離之和，設(shè)為d，則，如圖所示：結(jié)合圖象，當點P運動到點時，此時d取得取小值，則，則的最小值為.故答案為：4.3.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考一模）設(shè)為兩個不同的點,直線l:ax+by+c=0,.有下列命題：①不論為何值,點N都不在直線l上；②若直線l垂直平分線段MN,則=1；③若=-1,則直線l經(jīng)過線段MN的中點；④若>1,則點M、N在直線l的同側(cè)且l與線段MN的延長線相交.其中正確命題的序號是（寫出所有正確命題的序號）.【答案】①③④【詳解】試題分析：①因為中，，所以點不在直線上，本選項正確；②當時，根據(jù)，得到，化簡得，即直線的斜率為，又直線的斜率為，①知點不在直線上，得到直線與直線平行，當時，根據(jù)，得到，化簡得：，直線與直線的斜率不存在，都與軸平行，①知點不在直線上，得到直線與直線平行，綜上，當時，直線與直線平行，本選項錯誤；③當時，，化簡得：，而線段的中點坐標為，所以直線經(jīng)過線段的中點，本選項正確；④當時，，即，所以點在直線的同側(cè)，且，得到點到直線的距離不等，所以延長線于直線相交，本選項正確，所以命題正確的是①③④，故填：①③④.題型三：圓：定角1.在平面直角坐標系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點.若，則點的橫坐標的取值范圍為______________.【答案】．【解析】由直徑所對的圓周角為可求得直線的方程，進而解得點的坐標，設(shè)出點的坐標，再利用向量的數(shù)量積即可求出點的橫坐標的取值范圍.【詳解】解：如圖所示：點在以為直徑的圓上，，即，，又均在直線，，，又，：，聯(lián)立：，解得：，；設(shè)，則，，，又，，即，解得：或（舍去），故點的橫坐標取值范圍為：.故答案為：.2.（2023·四川省通江中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，若圓：上存在兩點、滿足：，則實數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】根據(jù)題意，圓C的圓心為，在直線上，當圓心距離x軸的距離越遠，越小，結(jié)合圖像可知當時，圓心C在x軸上方，若、為圓的切線且，此時a取得最大值，可得，即，解可得a的值，即可得答案.【詳解】由題得，圓C的圓心為，在直線上，當圓心距離x軸的距離越遠，越小，如圖所示：當時，圓心C在x軸上方，若、為圓的切線且，此時a取得最大值，此時，有，即，解可得，故答案為：.3.（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點為M，N，若圓心C在軸上運動時，在軸正半軸上總存在定點，使得為定值，則點的縱坐標為_________.【答案】【分析】設(shè)C（c，0），P（0，p），（p＞0），圓C半徑為r，用c、p、r表示∠OPM，∠OPN的正切值，再利用兩角差的正切公式表示∠MPN的正切值，分析該值為定值的條件可確定P的坐標．【詳解】解：如圖，設(shè)C（c，0），P（0，p），（p＞0）圓C半徑為r，則OM＝c﹣r，ON＝c+r，OP＝p，∴tan∠OPM＝，tan∠OPN＝，∴tan∠MPN＝tan（∠OPN﹣∠OPM）＝＝，由兩圓外切可知，r+1＝，得c2＝r2+2r﹣3，∴tan∠MPN＝＝，∵上式為與無關(guān)的定值，∴p2﹣3＝0，∴p＝．故答案為：題型四：圓：切點弦切點弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點作圓的切線，則切點與四點共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級結(jié)論法：外一點做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：1.（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓M：，直線l：，P為直線l上的動點，過P點作圓M的切線PA、PB，切點為A、B，當最小時，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得，說明要使最小，則需最小，此時PM與直線l垂直．寫出PM所在直線方程，與直線l的方程聯(lián)立，求得P點坐標，然后寫出以PM為直徑的圓的方程，再與圓M的方程聯(lián)立可得AB所在直線方程．【詳解】解：因為圓，即為，所以圓心，半徑．．要使最小，則需最小，此時PM與直線l垂直．直線PM的方程為，即，聯(lián)立，解得，即．則以PM為直徑的圓O的方程為．直線AB為圓M與圓O公共弦所在直線，聯(lián)立相減可得直線AB的方程為．故選：A．2.（2023春·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標系xOy中，已知圓，直線與圓相切，與圓相交于兩點，分別以點為切點作圓的切線．設(shè)直線的交點為，則的最小值為（

）A．9 B．7 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得切點弦的方程為，進而根據(jù)其與圓相切得，即，進而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得最小值.【詳解】解：設(shè)點，，，，因為分別以點為切點作圓的切線．設(shè)直線的交點為，所以，則，即，所以，因為，所以，即是方程的解，所以點在直線上，同理可得在直線上，所以切點弦的方程為，因為直線與圓相切，所以，解得，即所以，所以當時，直線方程為，此時所以的最小值為.故選：D3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中?？茧A段練習(xí)）若是直線上一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．2【答案】A【分析】由題意可得當取最小值時，的值最小，求得圓心到直線的距離即得，即可得.【詳解】如下圖所示，易知且垂直平分，所以，且，由勾股定理可得，所以，即取最小值時，取得最小值；易知為圓心到直線的距離，即，所以.故選：A題型五：圓綜合1.（2023·黑龍江·一模）設(shè)，則的最小值為A．4 B．16 C．5 D．25【答案】B【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題，然后數(shù)形結(jié)合求解最小值即可.【詳解】表示點P(3-4y，4+3y)、Q(cosx，-sinx)兩點距離的平方，由得點P的軌跡方程為，由得點Q的軌跡方程為，則，，即的最小值為16.2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知為圓上兩點，點，且，，則面積的最大值為______.【答案】【解析】由，可得，在圓中可得，從而有，即可求出點的軌跡，然后就可得出面積的最大值.【詳解】因為，所以，且是的中點所以因為所以，即設(shè)點，則有化簡得：即點的軌跡是圓心為，半徑為的圓。因為，且直線經(jīng)過點所以點到直線的距離的最大值就為半徑。所以面積的最大值為故答案為：3.（2022山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室高三模擬）已知圓，為圓外的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，使取得最小值的點稱為圓的萌點，則圓的萌點的軌跡方程為_______.【答案】.【分析】根據(jù)圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等可得，再利用切線長公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、結(jié)合基本不等式，即可得到答案；【詳解】當且僅當時等號成立.由在圓外知的取值范圍是，所以能成立，故的最小值為.由知，萌點的軌跡為圓，方程為.故答案為：4.（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知圓與軸交于點、，過圓上動點(不與、重合)作圓的切線，過點、分別作軸的垂線，與切線分別交于點，直線與交于點，關(guān)于的對稱點為，則點的軌跡方程為_______【答案】【分析】相關(guān)點法求軌跡方程：設(shè)，先根據(jù)條件，求出，兩點的坐標，再聯(lián)立直線和求出交點，根據(jù)，兩點關(guān)于對稱，確定用，表示點的坐標，再由點在圓上，列方程整理即可.【詳解】依題意作圖，有，，設(shè)()，.過點的圓的切線的方程為，所以，.聯(lián)立解得，所以點.又點，關(guān)于點對稱，所以，即，又點在圓上，所以，把代入整理得，，又，所以點的軌跡方程().故答案為：().題型六：離心率：第一定義型求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.1.橢圓的左右焦點分別為?，直線與交于A?兩點，若，，當時，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題干條件得到，表達出，，利用橢圓定義得到關(guān)系，結(jié)合的范圍求出離心率的最小值.【詳解】連接，由題知點A?關(guān)于原點對稱，，，，則，，又，即，，由得，所以，D正確.故選：D2.（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點，過點作，垂足分別為，且為線段的中點，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由條件證明為線段的中點，由此可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關(guān)系，由此可求曲線的離心率.【詳解】因為，為雙曲線的左?右焦點，所以，因為所以，又為線段的中點，所以為線段的中點，且，又為線段的中點，所以，在中，，，所以，所以，因為點在雙曲線的右支上，所以，故，在中，，，，由勾股定理可得：，所以，即，所以，又，故，所以，故選：D.3.（江蘇省常州市第一中學(xué)2022-2023年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，點在橢圓的內(nèi)部，點P是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點在橢圓的內(nèi)部，以及列不等式，化簡后求得橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】因為點在橢圓的內(nèi)部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.因為，而，所以，即，由三角形的性質(zhì)可得，因為是橢圓上的動點，且恒成立，所以，所以，即，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：A4.（2023春·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左支分別交于兩點，且，若點為的中點，，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由條件結(jié)合雙曲線定義列出關(guān)于的齊次方程，由此可求的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因為，所以，由雙曲線定義可得，所以因為點為的中點，，所以，即所以，所以，所以離心率，故選：A.題型七：離心率：焦半徑型橢圓焦半徑焦半徑范圍：(長軸頂點到焦點最近和最遠，即遠、近地點)雙曲線焦半徑動點到同側(cè)焦點的距離最小值為：1.（江蘇省啟東中學(xué)2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，若橢圓上存在點，使得，則該離心率的取值范圍是________．【答案】.由題意可得：|PF1|=e|PF2|，又|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|(1+e)=2a，由于a-c≤|PF2|≤a+c，所以(a+c)(1+e)≥2a①，且(a-c)(1+e)≤2a②，①式兩邊除以a，得(1+e)(1+e)≥2，解得e≥②式兩邊除以a，得(1-e)(1+e)≤2，恒成立，所以離心率e的取值范圍是.2.（2022-2023學(xué)年江西省上饒中學(xué)高三下學(xué)期第一次月）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任意一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，再利用基本不等式求出的最小值，從而得到，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則，由雙曲線的定義知，∴，，當且僅當，即時，等號成立，∴當?shù)淖钚≈禐闀r，，，此時，解得，又，∴．故選：C．3.（遼寧省實驗中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山一中、東北育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【詳解】根據(jù)焦半徑公式，化簡得，解得，根據(jù)橢圓橫坐標的取值范圍，得，不等式同時除以化為.解得.即離心率的取值范圍為.4.（2023秋·廣東深圳·高三?？迹┰O(shè)，是雙曲線的左右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，設(shè)，先由雙曲線的定義，再利用余弦定理，由題意可得，最后再用可得、的不等關(guān)系，可得離心率.【詳解】由題，取點為右支上的點，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義知：，在三角形中，由余弦定理可得：，又因為可得，即，又因為，所以即，.故選：.題型八：離心率：第三定義型（1）橢圓1.是橢圓上兩點，為中點，則（可用點差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與橢圓相交于，兩點，為的中點，為坐標原點，則.如果是焦點在y軸上，則是2.是雙曲線上兩點，為中點，則（可用點差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與雙曲線相交于，兩點，為的中點，為坐標原點，則.如果是焦點在y軸上，則是1.（陜西省渭南市富平縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）已知點在橢圓上，是橢圓的左焦點，線段的中點在圓上．記直線的斜率為，若，則橢圓離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的中點為，由題意得，設(shè)，則，在中，利用余弦定理，即可求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)的中點為，連接，因為點在上，，所以，，設(shè)，則，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，離心率，故選：D.2.（2022·新疆喀什·高十三新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標進而求得A點坐標，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進而求得離心率．【詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點，把中點坐標代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：．3.（山西省臨汾市2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點是橢圓上一點，與橢圓上、下頂點連線的斜率之積為，則的離心率為_________.【答案】【分析】設(shè)點，則，可得出，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出，再利用離心率公式可求得橢圓的離心率的值.【詳解】設(shè)點，則，則，則，橢圓的上、下頂點坐標分別為、，所以，由已知可得，可得，所以，.故答案為：.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點，且恰為線段的中點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用中位線關(guān)系求得，再利用雙曲線的定義，表示的三邊，最后根據(jù)勾股定理求雙曲線的離心率.【詳解】連結(jié)，因為點分別為和的中點，所以，且設(shè)點到一條漸近線的距離，所以，又，所以，中，滿足，整理為：，雙曲線的離心率.故選：D題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型焦點弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖：可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率1.（廣東省佛山市2022-2023學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根據(jù)，得到方程，解得.【詳解】解：，，在和中利用余弦定理可得。即化簡可得同除得：解得或（舍去）故選：2.（東北三省三校2023屆高三聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題）橢圓的左焦點為點，過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為橢圓的右焦點，根據(jù)橢圓的對稱性，得到，分別在和，利用余弦定理列出方程組，求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】解：設(shè)為橢圓的右焦點，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，令，在中，，則，即在中，，則，即，聯(lián)立方程組，解得，因為，所以橢圓的離心率為.故選：B.3.已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點為F，橢圓上的A，B兩點關(guān)于原點對稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)【答案】B【分析】如圖設(shè)橢圓的左焦點為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計算即可.【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點為E，則，因為點A、B關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B4.如圖，橢圓M：的左、右焦點分別為，，兩平行直線，分別過，交M于A，B、C，D四點，且，，則M的離心率為___．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓定義、對稱性得到、、、，再利用勾股定理得到參數(shù)的齊次方程，進而求離心率.【詳解】設(shè)，則，故．由橢圓的對稱性知：，連接，則．又，，所以，在Rt中，即，解得，則，．在中，即＋，得，所以M的離心率．故答案為：題型十：離心率：重心型1.（2023春·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點為雙曲線的虛軸的上頂點，為雙曲線的右焦點，存在斜率為的直線交雙曲線于點兩點，且的重心為點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，得和，根據(jù)三角形重心坐標公式列式，得到，結(jié)合，可求出離心率.【詳解】，設(shè)，設(shè)斜率為的直線為，聯(lián)立，消去并整理得，，，即，設(shè)，，則，，因為的重心為點，所以，，所以，，所以，，消去得，得，得，得，得，得，得，.故選：A2.已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點為，將B代入直線方程得，再利用點差法可得，結(jié)合，可求出，進而求出離心率.【詳解】由題設(shè)，則線段的中點為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點，則，又為橢圓上兩點，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點為，，若直線與的右支交于兩點，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點為的中點，根據(jù)為的重心，求得，由直線與的右支交于兩點，得到，求得，再由時，證得四點共線不滿足題意，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由題意，雙曲線的右焦點為，且，設(shè)點為的中點，因為為的重心，所以，即，解得，即，因為直線與的右支交于兩點，則滿足，整理得，解得或（舍去），當離心率為時，即時，可得，此時，設(shè)，可得，又由，兩式相減可得，即直線的斜率為，又因為，所以，此時四點共線，此時不滿足題意，綜上可得，雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：A.題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線）1.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上不同于左、右頂點的任意一點，為的內(nèi)心，且，若橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)題意化簡得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為則，，·∵，∴整理得.∵為橢圓上的點，∴，解得.故選：2.（2023秋·河南鄭州·高三鄭州市第一〇六高級中學(xué)?？迹┮阎cP是雙曲線（a0，b0）右支上一點，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右焦點，M是△PF1F2的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓與的三邊，，分別相切于點E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，易得，，，設(shè)r為圓M的半徑，分別計算、和，由可得，再結(jié)合雙曲線的定義，可得出，最后求得離心率即可.【詳解】如圖，設(shè)圓M與的三邊分別相切于點E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，則，設(shè)r為內(nèi)切圓M的半徑，，，化簡得：，由雙曲線的定義可得：，∴離心率故選：D.3..已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上不與左右頂點重合的動點，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，橢圓C的離心率為_____.【答案】【解析】首先找到特殊位置，即取P在上頂點時，內(nèi)心和重心都在y軸上，由于內(nèi)心和重心連線的斜率不隨著點P的運動而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內(nèi)切圓半徑為y0，再利用等面積法列式解方程可得：.【詳解】當直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，取P特殊情況在上頂點時，內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，由此可得不論P在何處，GI始終垂直于x軸，設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點分別為Q，N，A，如圖所示：設(shè)P在第一象限，坐標為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長交x軸于M點，連接GI并延長交x軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，可得重心G（，）所以I的橫坐標也為，|ON|，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG=PA，F(xiàn)1Q=F1N，NF2=AF2，所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，由角平分線的性質(zhì)可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），所以整理為：，故答案為：.題型十二：離心率：共焦點橢圓雙曲線型橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．1.（2023·高三課時練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義以及焦點三角形中用余弦定理、離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)P為第一象限的點，在橢圓中：①,在雙曲線中:

②,聯(lián)立①②解得,,在中由余弦定理得：即即橢圓的離心率，雙曲線的離心率，故選：B2.（2023秋·高三聯(lián)考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，其中為右焦點，兩曲線在第一象限的交點為，離心率分別為，．若線段的中垂線經(jīng)過點，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，焦距為，利用中垂線可得到，利用橢圓和雙曲線的定義可得到，即可求得答案【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，焦距為，因為線段的中垂線經(jīng)過點，所以是以為底邊的等腰三角形，則，由橢圓和雙曲線的定義可得，兩式相加得，兩邊同時除以得，所以，故選：B3.（2023·全國·高三模擬）已知橢圓：與雙曲線：（，）具有共同的焦點，，離心率分別為，，且.點是橢圓和雙曲線的一個交點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，.根據(jù)圓錐曲線定義與勾股定理可得，從而可得，結(jié)合，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，.在橢圓中，，所以.在雙曲線中，，所以，所以，即，得，即.因為，所以，解得.故選：C.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】設(shè)，，利用余弦定理可得，再分別利用橢圓與雙曲線的定義可得，可得，結(jié)合，解方程即可得答案.【詳解】設(shè)，，在橢圓：中，，，在雙曲線：中，，即，則所以，又因為，所以，解得，故選：C.題型十三：離心率：雙曲線漸近線型與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為．焦點到漸近線的距離為：；漸近線求法結(jié)論：可直接令方程等號右邊的常數(shù)為0，化簡解得1.（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】求出兩漸近線的傾斜角，得到漸近線方程，得到，求出離心率.【詳解】因為一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線傾斜角的3倍，且這兩條漸近線傾斜角的和等于，所以漸近線的傾斜角分別為，故漸近線方程為，故，，故離心率為.故選：B.2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無公共點，則雙曲線的離心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知：雙曲線與沒有公共點，則，即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，若雙曲線（，）與直線無公共點，則應(yīng)有，所以離心率，故選：D3.（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點分別為，，平面內(nèi)一點滿足，的面積為，點為線段的中點，直線為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（

）A． B．或 C． D．2【答案】B【分析】先求邊長，然后根據(jù)相似三角形求邊長，再由面積得a、b、c的齊次式，然后可求.【詳解】由題意，可得圖象如圖所示，因為，為的中點，為的中點，所以，所以，因為焦點到漸近線的距離，所以，又因為，，所以，所以，，所以，所以，所以，解得或，故或.故選：B.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，雙曲線：的左、右焦點分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，A是的中點，且，則雙曲線C的離心率（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由已知可得，設(shè)，，，，由點在漸近線上，求得點坐標，再由為的中點，得到點坐標，把代入漸近線，即可求得的離心率．【詳解】A是的中點，為△的中位線，，所以，所以．設(shè)，，，，點在漸近線上，，得．又為的中點，，在漸近線上，，得，則雙曲線的離心率．故選：B題型十四：離心率：求參數(shù)1.（2023秋·高三專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上一點，且為等腰三角形，若雙曲線的離心率為，則的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．30°或120°【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，再設(shè)，分與兩種情況分別列式求解即可.【詳解】雙曲線的離心率為,則，雙曲線方程為，若，設(shè)，則，兩式相加有，即，由圖，故，∴，所以∠PBx=60°,∴∠ABP=120°；若，設(shè)，則，兩式相加有，即，由圖，故，∴，所以∠PAB=120°,∴∠ABP=30°.故選：D2.（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中階段練習(xí)）已知方程的三個實根可分別作為一橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心率，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的離心率為，可得，所以，根據(jù)方程另外兩根分別是一橢圓、一雙曲線的離心率，故有兩個分別屬于和的零點，故有且，即且，運用線性規(guī)劃知識可求得.【詳解】令，由于拋物線的離心率為，可得，故，所以，令，因為方程另外兩根分別是一橢圓、一雙曲線的離心率，所以有兩個分別屬于和的零點，故有且，即且，則問題轉(zhuǎn)化為在條件下，求的取值范圍，作出可行域如圖：聯(lián)立，解得，所以，因為表示點與原點之間的距離的平方，由圖可知，點為最優(yōu)解，所以，所以的取值范圍是.故選：D3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）若直線和直線相交于一點，將直線繞該點依逆時針旋轉(zhuǎn)到與第一次重合時所轉(zhuǎn)的角為，則角就叫做到的角，，其中分別是的斜率，已知雙曲線：的右焦點為，是右頂點，是直線上的一點，是雙曲線的離心率，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)的斜率為，故，由對稱性可設(shè)，令，結(jié)合基本不等式可求解.【詳解】解：設(shè)的斜率為，由題意可知：，不妨設(shè)，當時由對稱性可知結(jié)果一致，則：，令，則，當取得最小值時滿足題意，很明顯，則，當且僅當時等號成立，此時：.故選:C.4.（2023全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線的傾斜角的取值范圍是，其斜率為，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，可得，即，轉(zhuǎn)化，分析單調(diào)性，即得解【詳解】雙曲線漸近線方程為，所以，即，所以，則，記，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，.所以，故選：D題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)；②焦點弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半徑公式得：，，(2)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(隨焦點動而變)； 圖4(3)其他結(jié)論：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準線相切于點H．1.已知點為拋物線上的動點，設(shè)點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，此時最小，再根據(jù)點到直線距離公式即可求解.【詳解】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，如下圖所示，此時最小，為點到直線的距離.，則．故選：B．2.是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，則的最小值為________．【答案】##【分析】求出圓心坐標和拋物線的焦點坐標，把的最小值轉(zhuǎn)化為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的距離即可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點，因為是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的距離，即，所以的最小值為，故答案為：3.設(shè)是拋物線上的一個動點為拋物線的焦點，記點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．【答案】##【分析】當P、A、F三點共線時，點P到點A的距離與到直線的距離之和最小，由兩點間的距離公式可得M，當P、B、F三點共線時，最小，由點到直線距離公式可得.【詳解】如圖所示，過點作垂直于直線，垂足為點，由拋物線的定義可得，所以點到直線的距離為，所以當且僅當三點共線時，取到最小值，即．如圖所示，過點作直線垂直于直線，垂足為點，由拋物線的定義可得點到直線的距離為，所以，當且僅當三點共線時，等號成立，即，因此．故答案為：4.點，拋物線的焦點為，若對于拋物線上的任意點，的最小值為41，則的值等于______.【答案】42或22【分析】當點在拋物線的內(nèi)部時，得到當三點共線時，此時的距離最小，即可求解；當點在拋物線的外部時，當三點共線時，的距離最小，即可求解.【詳解】由題意，（1）當點在拋物線的內(nèi)部或曲線上時，則滿足，解得，過點點作拋物線的準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以,當三點共線時，此時的距離最小，且最小值為，可得，解得；（2）當點在拋物線的外部時，則滿足，解得，如圖所示，當三點共線時，的距離最小，且最小值為，即，解得或（舍去），綜上所述，實數(shù)的值等于42或22.故答案為42或22.題型十六：拋物線焦點弦：梯形轉(zhuǎn)化型有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.（2）本題還運用到點差法，設(shè)而不求，利用拋物線方程作差有效地簡化了計算量，從而到達所需的變量等式，此方法在橢圓和雙曲線中也廣泛運用.1.過拋物線的焦點F的直線l（不平行于y軸）交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點M，若，則線段FM的長度為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】先設(shè)點，點，則，再把的中點坐標和斜率表示出來，進一步可以求出線段AB的中垂線的方程，只需令，則的橫坐標，故可計算出線段FM的長度為.【詳解】設(shè)，，由拋物線性質(zhì)可知.，由題可知.，即設(shè)線段AB的中垂線的斜率為，則.所以AB的中垂線方程為：令，則的橫坐標則所以線段FM的長度為2.故選：B.2.（河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知是拋物線上的兩點，且，則線段的中點到軸的距離的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】過作準線的垂線，設(shè)的中點為，過作軸的垂線，根據(jù)梯形中位線和拋物線的定義可知，由此可求得最小值.【詳解】由拋物線方程知其焦點為，準線為；分別過作準線的垂線，垂足分別為，與分別交軸于，則，．設(shè)的中點為，過作軸的垂線，垂足為，（當且僅當三點共線時，等號成立）線段的中點到軸的距離的最小值為．故選：B.3.（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【答案】ACD【分析】由焦點到準線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯誤；利用斜率坐標計算公式幾何中點坐標計算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.【詳解】因為焦點到準線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點，故B錯誤則，．又是的中點，則，所以，即，所以直