《2.2.3直線的一般式方程》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《2.2.3直線的一般式方程》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線的一般式方程直線的一般式方程是直線的點斜式，斜截式，兩點式，截距式方程的綜合表示形式，與前面學(xué)習(xí)的其他形式的直線方程的一個不同點是：直線的一般式方程能夠表示平面上的所有直線，而點斜式、斜截式、兩點式方程，都不能表示與x軸垂直的直線.通過研究直線方程的幾種形式，指出它們都是關(guān)于x，y的二元一次方程，然后從兩個方面進一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系，使學(xué)生明確一個重要事實：在平面直角坐標系中，任何一條直線的方，可以寫成關(guān)于x，y的一元二次方程；反過來，任何一個關(guān)于x，y的一次方程都表示一條直線，為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線和方程”打下基礎(chǔ).本節(jié)內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是本章的重點內(nèi)容，對前面學(xué)習(xí)兩直線位置關(guān)系的判定提供了必要的基礎(chǔ)支持，也是后面要學(xué)習(xí)的兩直線的交點、點到直線的距離、兩平行線間的距離等知識的必需形式.大綱把教學(xué)目標定位在“掌握直線的一般方程”，屬于較高層次的要求.本節(jié)課注重綜合分析歸納，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方面.【教學(xué)目標與核心素養(yǎng)】課程目標學(xué)科素養(yǎng)A.了解直線的一般式方程的形式特征，理解直線的一般式方程與二元一次方程的關(guān)系；2.能正確地進行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化；3.能運用直線的一般式方程解決有關(guān)問題.1.數(shù)學(xué)抽象：一般式方程與二元一次方程的關(guān)系2.邏輯推理：直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化3.數(shù)學(xué)運算：運用直線的一般式方程解決有關(guān)問題4.直觀想象：直線與方程的關(guān)系【教學(xué)重點】：了解二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系，掌握直線的一般形式【教學(xué)難點】：能根據(jù)所給條件求直線方程，并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、問題導(dǎo)學(xué)問題：由下列各條件,寫出直線的方程,并畫出圖形.(1)斜率是1,經(jīng)過點A(1,8);(2)在x軸和y軸上的截距分別是-7,7;(3)經(jīng)過兩點P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y軸上的截距是7,傾斜角是45°.(1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-直線的圖象,你會驚奇地發(fā)現(xiàn):這4條直線是重合的.事實上,它們的方程都可以化簡為x-y+7=0.這樣前幾種直線方程就有了統(tǒng)一的形式,這就是本節(jié)我們要學(xué)習(xí)的直線的一般式方程.同學(xué)們,根據(jù)前面我們學(xué)習(xí)的直線方程形式,分別利用點斜式、截距式、兩點式和斜截式,可得到四種情況下的直線方程分別為二、探究新知1.直線的一般式方程(1)．在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關(guān)于x，y的_____________；任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示________．方程_____________________________________叫做直線方程的一般式．二元一次方程;一條直線;Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同時為0)(2)．直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．②方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y常數(shù)的先后順序排列．③x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù)．④雖然直線方程的一般式有三個參數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程．2.直線的一般式方程與其他形式的互化1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)中,A,B,C為何值時,方程表示的直線(1)平行于x軸;(2)平行于y軸;(3)與x軸重合;(4)與y軸重合.答案:當A=0時,方程變?yōu)閥=-CB,當C≠0時表示的直線平行于x軸,當C=0時與x軸重合;當B=0時,方程變?yōu)閤=-CA,當C≠0時表示的直線平行于y軸,當C=0時與y2.直線方程2x+3y+1=0化為斜截式為;化為截距式為

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解析:方程化為3y=-2x-1,則y=-23x-1方程化為2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x-12答案:y=-23x-13;x3.兩條直線的位置關(guān)系3.判斷下列兩組直線是否平行或垂直:(1)x+2y-7=0;2x+4y-7=0.(2)4x-y+3=0,3x+12y-11=0.解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,∴兩直線平行.(2)∵4×3+(-1)×12=0,∴兩直線垂直.三、典例解析例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式方程.(1)斜率是3,且經(jīng)過點A(5,3);(2)斜率為4,在y軸上的截距為-2;(3)經(jīng)過A(-1,5),B(2,-1)兩點;(4)在x軸、y軸上的截距分別是-3,-1.思路分析:先選擇合適的形式將直線方程寫出來,再化為一般式.解:(1)由點斜式方程可知,所求直線方程為y-3=3(x-5),化為一般式方程為3x-y+3-53=0.(2)由斜截式方程可知,所求直線方程為y=4x-2,化為一般式方程為4x-y-2=0.(3)由兩點式方程可知,所求直線方程為y-化為一般式方程為2x+y-3=0.(4)由截距式方程可得,所求直線方程為x-3+y-1=1,化為一般式方程為x+直線的一般式方程的特征求直線方程時,要求將方程化為一般式方程,其形式一般作如下設(shè)定:x的系數(shù)為正;系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù);一般按含x項、含y項、常數(shù)項的順序排列.跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列各條件寫出直線的方程,并化成一般式.(1)斜率是-12,經(jīng)過點A(8,-(2)經(jīng)過點B(4,2),且平行于x軸;(3)在x軸和y軸上的截距分別是32,-(4)經(jīng)過兩點P1(3,-2),P2(5,-4).解:(1)由點斜式方程,得y-(-2)=-12(x-8),即x+2y-4=0(2)由點斜式方程,得y-2=0.(3)由截距式方程,得x32+y-3=1,即2(4)由兩點式方程,得y-(-2)-4-(-【例2】(1)已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求實數(shù)m的值;(2)已知直線l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求實數(shù)a的值.思路分析:利用在一般式方程下,兩直線平行或垂直的條件求解.解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.當m=-3時,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,顯然l1與l2不重合,∴l(xiāng)1∥l2.同理,當m=2時,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1與l2不重合,l1∥l2,故m的值為2或-3.(2)由直線l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.故當a=1或a=-1時,直線l1⊥l2.延伸探究已知點A(2,2)和直線l:3x+4y-20=0.求:(1)過點A和直線l平行的直線方程;(2)過點A和直線l垂直的直線方程.解:(1)將與直線l平行的直線方程設(shè)為3x+4y+C1=0,又過點A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.所求直線方程為3x+4y-14=0.(2)將與l垂直的直線方程設(shè)為4x-3y+C2=0,又過點A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,所以直線方程為4x-3y-2=0.1．利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0.跟蹤訓(xùn)練2已知直線l的方程為3x+4y-12=0,求直線l'的方程,l'滿足(1)過點(-1,3),且與l平行;(2)過點(-1,3),且與l垂直.思路分析:可先求斜率,再利用點斜式方程求解;也可利用平行、垂直直線系方程,利用待定系數(shù)法求解.解:(方法1)由題設(shè)l的方程可化為y=-34x+3,∴l(xiāng)的斜率為-3(1)∵直線l'與l平行,∴l(xiāng)'的斜率為-34又∵直線l'過(-1,3),由點斜式知方程為y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0(2)由l'與l垂直,∴l(xiāng)'的斜率為43又過(-1,3),由點斜式可得方程為y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0(方法2)(1)由l'與l平行,可設(shè)l'方程為3x+4y+m=0.將點(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直線方程為3x+4y-9=0.(2)由l'與l垂直,可設(shè)其方程為4x-3y+n=0.將(-1,3)代入上式得n=13.∴所求直線方程為4x-3y+13=0.金題典例(1)設(shè)直線l的方程為(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直線l不過第三象限，則a的取值范圍為________．(2)設(shè)直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根據(jù)下列條件分別確定k的值：①直線l的斜率為－1；②直線l在x軸，y軸上的截距之和等于0.解析：(1)[1，＋∞)把直線l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因為直線l不過第三象限，該直線的斜率小于等于零，且直線在y軸上的截距大于等于零．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤0，,a＋2≥0，))解得a≥1.所以a的取值范圍為[1，＋∞)．(2)①因為直線l的斜率存在，所以直線l的方程可化為y＝－eq\f(2,k－3)x＋2.由題意得－eq\f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.②直線l的方程可化為eq\f(x,k－3)＋eq\f(y,2)＝1.由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.變式探究：1.典例(1)中若將方程改為“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他條件不變，又如何求解？[解](1)當a－1＝0，即a＝1時，直線為x＝3，該直線不過第三象限，符合．(2)當a－1≠0，即a≠1時，直線化為斜截式方程為y＝eq\f(1,1－a)x－eq\f(2＋a,1－a)，因為直線l不過第三象限，故該直線的斜率小于等于零，且直線在y軸上的截距大于等于零．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－a)≤0，,－\f(2＋a,1－a)≥0，))解得a＞1.由(1)(2)可知a≥1.2．若典例(1)中的方程不變，當a取何值時，直線不過第二象限？[解]把直線l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因為直線l不過第二象限，故該直線的斜率大于等于零，且直線在y軸上的截距小于等于零．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≥0，,a＋2≤0，))解得a≤－2.直線恒過定點的求解策略1將方程化為點斜式，求得定點的坐標.2將方程變形，把x，y作為參數(shù)的系數(shù)，因為此式子對任意的參數(shù)的值都成立，故需系數(shù)為零，解方程組可得x，y的值，即為直線過的定點.通過求解4個條件下的直線方程，體會不同直線方程的適用條件，及時提出問題，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)直線方程一般式的必要性。理解直線一般式的方程特點，能進行直線方程間的互化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生加深對直線一般式的理解和應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進一步靈活運用直線一般式，并能合理選擇直線的方程形式，解決相關(guān)問題。三、達標檢測1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)可表示平面內(nèi)的任何一條直線．()(2)當C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)表示的直線過原點．()(3)當B＝0，A≠0時，方程Ax＋By＋C＝0表示的直線與y軸平行．()(4)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．()答案(1)√(2)√(3)×當C＝0時，直線與y軸重合．(4)×當直線與坐標軸平行或重合時，不能轉(zhuǎn)化為截距式或斜截式．2.兩直線ax-by-1=0(ab≠0)與bx-ay-1=0(ab≠0)的圖象可能是圖中的哪一個()解析:當a<0,b>0時,直線ax-by=1在x軸上的截距1a<0,在y軸上的截距-1b<0;bx-ay=1在x軸上的截距1b>0,在y軸上的截距-1a>0.答案:B3．過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y＝2＝0D．x＋2y－1＝0答案A解析：設(shè)所求直線方程為x－2y＋c＝0，把點(1,0)代入可求得c＝－1.所以所求直線方程為x－2y－1＝0.故選A.4．已知兩條直線y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，則a＝________.答案：1或－3解析：依題意得：a(a＋2)＝3×1，解得a＝1或a＝－3.5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線．(1)求實數(shù)m的范圍；(2)若該直線的斜率k＝1，求實數(shù)m的值．解析：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2＝0，,m－2＝0，))解得m＝2，若方程表示直線，則m2－3m＋2與m－2不能同時為0，故m≠2.(2)由－eq\f(m2－3m＋2,m－2)＝1，解得m＝0.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】通過復(fù)習(xí)回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的四種直線方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一種更為完美的代數(shù)形式可以表示平面中的所有直線？學(xué)生探究“平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x、y的二元一次方程表示嗎？”引導(dǎo)學(xué)生分類討論，使學(xué)生對直線方程的一般式有了更深入的理解。通過小組合作自我探究，以及例題和練習(xí)題的講解，深入理解直線方程幾種形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，能在整體上把握直線方程．本節(jié)課以學(xué)生為主體，圍繞學(xué)生展開教學(xué)，在教學(xué)過程中，自始至終讓學(xué)生唱主角，使學(xué)生變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，教師成為學(xué)習(xí)的引路人。大部分內(nèi)容都是安排學(xué)生討論，并適當增加練習(xí)，使學(xué)生能更好地掌握直線方程，而不是僅停留在觀念上。本課通過“創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，激發(fā)興趣→新知引入→新知探究→當堂反饋→歸納總結(jié)→課后作業(yè)”的過程從而完成教學(xué)目標?！?.2.3直線的一般式方程》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標】1.了解直線的一般式方程的形式特征,理解直線的一般式方程與二元一次方程的關(guān)系.2.能正確地進行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化.3.能運用直線的一般式方程解決有關(guān)問題.【重點和難點】重點：了解二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系，掌握直線的一般形式難點：能根據(jù)所給條件求直線方程，并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化【知識梳理】一、自主導(dǎo)學(xué)1.直線的一般式方程(1)．在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關(guān)于x，y的_____________；任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示________．方程____________________________叫做直線方程的一般式．二元一次方程;一條直線;Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同時為0)(2)．直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．②方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y常數(shù)的先后順序排列．③x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù)．④雖然直線方程的一般式有三個參數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程．2.直線的一般式方程與其他形式的互化3.兩條直線的位置關(guān)系二、小試牛刀1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同時為零)中,A,B,C為何值時,方程表示的直線(1)平行于x軸;(2)平行于y軸;(3)與x軸重合;(4)與y軸重合.2.直線方程2x+3y+1=0化為斜截式為;化為截距式為

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3.判斷下列兩組直線是否平行或垂直:(1)x+2y-7=0;2x+4y-7=0.(2)4x-y+3=0,3x+12y-11=0.【學(xué)習(xí)過程】一、問題導(dǎo)學(xué)問題：由下列各條件,寫出直線的方程,并畫出圖形.(1)斜率是1,經(jīng)過點A(1,8);(2)在x軸和y軸上的截距分別是-7,7;(3)經(jīng)過兩點P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y軸上的截距是7,傾斜角是45°.同學(xué)們,根據(jù)前面我們學(xué)習(xí)的直線方程形式,分別利用點斜式、截距式、兩點式和斜截式,可得到四種情況下的直線方程分別為(1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-直線的圖象,你會驚奇地發(fā)現(xiàn):這4條直線是重合的.事實上,它們的方程都可以化簡為x-y+7=0.這樣前幾種直線方程就有了統(tǒng)一的形式,這就是本節(jié)我們要學(xué)習(xí)的直線的一般式方程.二、典例解析例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式方程.(1)斜率是3,且經(jīng)過點A(5,3);(2)斜率為4,在y軸上的截距為-2;(3)經(jīng)過A(-1,5),B(2,-1)兩點;(4)在x軸、y軸上的截距分別是-3,-1.直線的一般式方程的特征求直線方程時,要求將方程化為一般式方程,其形式一般作如下設(shè)定:x的系數(shù)為正;系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù);一般按含x項、含y項、常數(shù)項的順序排列.跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列各條件寫出直線的方程,并化成一般式.(1)斜率是-12,經(jīng)過點A(8,-(2)經(jīng)過點B(4,2),且平行于x軸;(3)在x軸和y軸上的截距分別是32,-(4)經(jīng)過兩點P1(3,-2),P2(5,-4).【例2】(1)已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求實數(shù)m的值;(2)已知直線l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求實數(shù)a的值.延伸探究已知點A(2,2)和直線l:3x+4y-20=0.求:(1)過點A和直線l平行的直線方程;(2)過點A和直線l垂直的直線方程.1．利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0.跟蹤訓(xùn)練2已知直線l的方程為3x+4y-12=0,求直線l'的方程,l'滿足(1)過點(-1,3),且與l平行;(2)過點(-1,3),且與l垂直.金題典例(1)設(shè)直線l的方程為(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直線l不過第三象限，則a的取值范圍為________．(2)設(shè)直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根據(jù)下列條件分別確定k的值：①直線l的斜率為－1；②直線l在x軸，y軸上的截距之和等于0.變式探究：1.典例(1)中若將方程改為“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他條件不變，又如何求解？2．若典例(1)中的方程不變，當a取何值時，直線不過第二象限？直線恒過定點的求解策略1將方程化為點斜式，求得定點的坐標.2將方程變形，把x，y作為參數(shù)的系數(shù)，因為此式子對任意的參數(shù)的值都成立，故需系數(shù)為零，解方程組可得x，y的值，即為直線過的定點.【達標檢測】1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)可表示平面內(nèi)的任何一條直線．()(2)當C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)表示的直線過原點．()(3)當B＝0，A≠0時，方程Ax＋By＋C＝0表示的直線與y軸平行．()(4)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．()2.兩直線ax-by-1=0(ab≠0)與bx-ay-1=0(ab≠0)的圖象可能是圖中的哪一個()3．過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y＝2＝0D．x＋2y－1＝04．已知兩條直線y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，則a＝________.5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線．(1)求實數(shù)m的范圍；(2)若該直線的斜率k＝1，求實數(shù)m的值．【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理二、小試牛刀1.答案:當A=0時,方程變?yōu)閥=-CB,當C≠0時表示的直線平行于x軸,當C=0時與x軸重合;當B=0時,方程變?yōu)閤=-CA,當C≠0時表示的直線平行于y軸,當C=0時與y2.解析:方程化為3y=-2x-1,則y=-23x-1方程化為2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x-12答案:y=-23x-13;x3.解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,∴兩直線平行.(2)∵4×3+(-1)×12=0,∴兩直線垂直.學(xué)習(xí)過程例1思路分析:先選擇合適的形式將直線方程寫出來,再化為一般式.解:(1)由點斜式方程可知,所求直線方程為y-3=3(x-5),化為一般式方程為3x-y+3-53=0.(2)由斜截式方程可知,所求直線方程為y=4x-2,化為一般式方程為4x-y-2=0.(3)由兩點式方程可知,所求直線方程為y-化為一般式方程為2x+y-3=0.(4)由截距式方程可得,所求直線方程為x-3+y-1=1,化為一般式方程為x+跟蹤訓(xùn)練1解:(1)由點斜式方程,得y-(-2)=-12(x-8),即x+2y-4=0(2)由點斜式方程,得y-2=0.(3)由截距式方程,得x32+y-3=1,即2(4)由兩點式方程,得y-(-2)-4-(-【例2】思路分析:利用在一般式方程下,兩直線平行或垂直的條件求解.解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.當m=-3時,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,顯然l1與l2不重合,∴l(xiāng)1∥l2.同理,當m=2時,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1與l2不重合,l1∥l2,故m的值為2或-3.(2)由直線l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.故當a=1或a=-1時,直線l1⊥l2.延伸探究解:(1)將與直線l平行的直線方程設(shè)為3x+4y+C1=0,又過點A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.所求直線方程為3x+4y-14=0.(2)將與l垂直的直線方程設(shè)為4x-3y+C2=0,又過點A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,所以直線方程為4x-3y-2=0.跟蹤訓(xùn)練2思路分析:可先求斜率,再利用點斜式方程求解;也可利用平行、垂直直線系方程,利用待定系數(shù)法求解.解:(方法1)由題設(shè)l的方程可化為y=-34x+3,∴l(xiāng)的斜率為-3(1)∵直線l'與l平行,∴l(xiāng)'的斜率為-34又∵直線l'過(-1,3),由點斜式知方程為y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0(2)由l'與l垂直,∴l(xiāng)'的斜率為43又過(-1,3),由點斜式可得方程為y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0(方法2)(1)由l'與l平行,可設(shè)l'方程為3x+4y+m=0.將點(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直線方程為3x+4y-9=0.(2)由l'與l垂直,可設(shè)其方程為4x-3y+n=0.將(-1,3)代入上式得n=13.∴所求直線方程為4x-3y+13=0.金題典例解析：(1)[1，＋∞)把直線l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因為直線l不過第三象限，該直線的斜率小于等于零，且直線在y軸上的截距大于等于零．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤0，,a＋2≥0，))解得a≥1.所以a的取值范圍為[1，＋∞)．(2)①因為直線l的斜率存在，所以直線l的方程可化為y＝－eq\f(2,k－3)x＋2.由題意得－eq\f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.②直線l的方程可化為eq\f(x,k－3)＋eq\f(y,2)＝1.由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.變式探究：1.[解](1)當a－1＝0，即a＝1時，直線為x＝3，該直線不過第三象限，符合．(2)當a－1≠0，即a≠1時，直線化為斜截式方程為y＝eq\f(1,1－a)x－eq\f(2＋a,1－a)，因為直線l不過第三象限，故該直線的斜率小于等于零，且直線在y軸上的截距大于等于零．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－a)≤0，,－\f(2＋a,1－a)≥0，))解得a＞1.由(1)(2)可知a≥1.2．[解]把直線l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因為直線l不過第二象限，故該直線的斜率大于等于零，且直線在y軸上的截距小于等于零．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≥0，,a＋2≤0，))解得a≤－2.達標檢測1．答案(1)√(2)√(3)×當C＝0時，直線與y軸重合．(4)×當直線與坐標軸平行或重合時，不能轉(zhuǎn)化為截距式或斜截式．2.解析:當a<0,b>0時,直線ax-by=1在x軸上的截距1a<0,在y軸上的截距-1b<0;bx-ay=1在x軸上的截距1b>0,在y軸上的截距-1a>0.答案:B3．答案A解析：設(shè)所求直線方程為x－2y＋c＝0，把點(1,0)代入可求得c＝－1.所以所求直線方程為x－2y－1＝0.故選A.4．答案：1或－3解析：依題意得：a(a＋2)＝3×1，解得a＝1或a＝－3.5．解析：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2＝0，,m－2＝0，))解得m＝2，若方程表示直線，則m2－3m＋2與m－2不能同時為0，故m≠2.(2)由－eq\f(m2－3m＋2,m－2)＝1，解得m＝0.《2.2.3直線的一般式方程-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1.直線x-y+2=0的傾斜角是()A.30° B.45° C.60° D.90°2．已知直線過點，且傾斜角是，則直線的方程是（）.A． B． C． D．3．已知，則直線通過()象限A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四4．過點(－1,3)且平行于直線x－2y＋3＝0的直線方程為()A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝05．（多選題）下列說法正確的是（）A．直線必過定點B．直線在軸上的截距為C．直線的傾斜角為60°D．過點且垂直于直線的直線方程為6．（多選題）直線l1:ax-y+b=0與直線l2:bx+y-a=0(ab≠0)的圖象可能是()二、填空題7．過點平行于軸的直線方程為____；過點平行于軸的直線方程為___．8．直線的一般式方程為.

9．若直線的傾斜角是，則實數(shù)是_______.10．已知直線分別與x軸，y軸相交于A,B兩點，若動點在線段AB上，則ab的最大值為______.三、解答題11．根據(jù)下列條件分別寫出直線方程，并化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點A(8，－2)；(2)經(jīng)過點B(－2,0)，且與x軸垂直；(3)斜率為－4，在y軸上的截距為7；(4)經(jīng)過點A(－1,8)，B(4，－2)．(5)經(jīng)過C(－1,5)，D(2，－1)兩點；(6)在x，y軸上的截距分別是－3，－1.12.已知直線l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和l2:6x+(2m-1)y=5.當m為何值時,有:(1)l1∥l2?(2)l1⊥l2?《2.2.3直線的一般式方程-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.直線x-y+2=0的傾斜角是()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】B【解析】由x-y+2=0,得y=x+2.其斜率為1,傾斜角為45°.2．已知直線過點，且傾斜角是，則直線的方程是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由于直線過點，且傾斜角是，則直線的方程為，即.3．已知，則直線通過()象限A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四【答案】A【解析】因為，所以，①若則，，直線通過第一、二、三象限。②若則，，直線通過第一、二、三象限。4．過點(－1,3)且平行于直線x－2y＋3＝0的直線方程為()A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0【答案】B【解析】設(shè)直線方程式是：x－2y＋c＝0，因為直線過點(－1,3)所以-1-6+c=0，解得c=7，故所求直線方程是：x－2y＋7＝0.5．（多選題）下列說法正確的是（）A．直線必過定點B．直線在軸上的截距為C．直線的傾斜角為60°D．過點且垂直于直線的直線方程為【答案】ABD【解析】可化為，則直線必過定點，故A正確；令，則，即直線在軸上的截距為，故B正確；可化為，則該直線的斜率為，即傾斜角為，故C錯誤；設(shè)過點且垂直于直線的直線的斜率為，因為直線的斜率為，所以，解得，則過點且垂直于直線的直線的方程為，即，故D正確；故選：ABD6．（多選題）直線l1:ax-y+b=0與直線l2:bx+y-a=0(ab≠0)的圖象可能是()【答案】BC【解析】l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.，在A中,由l1知a>0,b<0,則-b>0,與l2的圖象不符;在B中,由l1知a>0,b>0,則-b<0,與l2的圖象相符;在C中,由l1知a<0,b>0,則-b<0,與l2的圖象相符;在D中,由l1知a>0,b>0,則-b<0,與l2的圖象不符.故選BC二、填空題7．過點平行于軸的直線方程為_____；過點平行于軸的直線方程為___．【答案】；【解析】過點平行于軸的直線方程為；過點平行于軸的直線的斜率為0，故所求直線方程為.8．直線的一般式方程為.

【答案】【解析】由得：直線的一般式方程為：.9．若直線的傾斜角是，則實數(shù)是_______.【答案】【解析】因為直線的傾斜角是，所以直線的斜率為，因此或（舍）10．已知直線分別與x軸，y軸相交于A,B兩點，若動點在線段AB上，則ab的最大值為______.【答案】【解析】直線方程可化為，故直線與x軸的交點為A(2，0)，與y軸的交點為B(0，1).由動點在線段AB上可知，且，所以，故.因為，所以當時ab取得最大值.三、解答題11．根據(jù)下列條件分別寫出直線方程，并化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點A(8，－2)；(2)經(jīng)過點B(－2,0)，且與x軸垂直；(3)斜率為－4，在y軸上的截距為7；(4)經(jīng)過點A(－1,8)，B(4，－2)．(5)經(jīng)過C(－1,5)，D(2，－1)兩點；(6)在x，y軸上的截距分別是－3，－1.【解析】(1)由點斜式，得y＋2＝(x－8)，化簡，得x－3y－8－6＝0.(2)直線方程為x＝－2，即x＋2＝0.(3)由斜截式，得y＝－4x＋7，化成一般式為4x＋y－7＝0.(4)由兩點式，得＝，化成一般式為2x＋y－6＝0.(5)由兩點式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0；(6)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0.12.已知直線l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和l2:6x+(2m-1)y=5.當m為何值時,有:(1)l1∥l2?(2)l1⊥l2?【解析】(1)由(m+2)(2m-1)=6(m+3),得m=4或m=-52當m=4時,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即l1與l2重合;當m=-52時,l1:-12x+12y-5=0,l2:6x-6y-5=0,即l1∥故當m=-52時,l1∥l2(2)由6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,得m=-1或m=-92故當m=-1或m=-92時,l1⊥l2《2.2.3直線的一般式方程-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1．若直線在軸、軸上的截距分別是-2和3，則，的值分別為（）A．3，2 B．-3，-2 C．-3，2 D．3，-22．已知直線l1，l2的方程分別為x+ay+b=0，x+cy+d=0，其圖象如圖所示，則有（）A．a(chǎn)c＜0 B．a(chǎn)＜c C．bd＜0 D．b＞d3．點是直線Ax＋By＋C＝0上的點，則直線方程可表示為()A． B．C． D．4．“”是“直線和直線平行且不重合”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件5．（多選題）如果，，那么直線經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6.（多選題）下列說法正確的是（）A．點（2，0）關(guān)于直線y＝x+1的對稱點為（﹣1，3）B．過（x1，y1），（x2，y2）兩點的直線方程為C．經(jīng)過點（1，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2＝0或x﹣y＝0D．直線x﹣y﹣4＝0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是8二、填空題7．已知點是直線與軸的交點，將直線繞點旋轉(zhuǎn)30°，則所得到的直線的方程為______.8．若直線與兩坐標軸圍成的三角形面積不小于8，則實數(shù)m的取值范圍為________．9．設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直線l在x軸上的截距為－3，則m＝_______.(2)若直線l的斜率為1，則m＝_______10．點在第一象限內(nèi)，且在直線上移動，則的最大值是____.三、解答題11．已知的頂點，邊上的高所在的直線方程為，為的中點，且所在的直線方程為.(1)求頂點的坐標；(2)求過點且在軸、軸上的截距相等的直線的方程.12.已知直線l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分別滿足下列條件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直線l1過點M(-4,-1).(2)直線l1∥l2,且l1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù).《2.2.3直線的一般式方程-提高練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．若直線在軸、軸上的截距分別是-2和3，則，的值分別為（）A．3，2 B．-3，-2 C．-3，2 D．3，-2【答案】D【解析】由題意，得，解得．2．已知直線l1，l2的方程分別為x+ay+b=0，x+cy+d=0，其圖象如圖所示，則有（）A．a(chǎn)c＜0 B．a(chǎn)＜c C．bd＜0 D．b＞d【答案】C【解析】直線方程化為l1：y=﹣x﹣，l2：y=﹣x﹣．由圖象知，﹣＜﹣＜0，﹣＞0＞﹣，∴a＞c＞0，b＜0，d＞0．故選C3．點是直線Ax＋By＋C＝0上的點，則直線方程可表示為()A． B．C． D．【答案】A【解析】由點在直線上得，得，代入直線方程Ax＋By＋C＝0，得。選A.4．“”是“直線和直線平行且