2023-2024學(xué)年海南省東方市高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學(xué)年海南省東方市高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（0，1] D．（﹣1，0）2．過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)=（）A．-1 B．1C． D．3．函數(shù)的圖像與函數(shù)，的圖像的交點(diǎn)個數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知，是兩個單位向量，且夾角為，則與數(shù)量積的最小值為（）A． B． C． D．5．將兩個長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個面完全重合，組成一個大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．6．已知直線與圓相切，則的值是()A．1 B． C． D．7．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3，-4），則的值為（）A． B． C． D．8．已知正三角形ABC邊長為2，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，則（）A． B． C． D．-19．下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則10．已知定義域的奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知,且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.12．若兩個正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.13．在中，若，則____________.14．已知數(shù)列：，，，，，，，，，，，，，，，，，則__________．15．在等差數(shù)列中，若，則__________．16．已知函數(shù)在時取得最小值，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，且(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若，求的值.18．在國內(nèi)汽車市場中，國產(chǎn)SUV出現(xiàn)了持續(xù)不退的銷售熱潮，2018年國產(chǎn)SUV銷量排行榜完整版已經(jīng)出爐，某品牌車型以驚人的銷量成績擊退了所有虎視眈眈的對手，再次霸氣登頂，下面是該品牌國產(chǎn)SUV分別在2017年與2018年7～11月份的銷售量對比表時間7月8月9月10月11月2017年（單位：萬輛）2.83.93.54.45.42018年（單位：萬輛）3.83.94.54.95.4（Ⅰ）若從7月至11月中任選兩個月份，求至少有一個月份這兩年該國產(chǎn)品牌SUV銷量相同的概率．（Ⅱ）分別求這兩年7月至11月的銷售數(shù)據(jù)的平均數(shù)，并直接判斷哪年的銷售量比較穩(wěn)定．19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，．（1）若，求直線的方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，，R，求的值．20．已知不共線的向量，，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）求.21．已知圓圓心坐標(biāo)為點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸、軸被圓截得的弦分別為、.（1）證明：的面積為定值；（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，若，求圓的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由題意可得在上為減函數(shù)，列出不等式組，由此解得的范圍.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，其對稱軸為，∴可得，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式及傾斜角和斜率關(guān)系,即可求得的值.【詳解】過兩點(diǎn),的直線斜率為由斜率與傾斜角關(guān)系可知即解得故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的斜率公式,直線的斜率與傾斜角關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個數(shù).【詳解】可得兩函數(shù)圖象如下圖所示：兩函數(shù)共有個交點(diǎn)本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩函數(shù)的解析式，通過平移和翻折變換等知識得到函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式得到結(jié)果.4、B【解析】

根據(jù)條件可得，，，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)條件，，，，當(dāng)時，取最小值.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，同時考查了二次函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

要計(jì)算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長方體的對角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個面重合；（2）長高的兩個面重合；（3）高寬兩個面重合，分別計(jì)算出新長方體的對角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【詳解】（1）當(dāng)長寬的兩個面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長高兩個面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解析】

利用直線與圓相切的條件列方程求解.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以，，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，通常利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，考查運(yùn)算能力，屬于基本題.7、A【解析】

先求出的值，即得解.【詳解】由題得，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

化簡，分別計(jì)算，，代入得到答案.【詳解】正三角形ABC邊長為2，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，將是解題的關(guān)鍵，也可以建立直角坐標(biāo)系解得答案.9、D【解析】

利用不等式的性質(zhì)或舉反例的方法來判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，若且，則，該選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，取，，，，則，均滿足，但，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，取，，則滿足，但，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)可知該選項(xiàng)正確，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，常用不等式的性質(zhì)以及舉反例的方法來進(jìn)行驗(yàn)證，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱可得，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，∴，∴，∵奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與對稱性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由得出，再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，所以，即，設(shè)與的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，即與的夾角的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的夾角公式的應(yīng)用等，屬基礎(chǔ)題.12、【解析】試題分析：因?yàn)椴坏仁接薪?，所以，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號是成立的，所以，所以，即，解得或.考點(diǎn)：不等式的有解問題和基本不等式的求最值.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了基本不等式在最值中的應(yīng)用，不等式的有解問題，在應(yīng)用基本不等式求解最值時，呀注意“一正、二定、三相等”的判斷，運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值，對于不等式的有解問題一般選用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或借助數(shù)形結(jié)合法求解，屬于中檔試題.13、2【解析】

根據(jù)正弦定理角化邊可得答案.【詳解】由正弦定理可得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理角化邊，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)數(shù)列的規(guī)律和可知的取值為，則分母為；又為分母為的項(xiàng)中的第項(xiàng)，則分子為，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，的分母為：又的分子為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的規(guī)律求解數(shù)列中的項(xiàng)，關(guān)鍵是能夠根據(jù)分子的變化特點(diǎn)確定的取值.15、【解析】

利用等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式，將轉(zhuǎn)化為，從而求出的值，再由廣義通項(xiàng)公式求得．【詳解】在等差數(shù)列中，由，，得，即．．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查基本量法求解數(shù)列問題，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，由題意，解得考點(diǎn)：基本不等式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題中條件，求出，進(jìn)而可得，再由兩角差的正切公式，即可得出結(jié)果；(Ⅱ)根據(jù)題中條件，得到，求出，再由，根據(jù)兩角差的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?，，所以，因此，所以?Ⅱ)因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，因?【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，給值求值的問題，熟記公式即可，屬于?？碱}型.18、（Ⅰ）；（Ⅱ），，年銷售量更穩(wěn)定.【解析】

（Ⅰ）列舉出所有可能的情況，在其中找到至少一個月份兩年銷量相同的情況，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式分別計(jì)算出兩年銷量的平均數(shù)與方差；由可得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）從月至月中任選兩個月份，記為，所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，共種情況記事件為“至少有一個月份這兩年國產(chǎn)品牌銷量相同”，則有：，，，，，，，共種情況，即至少有一個月份這兩年國產(chǎn)品牌銷量相同的概率為（Ⅱ）年銷售數(shù)據(jù)平均數(shù)為：方差年銷售數(shù)據(jù)平均數(shù)為：方差年的銷售量更穩(wěn)定【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解、計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)、利用方差評估數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的問題；處理古典概型問題的關(guān)鍵是通過列舉的方式得到所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，從而利用公式求得結(jié)果.19、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)斜率為，則直線的方程為，利用圓的弦長公式，列出方程求得的值，即可得到直線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，根據(jù)向量的運(yùn)算，求得，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及向量的運(yùn)算，求得，得到答案．【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為，所以圓心到直線的距離，因?yàn)椋?，解得，所以直線的方程為．.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)，，，因?yàn)椋?，所以，，所以，，所以．?dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為：，因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，所以．直線與圓交于點(diǎn)，，設(shè)，，由得，，所以，；因?yàn)?，，所以，，所以，，所以．綜上，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，其中解答中熟記圓的弦長公式，以及聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）先計(jì)算出，再代入公式，求出余弦值；（2）直接利用公式計(jì)算求值.【詳解】（1）設(shè)的夾角為，∵，∴，又，可得，∴.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求向量的夾角、模的計(jì)算，考查基本運(yùn)算求解能力.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用幾何條件可知，為直角三角形，且圓過原點(diǎn)，所以得知三角形兩直角邊邊長，求得面積；（2）由及原點(diǎn)O在圓上，知OCMN，所以,求出的值，再利用直