2024屆廣東省廣州市實驗中學高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆廣東省廣州市實驗中學高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．給出函數(shù)為常數(shù)，且，，無論a取何值，函數(shù)恒過定點P，則P的坐標是A． B． C． D．2．過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()A． B．C．或 D．或3．若，，，設(shè)，，且，則的值為（）A．0 B．3 C．15 D．184．從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球” B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球” D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”5．若直線：與直線：平行，則的值為()A．-1 B．0 C．1 D．-1或16．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，若當時，，則()A． B． C． D．7．棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標．在一批棉花中抽測了根棉花的纖維長度（單位：），將樣本數(shù)據(jù)作成如下的頻率分布直方圖：下列關(guān)于這批棉花質(zhì)量狀況的分析，不合理的是（）A．這批棉花的纖維長度不是特別均勻B．有一部分棉花的纖維長度比較短C．有超過一半的棉花纖維長度能達到以上D．這批棉花有可能混進了一些次品8．已知圓錐的底面半徑為，母線與底面所成的角為，則此圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．9．若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．或10．在等差數(shù)列中，若公差，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．計算：________12．函數(shù)的最小正周期是______．13．平面四邊形如圖所示，其中為銳角三角形，，，則_______.14．設(shè)函數(shù)，則的值為__________．15．已知三棱錐，平面，，，，則三棱錐的側(cè)面積__________．16．已知球為正四面體的外接球，，過點作球的截面，則截面面積的取值范圍為____________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角.18．已知等差數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足,求的前項和．19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值以及取得該最小值時的值.20．已知.（1）若對任意的，不等式上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.21．如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，，．求證：⑴平面；⑵．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：因為恒過定點，所以函數(shù)恒過定點.故選D.考點：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2、C【解析】

設(shè)過點A(4，1)的直線方程為y-1=k(x-4)(k≠0),令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,∴所求直線方程為x+y-5=0或x-4y=0.故選C.3、B【解析】

首先分別求出向量，然后再用兩向量平行的坐標表示，最后求值.【詳解】,,當時，，解得.故選B.【點睛】本題考查了向量平行的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解析】分析：利用對立事件、互斥事件的定義求解．詳解：從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，在A中，“至少有一個黑球”與“都是黑球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；在B中，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；在C中，“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故C正確；在D中，“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件，故D錯誤．故答案為：C點睛：（1）本題主要考查互斥事件和對立事件的定義，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件，對立事件指的是在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件，且在一次試驗中，必有一個發(fā)生的兩個事件.注意理解它們的區(qū)別和聯(lián)系.5、C【解析】

兩直線平行表示兩直線斜率相等，寫出斜率即可算出答案．【詳解】顯然，，．所以，解得，又時兩直線重合，所以．故選C【點睛】此題考查直線平行表示直線斜率相等，屬于簡單題．6、A【解析】

利用函數(shù)的為偶函數(shù)，可得，代入解析式即可求解.【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，則，又當時，，所以.故選：A【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖計算纖維長度超過的頻率，可知不超過一半，從而得到結(jié)果.【詳解】由頻率分布直方圖可知，纖維長度超過的頻率為：棉花纖維長度達到以上的不超過一半不合理本題正確選項：【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖估計總體數(shù)據(jù)的分布特征，關(guān)鍵是能夠熟練掌握利用頻率分布直方圖計算頻率的方法.8、B【解析】

首先計算出母線長，再利用圓錐的側(cè)面積（其中為底面圓的半徑，為母線長），即可得到答案．【詳解】由于圓錐的底面半徑，母線與底面所成的角為，所以母線長，故圓錐的側(cè)面積；故答案選B【點睛】本題考查圓錐母線和側(cè)面積的計算，解題關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的側(cè)面積的計算公式，即（其中為底面圓的半徑，為母線長），屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】

本題首先可根據(jù)圓的方程確定圓心以及半徑，然后根據(jù)直線與圓相切即可列出算式并通過計算得出結(jié)果?！驹斀狻坑深}意可知，圓方程為，所以圓心坐標為，圓的半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線距離等于半徑，即解得或，故選D?！军c睛】本題考查根據(jù)直線與圓相切求參數(shù)，考查根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑，考查推理能力，是簡單題。10、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解即可得到結(jié)果．【詳解】∵等差數(shù)列中，，公差，∴．故選B．【點睛】等差數(shù)列中的計算問題都可轉(zhuǎn)為基本量（首項和公差）來處理，運用公式時要注意項和項數(shù)的對應關(guān)系．本題也可求出等差數(shù)列的通項公式后再求出的值，屬于簡單題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

用正弦、正切的誘導公式化簡求值即可.【詳解】.【點睛】本題考查了正弦、正切的誘導公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.12、【解析】

由二倍角的余弦函數(shù)公式化簡解析式可得，根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．【詳解】．由周期公式可得：．故答案為【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式的應用，考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識的考查．13、．【解析】

由二倍角公式求出，然后用余弦定理求得，再由余弦定理求．【詳解】由題意，在中，，在中，，即，解得，或．若，則，，不合題意，舍去，所以．故答案為：．【點睛】本題考查余弦的二倍角公式，考查余弦定理．掌握余弦定理是解題關(guān)鍵．14、【解析】

根據(jù)反正切函數(shù)的值域，結(jié)合條件得出的值.【詳解】，且，因此，，故答案為：.【點睛】本題考查反正切值的求解，解題時要結(jié)合反正切函數(shù)的值域以及特殊角的正切值來求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)題意將三棱錐放入對應長方體中，計算各個面的面積相加得到答案.【詳解】三棱錐，平面，，，畫出圖像：易知：每個面都是直角三角形.【點睛】本題考查了三棱錐的側(cè)面積，將三棱錐放入對應的長方體是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

在平面中，過圓內(nèi)一點的弦長何時最長，何時最短，類比在空間中，過球內(nèi)一點的球的大圓面積最大，與此大圓垂直的截面小圓面積最小.利用正四面體的性質(zhì)及球的性質(zhì)求正四面體外接球的半徑、小圓半徑，確定答案.【詳解】因為正四面體棱長為AB=3，所以正四面體外接球半徑R=.由球的性質(zhì)，當過E及球心O時的截面為球的大圓，面積最大，最大面積為；當過E的截面與EO垂直時面積最小，取△BCD的中心，因為為正四面體，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以過E且與EO垂直的截面圓的半徑r為，截面面積為.所以所求截面面積的范圍是.【點睛】本題考查空間想象能力，邏輯推理能力，空間組合體的關(guān)系，正四面體、球的性質(zhì)，考查計算能力，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）利用向量夾角公式可求得，進而根據(jù)向量夾角的范圍求得結(jié)果.【詳解】（1），解得：（2）又【點睛】本題考查平面向量共線的坐標表示、向量夾角的求解問題；考查學生對于平面向量坐標運算、數(shù)量積運算掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)應用問題.18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，解方程組可求得的值.并由此求得數(shù)列的通項公式.（2）利用（1）的結(jié)論求得的值，根據(jù)基本元的思想，，將其轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求得數(shù)列的前項和.【詳解】解：（1）設(shè)的公差為，則由得,故的通項公式，即．（2）由（1）得．設(shè)的公比為，則，從而，故的前項和．【點睛】本小題主要考查利用基本元的思想解有關(guān)等差數(shù)列和等比數(shù)列的問題，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當時，函數(shù)取最小值.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由計算出的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得該函數(shù)的最小值及其對應的值.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）當時，，所以，當時，即當時，取得最小值，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，此時.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間、最值的求解，解答的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）參變分離后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，從而得到參數(shù)的取值范圍.（2）原不等式可化為，就對應方程的兩根的大小關(guān)系分類討論可得不等式的解集.【詳解】（1）對任意的，恒成立即恒成立.因為當時，（當且僅當時等號成立），所以即.（2）不等式，即，①當即時，；②當即時，；③當即時，.綜上：當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為.【點睛】含參數(shù)的一元二次不等式，其一般的解法是：先考慮對應的二次函數(shù)的開口方向，再考慮其判別式的符號，其次在判別式大于零的條件下比較兩根的大小，