山西省岢嵐縣中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

山西省岢嵐縣中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為()A． B． C． D．2．過曲線的左焦點(diǎn)且和雙曲線實(shí)軸垂直的直線與雙曲線交于點(diǎn)A,B,若在雙曲線的虛軸所在的直線上存在—點(diǎn)C,使得,則雙曲線離心率e的最小值為（）A． B． C． D．3．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問若聘該女子做工半月（15日），一共能織布幾尺（）A．75 B．85 C．105 D．1204．已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則的斜率為（）A． B． C． D．5．若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,1A．sinα=1C．cosα=26．函數(shù)的簡圖是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．8．一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為（）A．1：3 B．3：1 C．2：3 D．3：29．等差數(shù)列，，，則此數(shù)列前項(xiàng)和等于（）．A． B． C． D．10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，則b的值為()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在邊長為2的菱形中，，是對(duì)角線與的交點(diǎn)，若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則的最小值為______.12．已知等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且，，當(dāng)取最大值時(shí)，的值等于_____.13．圓臺(tái)兩底面半徑分別為2cm和5cm，母線長為cm，則它的軸截面的面積是________cm2.14．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________．15．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.16．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，.求和的值.18．己知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)和點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)的圖象與軸正半軸的交點(diǎn)為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令（為正整數(shù)），問是否存在非零整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．20．已知向量，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若向量與垂直，求的值.21．設(shè)函數(shù)和都是定義在集合上的函數(shù)，對(duì)于任意的，都有成立，稱函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”．（1）函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”，求集合；（2）若函數(shù)（且）與在集合上互為“互換函數(shù)”，求證：；（3）函數(shù)與在集合且上互為“互換函數(shù)”，當(dāng)時(shí),，且在上是偶函數(shù),求函數(shù)在集合上的解析式．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由以及，結(jié)合二倍角的正切公式，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據(jù)基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.2、C【解析】

設(shè)雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），依題意知當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得雙曲線離心率e的取值范圍．求出最小值．【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB⊥x軸，設(shè)左焦點(diǎn)F1（﹣c，0），則A（﹣c，），B（﹣c，），∵△ABC為直角三角形，依題意知，當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∴∠AOF1≥45°，∴tan∠AOF11，整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，解得：e．即雙曲線離心率e的最小值為：．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，分析得到當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大是關(guān)鍵，得到∠AOF1≥45°是突破口，屬于中檔題．3、D【解析】設(shè)第一天織尺，第二天起每天比前一天多織尺，由已知得，，故選D.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.等差數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，另外，解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.4、A【解析】

直接代入兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得出答案。【詳解】故選A【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題。5、B【解析】

利用三角函數(shù)的定義可得α的三個(gè)三角函數(shù)值后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P-1,1，故r=OP=所以sinα=【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

變形為，求出周期排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由函數(shù)值正負(fù)排除一個(gè)，最后一個(gè)為正確選項(xiàng)．【詳解】函數(shù)的周期是，排除AB，又時(shí)，，排除C．只有D滿足．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選圖象，可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等排除某些選項(xiàng)，還可求出特殊值，特殊點(diǎn)，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除一些選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng)．7、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域?yàn)?若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、D【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為，利用圓柱側(cè)面積公式與球的表面積公式建立關(guān)系式，算出球的半徑，再利用圓柱與球的體積公式加以計(jì)算，可得所求體積之比．【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，軸截面正方形邊長，則，可得圓柱的側(cè)面積，再設(shè)與圓柱表面積相等的球半徑為，則球的表面積，解得，因此圓柱的體積為，球的體積為，因此圓柱的體積與球的體積之比為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的側(cè)面積和體積公式，以及球的表面積和體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記公式，合理計(jì)算半徑之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】由a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，得得a1+a20=所以S20=故選D10、C【解析】試題分析：根據(jù)正弦定理可得,.在中,,.,,.,.故C正確.考點(diǎn)：1正弦定理;2余弦定理.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-6【解析】

由題意，然后結(jié)合向量共線及數(shù)量積運(yùn)算可得，再將已知條件代入求解即可.【詳解】解：菱形的對(duì)稱性知，在線段上，且，設(shè)，則，所以，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最小值-6.故答案為：-6.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量共線及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題.12、或【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得出與的等量關(guān)系，然后求出的表達(dá)式，解不等式，即可得出使得取得最大值的正整數(shù)的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，可得，，令，即，，解得.因此，當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值的求解，可利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)來求，也可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列所有的非負(fù)項(xiàng)之和的問題求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.13、63【解析】

首先畫出軸截面，然后結(jié)合圓臺(tái)的性質(zhì)和軸截面整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】畫出軸截面，如圖，過A作AM⊥BC于M，則BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，所以S四邊形ABCD＝＝63(cm2)．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺(tái)的空間結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)元素的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、18【解析】

利用，化簡得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用,即可求解.【詳解】,即所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對(duì)n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．又因?yàn)?，，所以的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．16、.【解析】

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑．【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，圓柱的底面半徑為，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、，【解析】

把已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡，可得的值，同時(shí)由與的值可判斷出，，計(jì)算出的值，可得的值.【詳解】解：，兩邊同時(shí)平方可得：，又，，∴∴，∴【點(diǎn)睛】同時(shí)主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，相對(duì)不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.18、（1）最大值為2，此時(shí)；最小值為－1，此時(shí).（2）【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)公式，列出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像過定點(diǎn)，求解函數(shù)解析式，當(dāng)時(shí)，解出的范圍，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，可求最值；（2）根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮變換，寫出解析式，畫出在上的圖象，根據(jù)圖像即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知.根據(jù)的圖象過點(diǎn)和，得到，解得，.當(dāng)時(shí)，，，最大值為2，此時(shí)，最小值為－1，此時(shí).（2）將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位得，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得令，，如圖當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)不同的解∴，即.【點(diǎn)睛】本題考查（1）三角函數(shù)最值問題（2）三角函數(shù)的平移伸縮變換，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題型.19、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）把點(diǎn)A帶入即可（2）根據(jù)（1）的計(jì)算出、，再解不等式即可【詳解】（1）設(shè)，得，．所以；（2），若存在，滿足恒成立即：，恒成立當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以，故：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法，以及不等式恒成立的問題，不等式恒成立是一個(gè)難點(diǎn)，也是高考中的?？键c(diǎn)，本題屬于較難的題。20、（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算；（Ⅱ）由垂直關(guān)系，得到坐標(biāo)間的等式關(guān)系，然后計(jì)算出參數(shù)的值.【詳解】解：（Ⅰ）因向量，∴，∴(Ⅱ)，∵向量與垂直，∴∴，∴【點(diǎn)睛】已知，若，則有；已知，若，則有.21、（1）（2）見解析（3），【解析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式進(jìn)行化簡，求得或，進(jìn)而求得集合.（2）由，得（且），化簡后根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍.（3）首先根據(jù)為偶函數(shù)，求得當(dāng)時(shí)，的解析式，從而求得當(dāng)時(shí)，的解析式.依題意“當(dāng)，恒成立”，化簡得到，根據(jù)函數(shù)解析式的求法，求得時(shí)，以及，進(jìn)而求得函數(shù)在集合上的解析式.【詳解】（1）由得化簡得，，所以或