江蘇省東臺(tái)市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省東臺(tái)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知直線(xiàn)x+2y-4=。與直線(xiàn)2x+:孫+〃?+3=0互相垂直，則相為()

A.—B.1C.—1D.2

2

2.在等比數(shù)列｛〃“｝中，若a5a7aMi=36,則出心二()

A.6B.9C.±6D.-6

3.己知函數(shù)/(x)=(2x—l)2的導(dǎo)數(shù)為了'(x),則/⑴=()

A.1B.2

C.3D.4

4.已知圓。］:x?+y?—2x—3=0和圓a2:x?+—2y—1=。相交于A,8兩點(diǎn)，貝!|弦AB

的長(zhǎng)為().

A.2忘B.26C.4D.2

5.已知拋物線(xiàn)。：*=2刀（？＞0）的焦點(diǎn)為尸，P5,2）是拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到P

的距離為3,則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（0,-1）B.（0,1）C.（1,0）D.（-1,0）

6.在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，

次第每人分十七，要作第八數(shù)來(lái)言”.題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤(pán)纏.按照年

齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多分17斤綿.則年齡最小的兒子分

到的綿是（）

A.65斤B.82斤C.184斤D.201斤

2222

7.設(shè)4B分別為橢圓G言+方=1（4＞偽＞0）與雙曲線(xiàn)C?：十==1（%＞0也＞0）

的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)/耳颯=60。，若雙曲線(xiàn)離心率

02e［友,后］,則橢圓G的離心率6的取值范圍為（）

A/10A/2

8.設(shè)函數(shù)/（無(wú)）=：/-4x+alnx,若函數(shù)y=/（元）存在兩個(gè)極值點(diǎn)不，三，且不等式

"再""*）2/恒成立，貝卜的取值范圍為（）.

9

A.(-oo,-l]B.—00.-------

4

D.(-oo,-13]

二、多選題

9.已知圓M:尤2+y2-2x-3=0,直線(xiàn)/：尤+y+2=。與圓M交于C,。兩點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是（）.

A.2的取值范圍是（-2夜-1,20-1）

B.若直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)圓M的圓心，則力的值為T(mén)

C.當(dāng)直線(xiàn)/過(guò)原點(diǎn)。時(shí)，圓M上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)/的最大距離為逑

2

D.若/GWD=60。，則2=?—1

10.已知等比數(shù)列｛4｝的公比為q,前項(xiàng)和為S“，若q=：,$6=9$3,則下列

O

結(jié)論正確的是（）

A?9=；B.q=2

C.S“=2a“T（〃eN*）D.S用=2S“+；（〃eN*）

11.己知直線(xiàn)y=2x+r交拋物線(xiàn)y=》于4（%,%）、3（9,%）兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是

().

A."fJ

B.兀也為定值

C.線(xiàn)段A3的中點(diǎn)在一條定直線(xiàn)上

1+/一為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn),

D.k°A、自B分別為直線(xiàn)。4、。5的斜率）

05

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

12.已知函數(shù)/(x)=『+3"+l,其中xeR,則().

e%

A.不等式/(x)>-e2對(duì)Vx￡R恒成立

B.若直線(xiàn)丁=左與函數(shù)了(尤)的圖象有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則％的取值范圍是

(-叫

C.方程/(/?)-。恰有3個(gè)實(shí)根

「e2^

D.若關(guān)于x的不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍為e,-

_2J

三、填空題

2

13.若雙曲線(xiàn)尤2一方=19>0)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)尤+2y-4=。平行，則雙曲線(xiàn)的右焦

點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為.

14.在數(shù)列｛4｝中，=2,an-a^=an_1-l(n>2),則％024H.

15.己知與工為橢圓C:工+y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,Q為橢圓C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的

4

兩點(diǎn)，且歸。同耳局，則四邊形尸片。鳥(niǎo)的面積為.

16.已知函數(shù)/(x)=xe-x-lnx+a,若/(尤)在(0,e)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值

是.

四、解答題

17.在①%=4,②風(fēng)=54,③/+%=13這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，

并進(jìn)行解答.己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，/eN*,,?

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)或=-----,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

anan+l

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.已知函數(shù)/(x)=e*+cosx,xN0.

⑴求曲線(xiàn)y=/(幻在點(diǎn)(0,/(。))處的切線(xiàn)方程；

⑵求證：/⑴在［0,+8)上單調(diào)遞增.

19.已知雙曲線(xiàn)C：W-1=l(a>0,10),焦點(diǎn)為耳耳，其中一條漸近線(xiàn)的傾斜角為30。，

ab

點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上，且|兒陰|-|“與|=26.

⑴求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

(2)若直線(xiàn)/：y=x+，篦交雙曲線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),若4人。8的面積為求實(shí)數(shù)相的值.

20.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且2點(diǎn)=%+1；數(shù)列｛2｝是單調(diào)遞增的等比

數(shù)列，公比為q,且打，”的等差中項(xiàng)為10;瓦,&的等比中項(xiàng)為8.

⑴求｛q｝,也,｝的通項(xiàng)公式；

為奇數(shù)

⑵設(shè)［=<，"為偶數(shù),(為數(shù)列｛1｝的前〃項(xiàng)和，若存在”eN*使得-2/+〃24a

b；

成立，求實(shí)數(shù)％的最大值.

fv21

21.已知橢圓C：r+與=l(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A、8,橢圓的離心率為e=q,

ab2

短軸長(zhǎng)為2A/L

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)。(1,0)的直線(xiàn)/與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，判斷是否存在常

數(shù)幾，使得3v=23w恒成立；若存在，求出2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)/(尤)-(a-2)x-2元Inx.

⑴若a=2,求“X)的單調(diào)區(qū)間;

,4

(2)若0<〃<2,函數(shù)y=/'(%)有兩個(gè)零點(diǎn)七,馬,且玉<々，求證：9-王〉一一2.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的一般式的結(jié)論即可得出答案.

【詳解】?jī)芍本€(xiàn)垂直，則有44+4星=。，即2+2〃?=0,解得〃7=-1.

故選：c

2.A

【分析】利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)可求得。2%4的值.

【詳解】在等比數(shù)列｛%｝中，444=4>。，

2

由等比數(shù)列的基本性質(zhì)可得a50709ali=(a2a14)=36,故生知=6.

故選：A.

3.D

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再代入求值即得.

【詳解】/'(%)=2(2%_l)x2=8%_4,則尸(l)=8xl—4=4.

故選：D.

4.A

【分析】判斷兩圓相交，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的幾何求法，即可求得答案.

【詳解】由題意知圓a：*+y2—2%—3=。，即圓a：?！?)2+丁=4,

圓心為。(1,。)，半徑弓二2,

圓Q：+y2—2y—1=0,即圓Q：%2+(y—=2,

圓心為。2(。,1)，半徑G=75，

22

則彳一G1=Vl+1=y[2<rx+r2，即兩圓相交,

將圓O]：X2+y2—2x—3=0和圓Q：X2+_2y—1=0的方程相減,

可得直線(xiàn)AB的方程為九一y+1=0,

I)I

則01a,0)到直線(xiàn)X-y+1=0的距離為,=應(yīng),

故弦AB的長(zhǎng)為2加_(后=272,

故選：A

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

5.B

【分析】利用拋物線(xiàn)的定義求出〃的值，即可得出拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】拋物線(xiàn)C：Y=2py(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為1焦點(diǎn)為[o,g,

由拋物線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)P到下的距離為2+5=3,可得p=2,故尸(0,1).

故選：B.

6.C

【分析】首先根據(jù)題意設(shè)8個(gè)兒子按年齡從小到大依次分綿生斤，出斤，的斤，…，。8斤,

Q7

從而得到數(shù)列｛?！埃秊楣顬?17的等差數(shù)列,再根據(jù)8%+^-xx(-17)=996求解即可.

【詳解】設(shè)8個(gè)兒子按年齡從小到大依次分綿為斤，%斤，的斤，…，。8斤，

則數(shù)列｛q｝為公差為-17的等差數(shù)列.

因?yàn)榫d的總數(shù)為996斤，

2x7

所以8q+y-x(-l7)=996,解得q=184.

故選：C.

7.B

[MF,=o,+

【分析】結(jié)合橢圓和雙曲線(xiàn)的定義得到“二一，然后利用余弦定理得出4與3的關(guān)

IMk?=%一為

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

彳弋入4c2=(6+%)2+(4—%)2—2(%+%)(%-。2)?Q9

同除以/得4=/：+3d,即4=g1+3,]

整理得4。2=。；+3代,

所以又4G[A/2,A/3]=>3er3

73回

所以qGT,-T，

故選：B.

8.B

【分析】先利用函數(shù)y=/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù)在(0,+8)上有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用字母。表示出西+尤2，斗馬，然

后把寫(xiě)成關(guān)于。的函數(shù)，求該函數(shù)的最小值即可得到問(wèn)題答案.

為+/

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?0,+s),且/(6=》-4+q=三二把火，x>0.

XX

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn),

所以方程：/一4%+a=0在(0,+oo)有兩個(gè)不同的解，

A>0

16—4。>0

所以：石+%=4=>八=0<。<4,

/入2=?！怠?/p>

%％2=〃>0

且%+%=4,xxx2=a.

所以于(演)+/(%2)—xf-4xl+alnxl+—xf-4x2+alnx2

玉+/=4

2

』[(再+x2)-2X1X2^|-4(X1+%2)+〃(1。玉+Inx2)_a\na-a-S(Q<a<

=---------------------4---------------------=-4-°

設(shè)/z(x)=alna-a-8(0<a<4),

貝i]”(x)=lnQ,由/f(x)=lna<0,得0<Q<1,由"(x)=lna>0得l<a<4.

所以Mx)在(o,l)上單調(diào)遞減，在(1,4)上單調(diào)遞增，

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

所以M尤）的最小值為：/?（!）=-9.

9

所以

4

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該問(wèn)題先利用函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)

間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的問(wèn)題，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用字母。把

芯+%,表示出來(lái)，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值即可.

9.AB

【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式依次判斷即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，圓四：/+/一2工一3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（無(wú)一1『+/=4,

圓心為/（L0）,半徑廠=2,

因?yàn)橹本€(xiàn)/"+>+2=。與圓M交于C,。兩點(diǎn)，所以圓心M到直線(xiàn)/的距離d<r,

|1+0+2|

即4=<2,解得-2&-1<彳<2亞一1，

Vi2+i2

所以2的取值范圍是（-2&-L2應(yīng)-1）,故A項(xiàng)正確;

對(duì)于B項(xiàng)，若直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)圓M的圓心，則l+0+2=0,解得4=-1,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)直線(xiàn)/過(guò)原點(diǎn)。時(shí)，則2=0,得直線(xiàn)/：x+y=0,

則圓心M到直線(xiàn)/的距離4=1==】&,

后2

得圓M上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)/的最大距離為：4+廠=1+2,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

12

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)镹CME>=60。，所以ACMD為等邊三角形，則圓心M到直線(xiàn)C。的距離為:

|1+0+2|

百，所以=#>,得4=n_1或彳=_人1,故D項(xiàng)錯(cuò)誤,

#+F

故選：AB

10.BC

【分析】根據(jù)題意求出公比4,求出％和s“代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳解】由$6=9,3可知g=l顯然不合題意，故有隊(duì)1一力=%（1—43）,解得4=2,故A

l-q1-q

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

錯(cuò)B對(duì);

2

a“=：2"T=2"T,ID31,5?+1=2?--1

8-i8

代入C,D選項(xiàng)驗(yàn)證，C正確；

D選項(xiàng)右邊=27+g,D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.ACD

【分析】對(duì)A：聯(lián)立直線(xiàn)方程拋物線(xiàn)方程，根據(jù)判別式即可求得r的范圍；對(duì)B：根據(jù)A中

所求，即可判斷；對(duì)C：設(shè)出A3的中點(diǎn)坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理，即可判斷；對(duì)D：借助韋達(dá)

定理，求得；+/一，即可判斷.

長(zhǎng)0A^OB

【詳解】聯(lián)立直線(xiàn)方程＞=2x+f與拋物線(xiàn)方程y2=x,可得4爐+（4"1卜+』=0；

對(duì)A：由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A,8兩點(diǎn),可得△=(47-1)2-16〃>0,解得f,故A

正確;

對(duì)B：因?yàn)槿藶榱恚?（%,%），故可得%+/=三生，卒2=?，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：設(shè)A8中點(diǎn)為C（x,y）,故可得x=A^=『,y=A^A=2（%+;）+2j}

故AB中點(diǎn)在定直線(xiàn)y上，故C正確；

4

￡

對(duì)D-=&+三=4占右+《再+%）=4占%+《升+尤2）為定值故口

呱%%%（2%+。（2%+/）4%％+2《%+%）+/Lt2〃碼且'戕

2

正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是能夠熟練使用韋達(dá)定理，從而求得A3中

點(diǎn)坐標(biāo)，以及轉(zhuǎn)化；+；,屬中檔題.

^OA%B

12.AD

【分析】對(duì)函數(shù)/（X）求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，求出其最小值，可判斷A選項(xiàng)；作出曲線(xiàn)/（%）

的圖象，根據(jù)圖象可判斷B選項(xiàng)；令/⑺=0,解得犬=昔叵，數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；

由直線(xiàn)y=?過(guò)原點(diǎn)，再結(jié)合圖象分析即可判斷D選項(xiàng).

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,尸(X)：手2=_"+羋7),

當(dāng)x<—2或X>1時(shí)，/(x)<o,所以/⑺在(一8,—2),(1,+⑹上單調(diào)遞減,

當(dāng)—2<x<l時(shí)，r(x)>0,所以/(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增,

所以/(x)在x=-2出取得極小值,f(-2)=-e2,

在x=l處取得極大值，/(1)=-,

e

而X>1時(shí)，恒有〃x)>0成立，

所以〃%)的最小值是,HP/(x)>-e2,對(duì)xeR恒成立，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)與直線(xiàn)、=左有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，

由A選項(xiàng)分析，函數(shù)/>(X)的大致圖象如下，

函數(shù)7?(%)與直線(xiàn)，=%有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由〃x)=0,得9+3升1=0,解得了=口|@,

令=和=而一e2<^|^<0,

由圖象知，〃到=心|好和〃力=心|好分別有兩解：

綜上，方程/(/(x))=0共有4個(gè)根，C錯(cuò)誤；

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

對(duì)于D選項(xiàng)，直線(xiàn)丫=?過(guò)原點(diǎn)，且〃-l)=-e,/(-2)=^2,

記心止上0=e,_/(-2)-0_e2

=--------———,

1-1-0-2-02

易判斷，勺<白，

不等式/(X)〈依恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解,

即曲線(xiàn)“X)在y="x的圖象下方對(duì)應(yīng)的尤值恰有1個(gè)負(fù)整數(shù),

2

由圖可得《V?！簇埃磂Va<eJ,故D正確.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形

結(jié)合求解.

13.-/0.5

2

【分析】根據(jù)已知條件求得6,再求焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)距離即可.

【詳解】根據(jù)題意可得-6=-)，故可得6=則，=/二［=。，

則右焦點(diǎn)坐標(biāo)為g,0,一條漸近線(xiàn)為y=gx,

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離d=~^==-.

h

故答案為：—.

14.-/0.5

2

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而找到數(shù)列的周期即可得出答案.

【詳解】由題意可知。2==—1,“4=2,

所以數(shù)列｛%｝的周期為3,所以。2024=%x674+2=。2=]

故答案為：—

15.2

【分析】結(jié)合矩形性質(zhì)與橢圓定義及面積公式計(jì)算即可得.

【詳解】由橢圓定義可知?dú)w￡|+|尸閶=2。=4,c=一加=J4一1=百，

有（附|+|%|）2=附『+|%『+2陷卜|%|=16,

由|PQ|=|耳典，P,Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故四邊形尸耳。鳥(niǎo)為矩形，

則有附|2+|尸鳥(niǎo)「=僅@2=12,故也卜|%=蛆不二=2,

四邊形尸耳。耳的面積5=歸耳卜|尸引=2.

故答案為：2.

A

o

16.-1

【分析】由/*）在Qe）上存在零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程-。=*-In（尤e）在（0,e）上有解，求出

xe,-Inxe"在（。，e）上的范圍即可得.

【詳解】Sf（x）=xQx-x-]nx+a,/（%）在（。,由存在零點(diǎn),

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

即—a=xex—x—Inx=xex-Inec—Inx=xex—In(xeA(0,e)上有解,

令g(x)=xe",xe(0,e),則/(尤)=(x+l)e*>0恒成立，

故g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,故g(0)<g(x)<g(e),

即xeZ(0,ee+)

令/z(x)=x_lnx,無(wú)?0三+|),則〃(%)=]-工~,

貝悄xe(O,l)時(shí)，磯x)<0,當(dāng)xe(Lee)時(shí)，磯了)>0,

故〃⑺在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,ee+1)上單調(diào)遞增，

故/z(x)2/z⑴=1—lnl=l,當(dāng)x.0時(shí)，/z(x)f+oo,

即有S1,故aV-1,即實(shí)數(shù)。的最大值是T.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將題意轉(zhuǎn)化為方程-4=xe'-ln(xe')在(0,e)上有解后，構(gòu)

造出函數(shù)g(x)=xe*,xw(O,e)及/?(%)=x-lnx,xe(0,ee+1),從而求出xe*-ln(xe*)的最值.

17.(l)a“=九+1,"eN"

【分析】(1)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，根據(jù)每種選擇列出方程組求解即可;

(2)得出”的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求出其前"項(xiàng)和.

【詳解】(1)由于｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

。3—ciy+2d—4

%=2

當(dāng)選①②，■S-等八5“解得

d=1

所以｛4｝的通項(xiàng)公式4=2+(w-l)xl=〃+l,〃eN'

a.=a,+2d=4%=2

選①③,%+%=2q+9d=13’解得

d=1

所以｛4｝的通項(xiàng)公式=2+(w-l)xl=〃+l,"eN*

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

%+%=2〃]+9d=13

“I=2

S—等小54,解得

d=1

所以｛%｝的通項(xiàng)公式〃“=2+(〃-l)xl=〃+l/￡N*

(2)由(1)知，4=〃+1,〃EN*,

711_11

所以d=——

(九+1)(〃+2)n+1〃+2

11n

2幾+22(〃+2)

18.⑴%—y+2=0

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意求導(dǎo)函數(shù)，求出切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出切線(xiàn)方程;

(2)證出導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0即可.

【詳解】(1)因?yàn)槭?x)=e*-sinx,xNO,

所以尸(0)=1"(0)=2,

所以曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程為y-2=x,

即x—y+2=0.

(2)由(1)知，f'{x),=er-sinx,x>0,

因?yàn)橛?0所以e*21,又-IVsinxVl,

所以/'(無(wú))=er-sinA:>1-sinx>0,

所以fM在［0,+s)上單調(diào)遞增.

19.⑴;一9=1；

(2)m=+-\/3.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，求得即可求得雙曲線(xiàn)方程；

(2)聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)A3,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求得

三角形的高，根據(jù)三角形面積，即可求得參數(shù)加.

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】（1）由條件知，2。=2通,2=tan30。=且，故/=1.

a3

即雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為—=1.

3

（2）設(shè)4（石,%）,5（%2，%），。到直線(xiàn)/的距離為加

%22.

——y——1

聯(lián)立3得2x2+6nvc+3m2+3=0,

y=x+m

由A=36"z2-8(37儲(chǔ)+3)=12m2-24>0,解得>2,

癡小^

而又由玉+/=-3m,xxx2-2

2

*'-S^AOB~5IA3|=m-2)=—

72

解得病=3,故加=±6.

2*0.⑴4=2〃-1也=2〃

【分析】（1）利用％與S”的關(guān)系可得％,利用等比數(shù)列性質(zhì)及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)性質(zhì)可

得;

(2)分組求和可得弓,，可將原不等式轉(zhuǎn)化為(二-三],計(jì)算即可得.

【詳解】(1)由2s=%+1可得4s“=4+1)2,

當(dāng)“22時(shí)，4s“_]=(%_]+1)2,兩式相減得4a"=a；+2(%-,

an—an-\=2(%+??-1)，

即(%+??.!)(??-a?-i)=2(??+%).an>0,

■■an-an_x=2(n>2),

即可得｛%｝是等差數(shù)列.

由2^1^=O1+1,得=O1+1,a,=1,

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

即%=1+(〃-1)x2=2〃一1.

b+Z?4=20b=4b=16

由題意得2即,解得…?或2

她=64b4=4

也｝是遞增的等比數(shù)列,

仄=2

,得

q=2

.也=2X2"T=2",

即an=2n-l也=2"；

+a+b+b+

(2)由(1)得：&=(%+%+2n-\)(24+62，，)=2Z?_〃+]]]一不

若存在〃eN*使得&-2n2+n＞醞成立,

等價(jià)于存在〃cN*使得能成立,

八，o7

11

設(shè)=~1則『4-1=

"312"8"

??.｛4｝是遞減數(shù)列，故媒的最大值為4=J,

O

因此2的最大值為］

O

21.(1)=+『1；

43

(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)離心率和短軸長(zhǎng)求得。，仇，，則方程得解;

(2)方法一：討論直線(xiàn)斜率是否存在，特別的當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)/的方程，聯(lián)立橢圓

方程，利用韋達(dá)定理直接求解瞥，即可求得參數(shù)值；方法二：設(shè)出直線(xiàn)/的方程，聯(lián)立橢

kAM

圓方程，利用韋達(dá)定理求得KM琳出，再求心院七八即可求得參數(shù)

【詳解】(1)由條件e=：=￡,即a=2c,2b=2括，解得a=2/=g,c=1.

2a

22

故橢圓C的方程土+匕=1.

43

(2)方法一：當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不存在時(shí)，叩,￡|,中,-￡|,A(-2,0),B(2,0),

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

31

^BN='^AM=萬(wàn)，kBN=3kAM；

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)/:丫=打了-1）,"（占,乂）川（孫乃）,

聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程可得（3+4/卜2—次2%+442—12=0,顯然A〉o,

口8左24左2—12

且芯不而

從而“BN_%(%+2)=(%-1)(X[+2)=x-—X|+2%-2_3+4/%

2

k.%(%-2)(^-l)(x2-2)X1X2-2X1-X2+2-4k-6

3+4后22

綜上所述，存在常數(shù)4=3,使得原N=3心".

方法二：不妨設(shè)/:尤=〃沙+1,加（占,%）可（%2，%），A（-2,0）,3（2,0）,

聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程可得（4+3?。┭?+6,犯一9=0,顯然A＞0,

、，一!-、，—--—-6-m--、，、，-------9--

k.k=____%必_%%_______________________1

2=

AM河(為+2)(々+2)(mj1+3)(my2+3)myly2+3m(jj+y2)+94

3,故心N=3心材

4

故存在常數(shù)2=3,使得上BN=3心M.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是：求解售需要用到非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理的處理

策略；屬綜合中檔題.

22.（1）單調(diào)增區(qū)間為（0,+8）,無(wú)單調(diào)減區(qū)間

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）的單調(diào)性,可得々=1,々＞1，則證馬＞士T即可，結(jié)合根（9）=°，

a

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證In%-2（/