2022-2023學年江蘇省蘇州市高新某中學九年級（下）開學數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年江蘇省蘇州市高新一中九年級（下）開學數(shù)學試

卷

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）

1.體育課上，蘇蘇做了一組5次立定跳遠的測試.成績分別為2.31米，2.34米，2.30米，

2.35米和2.29米，他這組立定跳測試成績的中位數(shù)是（）

A.2.29米B.2.30米C.2.31米D.2.33米

2.拋物線），=2%2向下平移3個單位長度后所得新拋物線的頂點坐標為（）

A.（-3,0）B.（3,0）C.（0,-3）D.（0,3）

3.已知。。的面積為16何在，若點。到直線相的距離為ncm則直線機與。。的位置關(guān)

系是（）

A.相交B,相切C.相離D.無法確定

4.如圖，小聰和他同學利用影長測量旗桿的高度，當1米長的直立的竹竿的影長為1.5米

時，此時測得旗桿落在地上的影長為12米，落在墻上的影長為2米，則旗桿的實際高度

為（）

A.8米B.10米C.C米D.20米

5.如圖，已知是。。的直徑，ZADC=50a,A。平分/8AC,則/AC。的度數(shù)是（）

A.110°B.100°C.120°D.130°

6.關(guān)于x的方程/+4日+2/=4的一個解是2,則k值為（)

A.2或4B.0或-4C.4或0D.-2或2

7.一次函數(shù)丫=3-“（c=0）和二次函數(shù)（a#0）在同一平面直角坐標系中的

圖象可能是（）

8.如圖，AO=8O=CO=6厘米，0C是一條射線，OCLAB.一動點P從點A以1厘米/

秒的速度向點B運動，另一動點。從點。以2厘米/秒的速度沿射線0C方向運動.它們

同時出發(fā)，當點P到達8點時點Q也停止運動，設(shè)運動時間為，秒，下列結(jié)論錯誤的是

()

ApOB

A.0Q=2t

B.經(jīng)過2秒或4秒或3WI7秒時，△尸0。的面積為8平方厘米

C.當△OPC與△OP0相似時，f=3或t=12-6?

D.當△P8Q為等腰三角形時，/=-4+2'運或量等亙

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

9.己知為銳角，且co$A=1-,則NA度數(shù)等于度.

2

10.某班級學生期末操行評定從德、智、體、美、勞五方面按2：3：2：2：1確定成績，小

明同學本學期五方面得分如圖所示，則他期末操行得分為分.

11.圓錐的高〃=3,母線1=5,則圓錐的側(cè)面積是.

12.一個小鋼球在如圖的區(qū)域內(nèi)運動，三個圓的半徑分別為r,2r,3r,則小鋼球停止在藍

色區(qū)域的概率為

13.西周時期，丞相周公旦設(shè)計過一種通過測定日影長度來確定節(jié)氣的儀器，稱為圭表.如

圖所示的是一個根據(jù)某地的地理位置設(shè)計的圭表，其中，立柱AC高為8尺.已知，此

地冬至時的正午日光入射角/ABC約為28°,則立柱AC根部與圭表的冬至線之間的距

離（即BC的長）約為尺.（參考數(shù)據(jù)：sin28°七0.47,cos28°?0.88,tan28°

冬至線。.作作分立熨燈至線

、工冬秋分立秋

14.如圖，同學們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、

乙兩名同學拿繩的手的間距為6米，到地面的距離A。與8。均為0.9米，繩子甩到最高

點C處時，最高點距地面的垂直距離為1.8米.身高為1.4米的小吉站在距點O水平距

離為切米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時超過他的頭頂），則機的取值范圍

是

15.如圖，多邊形4A2A3…4是0。的內(nèi)接正”邊形.已知的半徑為r,△AQ1A2的度

數(shù)為a,點。到4A2的距離為d,△AQA2的面積為S.下面三個推斷中，①當〃變化時,

a隨n的變化而變化，a與n滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；②若a為定值，當r

變化時，d隨『的變化而變化，”與/?滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；③若〃為定值,

當/?變化時，S隨r的變化而變化，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系.其中正確的

是（填所有正確答案的序號）.

16.如圖所示，正方形ABCD的對角線交于點O,P是邊CD上靠近點D的三等分點，連

接尸A,PB,分別交AC于N.連接MN,若正方形的邊長為3,則善照的值

SAONB

是_______

三、解答題（本題共82分）

17.計算：2tan450+4sin30°?cos60°.

18.解方程：3（2x-3）2=2（2x-3）.

19.某校為落實“雙減”工作，增強課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時間，為學有余

力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：A.音

樂；B.體育；C.美術(shù)；D.閱讀：E.人工智能.為了解學生對以上活動的參與情況，

隨機抽取部分學生進行「調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，繪制「如圖所示的兩幅不完整的

統(tǒng)計圖.

（1）①此次調(diào)查一共隨機抽取了名學生；

②補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；

③扇形統(tǒng)計圖中圓心角a=度；

（2）若該校有2800名學生，估計該校參加。組（閱讀）的學生人數(shù).

20.春節(jié)期間，蘇州所有旅游景點免費，某天小華計劃在拙政園、獅子林和網(wǎng)師園等三個景

點中選擇游玩.

（1）若小華從中隨機選擇一處景點是“網(wǎng)師園”的概率是；

（2）小華從中隨機選擇兩處景點游玩，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小華選擇的景點

中至少有一處是“網(wǎng)師園”的概率（這三個景點依次分別用字母4,B,C表示）.

21.已知關(guān)于x的方程/-爾+2切-4=0.

（1）求證：無論加取任何實數(shù)時，該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）如果該方程的兩個實數(shù)根的平方和為4,求〃?的值.

22.圖1是一臺手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,BC可分別繞點A,B轉(zhuǎn)動,測得8c

=10cm,AB=24cm,ZBAD=60°,NABC=50°.

（1）在圖2中，過點8作BELA。，垂足為E.填空：NCBE=°；

（2）求點C到AO的距離.（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin20。

=0.342,cos20°=0.940,tan20°=0.364)

B

501

23.如圖，A2是。0的直徑，延長AB到￡>,使BD=OB,點C在。。上，且NA=30°.

（1）求證：C￡>是。。的切線；

（2）若。。的半徑為6,求圖中陰影部分的面積.

24.一人一盔安全守規(guī)，一人一戴平安常在，某電動自行車配件店經(jīng)市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)進價為

40元的新款頭盔每月的銷售量y（件）與售價x（元）成一次函數(shù)關(guān)系y=-2X+400.

（1）若物價局規(guī)定，該頭盔最高售價不得超過100元，當售價為多少元時，利潤達到5600

元：

（2）若獲利不得高于進價的80%,那么售價定為多少元時，月銷售利潤達到最大？最大

利潤是多少元？

25.如圖1,已知RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,E是線段48上的一點，點。

是線段BC上的一個動點，沿4。折疊△AC。，點C與C重合，連接BC；

（1）當BE為何值時，△AEC'saACB?

（2）在⑴的條件下，若點F是BC上的一點，且8F=2,求BC吟FC'的最小值.

A

26.平面直角坐標系中，直線y=-x+4與拋物線y=x2+bx+4交于過y軸上的點M和點N

（幾，1）.

(1)求”和6的值；

(2)A為直線MN下方拋物線上一點，連接AM,AN,求的面積的最大值；

(3)當點A為拋物線y=/+法+4的頂點時(如圖2),將△4WN沿著直線MN翻折得

到△/!'MN,求4'M與拋物線的另一個交點C的坐標.

27.如圖，銳角AABC中/A的平分線交于點E.交△ABC的外接圓于點。，邊8c的

中點為M.

(1)求證：垂直BC；

(2)若AC=4,BC=5,AB=6,求四的值;

AD

(3)作/4CB的平分線交AD于點P,若將線段繞點M旋轉(zhuǎn)180°后，點P恰好與

△ABC外接圓上的點P,重合，求sin/BAC.

D

參考答案

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）

1.體育課上，蘇蘇做了一組5次立定跳遠的測試.成績分別為2.31米，2.34米，2.30米，

2.35米和2.29米，他這組立定跳測試成績的中位數(shù)是（）

A.2.29米B.2.30米C.2.31米D.2.33米

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以先按照從小到大排列，然后即可得到相應(yīng)的中位數(shù).

解：??,這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列是：2.29米，2.30米，2.31米，2.34米和2.35米，

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2.31米，

故選：C.

【點評】本題考查中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果

數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

2.拋物線y=2%2向下平移3個單位長度后所得新拋物線的頂點坐標為（）

A.（-3,0）B.（3,0）C.（0,-3）D.（0,3）

【分析】根據(jù)平移的規(guī)律即可得到平移后所得新的拋物線的頂點坐標.

解：拋物線y=2》2的頂點坐標是（0,0）,將該頂點向下平移3個單位長度所得的頂點

坐標是（0,-3）.

故選：C.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上

加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

3.已知。。的面積為若點O到直線的距離為7TC7”，則直線，〃與0。的位置關(guān)

系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【分析】設(shè)圓。的半徑是廣，根據(jù)圓的面積公式求出半徑，再和點O到直線/的距離TT

比較即可.

解：設(shè)圓。的半徑是〃

貝ij-nr2—XCm,

：.r=4,

???點。到直線/的距離為TT,

V4>n,

即：r>d,

...直線/與o。的位置關(guān)系是相交，

故選：A.

【點評】本題主要考查對直線與圓的位置關(guān)系的理解和掌握，解此題的關(guān)鍵是知道當r

時相離；當「="時相切；當時相交.

4.如圖，小聰和他同學利用影長測量旗桿的高度，當1米長的直立的竹竿的影長為1.5米

時，此時測得旗桿落在地上的影長為12米，落在墻上的影長為2米，則旗桿的實際高度

為（）

■■■■

■■■■

■■■■

A.8米B.10米C.18米D.20米

【分析】如圖，CD=2m,50=12〃?，根據(jù)“在同一時刻物高與影長的比相等”得到

黑?Th，則可計算出。E,然后再利用票二七可計算出A8

DE1.5BE1.5

解：如圖，CD=2m,BD=\2m,

..CD_1

'DF=1.5'

.?.￡>E=1.58=3,

..AB_1

*BE-1.5,

1.5

二旗桿的高度為10m.

故選：B.

A

【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用影長測量物體的高度，通常利用相似三角

形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理

解決.

5.如圖，已知AB是。。的直徑，NAQC=50°,A。平分/8AC,則/AC。的度數(shù)是（）

A.110°B.100°C.120°D.130°

【分析】連接BC,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/AQB=90°,從而可得/BCC=

140。，然后利用圓內(nèi)接四邊形對角互補可得NB4C=40°,再利用角平分線的定義可得

ND4C=20°,最后利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答.

解：連接BO,

是的直徑,

：.ZADB=90°,

VZADC=5Q0，

ZBDC=ZADB+ZADC=140°,

四邊形ABDC是。0的內(nèi)接四邊形，

.?./B4C=I8O°-ZBDC=40°,

：AQ平分/BAG

AZDAC=—ZBAC=20°,

2

.?.NACQ=180°-ZADC-ZDAC=110°,

故選：A.

【點評】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是

解題的關(guān)鍵.

6.關(guān)于x的方程N+4日+2N=4的一個解是2,則k值為（）

A.2或4B.。或-4C.4或0D.-2或2

【分析】直接把x=2代入方程N+4■+2R=4得4+8Z+2公=4,然后解關(guān)于k的一元二次

方程即可.

解：把x=2代入方程/+4履+2/=4,

得4+弘+2公=4,

整理得爐+4%=0,

解得“i=0，ki--4,

即k的值為0或-4.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，正確記憶能使一元二次方程左右兩邊相等的未

知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題關(guān)鍵.

7.一次函數(shù)），=5-4（c=0）和二次函數(shù)y=<zv2+x+c（〃W0）在同一平面直角坐標系中的

圖象可能是（）

【分析】可先由一次函數(shù)y=cx-“圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)y=?x2+x+c

的圖象相比較看是否一致.

解：A、由拋物線可知a<0,又6=1>0,所以對稱軸應(yīng)該在y軸右側(cè)，故本選項不符合

題意；

B、由拋物線可知a<0,又匕=1>0,所以對稱軸應(yīng)該在y軸右側(cè)，故本選項不符合題意；

C、由拋物線可知，a>0,c<0,由直線可知，a>0,c>0,故本選項不符合題意；

D、由拋物線可知，a>0,c<0,由直線可知，a>0,c<0,故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)丫=履+人在不

同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐

標等.

8.如圖，AO=8O=CO=6厘米，0C是一條射線，OCLAB.一動點P從點A以1厘米/

秒的速度向點B運動，另一動點Q從點。以2厘米/秒的速度沿射線0C方向運動.它們

同時出發(fā)，當點P到達B點時點Q也停止運動，設(shè)運動時間為/秒，下列結(jié)論錯誤的是

ApOB

A.0Q=2t

B.經(jīng)過2秒或4秒或3W77秒時，△P0。的面積為8平方厘米

C.當AOPC與△OPQ相似時，f=3或t=12-6E

D.當△PBQ為等腰三角形時，/=-4+2J石或冬芋運

【分析】根據(jù)動點Q從點。以2厘米/秒的速度沿射線0C方向運動，知。Q=2f,判定

A正確；當尸在AO上，2tLEtJ=8,P在2。上，2tqF)=8,解方程可判斷8

22

正確；當尸在線段OA上時，△OPQSAOPC,可得國裝="，當P在線段OB上時，

62t

上g=-^-,解方程可判斷C正確；當尸8=8Q時，4產(chǎn)+36=144-24+凡當尸B=PQ

2t6-t

時，144-24升於=4戶+(6-r)2,即方程可判斷。錯誤.

解：：動點。從點。以2厘米/秒的速度沿射線0C方向運動，

：.0Q=2t,故A正確，不符合題意；

當p在A。上，*(巾)=8,

2

解得：力=2,亥=4.

??"=2,較=4在0V/V6范圍內(nèi),

A=2,,2=4.

P在8。上，2t"6)=8,

2

解得：6=3+,17,f4=3-717,

>3=3+近7在6<?<12范圍內(nèi)，

?"=3+百7；

經(jīng)過2秒或4秒或3WI7秒時，△POQ的面積為8平方厘米，故B正確，不符合題

意；

當P在線段0A上時，如圖：

■:△OPQSXOPC,

.OP_OP即6_t_6-t

''CO~OQ'_62t'

解得f=3；

當P在線段OB上時，如圖：

■:△OPQsXocP、

.OP_QC即t-6_6

^OQ-OP'元一百，

解得f=12-6?或1=12+6料(P不在線段。8上，舍去)，

.?.當△OPC與402。相似時，/=3或t=12-6?，故C正確，不符合題意；

在Rtz^BOQ中，由勾股定理得：8Q2=45+36,

；8P=12-t,

；.BP2=i44-24r+凡

當PB=BQ時,45+36=144-24什凡

解得：h=-4+2-/13'（2=-4-2^/13（舍去）.

當PB=PQ時，144-24什於=4產(chǎn)+（6-t）2,

解得t3=_3+3?,以=—―—3"I3-（舍去）.

22—

當△P8。為等腰三角形時，--4+2后或"+3后,故D錯誤，符合題意;

【點評】本題考查了動點問題的運用，涉及三角形的面積公式，勾股定理，一元二次方

程的解法，相似三角形等知識，解答的關(guān)鍵是運用直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

9.已知N4為銳角，且cosA=1，則NA度數(shù)等于30度.

2

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解決問題即可.

“Jo

解：VcosA=--,

2

—30°,

故答案為30.

【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常

考題型.

10.某班級學生期末操行評定從德、智、體、美、勞五方面按2：3：2：2：1確定成績，小

明同學本學期五方面得分如圖所示，則他期末操行得分為9分.

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法即可解答本題.

解：由題意可得，

10X2+9x3+8x2+9X2+9Xj

2+3+2+2+1'

答：他期末操行得分為9分.

故答案為：9.

【點評】本題考查加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確加權(quán)平均數(shù)的計算方法.

11.圓錐的高人=3,母線/=5,則圓錐的側(cè)面積是，Q]I_.

【分析】先利用勾股定理計算出底面圓的半徑為4,再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,

這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，所以利用扇形的

面積公式可計算出圓錐的側(cè)面積.

解：圓錐的底面圓的半徑=值[]=4,

所以圓錐的側(cè)面積得X2n><4X5=20n.

故答案為：20n.

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓

錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

12.一個小鋼球在如圖的區(qū)域內(nèi)運動，三個圓的半徑分別為r,2r,3r,則小鋼球停止在藍

色區(qū)域的概率為5

-3-

【分析】根據(jù)兒何概率的求法：小鋼球停止在藍色區(qū)域的概率為藍色區(qū)域的面積與總面

積的比值.

解：藍色區(qū)域的面積為n（2r）2-冗戶=371凡總面積為冗（3r）2=9TT/2,

則小鋼球停止在藍色區(qū)域的概率為型三=《.

2

9Hr3

故答案為：

【點評】此題考查幾何概率的求法，用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

13.西周時期，丞相周公旦設(shè)計過一種通過測定日影長度來確定節(jié)氣的儀器，稱為圭表.如

圖所示的是一個根據(jù)某地的地理位置設(shè)計的圭表，其中，立柱AC高為8尺.已知，此

地冬至時的正午日光入射角/ABC約為28°,則立柱AC根部與圭表的冬至線之間的距

離（即BC的長）約為15.1尺.（參考數(shù)據(jù)：sin28°^0.47,cos28°弋0.88,tan28。

冬至線①鋅作分立熨矍至線

、工冬秋分立秋

【分析】根據(jù)題意可得：/ACB=90。，然后在RtZsABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義,

進行計算即可解答.

解：由題意得：ZACB=90°,

在RtZXABC中，NABC=28°,AC=8尺,

能=高一焉215.1（尺），

立柱AC根部與圭表的冬至線之間的距離（即8c的長）約為15.1尺，

故答案為：15.1.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行投影，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是

解題的關(guān)鍵.

14.如圖，同學們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、

乙兩名同學拿繩的手的間距為6米，到地面的距離A0與8。均為0.9米，繩子甩到最高

點C處時，最高點距地面的垂直距離為1.8米.身高為1.4米的小吉站在距點。水平距

離為，"米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時超過他的頭頂），則，〃的取值范圍

是1cm<5.

【分析】以AO所在直線為y軸，以地面所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，選定拋

由題意可知C(3,1.8),

設(shè)拋物線的解析式為y=aU-3)2+1.8,

把A(0,0.9)代入y=a(x-3)2+1.8,得

a=-0.1,

...所求的拋物線的解析式是y=-o.l(x-3)2+1.8,

當y=1.4時，-0.1(x-3)2+1.8=1.4,

解得X1=1,X2=5,

.,.則〃，的取值范圍是l<m<5.

故答案為：1<根<5.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及坐標的求法，此題為數(shù)學建模題，解答本題的關(guān)

鍵是注意審題，將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，培養(yǎng)自己利用數(shù)學知識解答實際問

題的能力.

15.如圖，多邊形A1A2A3…4是的內(nèi)接正”邊形.已知的半徑為r,△40小2的度

數(shù)為a,點。到4A2的距離為d,△AQ4的面積為S.下面三個推斷中，①當〃變化時，

a隨〃的變化而變化，a與〃滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；②若a為定值，當r

變化時，d隨廠的變化而變化，d與r滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；③若“為定值，

當「變化時，S隨/?的變化而變化，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系.其中正確的

是①②③（填所有正確答案的序號）.

【分析】分別表示出a與〃、d與八S與，?的關(guān)系式，進而判定出結(jié)論.

解：①?心題匚，

；.a是〃的反比例函數(shù),

故①正確，

②如圖，

?：OAt=OAi,

：.ZBOAt=—ZA\OA=—a,

222

/.J=r*cos-a,

Va為定值，即cosa為定值,

."是，?的正比例函數(shù),

故②正確,

③?為定值，a=——,

n

.,.a為定值，

'/—A1A2—BAi=r,sin—a,

22

S——/11/I2,d=r,sin-^a?r,cos—a-(sin—a*008—a)?/,

22222

，S為r的二次函數(shù)，

故③正確，

故答案為：①②③.

【點評】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，解直角三角形，正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、

二次函數(shù)的定義等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識.

16.如圖所示，正方形A8CD的對角線交于點0,尸是邊上靠近點。的三等分點，連

接PA,PB,分別交BO,AC于M,N.連接MN,若正方形的邊長為3,則，△。睡的值

SA0NB

是4?

-2~

【分析】由正方形的性質(zhì)可得A8=BC=CO=AO=3,AB//CD,AC=B￡>=3迎，OA

=0B=0C=0Q=WY2,通過證明可得】巳出L,即可求0M=MD

2ABBM

=2亞，由平行線分線段成比例可求ON的長，即可求SAONB=±,即可

4820

求解.

解：?.?四邊形A2CD是正方形，且正方形的邊長為3,

：.AB=BC=CD=AD=3,AB//CD,AC1BD,AC=BD=3近,OA=OB=OC=OD=

-啦-------,

2

是邊C。上靠近點。的三等分點，

：.DP=\,PC=2,

'JAB//CD,

.DPDM_1

"AB"BM-T

:.MB=3DM,且OM+MB=BO=3&,

：.OM=MD=^^~,

4

'：AB//CD,

.AB_AN3

■"CP'CNV

3

：.AN=—CN,

2

：.AN=^^~,CN=^^~,

55

10___

???S&OMA=4Xa"2—x3,2?=得，S4ON8=4XX3^"^.x9,

-2248221020

.SAOMA_5

??~~.

SAONB2

故答案為：-1.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定

理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共82分)

17.計.算：2tan450+4sin30°*cos60°.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算，即可解答.

解：2tan45°+4sin30°*00860°

—2X1+4X--X--

22

=2+1

=3.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

18.解方程：3(2r-3)2=2(2x-3).

【分析】利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答.

解：3(2x-3)2=2(2x-3),

3(2x-3)2-2(2x-3)=0,

(2x-3)[3(2x-3)-2]=0,

(2x-3)(6x-11)=0,

2x-3=0或6x-11=0,

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握解一元二次方程-因式分

解法是解題的關(guān)鍵.

19.某校為落實“雙減”工作，增強課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時間，為學有余

力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：A.音

樂；B.體育；C.美術(shù)；。.閱讀：E.人工智能.為了解學生對以上活動的參與情況，

隨機抽取部分學生進行了調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的

統(tǒng)計圖.

（1）①此次調(diào)查一共隨機抽取了400名學生;

②補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；

③扇形統(tǒng)計圖中圓心角a=108度;

（2）若該校有2800名學生，估計該校參加。組（閱讀）的學生人數(shù).

【分析】（1）①由8組的人數(shù)除以所占百分比即可；

②求出A、C組的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；

③由360°乘以C組所占的比例即可；

（2）由該校共有學生人數(shù)乘以參加。組（閱讀）的學生人數(shù)所占的比例即可;

（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中甲、乙兩人的結(jié)果有2種，再

由概率公式求解即可.

解：（1）①調(diào)查人數(shù)：罌=400（名），

25%

故答案為：400；

②A組的人數(shù)：400X15%=60（名），

C組的人數(shù)：400-100-140-40-60=60（名），

③扇形統(tǒng)計圖中圓心角a=360°*義=54°,

400

故答案為：54°,

（2）2800x-^-=980（人），

答：參加。組（閱讀）的學生人數(shù)為980人.

【點評】本題考查的概率及其應(yīng)用，掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)

鍵.

20.春節(jié)期間，蘇州所有旅游景點免費，某天小華計劃在拙政園、獅子林和網(wǎng)師園等三個景

點中選擇游玩.

（1）若小華從中隨機選擇一處景點是“網(wǎng)師園”的概率是2；

一3一

（2）小華從中隨機選擇兩處景點游玩，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小華選擇的景點

中至少有一處是“網(wǎng)師園”的概率（這三個景點依次分別用字母4,B,C表示）.

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可：

（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解

即可.

解：（1）小華從中隨機選擇一處景點是“網(wǎng)師園”的概率是

故答案為：得；

0

(2)圓樹狀圖得:

:共有6種等可能的結(jié)果，其中小華選擇的景點中至少有一處是“網(wǎng)師園”的有4種結(jié)

果，

，小華選擇的景點中至少有一處是“網(wǎng)師園”的概率為

63

開始

ABc

/\z\z\

BCAcAB

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用

到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.已知關(guān)于x的方程x2-mx+2m-4=0.

(1)求證：無論機取任何實數(shù)時，該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)如果該方程的兩個實數(shù)根的平方和為4,求〃?的值.

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△=〃-4ac,可得出△=所-4)220,

進而可證出：無論，”取任何實數(shù)時，該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的兩個根，結(jié)合該方程的兩個實數(shù)根

兩個實數(shù)根的平方和為4,即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：a=1,b=-m,c=2m-4.

△—b2-4ac=(-m)2-4XlX(2/T?-4)=m2-8〃i+16=-4)2^0,

...無論用取任何實數(shù)時，該方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：Vx2-mx+2m-4=0,

即(x-2)次-(m-2)]=0,

解得：Xi=2,X2=m-2.

..2,2_.

?xi+x2-4.

.,.4+(m-2)2=4,

/./?!=2.

【點評】本題考查r根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）

牢記“當A》。時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的兩個根.

22.圖1是一臺手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,BC可分別繞點A,B轉(zhuǎn)動,測得BC

=l（krc,AB=24cm,ZBAD=60°,ZABC=50°.

（1）在圖2中，過點B作BELAZ）,垂足為￡填空：ZCBE=20°；

（2）求點C到A。的距離.（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：向比1.73,sin20°

—0.342,cos20°七0.940,tan200仁0.364）

圖I圖2

【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得NAEB=90°,從而利用直角三角形的兩個銳角互余可

得NA8E=30°,然后利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答；

（2）過點C作CF±AD,垂足為F,過點C作CGLBE,垂足為G,則GE=CF,ZBGC

=90°,從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得/BCG=70°,然后在RtZXABE中，

利用銳角三角函數(shù)的定義求出8E的長，再在RtZVBGC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求

出8G的長，進行計算即可解答.

'：BELAD,

：.ZAEB=90°,

VZBAD=60°,

AZAB￡=90°-/8AD=30°,

；NA8c=50°,

ZCBE=ZABC-NABE=20°,

故答案為：20；

(2)過點C作CFLAO,垂足為尸，過點C作CGLBE,垂足為G,

:NCBE=20°,

：.ZBCG=90Q-NCBE=70°,

在Rt/XABE中，ZBA￡=60°,AB=24cro,

.".BE=AB?sin60°=24X^=12?(.cm),

在RtZ;J5GC中，BC=10cm,

???8G=BC?cos20°^10X0.94=9.4(cm),

；.CF=GE=BE-BG=12百-9.4F2X1.73-9.4%1.4(cm),

:.點C到AD的距離約為11.4cm.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的己知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，48是。。的直徑，延長AB到。，使8。=。8,點C在。。上，且/A=30°.

(1)求證：CQ是00的切線；

【分析】(1)連接OC.只需證明NOCn=90°.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明;

(2)陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積.

【解答】(1)證明：連接。C.

'：AC=CD,ZACD=120°,

：.ZA=ZD=30°.

?.,OA=OC,

AZACO=ZA=30°.

AZOCD=ZACD-ZACO=90°.B|JOCLCD

???CO是00的切線.

(2)解：VZA=30°,

：.ZCOB=2ZA=60°.

Sm80C=6O兀.6一=6TT,

360

在RtaOC。中，CD=OC*tan60°=6百，

.'.S^ocD--^OC*CD--^y.gX6^/3=18-^/3,

SAOCD-S?oc=18-^/3-6w,

...圖中陰影部分的面積為1873-

【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定方法、扇形的面積計算方法，熟練

掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵.

24.一人一盔安全守規(guī)，一人一戴平安常在，某電動自行車配件店經(jīng)市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)進價為

40元的新款頭盔每月的銷售量y（件）與售價x（元）成一次函數(shù)關(guān)系），=-2X+400.

（1）若物價局規(guī)定，該頭盔最高售價不得超過100元，當售價為多少元時，利潤達到5600

元；

（2）若獲利不得高于進價的80%,那么售價定為多少元時，月銷售利潤達到最大？最大

利潤是多少元？

【分析】（1）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列出方程，即可求解；

（2）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，

即可求解.

解：（1）依題意得（x-40）（-2x+400）=5600,

整理得：x2-240x+10800=0,

解得x=60或180,

?.?物價局規(guī)定，該頭盔最高售價不得超過100元，

.,.x=180不合題意舍去，

答:當售價為60元時，利潤達到5600元.

(2)設(shè)利潤為W元，貝I」W=(x-40)(-2x+400)=-2(x-120)2+12800,

V40X(1+80%)=72,

xW72,

：-2<0,

.?.當x=72時，W品大=8192,

答：售價定為72元時，月銷售利潤最大為8192元.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際

應(yīng)用，明確題意，準確列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

25.如圖1,己知RtZVIBC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,E是線段48上的一點，點。

是線段8c上的一個動點，沿4。折疊△ACD點C與。重合，連接BC；

(1)當BE為何值時，△AECS/XACB?

(2)在(1)的條件下，若點尸是8c上的一點，且B尸=2,求BC^FC'的最小值.

【分析】(1)由線段的數(shù)量關(guān)系可得空尸，可得結(jié)論；

AC'AB

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得BC+"c=(EC+FC),則當點E,點C,點尸三點共

線時，EC+FC有最小值，即BC+5/C有最小值，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求

EF的長，即可求解.

解：(1)I?沿AQ折疊△ACO,點C與C重合，

：.AC=AC=6,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

.\/1B=A/AC2+BC2=^62+82=IO)

???"AE=ZBAC,,

.?.要△AECsaACB,—,

AC'AB

.?3^12金耳

AB105

1oqo

：.BE=AB-AE=W--=—,

55

故當5E=善時，△AECSAACB.

(2)②?.,△AECSAACB,

.EC/_AE_ACZ_6_3

,?Be，AC，AB105’

5

：.BC=—EC

3f

55

^BC+—FC=—(EC+FC),

33

，當點E、C、/三點共線時，EC+bC有最小值,即BC'+巨FT有最小值,

3

如圖，過點E作E"_LBC于凡

32

由(1)得：NC=90°,4C=6,AB=10BC=8,BE=—

95;

VZACB=ZEHB=90°,/ABC=NEBH,

：.AABCSAEBH,

.BE_BH_EH即善_BH_EH

-ABBCAC''卡86'

EH=—,

2525

'：BF=2,

：.HF=BH-BF=^--2=—,

2525

?22=2=.6717

?*-￡1/=7EH+HF-J(患)?+("jj")■-----,

5

8C+±C的最小值=4X量正=2JF

335

A

【點評】本題是相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

26.平面直角坐標系中，直線y=-x+4與拋物線丫=/+公+4交于過y軸上的點M和點N

(m1).

(1)求力和6的值；

(2)A為直線MN下方拋物線上一點，連接AM,AN,求△4MN的面積的最大值；

(3)當點A為拋物線丫=/+灰+4的頂點時(如圖2),將△AMN沿著直線MN翻折得

到aA'MN,求A'M與拋物線的另一個交點C的坐標.

【分析】(1)運用待定系數(shù)法即可求得答案；

(2)設(shè)4(〃?，w2-4m+4),過點A作AT〃y軸交直線MN于點T,如圖1,可得

=S&AMT+S&ANT=--|(//7--1)2+今，運用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；

(3)根據(jù)軸對稱性質(zhì)可求得點A'的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線A'M的解析式，

聯(lián)立方程組即可求得交點C的坐標.

解：(1)把N(〃，1)代入y=-x+4得：1=-n+4,

解得：〃=3,

：.N(3,1),

???拋物線y=9+法+4過點N(3,1),

Al=9+3沙+4,

解得：b=-4；

(2)由(1)可得：拋物線解析式為y=/-4x+4,

：.M(0,4),

設(shè)A(如加2-4機+4),過點A作AT〃y軸交直線MN于點7,如圖1,

則T(