湖南省衡陽市2023-2024學(xué)年高三年級上冊期末數(shù)學(xué)試題含答案詳解

2024屆高三統(tǒng)一考試試題

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

L設(shè)集合H<E7},5fx.2，>。},則4）

A.（0,17]B.（-oo,17）C.（1,17]D.（-1,+8）

2.下列函數(shù)的最小正周期為兀，且在（0,1）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=cos（1-2%）B.y=sin2x

C.y=tan（l-x）D.y=-sin

3.某旅游團計劃去湖南旅游，該旅游團從長沙、衡陽、郴州、株洲、益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個

城市按照到達的先后順序分別記為第一站、第二站、第三站、第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團四站

的城市安排共有（）

A.96種B.84種C.72種D.60種

4.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程z3+z2+z+l=0的兩個不同的復(fù)數(shù)根，則歸―z?|的值為（）

A.1B.72C.2D.0或2

5.星等是衡量天體光度量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯在公元前二世紀首先提

出了星等這個概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個天體的星等值叫，鈾和它們對應(yīng)的亮度及耳滿

足關(guān)系式加2-叫=-2.51g皆（耳AO?〉0）,則（）

A.3等星的亮度是0.5等星亮度的V10倍

B.0.5等星的亮度是3等星亮度的麗倍

C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍

D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍

6.己知是拋物線M:y=—上的兩點，/為/的焦點，C（3,3）,點B到x軸的距離為

d,則|AF|+忸C|+d的最小值為（）

A.9B.10C.4+V13D.5+而

7.若函數(shù)/（%）=三+4與g（x）=f—2%圖象的交點為A,則曲線y=/（x）在點A處的切線與坐標軸

圍成的三角形的面積為（）

,28

A.4B.6C.—D.一

33

8.在正三棱臺ABC-A31cl中，AB=2,4g=4,二面角A—4用一。1為60，則該三棱臺的體積為

（）

A.273B.C.坡D.逋

333

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.己知半徑為J而的圓C的圓心在直線x+4y=0上，且圓C與直線3x—y—3=0相切，則圓。的圓心

坐標可能為（）

A（4-1）B.（-44）C.WD.償,一￡|

10.若三個不同的平面兩兩相交，且eB=l[,a=l2，0y=h，則交線4,附。的位置關(guān)系

可能是（）

A.重合B.相交于一點C.兩兩平行D.恰有兩條交線平行

3

11.已知平行四邊形A3CD的面積為4,cos/8AD=—g,且DE=3EC,BF=-2FC,則（）

15

A網(wǎng)土畫的最小值為2

14

B.當在上的投影向量為—時，ABAC=-

c.EA-FA的最小值為

19

D.當AB在AD上的投影向量為—AD時，EAFA^—

12.己知函數(shù)八％）的定義域為R,函數(shù)/'1+x）是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=/（x2—（）,則

必有（）

A.g[]=。B./（2）=0

C/（4）=0D.g（x+l）=-g（x）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若cos6cos2e-sinesin2e=-e,0,則。=_______________.

2I3）

14.已知橢圓的周長/=2就+4（a-b）,其中。分別為橢圓的長半軸長與短半軸長.現(xiàn)有如圖所示的橢圓

形鏡子，其外輪廓是橢圓，且該橢圓的離心率為趙，長軸長為82cm,則這面鏡子的外輪廓的周長約為

2

cm.（取兀=3.14,結(jié)果精確到整數(shù)）

15.某中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比例為4:3:3,假設(shè)該中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生閱讀完《紅樓

夢》的概率分別為0.2,0.25,夕（0<。<1）,若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生

閱讀完《紅樓夢》的概率不大于0.233,已知該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)

生閱讀完《紅樓夢》的概率，則P的取值范圍是.

16.若身為正整數(shù)，記集合4=徊1―2池+4<0｝中整數(shù)元素個數(shù)為%則數(shù)列也｝的前62項和

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量X（單位：g）服從正態(tài)分布且p（x<249）=0.15.

某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為30kg,〃的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量(單

位：g).

(1)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于250g的袋數(shù)為Z,求Z的分

布列；

(2)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取K(K為正整數(shù))袋，記質(zhì)量在249g?251g的袋數(shù)為

Y,求滿足。(p)<42的K的最大值.

18.在平面四邊形A3CD中，AC平分

(1)證明：/A3C與—AOC相等或互補.

(2)若人3=3,3。=2,加=1,求.A5C內(nèi)切圓的半徑.

19.在數(shù)列｛」“｝中，q=3且2"(4+1_%_1)="-1.

(1)證明：14+卷｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)｛4｝的前〃項和為S",證明：S'〉"+.4.

20.在棱長為2的正方體ABC?！?耳。，中，瓦歹分別是棱的中點，直線耳。與平面4所

交于點尸.

(1)求用P的長；

3

(2)若耳。=木與G，求直線尸。與平面AER所成角的正弦值.

21.在平面直角坐標系中，^(^,0),7T2(4,0),動點o滿足|￡>(|—|￡>叫|=6,點。的軌跡記為曲線C.

(1)求C方程.

(2)已知A(—3,0),3(3,0),過點(—4,0)的直線/(斜率存在且斜率不為0)與C交于M,N兩點，直線

AM馬BN交于點P,若。為圓色—4)2+()；—5)2=4上的動點，試問|PQ|是否存在最小值？若存在，

求出最小值；若不存在，請說明理由.

22.己知函數(shù)/(x)=e'-gx?-aln(x+l).

(1)證明：當a<l時，〃兀)>1對％?0,+00)恒成立.

(2)若存在七,七(玉W%)，使得/(玉)=/(%2)，比較(七+1)(*2+1)與e弓的大小，并說明理由?

2024屆高三統(tǒng)一考試試題

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將

答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1設(shè)集合4={削-1<%<17},34|%2>0},則A

B=()

A.(0,17]B.(-<?,17)C.(1,17]D.

(-l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】化簡集合A,B再求交集即可.

【詳解】因為2%>0,所以8={引x-2x>0}={x|尤>0},

所以Ac3=(O,17].

故選：A

2.下列函數(shù)的最小正周期為兀，且在(0,1)上單調(diào)遞減的是()

A.y=cos(l-2龍)B.y-sin2x

C.y=tan(l-x)D.y=-sin：

【答案】C

【解析】

【分析】求出各函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意,

2兀

A項，在丁=8$（1—2x）中，y=cos（2x—l）,①二2,最小正周期為T=耳=兀，

當單調(diào)遞增時，241一兀＜2%—1W2E（左wZ）,

.?.在0,；上不單調(diào)遞減，A錯誤；

2兀

B項，在丁=5皿2%中，a）=2,最小正周期T=—=71,

2

JTJT

當單調(diào)遞增時，2hi--<2x<2kji+-(keZ)f

解得：左兀一；《犬＜E+：（左eZ）

71

二在與上不單調(diào)遞減，B錯誤;

C項，在y=tan?！?)中，y=-tan（x—1）,周期丁=；=兀,

JT

函數(shù)在防I——<x-l<

2

...函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減，c正確；

D項，在丁=—sin二中，°—5'，—1―4兀，故D錯誤.

25

故選：C.

3.某旅游團計劃去湖南旅游，該旅游團從長沙、衡陽、林B州、株洲I、益陽這5個城市中選擇4

個（選擇的4個城市按照到達的先后順序分別記為第一站、第二站、第三站、第四站），且第

一站不去株洲，則該旅游團四站的城市安排共有（）

A.96種B.84種C.72種D.60種

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)分步乘法原理先考慮第一站，再考慮余下的三站得解.

【詳解】因為第一站不去株洲，所以第一站可以從長沙、衡陽、郴州、益陽這4個城市中選擇

1個，共有4種選擇，

余下的三站可以從剩下的4個城市中選擇3個，所以該旅游團四站的城市安排共有

4A：=96種.

故選：A.

4.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程z3+z2+z+l=0的兩個不同的復(fù)數(shù)根，則,―Z?|的值為

()

A.1B.72C.2D.血或

2

【答案】D

【解析】

【分析】分解因式解方程,再求模長即可求解.

【詳解】由Z3+Z2+Z+1=O，

得22卜+1)+2+1=卜2+1)卜+1)=0

因為j2=—1，所以2=±i或-1，

當Z]=±i,z2=T或Z2=±i,Z]=-1,|zj-Z2|=5/2；

當馬=i,Z2=—i,或Z2=i,Z]=-i,|zj-z2|=2.

故選：D

5.星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯在公元前

二世紀首先提出了星等這個概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個天體的星等值

E

叫,也和它們對應(yīng)的亮度昂E,滿足關(guān)系式鈾一班=-2.51gU(耳>0,￡2>0),則

()

A.3等星的亮度是0.5等星亮度的V10倍

B.0.5等星的亮度是3等星亮度的加倍

C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍

D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意建立對數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合指對數(shù)互化求解.

【詳解】本題考查對數(shù)運算的實際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識與邏輯推理的核心素養(yǎng).

當也=3,叫=0.5時，3-0.5=-2.51g,

E1

貝1J工7=77?，則k=1。石2,

4iu

所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍，故D正確.

故選：D.

6.已知A（機是拋物線M:y=—上的兩點，/為聞的焦點，。（3,3）,點B

到x軸的距離為"，貝小”|+宙。|+4的最小值為（）

A.9B.10C.4+V13D.

5+713

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義求解即可.

【詳解】因為拋物線M:f=-4y的準線方程為y=l,

所以|A目=1—（T）=5,d+l=|3可，

因為b（0,—1）,

所以|+忸C|+d=5+|BC|+|BF|-1>4+|CF|=4+7（3-0）2+（3+l）2=9，

當且僅當B在線段。廠上時，等號成立，所以|A耳+忸C+d的最小值為9,

故選：A

7.若函數(shù)"x)=X3+4與g(x)=f—2%圖象的交點為A,則曲線y=/(x)在點A處

的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為()

28

A.4B.6C.—D.一

33

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)九(％)=三—f+2x+4,結(jié)合單調(diào)性求出交點A的坐標，求出曲線y=/(x)

在點A處的切線方程得解.

【詳解】由/(x)=g(x),得d-7+2%+4=0，設(shè)人(%)=%3-%2+21+4,則

1

/Z,(X)=3X2-2X+2=3X—

31+g＞。,

所以以光)為R上的增函數(shù),

因為人(-1)=0,所以4(—1,3).

又/''(x)=3f,則r(_i)=3,所以曲線y=/(x)在點A處的切線方程為

y-3=3(x+1),

令x=0,得>=6,令y=0,得X=—2,

則所求三角形的面積為!><6x2=6.

2

故選：B.

8.在正三棱臺A5C-4耳。中，43=2,4用=4,二面角A—4用―G為60，則該三

棱臺的體積為()

A.2/B.C,2^D.迪

333

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出棱臺的高，再利用棱臺的體積公式計

算即得.

【詳解】在正三棱臺ABC-a與G中，令A(yù)3,4用的中點分別為。A，連接

DDVCXDX,CD,

則DD]14片,。]2144,于是二面角A-A^-q的平面角為/￡>AG，即

/DDG=60,

設(shè)上底面與下底面的中心分別為2片，連接E4,則

DE=2義立義==昱,D[E[=4xy/312y/3

----x—=------

23311233

過點。作。垂足為“，則=,則

DHDHDH,八r-

------=—尸----尸——==tan60=73

D、H2V3V3V3則DH=1,

333

所以該三棱臺的體積為工xlxx22+一+6x2x4）=—

3443

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.己知半徑為質(zhì)的圓。的圓心在直線x+4y=0上，且圓C與直線3x—y—3=0相

切，則圓C的圓心坐標可能為（）

A.（4,-1）B.（-4,1）113513)D.

U3513j

【答案】AC

【解析】

【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解.

【詳解】依題意可設(shè)圓C的圓心坐標為（Ta,。），

|3xf——3|1—7

貝~金-----=可，解得a=T或一，

V1013

（287、

所以圓C的圓心坐標為（4,-1）或[一

故選：AC

10.若三個不同的平面。，氏/兩兩相交，且aB=haX。?=%，則交線

4,4,4的位置關(guān)系可能是（）

A.重合B.相交于一點C.兩兩平行D.恰有兩

條交線平行

【答案】ABC

【解析】

【分析】構(gòu)造長方體模型，選擇其中的若干平面作為平面。即可依次判斷即得.

如圖，作出一個長方體ABC。—AB]CQ].

對于A項，可把平面。CGA.DCB/pBCDA依次取為平面名〃,7,它們兩兩相交于共

同的交線。C,故A項正確;

對于B項，可把平面。CG。l，A。QlA，BCD4依次取為平面a,民7,此時，

ac/3=DDX,ac\y=DC,/?n/=AD,

而易得三條交線交于同一點D,故B項正確；

對于C項，可把平面。C片4，A35IA，5CD4依次取為平面％民九此時，ai13=\BX,

acy=DC,01y=AB,

而易得三條交線兩兩平行，故C項正確；

對于D項，可把平面。5aM依次取為平面名尸,九此時，a夕=4片，

acy=DC,01y=AB,

若只有AB//CD,因ABa平面。A，而CDu平面。CB]A，則AB//平面

DCBA

又ABu平面ABgA,而平面AB4A）平面。C4A=a用，則有AB//4片，

即交線6,4,A的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項錯誤.

故選：ABC.

一3

11.已知平行四邊形A5CD的面積為4,cos/B4￡>=—w，且DE=3EC,BF=-2FC,

則（）

15

4洞卡同的最小值為2

14

B.當在上的投影向量為—時，ABAC=—

c.EA-FA的最小值為5卡-9

--19

D.當AB在A。上的投影向量為—A。時，EAFA=—

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用面積得出邊長乘積為定值，再利用平面向量基本定理表示區(qū)4.E4結(jié)合不等式

判斷A和C,利用投影向量判斷BD.

34

【詳解】因為cos/3A。=——,所以sin/BAD=—.

55

4

設(shè)|AB|=a,|AD|=Z>,則aZ?sin/3AD=ga/?=4,解得a）=5,

J_^l5>A5

則+=+2=2

網(wǎng)|AD|ab\ab

當且僅當匕=5。=5時，等號成立，A正確

因為。E=3EC,BF=-2FC,

所以A7^=A8+8k=A8+2A。,

3

AE=AD+DE=-AB+AD,

4

3：（A3+2AD）,

所以EA,FA=AE?AF=-AB+AD

4

=||ABI2+2|ADI2+|ABAD,

=-a2+2b2+—\

42I5）

>2.-a2-2b2--=46ab--=5y/6-—,

V4222

3

當且僅當？/=2〃時，等號成立，

4

所以E4?E4的最小值為5娓-y,C正確.

如圖，過點5作皿工AD,垂足為〃，則AB在上的投影向量為AH，

3

當AB在AD上的投影向量為—A。時，AD=AH=-AB.

3?5

因為。匕=5,所以一6=5,得/=一,

53

則AB.AC=AB（AB+AD）="一3=牛

口….32”21535015

EA-FA=-a~+2b------=-a~2+------,

424a22

=-3x-25-F5-0---15=—19,

432524

3

故B錯誤，D正確.

故選：ACD

12.已知函數(shù)了(尤)的定義域為R,函數(shù)/(f+x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)

g(x)=/卜2-：),則必有()

A.g[]=。B./(2)=0

C./(4)=oD.g(x+l)=-g(x)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)/'(V+x)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)性質(zhì)可得/(/一天)+/(爐+X)=0,從

而可得g[g-x]+g[；+x]=O且g(-x)=g(x)，從而可對A、B、D判斷；取特殊函

數(shù)〃x)=cosjx+：兀2,從而可得/(4)/0,從而對C判斷.

【詳解】對A、B、D：由條件可知/(爐—尤)+/(尤2+%)=o,

因為=，所以g[g_x]+g[；+x]=O,且g(-x)=g(x),

可得gQJ=O，g(x+l)=_g(r)=_g(x),

所以g||J=-g|1J=/(2)=0,所以A、B、D均正確.

對C：取=cos

則

=cosjx2+x+-7r2

f(x2+x)

V4

此時了(%)滿足/'(f+x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(4)/0,所以C未必成立，故C

錯誤.

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于抽象函數(shù)，根據(jù)函數(shù)/(幺+了)為奇函數(shù)，從而求出

f(x2-x)+f(%2+%)=0,然后可求得且(3_%]+8[；+\]=0且8(_力=8(%)得

g(x)為奇函數(shù)，即可對A、B、D判斷求解；利用特殊函數(shù)〃x)=cosjx+；兀2可對c

判斷求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若cosecos2e-sin9sin2e=-3>ee[—3,o],則。=__________.

2I3)

5兀5

【答案】71

1818

【解析】

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式化簡可得.

【詳解】因為，e—1,0,所以36e(—兀,0),

因為cos6cos2e-sin6sin2e=cos36=

2

5兀即―

所以3。=—

6

故答案為：----.

18

14.已知橢圓的周長/=2兀b+4(a—6),其中。，。分別為橢圓的長半軸長與短半軸長.現(xiàn)有

如圖所示的橢圓形鏡子，其外輪廓是橢圓，且該橢圓的離心率為且，長軸長為82cm,

2

則這面鏡子的外輪廓的周長約為cm.(取兀=3.14,結(jié)果精確到整數(shù))

【答案】211

【解析】

【分析】根據(jù)離心率公式和橢圓。、6、c的關(guān)系計算即可.

【詳解】因為e=Jl—￡=且，所以。=2'

V?2

因為長軸長為82cm,所以a=41cm,Z?=20.5cm,

=27iZ?+4(a—=41TI+82=41x3.14+82=210.74?211cm.

故答案為：211.

15.某中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比例為4:3:3,假設(shè)該中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生

閱讀完《紅樓夢》的概率分別為0.2,0.25,夕(0(?<1),若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨

機選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不大于0.233,已知該中學(xué)高三的學(xué)

生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率，則夕的取值范圍

是.

【答案】[0.2,0.26]

【解析】

【分析】根據(jù)全概率公式可知任選1名學(xué)生概率為

433

0.2x----------+0.25x-----------+px-----------=0.155+0.3/?<0.233,由該中學(xué)高三的

4+3+34+3+34+3+3

學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率可得。20.2,

從而可求解.

【詳解】若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機選取1名學(xué)生，

則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率為

433

0.2x+0.25x+px=0.155+0.3p<0.233,解得/<0.26.

4+3+34+3+34+3+3

因為該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率,

所以。202.

故。的取值范圍是[020.26].

故答案為；[0.2,0.26].

16.若m為正整數(shù)，記集合A={T?―2加+4<0}中的整數(shù)元素個數(shù)為%則數(shù)列

也}的前62項和為.

【答案】3841

【解析】

【分析】先轉(zhuǎn)化得A={T(〃-根)2<.-4},再分類討論機的取值范圍，利用放縮法判斷

得0<m-dm2一4<1，2m—l<m+ylnr—4<2m>從而得解一

【詳解】因為A={〃|n2—2mn+4<0j={T("—m)2<m2—41,

當加=1時，A=0,Z?j=0；當加=2時，4={2},仇=1；

當加之3時，A=<)n|m—yjm2—4<M<m+y/tTT-4^,

44

------?-----1—=3-A/5<1,

m+yjrrr-43+v32-4

所以m+4—(2.-1)=1—(m—Vm^-4j>0,

又m+Jm1—4<m+A/W2=2”

所以2加一1<m+y/m2-4<2m>則4=2/〃—1；

(5+123)x(62-2)

故數(shù)列出｝的前62項和為0+1+5+7++123=1+3g4i

2

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得2機-1<機+標=1<2機，從而得到當

加23時，bm=2根一1,由此得解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

17.已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量X（單位：g）服從正態(tài)分布N（〃,b2）,且

P（X<249）=0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為30kg,〃的值恰好等于這

120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：g）.

（1）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于250g的袋數(shù)

為Z,求Z的分布列；

（2）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取K（K為正整數(shù)）袋，記質(zhì)量在

249g?251g的袋數(shù)為y,求滿足。（丫）<42的K的最大值.

【答案】（1）分布列見解析

（2）199

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可求得〃=25。，從而求出2（X2250）=0.5,由Z的可能取值為

0,1,2,從而求出相應(yīng)概率即可列出分布列.

（2）由（1）及P（X<249）=0.15可得尸（249<X<251）=0.7,且V?5（K,0.7）,利

用二項分布求方差公式從而可求解.

【小問1詳解】

依題意可得〃==250,

則2（X2250）=0.5,

Z的可能取值為0』,2,

P（Z=0）=（1-0.5）2=0.25,P（Z=1）=2x0.5x（l-0.5）=0.5,

尸（Z=2）=0S=0.25,

所以Z的分布列為

Z012

P0.250.50.25

【小問2詳解】因為P（X<249）=0.15,所以

P(249<X<251)=(0.5-0.15)x2=0.7.

依題意可得y?5(K,0.7),

所以D(y)=Kx07X(1-0.7)=0.21K.

因為。(y)<42,所以K<200,又K為正整數(shù)，所以K的最大值為199.

18.在平面四邊形ABCD中，AC平分

（1）證明：/A5C與4OC相等或互補.

（2）若A3=3,3C=2,ZM=1,求JRC內(nèi)切圓的半徑.

【答案】（1）證明見解析

⑵56-5

6

【解析】

【分析】（1）分別在與入位）。中利用正弦定理列等式，再由角平分線及邊相等得兩

角正弦相等，從而得證；

（2）分別在「ABC與八位）。中利用余弦定理列等式，由第（1）角/A3C與NAO?；?/p>

補關(guān)系代入求出COSNA3C=L,再求得AC,再由等面積法求內(nèi)切圓半徑即可.

2

【小問1詳解】

在一ABC中’5也/班。=sinZA5c'

在八位）。中，———=———.

sinZDACsinZADC

因為AC平分N84。，所以N8AC=NDAC.

又BC=CD,所以sin/A3C=sinNZ￡>C,NA3CNAOC為三角形的內(nèi)角，

所以/A3。與^ADC相等或互補.

【小問2詳解】

假設(shè)NABC與^ADC相等,

又AC平分NBAD,則NBAC=/DAC,BC=CD,AC=AC,

故與入位)。全等，則A3=A。，這與已知矛盾A3=3,AD=1.

所以假設(shè)錯誤，/A3C與NAOC不相等，故/A3C與/AOC互補.

在，ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos^ABC=13-12cos^ABC>

在AADC中，AC2=CD2+DA2-2CD-DA-cos^ADC=5—4cos—ADC，

所以13-12cos^ABC=5-4cos^ADC.

又cos^ABC=—cos^ADC,

所以COSNABC=L,

2

則AC=J13-12cosNABC=幣.

所以^ABC的面積S='AB?BCsin^ABC=空,

22

設(shè)內(nèi)切圓的半徑的r,則S=；(AB+BC+CA)r,

砧2S365A/3-A/21

y—_________________—________—____________.

AB+BC+AC5+S6

19.在數(shù)列｛4｝中，4=3且2用(%+|―4-1)=“-1.

n

（1）證明:%+封是等差數(shù)列;

（2）設(shè)｛4｝的前幾項和為S“，證明：S">"+"4

2

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

n+1n

【分析】（1）由題設(shè)求出。,+1-a?,再利用等差數(shù)列的定義式計算an+l+--｛an+—）,

將結(jié)果代入化簡即得差為常數(shù).

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出數(shù)列｛4｝的通項，再運用分組求和的方法求出S“再證明.

【小問1詳解】

因為（。用_4_：!）=『一I,所以功用_4=/+1,

〃+ln〃+1nn—1tn+l-2n

所以4+i+ka+i+i-an+^r-^r=^r+1+----—=1,

n^T2n+1

所以4+哥是公差為1的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

|]YIn

因為。1=5，所以4+5=1,由（1）知4+]7=〃，則=n--

T

n12〃e1T12n

設(shè)數(shù)列｛景｝前幾項和為7；,則〈=彳+尹+則5(=中+萬+,+廣，

1

1-

n2nn+2

所以T--T=—+-+—++--II---=I----

n2n222232n2〃+i2〃+i

1-2

則1=2—詈

22

?(?+l)T〃+2n+n-4n+2n+n-4

所以S“=二一一T”2-----------+---->-------

22"22"2

20.在棱長為2的正方體ABC?！狝4G。中，E,b分別是棱的中點，直線

耳。與平面4石/交于點P.

（1）求瓦P的長；

3

（2）若用。=正用G，求直線尸。與平面AM所成角的正弦值.

【答案】（1）空

5

4729

（2）

29

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出平面4石歹的法向量，利用線面垂直性質(zhì)列方程求

解即可；

（2）利用線面角向量公式求解.

【小問1詳解】

以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4（0,0,2）,石（2,1,0）,尸（0,2,1）,4（2,0,2）,。（0,2,0）,

所以耳。=（一2,2,-2）,跖=（一2,1,1）,AE=（2,1,-2）小4=（2,0,0）.

設(shè)40==（-22,22,-22）,

則AP=A4+旦P=（2_242/1,_2X）.

設(shè)平面4匹的法向量為5=（%,y,z）,

n-AE=2x+y-2z=0,

則.

n-EF=—2x+y+2=0,

令x=3,得〃=（3,2,4）.

.3

依題意可得=6—64+44—82=0,解得4二

所以4P=gBiZ>=|x20=^L

【小問2詳解】

因為4（2,0,2）6（2,2,2）,所以4Q=QG=（0,|,0）,

所以PQ=4Q_4P=[t，—1，■!]

設(shè)直線PQ與平面AEF所成的角為6,

/\i312x3-1x2+2x41—

IsmO=cos(n,PQ)\=-x————=4技z

則'715-x|G+(—1尸+22=

所以直線PQ與平面AEF所成角的正弦值為上叵.

29

21.在平面直角坐標系中，號(—,0),4(4,0),動點O滿足|。叫|=6,點。的

軌跡記為曲線C.

(1)求。的方程.

(2)已知A(—3,0),3(3,0),過點(—4,0)的直線/(斜率存在且斜率不為0)與。交于

Q

兩點，直線40與5N交于點P,若。為圓(x—4>+(y—5)2=一上的動點，試

16

問|PQ|是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

22

【答案】(1)---二=l(x<0)

97

(2)存在，—

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)雙曲線定義即可求得答案；

(2)設(shè)/的方程為x=7孫—4(加W0),聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，寫出直線

AM，直線5N的方程，聯(lián)立并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡，求出點尸的橫坐標，說明其在

定直線上，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案.

【小問1詳解】

因為|￡>叫|—|￡>/=6<因(|=8,

所以根據(jù)雙曲線的定義可知點D的軌跡為以￡,降為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支.

由2〃=6,。=4,得〃=3,/=c?—4=7,

22

所以C的方程為土—L=l(x<0).

97

22

【注】C的方程也可以寫為土-乙l(x<-3).

97

【小問2詳解】

由題意可設(shè)/的方程為％=7町-4(mw0),

設(shè)M(%，％),?/(%2，%)，

x=my-4

聯(lián)立,得(7加2—9)/—56沖+49=0,滿足△=1764(機？+1)〉0,

--1

197

56m49

則%+%7m2-尸田一命-9,

直線A〃：y=/(x+3),直線5N:y=^a-3),

聯(lián)立>=上++3)與尸上、(x-3),

得Ml=%(芯+3)=12(陽「4+3)=叫%-%

守x—3x(%—3)y1(my2-4-3)myly2-7y1

/%%一(%+%)+%

沖1%-7%

49m56m7m

=7療-97療-9-=7,—91=_J_

49m(7m、7

1^9%~V?n^9+yi)

99

解得x=——,故點P在定直線》=——上.

44

goo25

因為圓(x—4)2+(y—5)2=一的圓心到直線工=——的距離為4+—=——，

16444

所以|PQ|的最小值為=y.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系中的最小值

問題，解答本題的關(guān)鍵是利用直線和雙曲線的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，推出點尸在定

9

直線x=-一上，進而結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求解.

4

22.已知函數(shù)=-aln(x+l).

(1)證明：當時，/(%)21對％€[0,+8)恒成立.

⑵若存在七,工2