浙江省嘉興市2023屆高三年級(jí)下冊(cè)4月教學(xué)測(cè)試(二模)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023年高三教學(xué)測(cè)試

數(shù)學(xué)試題卷

2023.4

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合A=Mlog2X<l}l={x，+x_2W0},則4B=()

A.{xI-2<x<2}B.|x|-2<x<lj-

C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式求得兩個(gè)集合，再根據(jù)交集計(jì)算即可.

【詳解】由題意，可得1082工<1=10822,，4=卜[0<工<2}；

x2+x-2<0,.,.B={x卜2<%<1},

則A\B={x|0<x<1].

故選：C.

2.(x—2y+3z)6的展開(kāi)式中的系數(shù)為()

A.-60B.240C.-360D.720

【答案】D

【解析】

【分析】將(尤-2y+3z『看成6個(gè)(x—2y+3z)因式，分3步分析蒼％z的取法，由分步計(jì)數(shù)原理以及

多項(xiàng)式乘法分析即可得答案.

【詳解】展開(kāi)式中的/六項(xiàng)可以看成6個(gè)因式(x—2y+3z)中，

其中3個(gè)取x,剩下的3個(gè)因式中2個(gè)取(-2y),最后一個(gè)取3z,

即得到C；?尤3.仁?(―2yp(3z)=720尤3y2z.

所以展開(kāi)式中x3y2z項(xiàng)的系數(shù)為720.

故選：D.

3.已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，%=2,若%,%，%成等比數(shù)列，則。2023=（）

A.2023B.2024C.4046D.4048

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)％,%，%成等比數(shù)列列方程，得到d=l,再計(jì)算?2023即可.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為力且dwO,

若%,%,%成等比數(shù)列，則四之二4%，又4=2,

所以（2+2d『=2（2+6d）,化簡(jiǎn)4d2—4d=0，4d（d—1）=0,

又dwO,所以d=l,

所以“2023=2+2022x1=2024.

故選：B.

4.相傳早在公元前3世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家厄拉多塞內(nèi)斯就首次測(cè)出了地球半徑.厄拉多塞內(nèi)斯選擇在夏

至這一天利用同一子午線(xiàn)（經(jīng)線(xiàn)）的兩個(gè)城市（賽伊城和亞歷山大城）進(jìn)行觀測(cè)，當(dāng)太陽(yáng)光直射塞伊城某

水井S時(shí)，亞歷山大城某處A的太陽(yáng)光線(xiàn)與地面成角8=82.8，又知某商隊(duì)旅行時(shí)測(cè)得A與S的距離即

劣弧AS的長(zhǎng)為5000古希臘里，若圓周率取3.125,則可估計(jì)地球半徑約為（）

A.35000古希臘里B.40000古希臘里

C.45000古希臘里D.50000古希臘里

【答案】B

【解析】

【分析】利用1圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是1=募即可求解.

【詳解】設(shè)圓周長(zhǎng)為C,半徑長(zhǎng)為R,兩地間的弧長(zhǎng)為/,對(duì)應(yīng)的圓心角為〃,

360的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2成,

:.1的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是1=T,即生，

360180

于是在半徑為R的圓中，n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)/為：1=述

180

Tin

當(dāng)/為5000古希臘里，”=90—6，即九=7.2時(shí),

八180/180x5000/八八八八一水口在r

R—=--------------=40000古希臘里.

?！?.125x7.2

故選：B.

5.已知正九邊形A4從…,44中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為

()

245

A-—2B.C.一D.-

399

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義,列出基本事件求概率即可.

【詳解】

可以和向量A&構(gòu)成數(shù)量積有&A，...,44一共8個(gè)向量,

其中數(shù)量積為的正數(shù)的向量有：AA，AA，A4,4A一共4個(gè),

41

由對(duì)稱(chēng)性可知，任取兩個(gè)向量，它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為：一=—

82

故選：A

6.已知正方體ABC?！?4GR的棱長(zhǎng)為2,P為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿(mǎn)足AP工平面43。，過(guò)作與AP

平行的平面，與片G交于點(diǎn)Q,則CQ=()

A.1B.6C.6D.75

【答案】D

【解析】

【分析】由題意知平面A3Q，平面可先令。為耳￡中點(diǎn)，再證明當(dāng)點(diǎn)。為AG中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足平

面\BQ1平面AXBD,即可輕易得出CQ的值.

【詳解】因?yàn)椤笧榭臻g內(nèi)一點(diǎn)且滿(mǎn)足AP上平面450,過(guò)45作與AP平行的平面，與4G交于點(diǎn)Q,

所以AP〃平面43Q,而AP1平面A0。，故平面43Q，平面450.

在正方體ABCD—中，如圖所示，取人耳中點(diǎn)為b，片5中點(diǎn)為￡,連接QE,QB，A￡,

假設(shè)。為中點(diǎn)，則△ABQ為等腰三角形，48中點(diǎn)為E,所以

又因?yàn)?D_LAG，RQ401，所以3。，/。，

4月中點(diǎn)尸，A15中點(diǎn)為E,所以跖BB],而B(niǎo)B]工BD,所以EF_LBD,EFcFQ=F,

跖，尸Qu平面ERQ,

所以501平面ERQ,￡。＜=平面￡/。,所以3。，石。；

因?yàn)镋Q_LA5,BDVEQ,BD=5,u平面入出。，

所以EQ_L平面4出。，EQu平面43Q,所以平面4臺(tái)。，平面，符合題意，

故。為4C中點(diǎn)，CQ="C；+*=6+F=君.

7.已知。=1.-23=1.213,。=1."1,則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.C<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用中間值Liz比較a,b的大小，再讓b,c與中間值L31比較，判斷b,c的大小，即可得解.

【詳解】?=1,112<1,212<1,213=&，又因?yàn)橥ㄟ^(guò)計(jì)算知I2’<1.33,所以(1.24)°3<(1.33)°\即

1.212<1,30-9，

又1.2°」<1.3°」，所以I.*<13<13'=°，所以a<b<c.

故選：B

8.設(shè)函數(shù)4％)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為了'(%),若/'(—x)=/'(x)"(2x)+/(2—2x)=3,則下

列結(jié)論不一定正確的是()

A./(l-x)+/(l+x)=3B.f(2-x)=f(2+x)

c.r(/(i-x))=r(/(i+%))D./(r(x+2))=/(r(x))

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)題意令無(wú)=2無(wú)可得/(x)+〃2—x)=3,即函數(shù)/(x)圖象關(guān)于卜寸稱(chēng)，即可判斷A；根

據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性可得函數(shù)/'(九)的周期為2,即可判斷BD；由1f(2-x)=/'(2+x)知函數(shù)

f\x)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，舉例說(shuō)明即可判斷C.

【詳解】A：/(2x)+/(2-2x)=3

令尤=2無(wú)，得/(x)+〃2—x)=3,則函數(shù)/⑺圖象關(guān)于點(diǎn)［1,，對(duì)稱(chēng).

若/(I—x)+/(l+x)=3,則函數(shù)/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，符合題意，故A正確；

B：由選項(xiàng)A的分析知"%)+/(2—力=3,等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，

得/'("_/'(2—刈=0,即/'(力=/'(2—力①，

又/'(x)=r(f)，/'(x)為偶函數(shù)，所以/'(2-九)=/口一2)②,

由①②得f'(x)=/'(X—2),所以函數(shù)/'(龍)的周期為2.

所以/'(2—x)=/'(x)=/'(2+x),BpfX2-x)=f'(2+x),故B正確;

C：由選項(xiàng)B的分析知/''(2-x)=/'(2+x),則函數(shù)/'(x)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng).

3333

令/?(1_另=5—△(X),〃1+X)=Q+A(X),若/—僅切=f'(-+A(x)),

則函數(shù)/(x)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=萬(wàn)對(duì)稱(chēng)，不符合題意，故C錯(cuò)誤；

D：由選項(xiàng)B的分析可知函數(shù)/'(九)的周期為2,則/'(x)=/'(x+2),

所以〃r(x))=/(ra+2)),故D正確.

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

71

9.已知函數(shù)/(x)=sinCOXH---(-?>0),則()

3

A.若/(%)的最小正周期為兀，則69=2

B.若切=4,則/(%)在0,三上的最大值為《

O」

「7T~|1

C.若“力在0,-上單調(diào)遞增，則0<°W—

L2」3

兀3

D.若了(耳的圖象向右平移1個(gè)單位，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則。的最小值為Q

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若/(%)的最小正周期為兀，則7="=兀，所以6y=2,故A正確;

CD

對(duì)于若貝()當(dāng)方,則715Kll」

B,co=4,Ij/Xnsin/x+g),xe0,4x+1所以

sin(4x+g，1,1,則“X)在

上的最大值為1，故B不正確;

對(duì)于C,當(dāng)xe0彳,則。x+畀］，由于"％)在0弓上單調(diào)遞增，所以go+gvg,解得

0<co<-,故C正確;

3

對(duì)于D,f（x）圖象向右平移1個(gè)單位得/因?yàn)槠錇榕己瘮?shù)，所以

兀TLTCj.

------CDH-----=-----Fkit,kQ乙,

332

所以。=—,一3匕左eZ,又<y>0,則0的最小值為之，故D不正確.

22

故選：AC.

10.已知一組樣本數(shù)據(jù)石,馬…?，土（石<%<<%），現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)七強(qiáng)，

三士，…，"T+X〃，％±A,則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)（）

222

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變

C.極差變小D.方差變小

【答案】ACD

【解析】

【分析】由平均數(shù)、中位數(shù)、極差及方差的概念計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)’新數(shù)據(jù)的總數(shù)為：哈+號(hào).??+巖=%+%+...+力與原數(shù)據(jù)總數(shù)一

樣，且數(shù)據(jù)數(shù)量不變都是“，故平均數(shù)不變，A正確;

對(duì)于B項(xiàng)，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為：1,2.5,3,則新數(shù)據(jù)為：1.75,2.75,2,顯然中位數(shù)變了，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，原數(shù)據(jù)極差為：xn-Xl,新數(shù)據(jù)極差為：VI±5L_A±A,

22

乙1；少_^^^_（3_g）=乙1—%<0,極差變小了，故c正確；

對(duì)于D項(xiàng)，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，而極差變小，說(shuō)明新數(shù)據(jù)相對(duì)原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，故方差變

小，即D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

11.已知拋物線(xiàn)=2px（p〉0）及一點(diǎn)月（飛,乙）（非坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)尸作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于

4（%,口）,5（孫％）兩點(diǎn)，則（）

111

A.若為=。，貝!B.若犬o=。，貝|一+—二一

M%%

c（%-%）（%-%）=y；-2p%D.|尸圳冏=乂-2px°

【答案】ABC

【解析】

【分析】聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得到％+%=2pk,%%=-2pm,進(jìn)而代入運(yùn)算即可判斷ABC,根據(jù)向量

數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷D.

【詳解】設(shè)直線(xiàn)A3的方程為％=妙+%（和/0）,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程

x=ky+m2

<2八='-2pky-2pm=0,故%+%=2〃左,%%=-2p九

y=2px

由于夕（不，兒）在直線(xiàn)A3上，所以/=。0+加，

對(duì)于A,當(dāng)為=0時(shí)，x0=m,則x%=一2。根=一20X0,故A正確，

?,1k11%+y22P左一左1

對(duì)于B,當(dāng)/=0時(shí)，0=kyQ+m=>一=,所以1=--=-=——=一,故B正

m

%%%%%-2pmmy0

確，

對(duì)于C,將％+%=2pk,%%=—2pm代入可得

（%—X）（%—％）=乂—%（%+%）+%%=/一%（2P左）—2Pm=尤—2y°pk-2pm

=乂一2%0左一2Mx°—仇）=yl—2px0,故C正確，

對(duì)于D,當(dāng)P在直線(xiàn)AB上，由C知：（%—%）（%-%）=￥-22%0,

由A,B,P均在直線(xiàn)AB：%=份+”“加/0）上，可知番=儂+〃2,々=@2+〃7，/=包+〃?，

則（七一%）（巧一/）=〃（％—％）（%一%）

所以R4.P5=（七一%）（￡—%）+（%—%）（%—%）=（左2+1）（%一%）（%—%），

當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB之外，貝產(chǎn)從|冏=PA?依=（/+1）國(guó)-2px0）,

當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段AB之間，則|期?|尸耳=-而.由=-（左2+1）（$_2px0）,

由于左的值不一定總為0,故|以卜|尸目=$—2pq不能一直成立，故D錯(cuò)誤，

故選：ABC

12.已知菱形A3CD的邊長(zhǎng)為2,/B4D=60,將△A3。沿對(duì)角線(xiàn)3D翻折，得到三棱錐尸—BCD,

則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）

A,存在某個(gè)位置，使得PC1.5c

B.直線(xiàn)BC與平面PSD所成角的最大值為60

28萬(wàn)

C.當(dāng)二面角P—5D—C為120時(shí)，三棱錐P—BCD的外接球的表面積為一

D.當(dāng)PC=2時(shí)，分別以P,5C,。為球心，2為半徑作球，這四個(gè)球的公共部分稱(chēng)為勒洛四面體，則該

勒洛四面體的內(nèi)切球的半徑為2-逅

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】畫(huà)出簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合，通過(guò)對(duì)幾何體的觀察、作輔助線(xiàn)、空間想象、計(jì)算等方式分別判斷各選項(xiàng)，

從而得出結(jié)論。

【詳解】PBC為等腰三角形，所以NPCfi不可能是直角，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

如圖，直線(xiàn)和6D夾角為60，平面PBD平面ABCD=BD,菱形A3CD,所以CELBD,當(dāng)平面

P8D_L平面A3CD時(shí)，NCBD為直線(xiàn)與平面PBD的平面角，此時(shí)直線(xiàn)與平面PBD所成角為最

大角，為60，選項(xiàng)B正確；

NPEC為二面角P—BD—C的平面角，設(shè)三棱錐尸―BCD的外接球的球心為。，半徑為A,△3CD的

外心為Q,則OE平分/PEC,NOEC=60,EQ=等，所以

47287r

92922

oox=1,7?=QC>+O1C=1+J=J,三棱錐尸—BCD表面積為飛一，選項(xiàng)C正確；

設(shè)正四面體的外接球球心為。，半徑為R,勒洛四面體的內(nèi)切球的半徑為小則

OP=OB=R,OE=r=———R

3

故032=3^2+0^2,即尺2=1孚j+半—R,解得R=?，由勒洛四面體的對(duì)稱(chēng)性可知,

內(nèi)切球切在每一個(gè)球面的中心，而頂點(diǎn)到切點(diǎn)的距離為2,故r=2-R=2-二2,選項(xiàng)D正確.

2

故答案為：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性

質(zhì)求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足2z+5=6—i（i是虛數(shù)單位），貝也的虛部為.

【答案】-1

【解析】

【分析】令2=。+歷，則-齒，通過(guò)復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算即可得出結(jié)果.

【詳解】令z=a+歷，則"=a—",

所以2z+N=2（a+歷）+（。一歷）=3。+歷=6-i,故z的虛部為-i.

故答案為：-1.

14.已知圓G：（x—。）2+產(chǎn)=4與G：f+（y—與2=l（aSeR）交于A3兩點(diǎn).若存在。，使得

|AB|=2,則b的取值范圍為.

【答案】［-73,73］

【解析】

【分析】根據(jù)圓與圓相交弦所在直線(xiàn)方程性質(zhì)求得直線(xiàn)A5的方程，利用直線(xiàn)與圓相交弦長(zhǎng)公式，求得

滿(mǎn)足的等式關(guān)系，根據(jù)方程有解，即可得b的取值范圍.

【詳解】圓G：?！猘）2+V=4的圓心G（a,0）,半徑4=2,圓C2：爐+（丁一加？=1的圓心

G（o,方），半徑馬=i

若兩圓相交，貝！］代一目<0。2<弓+々，所以1<J/+/<3，即1</+。2<9,

又兩圓相父弦AB所在直線(xiàn)方程為：(x—+y~—(y—6)~=4—1即2ax—2by—a~+b~+?>=0

\2a2-0-a2+b2+3\

所以圓心G（a,0）到直線(xiàn)A5的距離&=，圓心G（°M到直線(xiàn)AB的距離

J4/+4/

|0-2Z72-G2+Z72+3|

dl~~T4/+4/

,2+/+31

=A/3

4=6J4a2+44?

，貝朋，所以〃+/?2=3,

幺=0|a2+Z?2-3|

=0

、J4a2+4萬(wàn)2

若存在。，使得|A同=2,則從43,即-3<6〈百，所以力的取值范圍為

故答案為：［-3,6］

91

15.已知直線(xiàn)/與曲線(xiàn)G：y=x和C：y=—-均相切，則該直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

X

【答案】2

【解析】

【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其的幾何意義解得直線(xiàn)/的解析式即可求得結(jié)果.

【詳解】由己知得C、C,的導(dǎo)函數(shù)分別為：y'=2x,y'=^,設(shè)G、C2上的切點(diǎn)分別為

X

（七,%）、（%，％），則有:

國(guó)~X2

玉=2,必=4

解之得：\1…故”：y=4%一4,

%2=不%=-2

與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為。,0）、（0,—4）,圍成的三角形面積為：!xlx4=2.

故答案為：2.

22

16.已知橢圓C：二+4=l（a〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為月,工，離心率為e,點(diǎn)P在橢圓上，連接

ab

尸及并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)。，連接。鳥(niǎo)，若存在點(diǎn)P使|PQ|=|QE|成立，則e2的取值范圍為.

【答案】［80—11,1）

【解析】

【分析】設(shè)|。制=加,盧行|=〃，所以存在點(diǎn)尸使歸。|=|。閭等價(jià)于（怛。|—舊閭L,<&由十+：=|?

可求|尸。|—|?，攟=2機(jī)+〃—2。的最小值，求得［的范圍，從而得到的取值范圍.

a

^\QF^=m\PF^=n,則|。閶=2?！?顯然當(dāng)p靠近右頂點(diǎn)時(shí)，|尸。〉也閶，

所以存在點(diǎn)「使|PQ|=|Q閭等價(jià)于（|PQ|—|Q用L,WOjPQHQ閭=2m+〃—2a,

在△尸片心中由余弦定理得PF］=PF：+耳82一2PF］由瑪?cos。，

b2

即（2a-nf="+4c2-2n-2c-cos6，解得n-

a-ccosO

同理可得加二--------,所以—?—=—y

〃+ccos6mnb

所以（2機(jī)+〃—2a）min=（6+*及—2a，當(dāng)且僅當(dāng)〃=J%時(shí)等號(hào)成立.

由（0+1）/—2?！丁愕门c412—80,所以8行一11Ve?<L

laa

故答案為：［872-11,1）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求離心率范圍關(guān)鍵是建立”,仇c的不等式，此時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

（|PQ|T。閭）皿加4°，從而只需求|尸。|—|。閭=2機(jī)+〃—2a的最小值，求最小值的方法是結(jié)合焦半徑性

112a

質(zhì)力?+"7方=TT使用基本不等式求解.

PRQFXb

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在一ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是"c.已知b+c=2flcos3.

,,71

(1)右B=一,求A；

12

/c、4(b+c+a)(b+c-〃)/士在r

(2)求--------八--------的取值范圍.

ac

TT

【答案】⑴-

6

⑵(1,2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡(jiǎn)可得sinB=sin(A—5),則A=25,進(jìn)而求解；

(2)由(1),根據(jù)平方差公式、正、余弦定理和二倍角的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)可得

3+c+a)3+c-a)=2?os8,結(jié)合3e(0,即可求解.

ac<3y

【小問(wèn)1詳解】

由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,又sinC=sin(A+5),

得sinB=2sinAcosB—sin(A+B),

sinB=2sinAcosB-(sinAcosB+sinBcosA),

sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),

所以6=A—6或兀-5=A—JB,

得A=2JB或A=?(舍去)，

若B=J則A=g

126

【小問(wèn)2詳解】

3+c+a)(b+c-a)_(8+4_〃2(8+4一e2+/_2Z?ccosA)2/?(l+cosA)

acacaca

工丁6/口2。(1+cosA)2sinB(1+cosA)

由正弦定理m，得一-------」--------S----------L,

asinA

工/、％2sinB(l+cosA)2sinB(l+cos2B)

由(1)知A=25,Z得R--------------」--------------L

sinAsin2B

又cos2B=2cos2B-l,sin2B=2sinBcosB,

2SHLB(1+COS23)2sinB-2cosB小八

所以-----------------=----------------=2cos5，

sin2B2sinJBcos5

3+C+〃)3+C—Q)

即-------------------=2cosB,

ac

而A+5=35<TI,所以得cosBe])」],

故2cosBe(1,2),即1-------八--------^e(l,2).

ac

18.已知｛a“｝是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列出｝滿(mǎn)足4=4也+1=3d-2〃+1.

(1)證明｛包一〃｝是等比數(shù)列，并求｛4｝,｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛4｝與也,｝中有公共項(xiàng)，即存在左,〃zeN*,使得%=以成立.按照從小到大的順序?qū)⑦@些公

共項(xiàng)排列，得到一個(gè)新的數(shù)列，記作｛%｝，求G+C2++c?.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析，%=3"-l(〃eN*),4=3"+〃(〃eN*)

⑵9(27")「(3"+1)(〃—*)

262

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義即可求其通項(xiàng)公式；

(2)利用通項(xiàng)公式找出公共項(xiàng)，再分組求和即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得：an=2+(〃一l)x3=3〃一1(〃wN*),

而4=4,%1=3〃-2"+1,變形可得：bn+1-(n+1)=3bn-3n=3(bn-n),^-1=3,

故也-〃｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

從而〃一〃=3",即2=3"+M〃eN)

【小問(wèn)2詳解】

由題意可得：3k-l=3'n+m>k,meN",令m=3九一1eN"),

則3k—1=33"T+3〃—1=3H"+n)-l,此時(shí)滿(mǎn)足條件,

即根=2,5,8,…,3M一1時(shí)為公共項(xiàng),

所以q+02++c“=仇+4++4“T

=32+35++33^+（2+5++3“T=9（2；6-l）+“（3；+l）（“eN*）.

19.如圖，在三棱臺(tái)ABC—D所中，AC=4,BC=2,EF=1,DE=?AD=BE=CF.

(1)求證：平面ABEDJ_平面ABC；

(2)若四面體3CD尸的體積為2,求二面角七—8D—尸的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)

5

【解析】

【分析】(1)延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于點(diǎn)尸，判斷出D,E,產(chǎn)為中點(diǎn).取AB的中點(diǎn)加，證明出和

PMLMC,進(jìn)而證明出？M_L平面ABC,利用面面垂直的判定定理即可證明平面ABEDJ_平面

ABC.

(2)先由體積關(guān)系求出QM=6.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4、C5為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

向量法求解.

【小問(wèn)1詳解】

(1)延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于點(diǎn)P.因?yàn)?c=2,所=1,所以D,E,產(chǎn)分別為中點(diǎn)，且AB=2DE=2卮

因?yàn)锳D=5石，所以=

取A3的中點(diǎn)則〃0，旗.

因?yàn)锳C=4,3C=2,A3=2退，

所以+=AB2,所以C4，CB.

AM=CM,貝UPAM=PCM,故NPMA=NPMC=90，

即？MLMC

因?yàn)锳BMC=M,A3u平面ABCMCu平面ABC,

所以PM，平面ABC.

又PMu平面ABED,故平面ABED平面ABC.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閊D-BCF=5Vp-BCP=~^A-BCP=^P-ABC=>所以^P-ABC=8.

而S謝=gx4x2=4,

所以匕■ABC='XSABCXPM=1X4XPM=8,解得：PM=6.

r_/1DV3/1QL3

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4、6方為苫軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則尸(2,1,6),3(0,2,0),0。,g,3,小|,3，

設(shè)勺=(x,y,z)為面EBZ)的一個(gè)法向量，

AB=(—4,2,0)/x[n,?AB--4x+2y+0=0

因?yàn)?1,所以x,y,z,

AP=(-2,1,6)[nl-AP=-2x+y+6z=0

不妨設(shè)x=l,則面的一個(gè)法向量“=(1,2,0).

同理可求得面EB。的一個(gè)法向量%=(0,2,1).

由圖示，二面角石一班）一廠的平面角為銳角,

0+4+04

所以COS（4，%

同.同6x65

4

所以二面角七—8D—尸的余弦值為二.

20.為了解J市某疾病的發(fā)病情況與年齡的關(guān)系，從J市疾控中心得到以下數(shù)據(jù):

年齡段（歲）[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

發(fā)病率（％。）0.090.180.300.400.53

（1）若將每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)數(shù)據(jù)記為王，對(duì)應(yīng)的發(fā)病率記為y（i=L2,3,4,5）,根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以建立發(fā)

病率y（%o）關(guān)于年齡x（歲）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=BX+4,求4；

t("元)(％-歹)55

附：b=J-----------------=11125,X%%=78.5

2(—)2日I

i=l

（2）醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果有可能出現(xiàn)差錯(cuò).現(xiàn)有J市某位居民，年齡在［50,60）2表示事件“該居民化

驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性”，8表示事件“該居民患有某疾病”.已知P（A|3）=0.99,P（A|B）=0.999,求P（B|A）

（結(jié)果精確到0.001）.

【答案】（1）a=-0.195

（2）0.284

【解析】

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合公式求得g=o.on，進(jìn)而求得4的值；

（2）根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和條件概率的計(jì)算公式，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

.,rz,,Z.,.-,—r,口—25+35+45+55+65._

解：由表格中的U數(shù)zz據(jù)lr，可得％=-------------------=45,

-0.09+0.18+0.30+0.40+0.53?.

y=-----------------------------------------0.3

￡(%--元)(％-9)5

5對(duì)

則$=上―............i=l_________78.5-67.5

-5=0.011

11125-10125

可2元2

Z=1(=1

所以3=7—27=0.3—0.011x45=—0.195.

【小問(wèn)2詳解】

解：由題意，可得P（AB）=P（5）xP（A15）=0.0004x0.99=3.96xl（）T,

P（AB）=P（耳xP（福）=0.9996x0.001=9.996x107,

P（A）=P（AB）+P（AB）=9.996x10^+3.96x104=1.3956xl0-3

,、P（ABy396

所以P（5|A）=0.284.

、'P（A）13.956

21.己知雙曲線(xiàn)C:[-\=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)為E（2,0）,P（3,—J7）是雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn).

（1）求雙曲線(xiàn)。的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)尸作斜率大于。的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)的右支交于A3兩點(diǎn)，若。f平分NAP5,求直線(xiàn)/的方程.

22

【答案】（1）Z—2L=i

22

（2）i；x=^-y+2

9-

【解析】

【分析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)和焦點(diǎn)列方程組求解；

（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，和雙曲線(xiàn)聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，角平分線(xiàn)定理列方程進(jìn)行求解.

【小問(wèn)1詳解】

97

~7~~T=1?又。2+/=4，

ab

聯(lián)立得〃4_20〃2+36=0，得a?=2或18.

當(dāng)々2=2時(shí)，b2=2；當(dāng)/=18時(shí)，/=—14舍去.

22

所以雙曲線(xiàn)C的方程為：—-^=1.

22

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)/:兀=/>+2,4（%,%）,5（%2，%），直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，得（r-1卜2+4。+2=0,所以

4f

…=-

；77T①.

一工

t>0

由直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)右支交于兩點(diǎn)，結(jié)合直線(xiàn)斜率為正可得：《C，解得0</<l.

1%%<0

PA

由平分NAP5，由角平分線(xiàn)定理，則局=\A身F\，即

\PB\\BF\

2

=A

2%

產(chǎn)+1)yf+2(V7-+8,2

兩邊平方得,小叱2（氏加+8*'整理可得：心+%)+(77—)%%=o.

將①代入可得學(xué)+（幣］）.2=o,解得/=也€（0,1）符合題意，所以/：x=1y+2.

z2-lr2-l99

22.已知/(x)=e",g(x)=lnx.

⑴若存在實(shí)數(shù)。，使得不等式/（%）—g（x）之/（a）—g（a）對(duì)任意x?0,+8）恒成立，求

/(a>g(a)的值;

(2)若1<%<%2，設(shè)左二了"Jr伍/2=g(3—g(%),證明:

Xl一%

①存在為?石，馬）,使得，=成立;

〃%)+〃犬2)1

②&-&<

2

【答案】（1）-1

（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】⑴構(gòu)造函數(shù)M%)=〃x)—g(%),求導(dǎo),研究函數(shù)的單調(diào)性，利用極值點(diǎn)得ae"=l，從而利用

指對(duì)運(yùn)算即可求解；

(2)①記?=構(gòu)造函數(shù)p(x)=e'-Alnx,求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，找到隱零點(diǎn)，即可證明；

-11-1

②先用分析法及1<%々把不等式證明轉(zhuǎn)化為

7^2

"(xj—g(xj]—"(%)—g(p)]百十/(/)一%,

xx-x22

結(jié)合式子結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為證明卜))-gE)]-。、)-g(X2)]<r(xj-g'?)+r(X2)-g&),

石一九22

h(xA-h(xA+W

構(gòu)造函數(shù)，即證以2—