2024屆廣東省深圳市龍城高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆廣東省深圳市龍城高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，若關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A． B． C．1 D．72．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．13．已知實心鐵球的半徑為，將鐵球熔成一個底面半徑為、高為的圓柱，則()A． B． C． D．4．在中，，，則的最大值為A． B． C． D．5．已知，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．6．中,，則（）A．5 B．6 C． D．87．已知函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù)，且時，是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有之積為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則有A．的圖像關(guān)于直線對稱 B．的圖像關(guān)于點對稱C．的最小正周期為 D．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減9．已知平面向量，，且，則＝A． B． C． D．10．已知全集，則集合A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中，，的值為________12．一個三角形的三條邊成等比數(shù)列，那么，公比q的取值范圍是__________.13．已知，，，，則________.14．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計）15．已知正方形，向正方形內(nèi)任投一點，則的面積大于正方形面積四分之一的概率是______．16．如圖，在直角梯形中，//是線段上一動點，是線段上一動點，則的最大值為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知平面向量，．（1）若與垂直，求；（2）若，求．18．設(shè)函數(shù)（1）若對于一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍；（2）若對于恒成立，求的取值范圍.19．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，且，求的面積.20．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點，，點P，Q在單位圓上，以x軸正半軸為始邊，以射線為終邊的角為，以射線為終邊的角為，滿足.（1）若，求（2）當(dāng)點P在單位圓上運動時，求函數(shù)的解析式，并求的最大值.21．已知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由韋達定理列方程求出，即可得解．【詳解】由已知及韋達定理可得，，，即，，所以．故選：．【點睛】本題考查一元二次方程和一元二次不等式的關(guān)系、韋達定理的應(yīng)用等，屬于一般基礎(chǔ)題．2、C【解析】

的對稱軸為，化簡得到得到答案.【詳解】對稱軸為：當(dāng)時，有最小值為故答案選C【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，將對稱軸表示出來是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.3、B【解析】

根據(jù)變化前后體積相同計算得到答案.【詳解】故答案選B【點睛】本題考查了球體積，圓柱體積，抓住變化前后體積不變是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】

利用正弦定理得出的外接圓直徑，并利用正弦定理化邊為角，利用三角形內(nèi)角和關(guān)系以及兩角差正弦公式、配角公式化簡，最后利用正弦函數(shù)性質(zhì)可得出答案．【詳解】中，，，則，，其中由于，所以，所以最大值為．故選A．【點睛】本題考查正弦定理以及兩角差正弦公式、配角公式，考查基本分析計算能力，屬于中等題．5、B【解析】

根據(jù)向量夾角公式求得夾角的余弦值；根據(jù)所求投影為求得結(jié)果.【詳解】由題意得：向量在方向上的投影為：本題正確選項：【點睛】本題考查向量在方向上的投影的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用向量數(shù)量積求得向量夾角的余弦值.6、D【解析】

根據(jù)余弦定理，可求邊長.【詳解】，代入數(shù)據(jù)，化解為解得或（舍）故選D.【點睛】本題考查了已知兩邊及其一邊所對角，求另一邊，這種題型用余弦定理，屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】

由y＝f（x+2）為偶函數(shù)分析可得f（x）關(guān)于直線x＝2對稱，進而分析可得函數(shù)f（x）在（2，+∞）和（﹣∞，2）上都是單調(diào)函數(shù)，據(jù)此可得若f（x）＝f（1），則有x＝1或4﹣x＝1，變形為二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析可得滿足f（x）＝f（1）的所有x之積，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x+2）為偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x＝2對稱，又由當(dāng)x＞2時，函數(shù)y＝f（x）是單調(diào)函數(shù)，則其在（﹣∞，2）上也是單調(diào)函數(shù)，若f（x）＝f（1），則有x＝1或4﹣x＝1，當(dāng)x＝1時，變形可得x2+3x﹣3＝0，有2個根，且兩根之積為﹣3，當(dāng)4﹣x＝1時，變形可得x2+x﹣13＝0，有2個根，且兩根之積為﹣13，則滿足f（x）＝f（1）的所有x之積為（﹣3）×（﹣13）＝39；故選：D．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于綜合題．8、B【解析】

把函數(shù)化簡后再判斷．【詳解】，由正切函數(shù)的性質(zhì)知，A、C、D都錯誤，只有B正確．【點睛】本題考查二倍角公式和正切函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)的性質(zhì)問題，一般要把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合相應(yīng)的三角函數(shù)得出結(jié)論．9、B【解析】

根據(jù)向量平行求出x的值，結(jié)合向量模長的坐標(biāo)公式進行求解即可．【詳解】且，則故故選B.【點睛】本題考查向量模長的計算，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求出x的值是解決本題的關(guān)鍵．10、C【解析】

直接利用集合補集的定義求解即可.【詳解】因為全集，所以0，2屬于全集且不屬于集合A,所以集合，故選：C.【點睛】本題主要考查集合補集的定義，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

設(shè)三邊按遞增順序排列為，其中.則，即.解得.由q≥1知q的取值范圍是1≤q<.設(shè)三邊按遞減順序排列為，其中.則，即.解得.綜上所述，.13、【解析】

根據(jù)已知角的范圍分別求出，，利用整體代換即可求解.【詳解】，，，所以，，，，所以，=故答案為：【點睛】此題考查三角函數(shù)給值求值的問題，關(guān)鍵在于弄清角的范圍，準(zhǔn)確得出三角函數(shù)值，對所求的角進行合理變形，用已知角表示未知角.14、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個正四棱柱的外接球，求其半徑，進而求體積．15、【解析】

向正方形內(nèi)任投一點，所有等可能基本事件構(gòu)成正方形區(qū)域，當(dāng)?shù)拿娣e大于正方形面積四分之一的所有基本事件構(gòu)成區(qū)域矩形區(qū)域，由面積比可得概率值.【詳解】如圖邊長為1的正方形中，分別是的中點，當(dāng)點在線段上時，的面積為，所以的面積大于正方形面積四分之一，此時點應(yīng)在矩形內(nèi)，由幾何概型得：，故填.【點睛】本題考查幾何概型，利用面積比求概率值，考查對幾何概型概率計算.16、2【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)，把，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即可求解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因為，，所以,因為，，所以,因為，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算，以及向量的數(shù)量積的運算的應(yīng)用，其中解答中建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的線性運算和數(shù)量積的運算，得到的函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)根據(jù)垂直數(shù)量積為0求解即可.(2)根據(jù)平行的公式求解,再計算即可.【詳解】解：（1）由已知得,,解得或．因為,所以．（2）若,則,所以或．因為,所以．所以,所以．【點睛】本題主要考查了向量垂直與平行的運用以及模長的計算,屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）（2）【解析】

（1）由不等式恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求解；（2）要使對于恒成立，整理得只需恒成立，結(jié)合基本不等式求得最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，要使不等式恒成立，①當(dāng)時，顯然成立，所以時，不等式恒成立；②當(dāng)時，只需，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（2）要使對于恒成立，只需恒成立，只需，又因為，只需，令，則只需即可因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立；因為，所以，所以.【點睛】本題主要考查了含參數(shù)的不等式的恒成立問題的求解，其中解答中把不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由二倍角公式得，求得則角可求；（2），得，由正弦定理得，再結(jié)合余弦定理得則面積可求【詳解】（1）因為，所以，解得，因為，所以；（2）因為，所以，由正弦定理得所以，由余弦定理，，所以,所以.【點睛】本題考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題20、（1）（2），最大值.【解析】

（1）由角的定義求出，再由數(shù)量積定義計算；（2）由三角函數(shù)定義寫出坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，計算出，利用兩角和的正弦公式可化函數(shù)為一個三角函數(shù)形式，由正弦函數(shù)性質(zhì)可求得最大值．【詳解】（1）由圖可知，，..（2）由題意可知，.因為，，所以.