初中數(shù)學(xué) 圓周角與圓心角的關(guān)系 教案

素養(yǎng)目標(biāo)

1.理解圓周角的概念，會(huì)識(shí)別圓周角，掌握?qǐng)A周角定理，并會(huì)用此定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的論證

和計(jì)算；

2.在圓周角的產(chǎn)生和圓周角定理的發(fā)現(xiàn)過程中，經(jīng)歷觀察、類比、猜想、合作交流等數(shù)

學(xué)活動(dòng)，體會(huì)用運(yùn)動(dòng)變換的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)圓中的動(dòng)態(tài)問題，滲透解決不確定問題的思路和方法,

提高學(xué)生的發(fā)散思維能力；

3.體會(huì)幾何定理學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，培養(yǎng)科學(xué)的思維方法和良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生欣賞幾

何圖形的變化美和邏輯美，進(jìn)一步體會(huì)幾何定理的發(fā)現(xiàn)和論證的樂趣，形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)

態(tài)度.

重點(diǎn)

經(jīng)歷探索“圓周角與圓心角的關(guān)系”的過程，了解“圓周角與圓心角的關(guān)系”.

難點(diǎn)

圓周角和圓心角關(guān)系定理的證明

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境引入新知

1.回憶圓心角的概念【

學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生口答

【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧上節(jié)課圓心角相關(guān)概念，引出本節(jié)課所有學(xué)習(xí)的圓周角.

2.學(xué)生喜聞樂見的足球射門的場(chǎng)景.將實(shí)際圖形抽象成幾何圖形，在球門前以球門AC

為弦劃了一個(gè)圓圈，進(jìn)行無人防守的射門訓(xùn)練.球員射中球門的難易與他所處的位置對(duì)球門

AC的張角有關(guān).

當(dāng)球員在B,D,E處射門時(shí)，他所處的位置對(duì)球門AC分別形成三個(gè)張角/ABC,ZADC,

ZAEC.這三個(gè)角的大小有什么關(guān)系？

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生自由討論回答

【設(shè)計(jì)意圖】聯(lián)系生活中喜聞樂見的足球射門，創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的問題情境，導(dǎo)入新課,

激發(fā)學(xué)生的探索激情和求知欲望，把學(xué)生的注意力盡快的轉(zhuǎn)移到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來..

當(dāng)球員在B,D,E處射門時(shí)，他所處的位置對(duì)球門AC分別形成三個(gè)張角/ABC,ZADC,

ZAEC.這三個(gè)角的大小有什么關(guān)系？

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生自由討論回答

【設(shè)計(jì)意圖】聯(lián)系生活中喜聞樂見的足球射門，創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的問題情境，導(dǎo)入新課,

激發(fā)學(xué)生的探索激情和求知欲望，把學(xué)生的注意力盡快的轉(zhuǎn)移到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來..

二、類比聯(lián)想理解概念、

探究一：圓周角的定義

問題1：如圖將圓心角頂點(diǎn)上移，直至與。。相交于點(diǎn)C?觀察得到的NACB有什么特征？

生：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都與圓相交.

問題2：你能仿照?qǐng)A心角的定義給圓周角下個(gè)定義嗎？

頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的特征：

①頂點(diǎn)在圓上；②兩邊都和圓相交.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過回憶圓心角的定義得出圓周角定義，讓學(xué)生從已經(jīng)學(xué)過的圓心角

出發(fā)，類比得出圓周角的定義,符合學(xué)生的認(rèn)知水平.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察得出圓周角的特征，

激發(fā)學(xué)生探索和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.通過提問和判斷，掌握和理解圓周角的概念.練一練：判

別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由

問題3：你能指出右圖中的圓周角嗎?

生：根據(jù)圓周角的判斷方法，右圖中的圓周角為：NADB、

NACB、NAEB、NDAE、ZDBE,ZDAC>NCAE、ZCBD>ZCBE.E

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)以致用，更激發(fā)學(xué)生的求知欲.通過B

此題讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)圓周角定義的理解，并總結(jié)出其條件.

三、合作學(xué)習(xí)探究定理

探究二：弧上的圓周角問題：如圖0上有兩點(diǎn)A,B

(1)請(qǐng)同學(xué)們畫出AB弧所對(duì)的圓周角，你能畫多少個(gè)？

(2)量一量，猜想AB弧所對(duì)的所有圓周角的度數(shù)有何關(guān)系？

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生在學(xué)案上進(jìn)行畫圖，測(cè)量后小組內(nèi)交流，并探究結(jié)論.

【多媒體展示】同弧所對(duì)的所有圓周角的度數(shù)相等.

【設(shè)計(jì)意圖】動(dòng)手、猜想和預(yù)見是學(xué)生的天性，抓住學(xué)生這個(gè)心理采取，“先猜后證”

的教學(xué)設(shè)計(jì)，有效地激發(fā)學(xué)生的積極性，喚起他們?cè)谡n堂上主動(dòng)探索，構(gòu)建知識(shí).讓學(xué)生經(jīng)

歷動(dòng)手操作-猜想，初步體會(huì)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，并為探究圓周角與圓心角的位

置關(guān)系作準(zhǔn)備

探究三：探究圓周角與圓心角的關(guān)系通過畫圖，我們知道，一條弧所對(duì)的圓周角有無數(shù)

多個(gè)，所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，下面我們來探究第3頁(yè)共6頁(yè)圓周角與圓心角的關(guān)系.

問題1：圓周角與圓心角的位置有幾種情況？

【師生活動(dòng)】觀察下圖并回答，其余學(xué)生補(bǔ)充.學(xué)生在小組內(nèi)交流、匯總，并在全班交

流，補(bǔ)充.教師投影展示學(xué)生所發(fā)現(xiàn)的幾種位置關(guān)系，并讓其他小組補(bǔ)充.

【設(shè)計(jì)意圖】

通過這種具有探索性與挑戰(zhàn)性的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的能力，滲透歸納

思想，理解圓心與圓周角的三種位置關(guān)系，主要為了讓學(xué)生在根據(jù)圓心與圓周角的位置關(guān)系

來分類對(duì)圓周角定理的證明時(shí)，減輕難度.問題2：量一量：猜想同弧所對(duì)的圓周角與圓心

角有何大小關(guān)系？猜測(cè)：圓周角的度數(shù)它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.

【學(xué)生】小組內(nèi)交流后回答，教師強(qiáng)調(diào).

【設(shè)計(jì)意圖】如果直接進(jìn)行圓周角定理的證明，可能有一定困難.通過圓周角和圓心角關(guān)系

的探索、討論、交流，初步認(rèn)識(shí)同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半，為下面圓周角定

理證明打好橋鋪好路.

問題3：對(duì)過測(cè)量我們發(fā)現(xiàn)，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，那么

如何進(jìn)行推理證明呢？

第一種情況：

當(dāng)圓心。在圓周角(ZABC)的一邊(BC)上時(shí)，圓周角NABC與圓心角NAOC的大小關(guān)系.

證明：

VOA=OC,/.ZA=ZC

ZAOB>AAOC的外角

.?.ZAOB=ZA+ZC=2ZC

1

ZC^ZAOB

2

(2)第二種情況：如果圓心不在圓周角的一邊上時(shí)，結(jié)果會(huì)怎樣？當(dāng)圓心。在圓周角

(NABC)的內(nèi)部時(shí)，圓周角/ABC與圓心角NAOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣?

證明：

如圖，作直徑DM,

1

ZBDM=-ZBOM

2

ZADM^ZAOM

2

???NADB=NBDM+NADM

(ZBOM+ZAOM)

ZAOB

二1

教師提示：能否轉(zhuǎn)化為第一種情況？

(3)第三種情況：如果圓心不在圓周角的一邊上時(shí)，結(jié)果會(huì)怎樣?當(dāng)圓心0在圓周角

(ZABC)的外部時(shí)，圓周角NABC與圓心角NAOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣？

教師提示：能否轉(zhuǎn)化為第一種情況？

證明：如圖，作直徑EF,NFEB=[NFOB,NFEA^NFOA

-i-1

/.ZAEB=ZFEB-ZFEA=j(ZFOB-ZFOA)=jZAOB

E

箝化F

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生小組討論交流圓周角定理推理過程學(xué)生代表講解推理過程.

【教師活動(dòng)】教師總結(jié)概括：先特殊，再一般，轉(zhuǎn)化思想.圓心在內(nèi)部時(shí)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)角的和，

圓心在外部時(shí)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)角的差.

【設(shè)計(jì)意圖】充分給予學(xué)生探索與交流的時(shí)間和空間，體會(huì)將一般情況轉(zhuǎn)化成特殊情況

的思維過程，理解添加輔助線的必要性，達(dá)到突破難點(diǎn)的目的.

【多媒體展示】圓周角的性質(zhì)定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一

半.探究四：同弧所對(duì)圓周角的度數(shù)有什么關(guān)系如圖NP,NQ是。0的圓周角，試探究這兩

個(gè)角的數(shù)量關(guān)系.

問題1：如何通過推理的方式找到NP,/Q數(shù)量關(guān)系？

問題2：思考同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等嗎？為什么？

證明：

連接OA,0B

VZP是弧AB所對(duì)的圓周角，ZAOB是弧AB所對(duì)的圓心角

.\ZP=12ZA0B,同理：ZQ=12ZA0B,

ZP=ZQ

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自主交流討論證明思路，培養(yǎng)學(xué)生的類比、轉(zhuǎn)化能力以及邏輯思維

能力.

【多媒體展示】圓周角定理

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

問題3：請(qǐng)大家思考，同一條弧或等弧所對(duì)的弧的度數(shù)，圓心角的

度數(shù)，圓周角的度數(shù)如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？

【師生活動(dòng)】學(xué)生交流后，陽(yáng)光展示，教師和學(xué)生共同歸納出結(jié)論，如

右圖.

【應(yīng)用】現(xiàn)在大家可以解決情景引入中的問題了嗎？當(dāng)球員在B,D,E

處射門時(shí)，他所處的位置對(duì)球門AC分別形成的圓周角/ABC,ZADC,

ZAEC這三個(gè)角的大小有什么關(guān)系？.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)以致用，解決新課引入的足球射門問題，享受知識(shí)運(yùn)用的樂趣

課堂小結(jié)

本節(jié)課你學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)？感悟到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

【師生活動(dòng)】學(xué)生發(fā)表總結(jié)，教師補(bǔ)充系統(tǒng)歸納.

【設(shè)計(jì)意圖】梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容、方法、思路，養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識(shí)的習(xí)慣.

限時(shí)作業(yè)

1.100°的弧所對(duì)的圓心角等于，所對(duì)的圓周角等于.

2.如圖，在。0中，ZBAC=32°,則/0BC=。

第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖

3.如圖，在。0中，ZA0B=140°,ZBAC=50°,則NABC=.

4.如圖，量角器外緣