常微分方程數(shù)值解

常微分方程數(shù)值解

考慮一階常微分方程的初值問題只要f(x,y)在[a,b]

R1上連續(xù)，且關(guān)于y

滿足Lipschitz

條件，即存在與x,y無關(guān)的常數(shù)L

使對任意定義在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，則上述問題存在唯一解。

要計算出解函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b處的近似值節(jié)點間距為步長，通常采用等距節(jié)點，即取hi=h

(常數(shù))。在這些節(jié)點上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。把這個相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點xn上的數(shù)值解。一般說來，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。9.1歐拉Euler法與改進歐拉法1.歐拉法：x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第

i

步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。亦稱為歐拉折線法

Ri

的主項

歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法具有1階精度。例9.1

用歐拉法求初值問題當(dāng)h=0.02時在區(qū)間[0,0.10]上的數(shù)值解。方程真解：解

:把代入歐拉法計算公式nxnyny(xn)

n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.00212．改進歐拉法一階方程的初值問題與積分方程是等價的，當(dāng)x=x1時，

借助于數(shù)值積分，求y(x1)的值

用矩形公式用梯形公式

則有改進歐拉法在實際計算時，可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合，計算公式為應(yīng)用改進歐拉法，如果序列收斂，它的極限便滿足方程3．公式的截斷誤差二元泰勒公式：設(shè)z=f(x,y)在點的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且直到有n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為此鄰域內(nèi)任一點，則有：改進的歐拉方法的截斷誤差：歐拉法的截斷誤差：

改進歐拉法的截斷誤差：

例9.2

在區(qū)間[0,1.5]上，取h=0.1，求解。

本題的精確解為，可用來檢驗近似解的精確程度。計算結(jié)果如下表：解：（1）用歐拉法計算公式如下：（2）用迭代一次的改進歐拉法計算公式如下：

xn

歐拉法yn迭代一次改進歐拉法yn準(zhǔn)確解01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2602011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4161021.4142140.61.5089661.4829561.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.7320511.11.851181.7958221.7888541.21.9174641.8522421.8439091.31.9840461.9073231.8973671.42.0514041.9612531.9493591.52.1200522.0142072.0000009.2龍格-庫塔法建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的基本思想是從(xi,yi)點出發(fā)，以某一斜率沿直線達到(xi+1

,yi+1

)點。歐拉法及其各種變形所能達到的最高精度為2階。

考察改進的歐拉法，可以將其改寫為：首先希望能確定系數(shù)

1、

2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在的前提假設(shè)下，使得

Step1:將K2在(xi,yi)

點作Taylor展開將改進歐拉法推廣為：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:將K2代入第1式，得到Step3:將yi+1與y(xi+1)在xi點的泰勒展開作比較要求，則必須有：這里有個未知數(shù)，個方程。32存在無窮多個解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫塔格式。注意到，就是改進的歐拉法。Q:

為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進一步推廣？其中

i

(i=1,…,m)，

i

(i=2,…,m)

和

ij

(i=2,…,m;j=1,…,i1

)

均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl

最常用為四級4階經(jīng)典龍格-庫塔法4階龍格――庫塔法截斷誤差階為O(h5)。

例9.4

用龍格――庫塔法解初值問題y’=x2

–y(0≤x≤1)y(0)=1

解：

取

h=0.1，

9.3線性多步法初值問題y’=f(x,y)y(x0)=y0

與積分方程等價（1）求出開頭幾個點上的近似值，即計算“表頭”；線性多步法：（2）利用逐步求后面點xk上的值yk。

1.阿當(dāng)姆斯外推公式

以xn-2，xn-1，xn為節(jié)點作牛頓向后插值多項式P2(x)。其中插值公式的余項為則積分公式的截斷誤差為k=3時的外推公式為余項為：將差分表示成函數(shù)值的和的形式：二階阿當(dāng)姆斯外推公式可改寫為：三階阿當(dāng)姆斯外推公式可改寫為：2.阿當(dāng)姆斯內(nèi)插公式將被積函數(shù)用以xn-1，xn，xn+1為插值節(jié)點的內(nèi)插多項式得到：k=1k=2時阿當(dāng)姆斯外推法與內(nèi)插聯(lián)合起來9.4解二階常微分方程邊值問題的差分法考慮常微分方程的邊值問題：

其中p(x)，q(x)和f(x)均為[a,b]上給定的函數(shù)，

，

為已知數(shù)。假定p(x)、q(x)及f(x)均為[a,b]上充分光滑的函數(shù)，且q(x)≤0，這時，邊值問題存在連續(xù)可微的解，且唯一。用差分法解邊值問題的主要步驟是：（1）將區(qū)間[a,b]離散化；（2）在這些節(jié)點上，將導(dǎo)數(shù)差商化，從而把微分方程化為差分方程；(3)解差分方程――實際上就是解線代數(shù)方程組。將[a,b]區(qū)間用節(jié)點分成N等