2024年山東省濱州市陽信縣二模數(shù)學試題（原卷版+解析版）

2024年初中學生學業(yè)水平模擬考試數(shù)學試題溫馨提示∶1．本試卷共8頁．滿分120分．考試用時120分鐘．考試結束后，將試題卷和答題卡一并交回．2．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的學校、班級、姓名、考場、座號、準考證號等填寫在答題卡規(guī)定的位置上，并用2B鉛筆填涂相應位置．3．試卷答案必須用2B鉛筆和0.5毫米黑色簽字筆涂寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先擦掉或劃掉原來的答案，然后再涂寫上新的答案；保持答題卡清潔、完整，嚴禁折疊，嚴禁使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．第Ⅰ卷（選擇題共24分）一、選擇題：本題共8小題，共24分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.2024的相反數(shù)是（）A.2024 B. C. D.2.下列計算中，正確的是（）A. B. C. D.3.在下列事件中，隨機事件是（）A.投擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)不超過6B.從裝滿紅球的袋子中隨機摸出一個球，是白球C.通常情況下，自來水在結冰D.投擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)為24.小華將一副三角板（，，）按如圖所示的方式擺放，其中，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.5.某中學積極推進學生綜合素質評價改革，該中學學生小明本學期德、智、體、美、勞五項的評價得分如圖所示，則小明同學五項評價得分的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別為（）A.9，9， B.9，9， C.8，8， D.9，8，6.如圖，在四邊形中，，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在內交于點P，作射線，交于點G，交的延長線于點．若，，則的長為（）A.6 B.8 C.9 D.107.如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（）A. B. C. D.8.拋物線與x軸的一個交點為，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，則以下4個結論：①；②，是拋物線上的兩個點，若，且，則；③在軸上有一動點P，當?shù)闹底钚r，則點P的坐標為；④若關于x的方程無實數(shù)根，則b的取值范圍是．其中正確的結論有（）A1個 B.2個 C.3個 D.4個第Ⅱ卷（非選擇題共96分）二、填空題：本題共8小題，共24分．9.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是____________．10.已知，_____．11.若點在第四象限，則m取值范圍是__________．12.已知一元二次方程的一個根為．則另一個根__________．13.我國古代著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)、雞價各幾何．”其大意是：今有人合伙買雞，每人出錢，會多出錢；每人出錢，又差錢．問人數(shù)、雞價各是多少．”設共有人合伙買雞，根據(jù)題意，可列方程為_______________．14.如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)為常數(shù)，，的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則___________________．15.如圖，在矩形中，點E在邊上，點F是AE的中點，，則的長為__________．16.如圖，在中，，點是中點，將沿折疊得到，連接.若于點，，則的長為____．三、解答題：本題共8小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.先化簡，再求值：，其中．18.為提高學生的安全意識，某學校組織學生參加了“安全知識答題”活動．該校隨機抽取部分學生答題成績進行統(tǒng)計，將成績分為四個等級：A（優(yōu)秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根據(jù)結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：（1）這次抽樣調查共抽取______人，條形統(tǒng)計圖中的______；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整，在扇形統(tǒng)計圖中，求C等所在扇形圓心角的度數(shù)；（3）該校有1200名學生，估計該校學生答題成績?yōu)锳等和B等共有多少人；（4）學校要從答題成績?yōu)锳等且表達能力較強的甲、乙、丙、丁四名學生中，隨機抽出兩名學生去做“安全知識宣傳員”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率．19.課堂上，老師提出了下面的問題：已知，，，試比較與大?。∪A：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較與的大小．小華：∵，∴．老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…（1）請用“作差法”完成老師提出的問題．（2）比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）20.為了加快“智慧校園”建設，某市準備為試點學校采購一批、兩種型號的一體機，經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，今年每套型一體機的價格比每套型一體機的價格多0.6萬元，且用960萬元恰好能購買500套型一體機和200套型一體機.（1）求今年每套型、型一體機的價格各是多少萬元（2）該市明年計劃采購型、型一體機1100套，考慮物價因素，預計明年每套型一體機的價格比今年上漲25%，每套型一體機的價格不變，若購買型一體機的總費用不低于購買型一體機的總費用，那么該市明年至少需要投入多少萬元才能完成采購計劃？21.【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．【應用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結果保留整數(shù)）．22.如圖，點D，E在以為直徑的上，的平分線交于點B，連接，，，過點E作，垂足為H，交于點F．（1）求證：；（2）若，求的長．23.如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．（1）求直線l的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．24.綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點落在對角線上，點的對應點記為，折痕與邊，分別交于點，.【活動猜想】（1）如圖2，當點與點重合時，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當，，時，求證：點，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當與滿足什么關系時，始終有與對角線平行？請說明理由（4）在（3）的情形下，設與，分別交于點，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關系，并說明理由.

2024年初中學生學業(yè)水平模擬考試數(shù)學試題溫馨提示∶1．本試卷共8頁．滿分120分．考試用時120分鐘．考試結束后，將試題卷和答題卡一并交回．2．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的學校、班級、姓名、考場、座號、準考證號等填寫在答題卡規(guī)定的位置上，并用2B鉛筆填涂相應位置．3．試卷答案必須用2B鉛筆和0.5毫米黑色簽字筆涂寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先擦掉或劃掉原來的答案，然后再涂寫上新的答案；保持答題卡清潔、完整，嚴禁折疊，嚴禁使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．第Ⅰ卷（選擇題共24分）一、選擇題：本題共8小題，共24分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.2024的相反數(shù)是（）A.2024 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相反數(shù)，“只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)”，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：2024的相反數(shù)是,故選：B．2.下列計算中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則計算判斷A，根據(jù)冪的乘方法則計算判斷B，然后根據(jù)積的乘方法則計算判斷B，最后根據(jù)合并同類項的法則計算判斷D．【詳解】因為，所以A正確；因為，所以B不正確；因為，所以C不正確；因為，所以D不正確．故選：A．本題主要考查了冪的運算，掌握運算法則是解題的關鍵．3.在下列事件中，隨機事件是（）A.投擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)不超過6B.從裝滿紅球的袋子中隨機摸出一個球，是白球C.通常情況下，自來水在結冰D.投擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)為2【答案】D【解析】【分析】本題考查了隨機事件，不可能事件，必然事件，解題的關鍵是掌握相關概念判斷．【詳解】解：A、投擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)不超過6，是必然事件，故此選項不符合題意；B、從裝滿紅球的袋子中隨機摸出一個球，是白球，是不可能事件，故此選項不符合題意；C、通常情況下，自來水在結冰，是不可能事件，故此選項不符合題意；D、投擲一枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)為2，是隨機事件，故此選項符合題意，故選：D．4.小華將一副三角板（，，）按如圖所示的方式擺放，其中，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質得出，然后根據(jù)三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：如圖：設交于點，∵，∴，∵，∴．故選：C．本題考查了三角形內角和定理、平行線的性質等知識點，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．5.某中學積極推進學生綜合素質評價改革，該中學學生小明本學期德、智、體、美、勞五項的評價得分如圖所示，則小明同學五項評價得分的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別為（）A.9，9， B.9，9， C.8，8， D.9，8，【答案】B【解析】【分析】利用眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義寫出答案即可．【詳解】解：該同學五項評價得分從小到大排列分別為7，8，9，9，10，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是9，所以眾數(shù)為9，位于中間位置的數(shù)是9，所以中位數(shù)是9，平均數(shù)為故選：B．本題考查了統(tǒng)計的知識，掌握眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的計算方法是關鍵．6.如圖，在四邊形中，，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧在內交于點P，作射線，交于點G，交的延長線于點．若，，則的長為（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意的作圖可得平分，則，由，可得，從而，因此，又，得證四邊形是平行四邊形，得到．根據(jù)和對頂角相等證得，從而，因此即可解答．【詳解】根據(jù)題意作圖可得平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故選：C本題考查尺規(guī)作圖——作角平分線，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，綜合運用各個知識是解題的關鍵．7.如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點作，由題意可得：，，再利用含30度直角三角形的性質，求解即可．【詳解】解：過點作，如下圖：則由題意可得：，，∴，∴，∴，，∴點的坐標為，故選：B此題考查了旋轉的性質，坐標與圖形，含30度直角三角形的性質，以及勾股定理，解題的關鍵是作輔助線，構造出直角三角形，熟練掌握相關基礎性質．8.拋物線與x軸的一個交點為，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，則以下4個結論：①；②，是拋物線上的兩個點，若，且，則；③在軸上有一動點P，當?shù)闹底钚r，則點P的坐標為；④若關于x的方程無實數(shù)根，則b的取值范圍是．其中正確的結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】由圖可知，即可判斷①；易得向上平移個到位長度得到，則的對稱軸也為直線，根據(jù)，得出，則離對稱軸的距離大于離對稱軸的距離，即可判斷②；作點C關于x軸對稱的對應點，連接，交x軸于點P，把代入得到，根據(jù)對稱軸得到，則，進而得出，把代入得出，用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式為，即可判斷③；由圖可知，當時，拋物線與直線沒有交點，則原方程無實數(shù)根，求出，結合，即可判斷④．【詳解】解：由圖可知，∵該拋物線開口向上，對稱軸在y軸左側，與y軸交于負半軸，∴，∴，故①不正確，不符合題意；∵向上平移個到位長度得到，∴的對稱軸也為直線，∵，∴，∵，∴離對稱軸的距離大于離對稱軸的距離，∵函數(shù)開口向上，離對稱軸越遠函數(shù)值越大，∴，故②不正確，不符合題意；作點C關于x軸對稱的對應點，連接，交x軸于點P，把代入得：，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，則，∴，整理得：，∴，則，把代入得：，∴，設直線的函數(shù)解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，∴，故③正確，符合題意；方程整理為，∵，由圖可知，當時，拋物線與直線沒有交點，則原方程無實數(shù)根，∵，∴，解得：，∵，∴b的取值范圍為，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有③，共1個，故選：A．本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)所給函數(shù)圖象，得出a、b、c的符號，利用拋物線的對稱性和增減性是解析的關鍵．第Ⅱ卷（非選擇題共96分）二、填空題：本題共8小題，共24分．9.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是____________．【答案】且【解析】【分析】本題考查分式和二次根式有意義時的取值范圍．根據(jù)題意可得，即可得到本題答案．【詳解】解：∵代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，∴，解得：，故答案為：且．10.已知，_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了函數(shù)值和分母有理化，把代入，然后進行分母有理化即可求解，熟練掌握函數(shù)值的計算方法是解題的關鍵．【詳解】∵，∴，故答案為：．11.若點在第四象限，則m的取值范圍是__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)第四象限的點橫坐標為正，縱坐標為負進行求解即可?！驹斀狻拷猓骸唿c在第四象限，∴，解得，故答案為：。本題主要考查了根據(jù)點所在的象限求參數(shù)，解一元一次不等式組，熟知第四象限內點的符號特點是解題的關鍵。12.已知一元二次方程的一個根為．則另一個根__________．【答案】3

【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得：，求出即可．【詳解】解：則根據(jù)根與系數(shù)的關系得：，解得：，即方程的另一個根為3，故答案為：3．本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關系，能熟記根與系數(shù)的關系的內容是解此題的關鍵，注意：當和是一元二次方程、、為常數(shù)，的兩個根時，那么，．13.我國古代著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)、雞價各幾何．”其大意是：今有人合伙買雞，每人出錢，會多出錢；每人出錢，又差錢．問人數(shù)、雞價各是多少．”設共有人合伙買雞，根據(jù)題意，可列方程為_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“雞的錢數(shù)不變”，列方程求解，本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找到相等關系是解題的關鍵．．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．14.如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)為常數(shù)，，的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則___________________．【答案】##【解析】【分析】由的幾何意義可得，從而可求出的值．【詳解】解：的面積為，所以．故答案為：．本題主要考查了k的幾何意義．用k表示三角形AOB的面積是本題的解題關鍵．15.如圖，在矩形中，點E在邊上，點F是AE的中點，，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】利用矩形的性質和勾股定理求出，進而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜邊中線的性質即可求解．【詳解】解：在矩形中，，∴，，，∴，∴，∴，∵點F是AE的中點，∴．故答案為：．本題考查了矩形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題16.如圖，在中，，點是的中點，將沿折疊得到，連接.若于點，，則的長為____．【答案】【解析】【分析】取中點，連接，取中點，連接，作于點．設，由折疊可知則，得到，從而推導出，由三角形中位線定理得到，從而推導出，得到四邊形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．【詳解】解：取中點，連接，取中點，連接，作于點．∵，為的中點，∴，，．∵點是的中點，∴是的中位線，∴，則于點，設，由折疊可知則，∵，∴，，又由折疊得，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，∵是的中位線，∴，，∴，由折疊知，，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，且，∴，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴．在中，，∴，解得：，∴，，即，，在中，．故答案為：．本題考查了折疊的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性質等，解答本題的關鍵是設邊長，根據(jù)勾股定理列方程求解．三、解答題：本題共8小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，1【解析】【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面通分計算，再根據(jù)分式混合運算的運算法則和運算順序進行化簡，根據(jù)負整數(shù)冪和0次冪的運算法則，求出x的值，最后將x的值代入計算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．本題考查分式的化簡求值，熟練掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合運算法則，以及負整數(shù)冪和0次冪的運算法則是解題的關鍵．18.為提高學生的安全意識，某學校組織學生參加了“安全知識答題”活動．該校隨機抽取部分學生答題成績進行統(tǒng)計，將成績分為四個等級：A（優(yōu)秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根據(jù)結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：（1）這次抽樣調查共抽取______人，條形統(tǒng)計圖中的______；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整，在扇形統(tǒng)計圖中，求C等所在扇形圓心角的度數(shù)；（3）該校有1200名學生，估計該校學生答題成績?yōu)锳等和B等共有多少人；（4）學校要從答題成績?yōu)锳等且表達能力較強的甲、乙、丙、丁四名學生中，隨機抽出兩名學生去做“安全知識宣傳員”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率．【答案】（1）50，7（2）條形統(tǒng)計圖見解析，（3）該校學生答題成績?yōu)锳等和B等共有672人（4）【解析】【分析】（1）用B等級的人數(shù)除以其所占百分比，即可求出抽取的總人數(shù)，用抽取總人數(shù)乘以成績?yōu)镈等級所占百分比，即可求出m的值；（2）用抽取總人數(shù)乘以A等級的人數(shù)所占百分比，求出成績?yōu)锳等級的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；先求出成績?yōu)镃等級的人數(shù)所占百分比，再用360度乘以成績?yōu)镃等級的人數(shù)所占百分比即可求出C等級所在扇形圓心角的度數(shù)；（3）用全校人數(shù)乘以成績?yōu)锳等級和B等級人數(shù)所占百分比，即可求解；（4）根據(jù)題意列出表格，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．小問1詳解】解：（人），，故答案為：50，7；【小問2詳解】解：成績?yōu)镃等級人數(shù)所占百分比：，∴C等級所在扇形圓心角的度數(shù)：，成績?yōu)锳等級的人數(shù)：（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：【小問3詳解】解：（人），答：該校學生答題成績?yōu)锳等級和B等級共有672人；小問4詳解】解：根據(jù)題意，列出表格如下：第一名第二名甲乙丙丁甲

甲乙甲丙甲丁乙乙甲

乙丙乙丁丙丙甲丙乙

丙丁丁丁甲丁乙丁丙

由表可知，一共有12種情況，抽出的兩名學生恰好是甲和丁的有2種情況，∴抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率．題目主要考查條形及扇形統(tǒng)計圖，通過樹狀圖或列表法求概率，理解題意，熟練掌握這些知識點是解題關鍵．19.課堂上，老師提出了下面的問題：已知，，，試比較與的大?。∪A：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較與的大小．小華：∵，∴．老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…（1）請用“作差法”完成老師提出的問題．（2）比較大小：__________．（填“”“”或“”）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)作差法求的值即可得出答案；（2）根據(jù)作差法求的值即可得出答案．【小問1詳解】解：，，，；【小問2詳解】解：，．故答案為：．本題考查分式運算的應用，解題關鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運算的方法．20.為了加快“智慧校園”建設，某市準備為試點學校采購一批、兩種型號的一體機，經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，今年每套型一體機的價格比每套型一體機的價格多0.6萬元，且用960萬元恰好能購買500套型一體機和200套型一體機.（1）求今年每套型、型一體機的價格各是多少萬元（2）該市明年計劃采購型、型一體機1100套，考慮物價因素，預計明年每套型一體機的價格比今年上漲25%，每套型一體機的價格不變，若購買型一體機的總費用不低于購買型一體機的總費用，那么該市明年至少需要投入多少萬元才能完成采購計劃？【答案】（1）今年每套型的價格各是1.2萬元、型一體機的價格是1.8萬元；（2）該市明年至少需投入1800萬元才能完成采購計劃．【解析】【分析】(1)直接利用今年每套型一體機的價格比每套型一體機的價格多0.6萬元，且用960萬元恰好能購買500套型一體機和200套型一體機，分別得出方程求出答案；(2)根據(jù)題意表示出總費用進而利用一次函數(shù)增減性得出答案．【詳解】(1)設今年每套型一體機的價格為萬元，每套型一體機的價格為萬元，由題意可得：，解得：，答：今年每套型的價格各是1.2萬元、型一體機的價格是1.8萬元；(2)設該市明年購買型一體機套，則購買型一體機套，由題意可得：，解得：，設明年需投入萬元，，∵，∴隨的增大而減小，∵，∴當時，有最小值，故該市明年至少需投入1800萬元才能完成采購計劃．本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用、一次函數(shù)的應用，正確找出等量關系是解題關鍵．21.【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．【應用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結果保留整數(shù)）．【答案】[問題背景]；[活動探究]；[應用拓展]【解析】【分析】[問題背景]根據(jù)反射定理，結合兩個三角形相似的判定與性質，列出相似比代值求解即可得到答案；[活動探究]根據(jù)反射定理，結合兩個三角形相似的判定與性質，運用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[應用拓展]過點作于點，過點作于點，證，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，設，，則，，進而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質得，即可解決問題．【詳解】解：[問題背景]如圖所示：，，，，，，，，，解得；[活動探究]如圖所示：，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[應用拓展]如圖，過點作于點，過點作于點，由題意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由題意得：，，，，設，，則，，，，解得：（負值已舍去），，，，，同【問題背景】得：，，，解得：，，答：信號塔的高度約為．本題考查解直角三角形綜合，涉及相似三角形的判定與性質、三角函數(shù)求線段長、勾股定理等知識，讀懂題意，熟練掌握相似三角形測高、三角函數(shù)測高的方法步驟是解決問題的關鍵．22.如圖，點D，E在以為直徑的上，的平分線交于點B，連接，，，過點E作，垂足為H，交于點F．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，再利用兩角分別相等的兩個三角形相似證明，利用相似三角形的性質即可求證；（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．【小問1詳解】連接，∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】如圖，連接，∵的平分線交于點B，∴，∴，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，，∴．本題考查了相似三角形的判定與性質、正弦函數(shù)、圓周角定理的推論和勾股定理等知識，學生應理解與掌握正弦的定義、兩角分別相等的兩個三角形相似和相似三角形的對應邊成比例、圓周角定理的推論，即同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．23.如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．（1）求直線l的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．【答案】（1）（2）（3）的最大值是，此時的P點坐標是【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可設拋物線解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）由題意易