海南省2022年高考數(shù)學四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數(shù)（上一年同月=100）變化圖表，則以下說

圖表圖表

（注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是

北京、天津、上海、重慶）

A.3月份四個城市之間的居民消費價格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均

B.4月份僅有三個城市居民消費價格指數(shù)超過102

C.四個月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費價格指數(shù)增長幅度波動較小

D.僅有天津市從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢

2.復數(shù)z滿足（l+i）z=|lT[,貝！Jz=（）

A.1-zB.1+zC.---zD.—+—z

2222

3.記M的最大值和最小值分別為"max和"min.若平面向量4、b、C＞滿足,|。。=C。（4+2。一°）=2,

則（）

AI■IA/3+A/7?IIA/3-yfj

A.\a-c\=------------B.（2+c=------------------

IImax2?Imax2

I-Iy/3+V?I-IA/3—V7

C?〃A-D?a+c=---

IImin'IImin,

4.為了得到函數(shù)y=sin12x_的圖象,

只需把函數(shù)y=sin2光的圖象上所有的點（)

A.向左平移J個單位長度B.向右平移3個單位長度

OO

C.向左平移二個單位長度D.向右平移三個單位長度

1212

4

5.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)（）

（1-0

A.2iB.-2iC.2D.-2

6.已知復數(shù)z滿足匕1萬=2-，（其中J”的共飄復數(shù)），則目的值為（）

1-i

A.1B.2C.6D.75

223

7.已知雙曲線C:[-2=im>0,6>0）的漸近線方程為丁=?—X且其右焦點為（5,0）,則雙曲線C的方程為（）

ab49

22BV，Dfy2-1

A.土-匕=1C.

9161693443

8.若a>b>0,0<c<l,則

ccab

A.l0gaC<10gbCB.logca<logcbC.a<bD.c>c

9.盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球,從中任取《1=1,2）個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后

放回，此時盒中黑球的個數(shù)X,?=1,2）,貝！|（）

A.P（X1=3）>P（X2=3）,EX,>EX2B.P（X1=3）<P（X2=3）,EX,>EX2

C.P（X,=3）>P（X2=3）,EX,<EX2D.P（X1=3）<P（X2=3）,EXr<EX2

10.如果直線以+外=1與圓。：好+/=1相交，則點與圓C的位置關系是（）

A.點M在圓C上B.點M在圓C外

C.點M在圓C內(nèi)D.上述三種情況都有可能

11.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球

體）的直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布N（80,52）,則直徑在（75,90]內(nèi)的概率為（）

附：若X~N(A，CT2),則尸(〃—cr<X,,〃+cr)=0.6826,P(/z-2cr<X?//+2a)=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

12.已知｛4｝為正項等比數(shù)列，S“是它的前”項和，若%=16,且％與%的等差中項為2,則S5的值是()

8

A.29B.30C.31D.32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.三棱錐S-A5C中，點P是及AABC斜邊A3上一點.給出下列四個命題：

①若1sA，平面ABC,則三棱錐S-ABC的四個面都是直角三角形；

②若AC=4,BC=4,SC=4,SC平面ABC,則三棱錐S—ABC的外接球體積為32后；

③若AC=3,BC=4,SC=6,S在平面ABC上的射影是AABC內(nèi)心，則三棱錐S—AfiC的體積為2；

④若AC=3,BC=4,SA=3,平面ABC,則直線PS與平面SBC所成的最大角為60°.

其中正確命題的序號是.（把你認為正確命題的序號都填上）

14.設/（X）=湃過點尸（。0）且平行于y軸的直線與曲線C：y=/G）的交點為。，曲線C過點。的切

線交x軸于點/?,若S（1,/（1））,則△尸RS的面積的最小值是.

15.下圖是一個算法流程圖，則輸出的左的值為.

16.已知兩圓相交于兩點4（。,3）,3（-1,1）,若兩圓圓心都在直線x+y+b=0上，則a+5的值是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓。：上+匕=1的左頂點為A,右焦點為R,P,Q為橢圓C上兩

43

點，圓。：/+/

(1)若小！_%軸，且滿足直線AP與圓。相切，求圓。的方程；

(2)若圓。的半徑為JL點RQ滿足殳p?壇2=-3,求直線P。被圓。截得弦長的最大值.

4

2r-11

——--1k集合5=｛九|-1款k+a2｝.

Jx+1

(1)求集合A；

(2)若3口A,求實數(shù)。的取值范圍.

19.(12分)已知在四棱錐P—ABCD中，平面ABC。，R4=A3,在四邊形ABC。中，DA±AB,AD//BC,

AB=AD=2BC=2,E為依的中點，連接OE,尸為OE的中點，連接AF.

(1)求證：AF±PB.

(2)求二面角A—EC—。的余弦值.

2

20.(12分)已知數(shù)列｛為｝的各項均為正，S,,為數(shù)殖斯｝的前“項和，an+2an=4Sn+l.

(1)求｛為｝的通項公式；

(2)設瓦,=(，求數(shù)列｛瓦｝的前"項和.

21.(12分)求函數(shù)y=3+、3x+2的最大值.

22.(10分)已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,%=24_1+2〃-1(〃22),數(shù)列也｝滿足a=a“+2〃+3.

(I)求證數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛4｝的前幾項和s”.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

采用逐一驗證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個城市的居民消費價格指數(shù)相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費價格指數(shù)低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個月的居民消費價格指數(shù)相差不大

D錯誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢

故選：D

【點睛】

本題考查圖表的認識，審清題意，細心觀察，屬基礎題.

2.C

【解析】

利用復數(shù)模與除法運算即可得到結(jié)果.

【詳解】

二(1_)四Hg

?1+i1+i(l+z)(l-z)222

故選：C

【點睛】

本題考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎題.

3.A

【解析】

設。為a、b的夾角，根據(jù)題意求得6=：,然后建立平面直角坐標系，設。=QA=(2,0),b=OB=(l,yf3),

c=OC=(x,y),根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點C的軌跡方程，將卜-c|和卜+。|轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距

離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.

【詳解】

由已知可得a-b=kHWcose=2,貝!jcos9=；,QO<0<7V,:.0=^,

建立平面直角坐標系，設”=。4=（2,0）,b=OB=0網(wǎng),c=OC=（x,y）,

由c-(a+2b-c)=2,可得(羽丁>(4-2%,26一2丁)=2,

即4x-2爐+2百y-2y2=2,

化簡得點C的軌跡方程為（x-Ip—>貝“a-c|=J(x_2『+/,

則卜―轉(zhuǎn)化為圓（》一），一上的點與點（）的距離，.〔卜―

d12+9]=]2,0d6二二也+5

耳―2~'

ax+2)2+y2

a+c|轉(zhuǎn)化為圓（x—+y—孚=；上的點與點（—2,0）的距離,

故選：A.

【點睛】

本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵,

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.

4.D

【解析】

/JT\TT

通過變形/(x)=sin2x-不尸in2(x--),通過“左加右減”即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意/(x)=sin［2x-1^=sin2(x-^|),故只需把函數(shù)y=sin2x的圖象

上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)＞=5垣］2%-彳］的圖象，故答案為D.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.

5.A

【解析】

根據(jù)復數(shù)的基本運算求解即可.

【詳解】

442i?

-------=------------T—21.

(1)2-21-i2

故選:A

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)的基本運算,屬于基礎題.

6.D

【解析】

按照復數(shù)的運算法則先求出W，再寫出z,進而求出國.

【詳解】

1+Z_(1+7)2_2i__.

口一(1-0(1+0一萬一’'

/.——--z=2—ini?N=2—in^=-----=—=—l—2i,

1-ii

z=—1+2in|z|=^(—l)2+22=A/5?

故選：D

【點睛】

本題考查復數(shù)的四則運算、共輾復數(shù)及復數(shù)的模，考查基本運算能力，屬于基礎題.

7.B

【解析】

I)3r2v2

試題分析：由題意得一=—,c2=a2+b2^25,所以a=4,b=3,所求雙曲線方程為上—匕=1.

a4169

考點：雙曲線方程.

8.B

【解析】

試題分析：對于選項A,logaC='^—,logbC=Y^,0<c<l,lgc<0,而a〉/;>(),所以lga>lgZ?,但不

能確定lga、lg人的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B,log。。=默,log)=羋，Iga>Igb,兩邊同乘以

IgeIge

1

一個負數(shù)「改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C,利用y=x，在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到">萬。，

Ige

所以C錯誤;對于選項D,利用y=c'在R上為減函數(shù)易得°。<犬，所以D錯誤.所以本題選B.

【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

【名師點睛】比較基或?qū)?shù)值的大小,若暴的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比

較；若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進行比較.

9.C

【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學期望，由此判斷出正確選項.

【詳解】

g.Xi=2表示取出一個黑球,1

X=3表示取出的為一個白球,所以尸(X=3)=蕓尸(X=2)W所以

3

C4cd8

*2=3表示取出兩個球，其中一黑一白，P(X2=3)=-^=—,x?=2表示取出兩個球為黑球,

1「2A

X?=4表示取出兩個球為白球,尸(4=4)=清二行,所以

15

E"2)=3x3+2x/4x假=5?所以尸(乂=3)>尸化=3),%<%.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望的計算，屬于中檔題.

10.B

【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得。力滿足的條件，利用〃(。力)與圓心的距離判斷即可.

【詳解】

直線以+力=1與圓=1相交,

圓心(0,0)到直線ax+by^l的距離d=<1,

即7?2+b~>1?

也就是點/)到圓C的圓心的距離大于半徑.

即點M(a,b)與圓C的位置關系是點M在圓C外.

故選：B

【點睛】

本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查點到直線距離公式的應用，屬于中檔題.

11.C

【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得A=80,。=5,將所求概率轉(zhuǎn)化為尸(〃-b<XW〃+2cr),結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可

求得結(jié)果.

【詳解】

由題意，〃=80,。=5,貝！|尸(75<X,,85)=0.6826,P(70<X,,90)=0.9544,

所以P(85<X”90)=1x(0.9544-0.6826)=0.1359,P(75<X,,90)=0.6826+0.1359=0.8185.

故果實直徑在(75,90］內(nèi)的概率為0.8185.

故選：C

【點睛】

本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題，考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎題.

12.B

【解析】

設正項等比數(shù)列的公比為q,運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計

算即可得到所求.

【詳解】

設正項等比數(shù)列的公比為q,

則a4=16q3,a?=16q6,

9

a’與a7的等差中項為

9

即有34+37=—,

4

L9

BP16q3+16q6,=—,

4

解得q=g（負值舍去），

則有暗業(yè)人引工L

l—q1-1

2

故選C.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.①②③

【解析】

對①，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；

對②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結(jié)合外接球半徑公式即可求解；

對③，結(jié)合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對應面積公式求出錐體的高，則可求解；

對④，由動點分析可知，當尸點與A點重合時，直線PS與平面SBC所成的角最大，結(jié)合幾何關系可判斷錯誤;

【詳解】

對于①，因為SAL平面ABC,所以SA±AB,SALBC,又3CJ.AC,

所以平面&4C,所以3CLSC,故四個面都是直角三角形，，①正確；

對于②，若AC=4,BC=4,SC=4,SC_L平面ABC,

.??三棱錐S-ABC的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球,

/.2R^742+42+42=473?7?=23，，體積為V=g?(26)3=32岳，.?.②正確;

對于③，設AABC內(nèi)心是。，則SOJ_平面ABC,連接OC,

則有SO?+OC2=SC2，又內(nèi)切圓半徑廠=g（3+4—5）=1,

所以OC=0，SO?=SC?—=3—2=1,故SO=1,

...三棱錐S—ABC的體積為丫=,><5枷c義SO=工x工x3><4xl=2,...③正確；

332

對于④，,?,若以=3,&4,平面ABC,則直線PS與平面SBC所成的角最大時，P點與A點重合,

3

在及ASC4中，tanZASC=-=l,：.ZASC=45°,即直線PS與平面S3。所成的最大角為45。，

二④不正確，

故答案為：①②③.

【點睛】

本題考查立體幾何基本關系的應用，線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔

題

14.

2

【解析】

111,￡〃一1)

計算區(qū)(/一-，0),PR=t-Ct—)=-,△尸RS的面積為S=e導數(shù)S，=,kJ,由s，=o得f=l,根據(jù)函數(shù)

ttt2t2t2

的單調(diào)性得到最值.

【詳解】

軸，P(60),：.QCt,f⑺)即Q(t,J)，

又/(x)=e,x(Z>0)的導數(shù)/(x).,.過。的切線斜率

y-021

設R(r,0),則《=------=td，?,?r=t—,

t-rt

即R(/--,0),PR=t-Ct--)=-,

ttt

又S(l,/(I))BPS(1,d),的面積為5=—，

2t

導數(shù)S=e"；1),由s，=o得f=i,

2t2

當f>l時，S，>0,當0<f<l時，S，V0,為極小值點，也為最小值點，

:APRS的面積的最小值為2.

2

故答案為：—.

2

本題考查了利用導數(shù)求面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.

15.3

【解析】

分析程序中各變量、各語句的作用，根據(jù)流程圖所示的順序，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解:初始”―13,左—0,

第一次循環(huán)：〃—6,左一1；

第二次循環(huán)：n—3,k—2；

第三次循環(huán)：〃—1,左一3；

經(jīng)判斷〃=1,此時跳出循環(huán)，輸出左=3.

故答案為：3

【點睛】

本題考查了程序框圖的應用問題，解題的關鍵是對算法語句的理解，屬基礎題.

16.-1

【解析】

根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線x+y+b=0垂直，且的中點在這條直線

x+y+b=0上，列出方程解得即可得到結(jié)論.

【詳解】

由4(區(qū)3),5(—1,1),設的中點為今±2)

a-13-1

根據(jù)題意，可得一^+2+b=0,且左AB=——=1，

2a+1

解得，a=\,b=—2,故a+Z?=—1.

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)x~+y~=—(2)-^6

【解析】

試題分析：(1)確定圓。的方程，就是確定半徑的值，因為直線AP與圓。相切，所以先確定直線方程，即確定點產(chǎn)

331

坐標：因為PEU軸，所以尸(1,±5),根據(jù)對稱性，可取P(l，5),則直線AP的方程為y.(x+2),根據(jù)圓心到

2

切線距離等于半徑得r=亍(2)根據(jù)垂徑定理，求直線PQ被圓。截得弦長的最大值，就是求圓心。到直線PQ的

\b\3

距離的最小值.設直線PQ的方程為＞=h+6,則圓心。到直線P。的距離2=^^,利用自p%o°=-巳得

W+14

=°，化簡得(3+4左2居々+4必5+%)+4/=0,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達

定理得2廿=442+3,因此d=J*+32——I—,當左=0時，d取最小值，P。取最大值為遙.

2

\2(k+l)Y2(左2+1)

試題解析：解：(D

22

因為橢圓C的方程為土+乙=1,所以A(—2,0),尸(1,0).

43

3

因為尸尸，x軸，所以P(l,±a),而直線AP與圓。相切，

3

根據(jù)對稱性，可取尸(1,不)，

則直線AP的方程為y=g(x+2),

即x—2y+2=0.

2

由圓。與直線AP相切，得r飛,

所以圓。的方程為/+丁=±

(2)

易知，圓。的方程為x2+y2=3.

3

①當PQ-L尤軸時，kOP-kOQ——kOP~=——,

所以%=±*

此時得直線PQ被圓。截得的弦長為辿.

7

②當PQ與x軸不垂直時，設直線R2的方程為>="+心？（%,%）,。（々,火）（再%2。0），

3

首先由kOP-kOQ=——,得3玉%2+4%%=。，

BP3九1犬2+4（g+Z?）（AX2+b）=0,

所以（3+442）%]%2+4的（玉+%2）+4Z?2=0（*）.

y=kx+b

聯(lián)立{冗22,消去X,得（3+4左2）犬2+8@x+4〃—12=0,

—+—=1

43

將再+九2=——8"2="——歲代入（*）式，

123+4左2123+4左2

得2/二4妤+3?

\b\

由于圓心。到直線PQ的距離為d='1,

a+1

所以直線PQ被圓。截得的弦長為/=25不=/4+-—,故當左=0時，/有最大值為的.

Vk+1

綜上，因為狗〉鼠彳，所以直線P。被圓。截得的弦長的最大值為6.

7

考點：直線與圓位置關系

18.(1)A={x|x<—1或X..2}；(2)」(3,4W).

【解析】

(1)求出函數(shù)了二欄7—1的定義域，即可求出結(jié)論；

(2)化簡集合3,根據(jù)5cA確定集合3的端點位置，建立。的不等量關系，即可求解.

【詳解】

2x—1x—2

(1)由=-----1..0,即:——..0得無<—1或1上2,

x+1x+1

所以集合A={x[x<-1或"2}.

(2)集合5={%]—探(k+a2}={x|—1—流出2-a],

由得2-。<一1或—1一。.2,解得。>3或a”-3,

所以實數(shù)a的取值范圍為(-a),-3]1.(3,y).

【點睛】

本題考查集合的運算，集合間的關系求參數(shù)，考查函數(shù)的定義域，屬于基礎題.

19.(1)見解析；(2)叵

7

【解析】

(1)連接AE,證明PBLAD,AELP5得到面ADE,得到證明.

(2)以%,AB,AD所在直線分別為x,V,z軸建立空間直角坐標系A-孫z,"=(1,-1,2)為平面AEC的法

向量，平面DEC的一個法向量為m=(3,1,2),計算夾角得到答案.

【詳解】

(1)連接AE,在四邊形ABC。中，DA±AB,平面ABC。，

也匚面?180)，；.4￡)，刈，PAiAB=A,.?.加，面

又PBu面PAB,:.PB±AD,

又在直角三角形P4B中，PA=AB,E為PB的中點，.?.AELPB,A￡>cAE=A,.?./>§，面ADE,AFc

面AOE,:.AF±PB.

D

(2)以Rl，AB，AQ所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系A-孫z,

尸(2,0,0),5(0,2,0),￡(1,1,0),C(0,2,l),A(0,0,0),D(0,0,2),

n-AC=02y+z=0

設〃=(尤,y,z)為平面AEC的法向量，AC=(0,2,1),AE=(1,1,0),<，令x=1,則

n-AE=0x+y=0

y=T,z=2,/.n=(l,—1,2),

同理可得平面DEC的一個法向量為m=(3,1,2).

3—1+4V21

設向量加與〃的所成的角為氏/.cos9二

76x7147

由圖形知，二面角A-EC-D為銳二面角，所以余弦值為叵.

7

本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

,、，、〃+2

20.(1)an=2n+l；(2)2------.

3"

【解析】

(1)根據(jù)題意求出首項，再