數(shù)學文化 課件 7-概率統(tǒng)計的思想與意義;8-線性代數(shù)的思想方法與意義

數(shù)學文化第7章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的思想方法與意義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究與揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科，它的起源與博弈現(xiàn)象有關。

在16世紀，意大利的一些學者開始研究賭博中的一些簡單問題；

到了17世紀中葉，法國與荷蘭的一些數(shù)學家基于排列組合方法，解決了一些較復雜的賭博問題。1812年，拉普拉斯在系統(tǒng)總結前人工作的基礎上，寫出了《概率的分析理論》，并在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論的發(fā)展推向一個新的階段。

19世紀末，俄國數(shù)學家們用分析方法科學地建立了實際中遇到的許多隨機變量近似地服從正態(tài)分布的理論，給出了概率的公理化定義，發(fā)展起了現(xiàn)代概率理論。數(shù)理統(tǒng)計雖然源于古代，但它的正式誕生應當是19世紀后期的事情。

概率論的建立為數(shù)理統(tǒng)計奠定了理論基礎，而數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展又為概率論的應用提供了用武之地。兩者互相推動，迅速發(fā)展。目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)廣泛地應用于自然科學、技術科學、人文科學、社會科學等許多領域，它在經(jīng)濟、管理、工程、技術、教育、語言、生物、環(huán)保、國防等許多領域中的作用愈益顯著。章節(jié)目錄7.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史7.2概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本思想7.3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的文化意義

首先提到的是文藝復興時期的數(shù)學家、醫(yī)學家J·卡當，他才華橫溢，對數(shù)學貢獻巨大，但卻熱衷于賭博。他不希望把時間花在不能獲利的事情上，因此，他認真地研究牌技以及在一副牌中獲得“A”的概率。他把自己的研究成果編成了一本手冊，題為《賭博的游戲》。這是世界上第一部研究概率論的著作。他的研究除了賭博外還與當時的人口、保險業(yè)等有關，但由于卡當?shù)乃枷胛匆鹬匾?，概率概念的要旨也不明確，于是很快被人淡忘了。7.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史7.1.1概率論發(fā)展簡史

大約100年以后，另一位賭徒梅累繼續(xù)研究概率問題。可是他不具有像卡當那樣的數(shù)學天分，所以不得不就這一問題去請教數(shù)學奇才帕斯卡。帕斯卡就梅累的問題與費馬通了信，由此，帕斯卡和費馬創(chuàng)立了概率論的一些基本結果。他們往來的信函中討論了如下的“合理分配賭注問題”：甲、乙兩人同擲一枚硬幣。規(guī)定：正面朝上，甲得一點；若反面朝上，乙得一點。先積滿3點者贏取全部賭注。假定在甲得2點、乙得1點時，賭局由于某種原因中止了，問應該怎樣分配賭注才算公平合理？

當費馬和帕斯卡通信討論的問題被數(shù)學家惠更斯知曉后，他對這個問題進行了較為深入的研究。1657年，惠更斯的名著《論賭博中的計算》一書出版。此書是概率論的第一部成形的著作，書中提出了數(shù)學期望、概率的加法與乘法定理等基本概念。

1677年，法國數(shù)學家浦豐利用有名的浦豐投針問題給出了幾何概率的概念。

使概率論成為一個獨立數(shù)學分支的是瑞士數(shù)學家雅各布

伯努利。1713年出版了他的遺作《猜度術》，書中提出了現(xiàn)在稱之為伯努利大數(shù)定律的概率論的第一個極限定律，起到了概率的理論奠基作用。

1812年，拉普拉斯的名著《概率的分析理論》出版，書中系統(tǒng)總結了前人關于概率的研究成果，使以前零星的概率知識系統(tǒng)化，而且明確給出了概率的古典定義，并引入分析方法，把概率論提高到一個新的階段。

1733年，1809年棣莫佛與高斯分別獨立地引進了正態(tài)分布的概念。1837年，法國數(shù)學家泊松發(fā)表著名論文《關于判斷的概率之研究》，提出泊松分布。

1866年，俄國的切比雪夫建立了獨立隨機變量的大數(shù)定律，使伯努利與泊松的大數(shù)定律成為特例，并把棣莫佛與拉普拉斯的極限定理推廣為一般的中心極限定理。

由于拉普拉斯的概率定義存在模糊的意義，1899年，法國科學家貝朗特提出了所謂的“貝朗特悖論”：在半徑為r的圓內(nèi)隨機地選擇弦，求弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率。由于對“隨機地選擇”的不同理解，使得結果不唯一。概率論陷入危機之中。

為了克服古典概率的缺陷，數(shù)學家們開始創(chuàng)建概率的公理系統(tǒng)。俄國數(shù)學家伯恩斯坦、奧地利數(shù)學家馮米西斯都提出了一些概率公理，但都不甚理想。1905年，法國數(shù)學家波萊爾用他創(chuàng)立的“測度論”語言來表述概率，為現(xiàn)代概率打開了大門。

1929年，前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫發(fā)表論文《概率論與測度論的一般理論》，首次給出了以測度論為基礎的概率論公理結構；1930年，他的《概率論中的解析方法》開創(chuàng)了隨機工程的一般理論（即馬爾科夫過程）；1933年，他出版了名著《概率論基礎》，建立了柯爾莫哥洛夫公理化概率論。

1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學家辛欽提出“平穩(wěn)理論”，建立了平穩(wěn)隨機過程理論。1942年。日本數(shù)學家伊藤清引進了隨機微分方程，為隨機分析理論奠定了基礎。

1949年，柯爾莫哥洛夫與格涅堅科合作寫出《獨立隨機變量與極限分布》，建立了弱極限理論。7.1.2數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史1763年，英國統(tǒng)計學家貝葉斯（T.Bayes）發(fā)表《論機會學說問題的求解》，提出“貝葉斯定理”，也就是從結果去對原因進行后驗概率的計算方法。

近代統(tǒng)計學是在概率論的基礎上建立起來的。1662年，英國統(tǒng)計學家J.格蘭特組織調(diào)查倫敦的人口死亡率，并發(fā)表《從自然和政治方面觀察死亡統(tǒng)計表》的專著，提出了“大數(shù)恒靜定律”。

19世紀中葉，比利時統(tǒng)計學家A.凱特勒把統(tǒng)計方法應用于天文、氣象、物理、生物與社會學，并強調(diào)正態(tài)分布的用途，為統(tǒng)計方法的推廣做了大量工作。同一時期，愛爾蘭經(jīng)濟學家E埃奇沃斯引入了方差的概念。

1889年，英國生物學家高爾頓出版其著作《自然的遺傳》，引入回歸分析方法，給出了回歸直線與相關系數(shù)等重要概念。高爾頓是生物統(tǒng)計學派的奠基人，他用統(tǒng)計方法研究遺傳進化問題，第一次將概率統(tǒng)計原理應用于生物科學，明確提出“生物統(tǒng)計學”。

從19世紀末到二次世界大戰(zhàn)結束，數(shù)理統(tǒng)計得到蓬勃發(fā)展并日臻成熟。這一時期，英國數(shù)學家皮爾遜發(fā)展了生物統(tǒng)計學與社會統(tǒng)計學的基本法則，發(fā)展了回歸分析及相關理論，并于1900年提出了卡方統(tǒng)計量與卡方分布，建立了卡方檢驗法。1908年，皮爾遜的學生，英國科學家W.S.戈塞特導出大統(tǒng)計量及其精確分布，建立了t檢驗法（也就是學生分布）。

現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計的奠基人應該是英國數(shù)學家費歇爾（FisherRonaldAylmer，1890-1962）。1929年，他出版了《理論統(tǒng)計的數(shù)學基礎》，對統(tǒng)計學中的相關系數(shù)、樣本分布、多元分析以及統(tǒng)計方法在遺傳與優(yōu)生方面的應用都進行了研究，成為現(xiàn)代統(tǒng)計學的奠基性著作，在估計理論、假設檢驗、實驗設計、方差分析等方面都作出了貢獻。

1940年，瑞士數(shù)學家克拉默（H.Cramer）發(fā)表《統(tǒng)計學的數(shù)學方法》，運用測度論方法總結了數(shù)理統(tǒng)計的成果，使現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計趣于成熟。

我國數(shù)學家許寶祿在數(shù)理統(tǒng)計和概率論這兩個數(shù)學分支都有重要貢獻。他的重要成績有：1938年至1945年間，他在多元統(tǒng)計與統(tǒng)計推測方面發(fā)表了一系列論文，給出了樣本協(xié)方差矩陣等概念，推進了矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計學中的應用；他對高斯-馬爾科夫模型中方差的最優(yōu)預計的研究是其后關于方差分量和方差的最佳二次預計的眾多研究的出發(fā)點；他推動了人們對全部相似檢驗進行研究等。7.2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本思想

所謂概率，通俗地說：就是一件事情發(fā)生的可能性的大小。在日常生活中，我們所使用的概率思想，主要是滿足于估計一件事情發(fā)生的概率是大還是小，從而為我們的決策提供一種理性的支持。

我們來看看在古典概率中如何利用數(shù)學得到精確的概率值。例如，單獨拋一枚骰子，出現(xiàn)“2”的概率是多少?解決這個問題的一種方法是，擲100000次骰子，然后計算出現(xiàn)“2”的次數(shù)。出現(xiàn)“2”的次數(shù)與100000的比就是所求的答案，或者差不多會接近真實的答案。但是，數(shù)學家們一般不會采用這種方法，而是靜坐默思去找出解決這個問題的方法。

我們來看看帕斯卡和費馬如何考慮這個問題的：一個骰子有6個面，由于在骰子的形狀上或者在扔骰子的方式中，沒有任何因素有利于某一面的出現(xiàn)，所以得到每一面正面朝上的可能性是相同的。六面出現(xiàn)的可能性相同，而僅僅只有一面也就是出現(xiàn)“2”的一面是有利情形，因為這就是我們所要求的那一面。因此出現(xiàn)“2”的概率就是1/6。如果我們對出現(xiàn)4或5這兩面都感興趣，我們則得到其概率為2/6，即6種可能性中的兩種對我們有利；如果我們對出現(xiàn)4或5不感興趣，那么將有4種有利的可能性，因此概率應該為4/6。

在古典概率中，一般地，計算概率值的定義是，如果有n種等可能性，而有利于一定事件發(fā)生的情形是m，那么這個事件發(fā)生的概率是m/n，而該事件不發(fā)生的概率是（n-m）/n。在這個概率的一般定義之下，如果沒有有利的可能性發(fā)生，也就是說，如果事件是不可能的，則事件的概率為0；而如果n種可能性都是有利的，也就是說，如果事件是完全確定的，則概率為1。因此，概率值在從0到1的范圍內(nèi)變化，即從不可能性到確定性。

作為這個定義的一個例子，我們考慮從52張普通的一副撲克牌中，選取一張牌“A”的可能性。這里有52種等可能選擇，其中有4種是有利的，因此，這個概率是4/52，即為1/13。

從52張一副的撲克牌中選取“A”的概率是1/13。圍繞著這一命題的意義，經(jīng)常會產(chǎn)生一些疑問。這個命題是否意味著，如果一人在這副撲克牌中取了13次(每一次都重復取牌，即將取過的牌又放回)，那么將一定會選中一張“A”呢?事實并不是這樣，他可能取了30次或40次，也沒有得到一張“A”。不過，他取的次數(shù)越多，則取得A的次數(shù)與取牌總次數(shù)之比將會趨近于1比13。

這是個合理的期望，因為選取的數(shù)目越大，每一張牌被取出的次數(shù)就會越相等。一個相關的錯誤想法是，假定如果一人取了一張“A”，比如說正好是在第一次取得的，那么下一次取出一張“A”的概率就必定小于1/13。實際上，概率依然是相同的，即為1/13，即使當3張“A”被連續(xù)抽中時也是如此。一副牌或一枚硬幣，它們既沒有記憶也沒有意識，因此已經(jīng)發(fā)生的事情不會影響未來。

注意，我們這里所討論的問題要具有等可能性。例如，假定我們斷說，一個人安全過街頭的概率是1/2，因為只有兩種可能性：安全通過或沒有安全通過。如果這個命題成立，那我們就什么事情也別干了，只有坐在家里。這個命題的錯誤在于“安全通過或沒有安全通過”這兩種可能性不是等可能的。例1彩票中的數(shù)學問題

以某省福利彩票為例做說明。這種彩票玩法比較簡單：2元一注，每注填寫一張彩票；每張彩票由一個6位數(shù)和一個特別號碼組成。每個數(shù)字均可填寫0，1，……，9這十個數(shù)字中的任何一個；特別號碼可以填寫0，1，2，3，4這五個數(shù)字中的任何一個。每期開獎，開出一個6位數(shù)和一個特別號碼作為中獎號碼。設六個獎勵等級：特等獎——獎券上寫的6個數(shù)字與一個特別號碼全部相同；一等獎——有6個連續(xù)數(shù)字相同；二等獎——有5個連續(xù)數(shù)字相同；三等獎——有4個連續(xù)數(shù)字相同；四等獎——有3個連續(xù)數(shù)字相同；五等獎——有2個相鄰數(shù)字相同。每一期彩票以收入的50%作為獎金。三、四、五等獎獎金固定；一、二、特等獎的獎金浮動。假如，中獎號碼是123456，特別號碼是0，那么，各個獎項的中獎號碼和每注獎金如表7-1所示。表7-1某省福利彩票各個獎項的中獎號碼和每注獎金獎級中獎號碼每注獎金特等獎123456+0（獎金總額-固定獎金）

65%/注數(shù)88萬元（保底），500萬元（封頂）一等獎123456（獎金總額-固定獎金）

15%/注數(shù)二等獎12345,23456,…共2組20個（獎金總額-固定獎金）

20%/注數(shù)三等獎1234,2345,3456,…共3組300個300元四等獎123,234,…共4組4000個20元五等獎12,23,34,…共5組50000個5元(1)中獎概率：以一注為單位，計算一注彩票的中獎率特等獎———張彩票上前6個號碼有種可能選擇，特別號碼有5種選擇，故一張獎券上的號碼共有5×種不同的填法。因此一注特等獎的中獎率為P0=l/(5×)=2×=0.0000002；

一等獎中獎概率為：P1=1/=0.000001；

二等獎中獎概率為：P2=20/1000000=0.00002；

三等獎中獎概率為：P3=300/1000000=0.0003；

四等獎中獎概率為：P4=4000/1000000=0.004；

五等獎中獎概率為：P5=50000/1000000=0.05。

合起來，一注彩票的總的中獎率為上述之和：

P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543212≈5.4%。這就是說，每10000張彩票大約有540張得獎(包括從特等獎到五等獎)。

(2)彩票的期望值因為彩票的返還率一般是50%，所以從總體上說，每注2元一張的彩票，其期望值應該是1元。下面來實際計算一下，看是否如此。決定彩票的期望值有兩個因素，一是各個獎級的中獎率，二是各個獎勵級別獎金多少。三、四、五等獎的獎金已經(jīng)給出，中獎的概率也已知道，其他三個等級獎的獎金則可以計算出來。

根據(jù)規(guī)定，這三種獎級的獎金與三個因素有關：一是當期獎金總額，決定于銷售的彩票總注數(shù)；二是上期“獎池”中的累積獎金；三是滯留到下期“獎池”的獎金。綜合這幾種因素，再結合對2001年2——4月發(fā)行的20期獲獎情況統(tǒng)計的平均值，可以作如下假定：

第一，每一期售出100萬注，獎金總額為100萬；

第二，每期前三個獎級獎金取平均值；

第三，獎池的累積獎金以平均值計算。結果如下表7-2：表7-2某省福利彩票各個獎項的中獎概率和獎金

獎級

概率

獎金（元）

特等獎0.000000220000001等獎0.000001500002等獎0.0000250003等獎0.00033004等獎0.004205等獎0.055從而算得期望值E=0.0000002×2000000+0.000001×50000+0.00002×5000+0.0003×300+0.004×20+0.05×5=0.4+0.05+0.l+0.09+0.08+0.25=0.97(元)即每一注彩票中獎的期望值約為0.97元，這與理論值（l元）非常接近。

(3)彩票同列號現(xiàn)象此福利彩票，每一期中獎號碼是從01,02，…，33這33個號碼中隨機搖出7個數(shù)字（不計順序）以及一個特別數(shù)字組成的。所謂“同列號”，是指中獎號碼除了特別數(shù)字以外的7個數(shù)字中個位數(shù)相同者。例如，在總第98、第99兩期的中獎號碼：總第98期為02,10,18,25,27,28,30總第99期為04,11,13,14,15,17,19中，前者的18,28為同列號，后者的04,14為同列號。這種“同列號”現(xiàn)象較為普遍，有人甚至說，每期中獎號碼都有同列號的出現(xiàn)。這個說法是不對的。那么出現(xiàn)同列號的機會究竟有多么大呢？下面我們來研究這個有趣的問題。我們把01-33這33個數(shù)字作如下排列，如表7-3所示。表7-3

某省福利彩票數(shù)字排列1234567890010203040506070809101112131415161718192021222324252627282930313233A區(qū)B區(qū)

為方便起見，我們從反面來考慮，一期中獎號碼里不出現(xiàn)同列號的概率是多少？要想一期中獎號碼里不出現(xiàn)同列號，那么，需且僅需這7個數(shù)字出現(xiàn)在上述10列中不同的7列。因為A區(qū)與B區(qū)列中的數(shù)字個數(shù)不同，所以要按照在A區(qū)中所取數(shù)字個數(shù)，分以下4中情況來討論。1）0個數(shù)字在A區(qū)（即7個數(shù)字都在B區(qū)）。這時中獎號碼里的7個數(shù)字都在B區(qū)，因為B區(qū)只有7列，所以恰好每列取1個數(shù)字。而在每一列取1個數(shù)字有3種可能，故不同的取法應有37=2187種。2）1個數(shù)字在A區(qū)（6個數(shù)字都在B區(qū)）。首先，考慮A區(qū)的1個數(shù)字。因為A區(qū)有3列，在這3列中選出1列，有3種選法；在這一列中選1個數(shù)字，又有4中選法，故有12種選法。其次，考慮在B區(qū)的6個數(shù)字。先在7列中選出6列，再在每列中選出1個數(shù)字，故有種選法。合起來應有種不同取法。3）2個數(shù)字在A區(qū)（即5個數(shù)字都在B區(qū)）。先考慮A區(qū)的2個數(shù)字。這兩個數(shù)字的取法有種。再考慮B區(qū)取的5個數(shù)字，應有種選法。合起來應有種不同選法。4）3個數(shù)字在A區(qū)（4個數(shù)字都在B區(qū)）。3個數(shù)字在A區(qū)，有種取法，4個數(shù)字在B區(qū)，有種取法。合起來應有種取法。綜上所述，從01-33這33個數(shù)字中取出7個不同列的數(shù)字組成一個中獎號碼的不同取法，共有從33個數(shù)字中取7個數(shù)字的取法，總共有種。故中獎號碼沒有同列號的概率為因此，中獎號碼有同列號的概率為。對此福利彩票自發(fā)行以來共99期和4個幸運獎的統(tǒng)計，在103個中獎號碼中，沒有同列號現(xiàn)象的有12次（總期號分別為15，31，42，48，49，53，61，68，86，91，95，100），占11.65%，這與理論值非常接近。

彩票中還有其他一些現(xiàn)象和問題，都可以用數(shù)學知識來解釋。例如，在當代，隨著數(shù)學在更大范圍和更廣泛領域內(nèi)被應用于各門學科，數(shù)學在獲得越來越多應用價值的同時，也存在著被誤用和濫用的現(xiàn)象。在某些情況下，數(shù)學化雖然具有貌似的合理性，但卻并非客觀和全面的量性刻畫，進而容易造成貌似數(shù)學化的偽科學性。例如，在電視等媒體上，對體育彩票和福利彩票搖獎之后對近期中獎號碼重復頻率進行的所謂統(tǒng)計分析純粹是一種誤導和欺騙彩民的偽數(shù)學行為，既是對數(shù)學的褻瀆，也是對彩票公正性的歪曲，因此是極不負責任的。例2.色盲的遺傳問題

色盲雖然不是什么嚴重疾病，但卻也是一種生理缺陷。大約在上世紀初葉，有人發(fā)現(xiàn)色盲是可以遺傳的。于是人們提出了一個驚人的問題：色盲既然是能遺傳給下一代，那么將來會不會有一天使全世界的人都成為色盲?

要弄清色盲是怎么回事，先得明白我們?yōu)槭裁茨芸吹筋伾值醚芯恳暰W(wǎng)膜的復雜的構造和性質(zhì)，還得了解不同的光波所能引起的光化學反應，等等。

因為眼睛是人體很復雜的器官，要從解剖學的角度來考慮，就已經(jīng)十分困難，何況還與遺傳因素有關。當時，人們還不了解遺傳基因的結構，根本沒法了解色盲在遺傳基因上的原因。所以，對于生理學來講這是個當時無法解決的難題。這個問題被提到了哈代(1877-1947)的面前。哈代是英國大數(shù)學家，自稱是純粹數(shù)學家，對實際問題不感興趣。但是，這回是個例外，他對這個問題不但有興趣、而且以概率統(tǒng)計的觀點、僅用初等代數(shù)知識，就巧妙地、徹底地解決了這個難題。分析：他首先從大量臨床統(tǒng)計資料得知以下情況：（1）色盲中男性遠多于女性；（2）色盲父親與正常母親不會有色盲孩子；（3）正常父親和色盲母親的兒子是色盲，女兒則不是。

因此，他判斷：色盲的遺傳與性別有關。男女性別的差異，與遺傳基因中的性染色體有關。每個人的體內(nèi)有23對染色體，一半來自父親，一半來自母親；其中有一對特殊的染色體——性染色體，決定人的性別。男性性染色體是XY，女性的性染色體是XX。在遺傳給下一代時，母親賦予XX，給予子女的總是X，父親賦予XY，隨機地選擇一X或者Y給予子女，其概率是21∶22。若前者，則是女性，若后者，則是男性。所以男、女出生的概率是22∶21。這實際上已經(jīng)回答了統(tǒng)計中為什么男性比例略高于女性的問題。

既然色盲與性別有關，所以色盲者一定是性染色體出了毛病。那么，究竟是X出了毛病，還是Y出了毛病呢？一定是X，而且這個異常染色體會世代遺傳下去。

為什么能肯定病態(tài)染色體是X呢？這可用反證法來證明：假如病態(tài)染色體是Y，女性就不會有色盲，因為女性性染色體中沒有Y。但是，女性有色盲存在，只是比男性色盲少而已。那么，為什么男性色盲比女性多呢？這是因為女性有兩個X，如果其中有一個異常、一個正常，仍然可以維持正常視力。這種女性，我們不妨稱之為“次正常”。這樣，男性分為兩類：正常和色盲；女性分為三類：正常、次正常和色盲。

根據(jù)這些分析，我們可以利用數(shù)學方法，來估計下一代人中的色盲比例。我們首先如下的假設：1.在兩類男子和三類女子之間，夫婦配對是隨機的；2．異常染色體(記作“”)，在所有染色體X中所占比例為p，在男、女染色體中保持不變；3.父、母和子女中男女出生比例均為1：1。以下建立數(shù)學模型和計算：男性中正常和色盲兩類，以F、S表示；女性中正常、次正常和色盲三類，分別以Z、C、Κ表示。則F、S在男性中所占比例分別為q、p(q=l-p)；Z、C、Κ在女性中的比例，分別為。男、女配對有6種夫婦類型，在夫婦總數(shù)中各占比例如下：

第一類(F，Z)——父、母均正常，其概率為，子女中不會有色盲。如表7-4所示。表7-4正常丈夫與正常妻子

男女X

Y

X（X，X）正常女兒（X，Y）正常兒子X（X，X）正常女兒（X，Y）正常兒子第二類(F，C)——父正常、母次正常，其概率為；其子女的四種情況中有一種是色盲（如表7-5），即這類夫婦的子女中有1/4是色盲，在下一代人口中所占的比例是。

表7-5正常丈夫與次正常妻子

男女

X

Y（

，X）次色盲女兒（，Y）色盲兒子

X

（X，X）正常女兒

（X，Y）正常兒子第三類(F，Κ)——父正常、母色盲，其概率為；其子女的四種情況中有兩種是色盲（如表6-6），故這類夫婦的子女中有l(wèi)/2是色盲，在下代人口中所占比例是/2。表7-6正常丈夫與色盲妻子

男女

X

Y

（，X）次色盲女兒（，

Y）色盲兒子（，X）次色盲女兒（，

Y）色盲兒子第四類(S，Z)——父色盲、母正常，其概率為；其子女不會有色盲（如表7-7）表7-7色盲丈夫與正常妻子

男女

Y

（X，）次色盲女兒（，

Y）正常兒子（X，）次色盲女兒（，Y）正常兒子XXXX第五類(S，C)——父色盲、母次正常，其概率為；這類夫婦的子女中有一半是色盲（如表7-8），在下代人口中所占比例是表7-8

色盲丈夫與次正常妻子

男女

Y

（X，）次色盲女兒（，

Y）正常兒子（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子XX第六類(S，K)——父母均色盲，其概率為；其子女全部為色盲（如表7-9）表7-9色盲丈夫與色盲妻子

男女

Y

（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子

將以上6類(實際只有4類)夫婦的子女中色盲的比例相加得：在例2中我們提到了男、女出生的概率是22∶21。在17世紀時，蘇格蘭的一位雜貨商人格蘭特，作為消遣，研究了當時英國城市的各種死亡記錄，他注意到，男孩與女孩的出生比例差不多，而男孩稍多（當時他還不知道概率事實）。例3身高和智力遺傳問題

英國的高爾頓與他的學生皮爾遜（KarlPearson）對人類身高與智力的遺傳問題所做的研究。皮爾遜選取了1078個父親，測量了他們的身高，然后測量他們已是成人的兒子的身高。皮爾遜發(fā)現(xiàn)，一般來說，父親高，兒子也高。皮爾遜對他的數(shù)據(jù)作了仔細分析，其中兩組數(shù)據(jù)是

父親平均身高約68英寸，兒子平均身高約69英寸；父親平均身高約72英寸，兒子平均身高約71英寸。

這兩組數(shù)據(jù)說明什么問題呢？高爾頓發(fā)現(xiàn)，父親的身高與兒子的身高有一種正相關的關系。一般來說，高個的父親會有高個的兒子；但是，兒子與中等個的父親的偏差??；也就是說，兒子的身高有向中等個退化的傾向。高爾頓在人類智力的研究中，也發(fā)現(xiàn)了類似的結果。天才的孩子們一般比較平庸，智力水平一般的父親可能有智力超常的孩子。高爾頓由此得出結論：人的生理結構是穩(wěn)定的，所有有機組織都趨于標準狀態(tài)。他稱這種效應為“回歸效應”。例3求職決策

假設有兩個公司通知你去面試，但不巧定在同一時間面試，你不得不面臨選擇。根據(jù)你對公司的了解：公司1給你一個極好工作的概率是0.2，年薪為4萬元；給你一個中等工作的概率是0.3，年薪是3萬元；給你一個一般工作的概率是0.4，年薪為2.5萬元；不雇傭你的概率是0.1。公司2會給你一個2.6萬元年薪的工作。你如何選擇？決策依賴于你認為什么是好決策的標準。如果你主要關心就業(yè)，那么公司2一定會雇傭你，公司1也可能不雇傭你，所以應該選擇公司2；如果你不擔心就業(yè)問題，而以年薪的高低為標準，那么就應計算一下公司1給你的“平均”年薪?，F(xiàn)在公司1給你的年薪是一個隨機變量，它的分布為：從而平均年薪為大于公司2給你的工資，應該去公司1面試。工資（萬元）432.50概率0.20.30.40.1解：決策依賴于你對什么是好決策的標準。如果你主要關心就業(yè)，那么公司2一定回雇傭你，公司1也可能不雇傭你，所以應該選擇公司2；如果你不擔心就業(yè)問題，而以年薪的高低為標準，那么就應計算一下公司1給你的“平均”年薪?，F(xiàn)在公司1給你的年薪是一個隨機變量，它的分布為：從而平均年薪為（萬元）大于公司2給你的工資，應該去公司1面試。7.3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本思想

1.創(chuàng)立了性的數(shù)學方法傳統(tǒng)數(shù)學方法解決了那些具有確定性結論的問題，而對于大量的具有不確定性的隨機現(xiàn)象卻束手無策。概率論與數(shù)理統(tǒng)計為解決這類問題的不確定性、不規(guī)則性、偶然性的隨機現(xiàn)象問題提供了方法，使那些表面看來無序的大量隨機現(xiàn)象背后蘊藏的規(guī)律性被揭示了出來。這是人類在自然規(guī)律性的挑戰(zhàn)面前取得的又一次勝利。

2.廣泛的應用性概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法現(xiàn)在已經(jīng)在理論物理、化學、生物、生態(tài)、醫(yī)學、經(jīng)濟、保險、管理等許多領域取得廣泛應用，成為現(xiàn)代科學技術與生產(chǎn)生活不可或缺的數(shù)學技術。

3.促進了認識論的進步從哲學上講，18世紀的思想家們建立了近代最全面、最有影響力的“決定論”哲學體系。這個體系設計了一個有序的世界，并使其按照人們的設計而運行。數(shù)學定律明白無誤地揭示出了這種設計。遺憾的是，對于近代科學創(chuàng)立者來說，那種極簡單而又極和諧的自然界的秩序，由于19、20世紀廣泛而有效地應用了概率論、統(tǒng)計學的猛烈，如今正分崩離析。數(shù)學家為他們把概率論的直覺思想轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N指導人們行動的極其有用的工具高興。正是由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計的思想方法，使我們對自然規(guī)律有了更深入的認識。從認識論上講，這是人類歷史上又一偉大一步。

1.談談你對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的認識。 2.試舉一例說明概率論或統(tǒng)計在實踐中的應用。 3.我們經(jīng)?？吹接行侣劰?jié)目或報紙報道對“福利彩票”的中獎號碼進行“專家分析”，你如何看待這件事情？思考題謝謝數(shù)學文化第8章

線性代數(shù)的思想方法與意義章節(jié)目錄8.1早起代數(shù)發(fā)展簡史8.2線性代數(shù)發(fā)展簡史8.3

線性代數(shù)思想方法舉例8.4

線性代數(shù)的思想文化意義

17、18世紀，數(shù)學中產(chǎn)生了一個新的分支---線性代數(shù)。現(xiàn)在一般來說，線性代數(shù)的創(chuàng)始人是日本數(shù)學家關孝和（sekiTakakazu，約1642-1708）、德國數(shù)學家萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646-1716）、瑞士數(shù)學家克拉默（G.Cramer,1704-1752)、法國數(shù)學家范德蒙德（A.T.Vandermonde,1735-1796)，以及柯西、凱萊（A.Cayley,1821-1895)、拉普拉斯、歐拉等人。其實，早在約公元前200年到公元前100年間，中國人九已經(jīng)對矩陣有所了解。嚴格來講，漢朝張蒼等校正的《九章算術》中就給出了利用矩陣解線性方程組的方法。

代數(shù)與幾何的歷史一樣悠久。自從人類有了數(shù)的概念的時候就有了關于這些數(shù)的運算，也就有了“算術”。所以，處于數(shù)學知識積累時期的算術與幾何是并駕齊驅(qū)的。

不過由于種種原因，在東西方，特別是在西方，代數(shù)的發(fā)展不如幾何發(fā)展的快。所以，在古希臘最早發(fā)展起來的數(shù)學分支是幾何。

8.1早起代數(shù)發(fā)展簡史我們猜想其中最主要的原因有兩種：

一是代數(shù)比起幾何來說可能更為抽象，更需要符號化以及對數(shù)學本質(zhì)更為深刻的認識；

二是早期時候代數(shù)的應用可能不如幾何的應用在當時更為需要。例如，田畝的丈量，土方的計算、建筑的需要等。

但是，代數(shù)還是在緩慢地發(fā)展與成長。

算術發(fā)展為代數(shù)首先應歸功于末知數(shù)等字母符號的引入以及符號體系的引入，使得算術學科變成代數(shù)學科。初學代數(shù)時,老師常說“代數(shù)就是用字母代替數(shù)”，這可以堪稱是對代數(shù)狹義的理解或最簡明的理解。確實,

用符號是代數(shù)學上最重大的變革之一，這是人類思想上的一件大事。

其次，承認了末知數(shù)的存在性，從而結果就是在“存在”的前提下根據(jù)已知條件逐步推理得出來的，這是數(shù)學上的分析法，方程就是這種思想方法的具體體現(xiàn)。

在公元前2000年前后,古巴比倫數(shù)學就已演化成用文字敘述的代數(shù)學。在英國大不列顛博物館13901號泥板上記載了這樣一個問題：“我把我的正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得,求該正方形的邊長?！比绻O正方形的邊長是x,則這個問題相當于求解方程

該泥板上給出的解法相當于將方程的系數(shù)代人公式求解（當時計算是用60進位制）。這一史實表明，當時他們解二次方程的方法相當于現(xiàn)在的公式法。也就是說，古巴比倫人那時可能已經(jīng)知道某些類型的一元二次方程的求根公式。

在另一塊泥板上,古巴比倫人給出這樣的數(shù)表：它不僅包含了從1到30的整數(shù)的平方和立方，還包含這個范圍內(nèi)的整數(shù)組合。 經(jīng)專家研究認為,這個數(shù)表是用來解決形如的三次方程的。這說明當時他們已經(jīng)開始討論某些二次或三次方程的解法。圖8-1

同樣地,古埃及人也很早就發(fā)展了他們的代數(shù)方法。在蘭德紙草書（大約成書于公元前1850年到公元前1650年間）中有一些討論計算若干的問題,例如圖8-1中的象形文字

圖8-1圖8-1

其意思是：某數(shù)為若干，它的加上它的,再加上它的，再加上這個數(shù)本身等于37,求這個數(shù)。 這個式子等價于解方程:這是一個一元一次方程問題,他們解決這類問題的辦法是試位法?？梢?古埃及人很早就知道了布列方程的方法。圖8-1

我們知道,古希臘人在幾何上具有非凡的成就,實際上他們也在縷慢地發(fā)展代數(shù)學科。被稱為代數(shù)學鼻祖的丟番圖

(生平不詳)。在其撰寫的十三卷本《算術》中,大部分內(nèi)容是代數(shù)知識,共包含了189個問題,討論了數(shù)、一次、二次與個別的三次方程與大量的不定方程,成為不定方程的創(chuàng)始人。例如下題:今有四數(shù),任取三數(shù)相加,其和分別為20,22,24,27,求四數(shù)。丟番圖給出了一種巧妙的解法：設四數(shù)之和為x,則四數(shù)分別為x-20,x-22,x-24,x-27。于是,x=(x-20)+(x-22)+(x-24)+(x-27),解得x=31

。于是四數(shù)分別為:11,9,7,4。圖8-1

丟番圖的另一成就是在代數(shù)中創(chuàng)造性地運用了一套數(shù)學符號,并用符號布列算式。他把末知數(shù)稱為“題中之數(shù)”。下面列出一些丟番圖的符號：用s表示末知數(shù);用表示末知數(shù)的平方(即),用表示末知數(shù)的立方(即),等等;而1，2

，3，

等分別記為:;用表示常數(shù)。在運算符號方面,用或表示減號,沒有加、乘與除的符號,而用表示等號。例如,代數(shù)式

,丟番圖就表示為：圖8-1

作為文明古國之一的印度的數(shù)學,在代數(shù)方面也是很有成就的。阿耶波多(476-550）在其著作《阿耶波多文集》（一部以天文學為主的著作）中,有一章專講數(shù)學,介紹了比例、開方、二次方程、一次不定方程等。婆羅摩笈多(約598-660)在其著作《婆羅摩修正體系》中,討論了二次方程、線性方程組及一次、二次不定方程的解法，還利用內(nèi)揷公式造了一張正弦表。婆羅摩笈多已經(jīng)把二次方程歸結為標準類型:,并給出了這個方程的一個根為：。這與現(xiàn)代的求根公式完全相同。圖8-1

婆什伽羅

(1114-1185)著有《麗羅娃提》與與《算術本原》,已經(jīng)知道二次方程有兩個根,并對形如的二次不定方程提出解法。印度人解不定方程的成就已經(jīng)超過了丟番圖。圖8-1

作為阿拉伯著名數(shù)學家的花拉子米(AlKhowarizmi,約780-850),著有《代數(shù)學》，其中系統(tǒng)討論論6種類型的一次或二次代數(shù)方程，并介紹論配平方法。這6種類型的方程（用現(xiàn)代方法表示）分別為:

圖8-1

他指出，采用復原(aljebr)與對消（muqabala)（相當于今天的“移項”與“合并同類項”)的方法可將其他類型的方程劃歸為這6類方程。他的《代數(shù)學》這本書的原名就是由aljebr與

muqabala兩詞組合而成,在后來的傳抄過程中逐漸演變而成今王的代數(shù)(algebra)。

圖8-1

阿拉伯的另一數(shù)學家奧馬海雅姆（1044一1123）也著作《代數(shù)學》,比花拉子米有明顯的進步。他詳盡地研究了三次代數(shù)方程的根的幾何作圖法，指出了用圓錐曲線圖解求根的理論，

是阿拉伯數(shù)學最重大的成就之一。

圖8-1

法國數(shù)學家韋達(FrancisVeita，1540-1603在代數(shù)符號體系上的研究,使代數(shù)學發(fā)生了質(zhì)的變革。當時代數(shù)研究的中心是探究各種代數(shù)方程的解法。由于方程種類繁多，就必須尋求求解各種類型代數(shù)方程的通用方法。韋達認真研究了泰塔格里亞、卡爾達諾、斯蒂文、邦別利、丟番圖等人的著作，并在他的名著《分析方法引論》中第一個有意識地系統(tǒng)地使用了字母，改進了卡爾達諾等人關于三、四次方程的解法，利用變換消去方程的次高項，將二、三、四次方程都用一般表達式給出（即所謂的公式解），給出了著名的二、三次方程的韋達定理，等等。圖8-1

中國古代數(shù)學中對于代數(shù)有很多的研究,而且取得了很高的成就。特別是在公元前200年左右創(chuàng)造了“天元術”,用天元作為末知數(shù)符號，列出方程，產(chǎn)生了“符號代數(shù)”。圖8-2所示是《測圓海鏡》中表示一元二次程。其表示方法是：在一次項系數(shù)旁邊寫一個“元”字,“元”以上的數(shù)字表示各正次冪的系數(shù),“元”以下的數(shù)字表示常數(shù)和各負次冪系數(shù)。圖8-2

一般的說法,線性代數(shù)是從解多元線性方程組中發(fā)展出來的一種理論,其主要概念為矩陣、行列式、方程組、二次型等,本質(zhì)上是反映數(shù)的一種代數(shù)關系。當矩陣和行列式作為一個獨立對象表現(xiàn)的時候，就開始引導了線性空間和線性變換等系統(tǒng)理論的演技，并與后來的向量理論結合在一起，促進了代數(shù)理論的發(fā)展。

8.2

線性代數(shù)發(fā)展簡史

最早引人行列式概念的是日本數(shù)學家關孝和,他在其著作《解伏題之法》中提出了行列式的概念與算法。行列式的系統(tǒng)研究是在17、18世紀圍繞解線性方程組的研究中發(fā)展起來的。德國著名數(shù)學家萊布尼茨開創(chuàng)了用指標體系來表示方程組的方法,例如把方程組?成:

，然后研究含指標的系數(shù)。1693年，萊布尼茨在寫給洛必達的一封信中使用并給出了行列式。8.2.1行列式發(fā)展史

1750年，瑞士數(shù)學家克拉默發(fā)展了萊布尼茨的思想，并在《代數(shù)曲線的分析術入門》中對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，發(fā)表了著名的“克拉默法則”。

稍后,數(shù)學家貝祖(E.Bezout,17301783）將確定行列式每一項等號的方法進行了系統(tǒng)化,利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解的方法。

在行列式的發(fā)展史上,法國數(shù)學家范德蒙德第一個對行列式理論作出系統(tǒng)的闡述,是他把行列式理論從解線性方程組中分離出來,成為一門獨立的理論。他是行列式理論的奠基人。特別地,他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。1772年,拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙德提出的一些規(guī)則,推廣了化的展開行列式的方法，也就是現(xiàn)在的拉普拉斯展開定理。

繼范德蒙德之后,在行列式的理論方面,又一位作出突出貢獻的是法國大數(shù)學家柯西。1815年,柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。其中主要結果之一是行列式的乘法定理。另外,他第一個把行列式的元素排成方陣,采用雙足標記法;引進了行列式特佂方程的術語;給出了相似行列式概念;改進了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明等。把方陣放在兩條豎線之間來表示行列式則是英國數(shù)學家凱萊于1841年創(chuàng)造的。

柯西之后,德國數(shù)學家雅可比(J.Jacobi,1804-1851）引進了函數(shù)行列式,即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用,給出了函數(shù)行列式的導數(shù)公式。雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標志著行列式系統(tǒng)理論的建成。

由于行列式在數(shù)學分析、幾何學、線件方程組理論、二次型理論等多方面的應用,促使行列式理論在19世紀也得到了很大發(fā)展。整個19世紀都有行列式的新結果。除了一般行列式的大量定理之外,還有許多有關特殊行列式的定理都相繼得到。8.2.2矩陣發(fā)展史

矩陣是線性代數(shù)中一個重要的基本概念，也是數(shù)學研究和應用的一個重要工具。為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式，西爾維斯特（J.J.Sylvester,1814-1897）首先使用了“矩陣”這個詞，不過他僅僅是把矩陣用于表達一個行列式。嚴格的說，矩陣應當是從行列式的研究過程中產(chǎn)生的。因為行列式就是研究方陣的數(shù)值性質(zhì)。矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。

英國數(shù)學家凱萊一般被公認為是矩陣論的創(chuàng)立者。因為他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學概念提出來，并首先發(fā)表了關于這個題目的一系列文章。凱萊在研究線性變換夏的不變量問題時引進矩陣以簡化記號。

同樣，最初他也是把矩陣作為行列式的推廣或者作為線性方程組的表達工具。1858年，他發(fā)表了論文《矩陣論的研究報告》，系統(tǒng)地闡述了關于矩陣的理論。

1855年，埃米特（C.Hermite,1822-1901）證明了一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。

特征方程和特征根的工作被哈密爾頓、弗洛伯紐斯等數(shù)學家予以推廣。

后來，克萊伯施（A.Clebsch,1831-1872）、布克海姆（A.Buchheim）等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)；泰伯（H.Taber）引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關結論。

弗羅伯紐斯討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。1854年，約爾當研究了矩陣化為標準形的問題。1892年，梅茨勒（H.Metzler）引進了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級數(shù)的形式。

矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學分支---矩陣論，其理論現(xiàn)已廣泛弗洛波牛市地應用于現(xiàn)代科技的各個領域。8.2.3線性方程組

早在中國古代的數(shù)學著作《九章算術》“方程”章中已經(jīng)對線性方程組作了比較完成的論述。其中所述方法實質(zhì)上相當于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而小曲兒未知量的方法，即高斯消元法。

下面來看漢朝張蒼等校正的《九章算術》中給出的利用矩陣解決實際問題的一個例證：

今有上禾3束、中禾2束、下禾1束，得實39斗；上禾2束、中禾3束、下禾1束，得實34斗；上禾1束、中禾2束、下禾3束，得實26斗。問上、中、下禾每一束得實各是多少？

用現(xiàn)代方法，若設三種谷物每束（秉）重量（實）分別為x，y，z，列方程組，得

(8-1)

其對應的增廣矩陣為(8-2)

下面我們來看張蒼（前256-前152）的解法。

《九章算術》中的術算過程（1）：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗于右方，中、左行列如右方。即將3個線性方程組對應的3個不同未知量的系數(shù)和常數(shù)項按照下列方式排列：(8-3)123232311263439 這樣的方法相當于將式（8-2）轉(zhuǎn)置，然后交換順序，第一列排在右邊，第三列排在左邊。這一點都不奇怪，因為中國古代漢字書寫為縱向，且方向從右往左。所以，這在本質(zhì)上與我們今天的線性方程組的增廣矩陣是一致的。

術算過程（2）：以右列上禾遍乘中列。即以右列上方的3，遍乘中列各項。這相當于“第二種初等變換”：用一非零數(shù)乘矩陣的某一列。得(8-4)1632923312610239

術算過程（3）：而以直除。即由中列連續(xù)減去右列各對應項的若干倍數(shù)，直到中列頭位數(shù)為0。這相當于今天“第三種初等變換”：一列減去某列的若干倍。得(8-5)103252311262439

術算過程（4）：又來其次，亦以直除。即中列頭位消除后，以右列“上禾”3遍乘左列各項，連續(xù)減去右列各對應項，消去左列頭位。得

(8-6)003452811392439

術算過程（5）：然以中列中禾不盡者遍乘左列而以直除......實即下禾之實。即再以中列中禾數(shù)遍乘左列而以直除，消去左列中位，得到的為下禾36秉的實際重量。(8-7)0030523611992439

由此，我們可以解得1秉第三種谷物（下禾）的重量。其余“術算”過程實為代入法。不再贅述。

這實際上就是后來直到19世紀初才被世人知曉的高斯消元法。在西方，線性方程組的研究是在17世紀后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個未知量、三個線性方程組成的方程組。麥克勞林在18世紀上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現(xiàn)在稱為克拉默法則的結果?？死痪靡舶l(fā)表了這個法則。

18世紀下半葉，法國數(shù)學家貝祖對線性方程組理論進行了一系列研究，證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。 19世紀，英國數(shù)學家史密斯（H.Smith）和道奇森（C.L.Dodgson）

繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了n個未知數(shù)、n個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結果之一。

線性方程組的思想具有非常好的應用性?，F(xiàn)代大量的工程問題、金融問題、經(jīng)濟問題最終往往歸結為解線性方程組。特別是在20世紀，線性方程組的數(shù)值解法得到很好的發(fā)展。8.2.4二次型

二次型的研究起源于對二次曲線與二次曲面的分類討論問題。二次型的系統(tǒng)研究是從18世紀開始的。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在18世紀引進的。

柯西在其著作中給出結論：當方程是標準形時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時并不太清楚，在化簡成標準形時，為何總是得到同樣數(shù)目的正項和負項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了三個變數(shù)的二次型慣性定理，但沒有證明。這個定理后被雅可比重新發(fā)現(xiàn)和證明。

1801年，高斯在其名著《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。

二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出現(xiàn)在歐拉的著作中，拉格朗日在其關于線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。

1851年，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的相切和相交時，開始考慮二次曲線和二次曲面的分類。引進了初等因子和不變因子的概念。

1858年，魏爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，并證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，這個化簡也是可能的。魏爾斯特拉斯比較系統(tǒng)地完成了二次型的理論并將其推廣到雙線性型。

8.3.1方程思想與“初等變換”方法

所謂“方程思想”就是在解決數(shù)學問題時通過設元、尋找已知與未知之間的等量關系構造方程或方程組，然后求解方程來解決問題，也就是把問題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組來解決的思想方法。經(jīng)濟中的“投入產(chǎn)出”方法與工程中的“線性規(guī)劃”方法堪稱是方程思想運用的典范。由于在線性代數(shù)中的方程主要是線性方程組，所以在線性代數(shù)中運用“方程思想”解決問題要注意以下幾點：8.3

線性代數(shù)思想方法舉例

第一，要具有正確列出方程組的能力，這實際上是一個數(shù)學建模問題。

第二，要注意靈活應用方程的思想挖掘問題的本質(zhì)，把一些看似與方程沒有關聯(lián)的問題轉(zhuǎn)化為方程問題加以解決。

第三，要注意做到數(shù)形結合，運用幾何知識為代數(shù)問題提供背景，轉(zhuǎn)化問題。

圍繞“線性方程組”的問題主要有以下基本問題：線性方程組是否有解？有多少個解？能否給出公式解？如何解方程組?

“初等變換”是解線性方程組的主要方法，也是線性代數(shù)中一個非常重要的思想方法。“初等變換”通常是通過從學生熟悉的解二元或三元一次方程組引人的。 例1解三元一次方程組：(8-8)

解：我們應用中學學過的消元法來解方程組。為方便起見，將方程組（8-8）中的第一、二兩個方程組互換，方程組（8-8）變?yōu)?8-9)

將方程組（8-9）中第一個方程兩邊分別乘以（-2）和（-3）加到第二、三個方程上去，得(8-10)

在方程組（8-10）中，將第三個方程兩邊同乘以2，得(8-11)

再把上面方程組（8-11）中第二個方程乘以3加到第三個方程上去，得(8-12)

在方程組（8-12）中，第三個方程是一元一次方程，兩邊同除以17，得(8-13)再把分別代人式（8-13）中第二個與第一個方程（這相當于在式（8-13）第一，二個方程中消去），得(8-14)

方程組（8-14）中第二個方程兩邊同除以2，得：，代人式(8-14）中的第一個方程（也相當于用消元法消去其第一個方程中的）得原方程組的解為(8-15)

我們仔細分析上述例1用消元法解方程組的過程，可以看出，用消元法解線性方程組的過程就是反復地將方程組進行以下三種基本變換以化簡原方程組：(1)互換方程組中的兩個方程的位置

；(2)用一個非零的數(shù)乘某一個方程；(3)用一個數(shù)乘一個方程后加到另一個方程上。以上三種變換稱為線性方程組的初等變換。

這三種變換是我們經(jīng)常使用的方法，而且通過以上解方程組的過程，初等變換把線性方程組變成其同解方程組。

再分析上述解線性方程組的過程，可以看出，在作初等變換化簡方程組時，只是對這些方程的系數(shù)和常數(shù)項進行變換，下面我們把例1解方程組的過程通過下面“矩陣”表格的形式再做一遍：

大家看到，我們用這樣一種“矩陣”表格的形式對方程組的系數(shù)與常數(shù)進行與解方程組的“加減消元法”對應的“矩陣”表格中的“行”的運算，最后也得到了方程組的解。這種方法的優(yōu)點是“記號”簡單，節(jié)省書寫過程，尤其是它適用于計算機操作一一即我們可以通過編寫相應的解題“程序”，然后把它交給計算機來演算。

由此，也能導出行列式的三個主要性質(zhì)：換法變換、倍法變換、消法變換。

設有n元線性方程組：

(8-16) 我們還可以用矩陣方程的形式把方程組（8-16）表示為

Ax=b (8-17) 由行列式理論的克拉默理論，當m=n時且有方程組（8-16）的系數(shù)行列式D不等于0，則方程組（8-16）有唯一解且由克拉默公式給出公式解。 當方程組（8-16）的系數(shù)行列式D=0時，我們由其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩可知： 設增廣矩陣B=（A,b

），當r(B)不等于r(A）時方程組無解；當r(B)=r(A)時方程組有解：若r(B

)=r(A)=n時，方程組有唯一解；若r(B)=r(A)=r<n，則方程組有無窮多解。我們并能寫出方程組的通解形式。

其實，如果我們把以“方程組（8-16）對應的齊次方程組的基礎解系的線性組合加方程組（8-16）的一個特解”的通解形式看成是線性方程組的公式解也沒有什么不妥。進一步地，我們還可以運用矩陣方法給出方程組（8-16）或方程組（8-17）的通解形式。 設方程組Ax=b,A是m行n列矩陣。系數(shù)矩陣的秩r(A)與其增廣矩陣的秩r(B)相等是該方程組有解的充要條件：方程組有唯一解的充要條件是r(B)=r(A)=n，此時方程組解的公式是X=A-lb。若r(B)=r(A)=r<n，則該方程組有無窮多解。在系數(shù)矩陣A中找出一個r階非零子式，不妨設是由左上角的元素構成的矩陣A1，則IA1I不等于0。對矩陣作分塊： 則方程組Ax=b與（A1，A2)x=b1是同解方程組，即與方程組A1X1＋A2X2＝b1同解，進而有求解公式：

X1=A1-1b1-A1-1A2X2 (8-18)其中，凡是自由未知量（向量）。 在向量空間中，我們也可以利用向量對線性方程組的基本問題給出說明，而且利用內(nèi)積空間理論還可以給出無解方程組的最小二乘解。為此，我們首先將方程組（8-16）改寫成向量組形式：

(8-19) 由向量空間的理論知，若向量組α1，α2，...，αn線性無關且向量b可由其線性表示，則方程組有唯一解； 若其線性相關且b可由其線性表示，則方程組有元窮多解；若b不能由其線性表示，則方程組無解。 當線性方程組有無窮多解時，不妨設α1，α2，...，αr是其一極大元關組，則此時解的公式可以寫成：

(8-20)其中，是自由未知量。 我們進一步可將上述公式寫成：

(8-21)其中，

在式（8-21）中作類似于式（8-18）的工作，我們也會得到一個類似于式（8-18）

的公式解。

解線性方程組的“初等變換”方法略加修正就是行列式的主要性質(zhì)（我們可以說行列式的性質(zhì)實際是由這3種初等變換展開的）；而當把一個線性方程組“略去”未知數(shù)與運算符號后就成為一個矩陣（增廣矩陣），解方程組的初等變換方法就立即又轉(zhuǎn)化為矩陣化簡的有力工具；對于一個向量組來說，求向量組的秩就是把一個向量組化為一個矩陣后作初等行變換；

進一步地，在求出一個向量組的極大無關組后，把其余向量用其極大