數(shù)學(xué)文化 課件 7-概率統(tǒng)計(jì)的思想與意義;8-線性代數(shù)的思想方法與意義

數(shù)學(xué)文化第7章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法與意義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究與揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，它的起源與博弈現(xiàn)象有關(guān)。

在16世紀(jì)，意大利的一些學(xué)者開始研究賭博中的一些簡單問題；

到了17世紀(jì)中葉，法國與荷蘭的一些數(shù)學(xué)家基于排列組合方法，解決了一些較復(fù)雜的賭博問題。1812年，拉普拉斯在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，寫出了《概率的分析理論》，并在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論的發(fā)展推向一個新的階段。

19世紀(jì)末，俄國數(shù)學(xué)家們用分析方法科學(xué)地建立了實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布的理論，給出了概率的公理化定義，發(fā)展起了現(xiàn)代概率理論。數(shù)理統(tǒng)計(jì)雖然源于古代，但它的正式誕生應(yīng)當(dāng)是19世紀(jì)后期的事情。

概率論的建立為數(shù)理統(tǒng)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展又為概率論的應(yīng)用提供了用武之地。兩者互相推動，迅速發(fā)展。目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、人文科學(xué)、社會科學(xué)等許多領(lǐng)域，它在經(jīng)濟(jì)、管理、工程、技術(shù)、教育、語言、生物、環(huán)保、國防等許多領(lǐng)域中的作用愈益顯著。章節(jié)目錄7.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡史7.2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想7.3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的文化意義

首先提到的是文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家J·卡當(dāng)，他才華橫溢，對數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)巨大，但卻熱衷于賭博。他不希望把時間花在不能獲利的事情上，因此，他認(rèn)真地研究牌技以及在一副牌中獲得“A”的概率。他把自己的研究成果編成了一本手冊，題為《賭博的游戲》。這是世界上第一部研究概率論的著作。他的研究除了賭博外還與當(dāng)時的人口、保險業(yè)等有關(guān)，但由于卡當(dāng)?shù)乃枷胛匆鹬匾?，概率概念的要旨也不明確，于是很快被人淡忘了。7.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡史7.1.1概率論發(fā)展簡史

大約100年以后，另一位賭徒梅累繼續(xù)研究概率問題。可是他不具有像卡當(dāng)那樣的數(shù)學(xué)天分，所以不得不就這一問題去請教數(shù)學(xué)奇才帕斯卡。帕斯卡就梅累的問題與費(fèi)馬通了信，由此，帕斯卡和費(fèi)馬創(chuàng)立了概率論的一些基本結(jié)果。他們往來的信函中討論了如下的“合理分配賭注問題”：甲、乙兩人同擲一枚硬幣。規(guī)定：正面朝上，甲得一點(diǎn)；若反面朝上，乙得一點(diǎn)。先積滿3點(diǎn)者贏取全部賭注。假定在甲得2點(diǎn)、乙得1點(diǎn)時，賭局由于某種原因中止了，問應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理？

當(dāng)費(fèi)馬和帕斯卡通信討論的問題被數(shù)學(xué)家惠更斯知曉后，他對這個問題進(jìn)行了較為深入的研究。1657年，惠更斯的名著《論賭博中的計(jì)算》一書出版。此書是概率論的第一部成形的著作，書中提出了數(shù)學(xué)期望、概率的加法與乘法定理等基本概念。

1677年，法國數(shù)學(xué)家浦豐利用有名的浦豐投針問題給出了幾何概率的概念。

使概率論成為一個獨(dú)立數(shù)學(xué)分支的是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布

伯努利。1713年出版了他的遺作《猜度術(shù)》，書中提出了現(xiàn)在稱之為伯努利大數(shù)定律的概率論的第一個極限定律，起到了概率的理論奠基作用。

1812年，拉普拉斯的名著《概率的分析理論》出版，書中系統(tǒng)總結(jié)了前人關(guān)于概率的研究成果，使以前零星的概率知識系統(tǒng)化，而且明確給出了概率的古典定義，并引入分析方法，把概率論提高到一個新的階段。

1733年，1809年棣莫佛與高斯分別獨(dú)立地引進(jìn)了正態(tài)分布的概念。1837年，法國數(shù)學(xué)家泊松發(fā)表著名論文《關(guān)于判斷的概率之研究》，提出泊松分布。

1866年，俄國的切比雪夫建立了獨(dú)立隨機(jī)變量的大數(shù)定律，使伯努利與泊松的大數(shù)定律成為特例，并把棣莫佛與拉普拉斯的極限定理推廣為一般的中心極限定理。

由于拉普拉斯的概率定義存在模糊的意義，1899年，法國科學(xué)家貝朗特提出了所謂的“貝朗特悖論”：在半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)地選擇弦，求弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率。由于對“隨機(jī)地選擇”的不同理解，使得結(jié)果不唯一。概率論陷入危機(jī)之中。

為了克服古典概率的缺陷，數(shù)學(xué)家們開始創(chuàng)建概率的公理系統(tǒng)。俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦、奧地利數(shù)學(xué)家馮米西斯都提出了一些概率公理，但都不甚理想。1905年，法國數(shù)學(xué)家波萊爾用他創(chuàng)立的“測度論”語言來表述概率，為現(xiàn)代概率打開了大門。

1929年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫發(fā)表論文《概率論與測度論的一般理論》，首次給出了以測度論為基礎(chǔ)的概率論公理結(jié)構(gòu)；1930年，他的《概率論中的解析方法》開創(chuàng)了隨機(jī)工程的一般理論（即馬爾科夫過程）；1933年，他出版了名著《概率論基礎(chǔ)》，建立了柯爾莫哥洛夫公理化概率論。

1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽提出“平穩(wěn)理論”，建立了平穩(wěn)隨機(jī)過程理論。1942年。日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)微分方程，為隨機(jī)分析理論奠定了基礎(chǔ)。

1949年，柯爾莫哥洛夫與格涅堅(jiān)科合作寫出《獨(dú)立隨機(jī)變量與極限分布》，建立了弱極限理論。7.1.2數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡史1763年，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家貝葉斯（T.Bayes）發(fā)表《論機(jī)會學(xué)說問題的求解》，提出“貝葉斯定理”，也就是從結(jié)果去對原因進(jìn)行后驗(yàn)概率的計(jì)算方法。

近代統(tǒng)計(jì)學(xué)是在概率論的基礎(chǔ)上建立起來的。1662年，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家J.格蘭特組織調(diào)查倫敦的人口死亡率，并發(fā)表《從自然和政治方面觀察死亡統(tǒng)計(jì)表》的專著，提出了“大數(shù)恒靜定律”。

19世紀(jì)中葉，比利時統(tǒng)計(jì)學(xué)家A.凱特勒把統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于天文、氣象、物理、生物與社會學(xué)，并強(qiáng)調(diào)正態(tài)分布的用途，為統(tǒng)計(jì)方法的推廣做了大量工作。同一時期，愛爾蘭經(jīng)濟(jì)學(xué)家E埃奇沃斯引入了方差的概念。

1889年，英國生物學(xué)家高爾頓出版其著作《自然的遺傳》，引入回歸分析方法，給出了回歸直線與相關(guān)系數(shù)等重要概念。高爾頓是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)派的奠基人，他用統(tǒng)計(jì)方法研究遺傳進(jìn)化問題，第一次將概率統(tǒng)計(jì)原理應(yīng)用于生物科學(xué)，明確提出“生物統(tǒng)計(jì)學(xué)”。

從19世紀(jì)末到二次世界大戰(zhàn)結(jié)束，數(shù)理統(tǒng)計(jì)得到蓬勃發(fā)展并日臻成熟。這一時期，英國數(shù)學(xué)家皮爾遜發(fā)展了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)與社會統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本法則，發(fā)展了回歸分析及相關(guān)理論，并于1900年提出了卡方統(tǒng)計(jì)量與卡方分布，建立了卡方檢驗(yàn)法。1908年，皮爾遜的學(xué)生，英國科學(xué)家W.S.戈塞特導(dǎo)出大統(tǒng)計(jì)量及其精確分布，建立了t檢驗(yàn)法（也就是學(xué)生分布）。

現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的奠基人應(yīng)該是英國數(shù)學(xué)家費(fèi)歇爾（FisherRonaldAylmer，1890-1962）。1929年，他出版了《理論統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，對統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)系數(shù)、樣本分布、多元分析以及統(tǒng)計(jì)方法在遺傳與優(yōu)生方面的應(yīng)用都進(jìn)行了研究，成為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基性著作，在估計(jì)理論、假設(shè)檢驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、方差分析等方面都作出了貢獻(xiàn)。

1940年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默（H.Cramer）發(fā)表《統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法》，運(yùn)用測度論方法總結(jié)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的成果，使現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)趣于成熟。

我國數(shù)學(xué)家許寶祿在數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論這兩個數(shù)學(xué)分支都有重要貢獻(xiàn)。他的重要成績有：1938年至1945年間，他在多元統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)推測方面發(fā)表了一系列論文，給出了樣本協(xié)方差矩陣等概念，推進(jìn)了矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用；他對高斯-馬爾科夫模型中方差的最優(yōu)預(yù)計(jì)的研究是其后關(guān)于方差分量和方差的最佳二次預(yù)計(jì)的眾多研究的出發(fā)點(diǎn)；他推動了人們對全部相似檢驗(yàn)進(jìn)行研究等。7.2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想

所謂概率，通俗地說：就是一件事情發(fā)生的可能性的大小。在日常生活中，我們所使用的概率思想，主要是滿足于估計(jì)一件事情發(fā)生的概率是大還是小，從而為我們的決策提供一種理性的支持。

我們來看看在古典概率中如何利用數(shù)學(xué)得到精確的概率值。例如，單獨(dú)拋一枚骰子，出現(xiàn)“2”的概率是多少?解決這個問題的一種方法是，擲100000次骰子，然后計(jì)算出現(xiàn)“2”的次數(shù)。出現(xiàn)“2”的次數(shù)與100000的比就是所求的答案，或者差不多會接近真實(shí)的答案。但是，數(shù)學(xué)家們一般不會采用這種方法，而是靜坐默思去找出解決這個問題的方法。

我們來看看帕斯卡和費(fèi)馬如何考慮這個問題的：一個骰子有6個面，由于在骰子的形狀上或者在扔骰子的方式中，沒有任何因素有利于某一面的出現(xiàn)，所以得到每一面正面朝上的可能性是相同的。六面出現(xiàn)的可能性相同，而僅僅只有一面也就是出現(xiàn)“2”的一面是有利情形，因?yàn)檫@就是我們所要求的那一面。因此出現(xiàn)“2”的概率就是1/6。如果我們對出現(xiàn)4或5這兩面都感興趣，我們則得到其概率為2/6，即6種可能性中的兩種對我們有利；如果我們對出現(xiàn)4或5不感興趣，那么將有4種有利的可能性，因此概率應(yīng)該為4/6。

在古典概率中，一般地，計(jì)算概率值的定義是，如果有n種等可能性，而有利于一定事件發(fā)生的情形是m，那么這個事件發(fā)生的概率是m/n，而該事件不發(fā)生的概率是（n-m）/n。在這個概率的一般定義之下，如果沒有有利的可能性發(fā)生，也就是說，如果事件是不可能的，則事件的概率為0；而如果n種可能性都是有利的，也就是說，如果事件是完全確定的，則概率為1。因此，概率值在從0到1的范圍內(nèi)變化，即從不可能性到確定性。

作為這個定義的一個例子，我們考慮從52張普通的一副撲克牌中，選取一張牌“A”的可能性。這里有52種等可能選擇，其中有4種是有利的，因此，這個概率是4/52，即為1/13。

從52張一副的撲克牌中選取“A”的概率是1/13。圍繞著這一命題的意義，經(jīng)常會產(chǎn)生一些疑問。這個命題是否意味著，如果一人在這副撲克牌中取了13次(每一次都重復(fù)取牌，即將取過的牌又放回)，那么將一定會選中一張“A”呢?事實(shí)并不是這樣，他可能取了30次或40次，也沒有得到一張“A”。不過，他取的次數(shù)越多，則取得A的次數(shù)與取牌總次數(shù)之比將會趨近于1比13。

這是個合理的期望，因?yàn)檫x取的數(shù)目越大，每一張牌被取出的次數(shù)就會越相等。一個相關(guān)的錯誤想法是，假定如果一人取了一張“A”，比如說正好是在第一次取得的，那么下一次取出一張“A”的概率就必定小于1/13。實(shí)際上，概率依然是相同的，即為1/13，即使當(dāng)3張“A”被連續(xù)抽中時也是如此。一副牌或一枚硬幣，它們既沒有記憶也沒有意識，因此已經(jīng)發(fā)生的事情不會影響未來。

注意，我們這里所討論的問題要具有等可能性。例如，假定我們斷說，一個人安全過街頭的概率是1/2，因?yàn)橹挥袃煞N可能性：安全通過或沒有安全通過。如果這個命題成立，那我們就什么事情也別干了，只有坐在家里。這個命題的錯誤在于“安全通過或沒有安全通過”這兩種可能性不是等可能的。例1彩票中的數(shù)學(xué)問題

以某省福利彩票為例做說明。這種彩票玩法比較簡單：2元一注，每注填寫一張彩票；每張彩票由一個6位數(shù)和一個特別號碼組成。每個數(shù)字均可填寫0，1，……，9這十個數(shù)字中的任何一個；特別號碼可以填寫0，1，2，3，4這五個數(shù)字中的任何一個。每期開獎，開出一個6位數(shù)和一個特別號碼作為中獎號碼。設(shè)六個獎勵等級：特等獎——獎券上寫的6個數(shù)字與一個特別號碼全部相同；一等獎——有6個連續(xù)數(shù)字相同；二等獎——有5個連續(xù)數(shù)字相同；三等獎——有4個連續(xù)數(shù)字相同；四等獎——有3個連續(xù)數(shù)字相同；五等獎——有2個相鄰數(shù)字相同。每一期彩票以收入的50%作為獎金。三、四、五等獎獎金固定；一、二、特等獎的獎金浮動。假如，中獎號碼是123456，特別號碼是0，那么，各個獎項(xiàng)的中獎號碼和每注獎金如表7-1所示。表7-1某省福利彩票各個獎項(xiàng)的中獎號碼和每注獎金獎級中獎號碼每注獎金特等獎123456+0（獎金總額-固定獎金）

65%/注數(shù)88萬元（保底），500萬元（封頂）一等獎123456（獎金總額-固定獎金）

15%/注數(shù)二等獎12345,23456,…共2組20個（獎金總額-固定獎金）

20%/注數(shù)三等獎1234,2345,3456,…共3組300個300元四等獎123,234,…共4組4000個20元五等獎12,23,34,…共5組50000個5元(1)中獎概率：以一注為單位，計(jì)算一注彩票的中獎率特等獎———張彩票上前6個號碼有種可能選擇，特別號碼有5種選擇，故一張獎券上的號碼共有5×種不同的填法。因此一注特等獎的中獎率為P0=l/(5×)=2×=0.0000002；

一等獎中獎概率為：P1=1/=0.000001；

二等獎中獎概率為：P2=20/1000000=0.00002；

三等獎中獎概率為：P3=300/1000000=0.0003；

四等獎中獎概率為：P4=4000/1000000=0.004；

五等獎中獎概率為：P5=50000/1000000=0.05。

合起來，一注彩票的總的中獎率為上述之和：

P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543212≈5.4%。這就是說，每10000張彩票大約有540張得獎(包括從特等獎到五等獎)。

(2)彩票的期望值因?yàn)椴势钡姆颠€率一般是50%，所以從總體上說，每注2元一張的彩票，其期望值應(yīng)該是1元。下面來實(shí)際計(jì)算一下，看是否如此。決定彩票的期望值有兩個因素，一是各個獎級的中獎率，二是各個獎勵級別獎金多少。三、四、五等獎的獎金已經(jīng)給出，中獎的概率也已知道，其他三個等級獎的獎金則可以計(jì)算出來。

根據(jù)規(guī)定，這三種獎級的獎金與三個因素有關(guān)：一是當(dāng)期獎金總額，決定于銷售的彩票總注數(shù)；二是上期“獎池”中的累積獎金；三是滯留到下期“獎池”的獎金。綜合這幾種因素，再結(jié)合對2001年2——4月發(fā)行的20期獲獎情況統(tǒng)計(jì)的平均值，可以作如下假定：

第一，每一期售出100萬注，獎金總額為100萬；

第二，每期前三個獎級獎金取平均值；

第三，獎池的累積獎金以平均值計(jì)算。結(jié)果如下表7-2：表7-2某省福利彩票各個獎項(xiàng)的中獎概率和獎金

獎級

概率

獎金（元）

特等獎0.000000220000001等獎0.000001500002等獎0.0000250003等獎0.00033004等獎0.004205等獎0.055從而算得期望值E=0.0000002×2000000+0.000001×50000+0.00002×5000+0.0003×300+0.004×20+0.05×5=0.4+0.05+0.l+0.09+0.08+0.25=0.97(元)即每一注彩票中獎的期望值約為0.97元，這與理論值（l元）非常接近。

(3)彩票同列號現(xiàn)象此福利彩票，每一期中獎號碼是從01,02，…，33這33個號碼中隨機(jī)搖出7個數(shù)字（不計(jì)順序）以及一個特別數(shù)字組成的。所謂“同列號”，是指中獎號碼除了特別數(shù)字以外的7個數(shù)字中個位數(shù)相同者。例如，在總第98、第99兩期的中獎號碼：總第98期為02,10,18,25,27,28,30總第99期為04,11,13,14,15,17,19中，前者的18,28為同列號，后者的04,14為同列號。這種“同列號”現(xiàn)象較為普遍，有人甚至說，每期中獎號碼都有同列號的出現(xiàn)。這個說法是不對的。那么出現(xiàn)同列號的機(jī)會究竟有多么大呢？下面我們來研究這個有趣的問題。我們把01-33這33個數(shù)字作如下排列，如表7-3所示。表7-3

某省福利彩票數(shù)字排列1234567890010203040506070809101112131415161718192021222324252627282930313233A區(qū)B區(qū)

為方便起見，我們從反面來考慮，一期中獎號碼里不出現(xiàn)同列號的概率是多少？要想一期中獎號碼里不出現(xiàn)同列號，那么，需且僅需這7個數(shù)字出現(xiàn)在上述10列中不同的7列。因?yàn)锳區(qū)與B區(qū)列中的數(shù)字個數(shù)不同，所以要按照在A區(qū)中所取數(shù)字個數(shù)，分以下4中情況來討論。1）0個數(shù)字在A區(qū)（即7個數(shù)字都在B區(qū)）。這時中獎號碼里的7個數(shù)字都在B區(qū)，因?yàn)锽區(qū)只有7列，所以恰好每列取1個數(shù)字。而在每一列取1個數(shù)字有3種可能，故不同的取法應(yīng)有37=2187種。2）1個數(shù)字在A區(qū)（6個數(shù)字都在B區(qū)）。首先，考慮A區(qū)的1個數(shù)字。因?yàn)锳區(qū)有3列，在這3列中選出1列，有3種選法；在這一列中選1個數(shù)字，又有4中選法，故有12種選法。其次，考慮在B區(qū)的6個數(shù)字。先在7列中選出6列，再在每列中選出1個數(shù)字，故有種選法。合起來應(yīng)有種不同取法。3）2個數(shù)字在A區(qū)（即5個數(shù)字都在B區(qū)）。先考慮A區(qū)的2個數(shù)字。這兩個數(shù)字的取法有種。再考慮B區(qū)取的5個數(shù)字，應(yīng)有種選法。合起來應(yīng)有種不同選法。4）3個數(shù)字在A區(qū)（4個數(shù)字都在B區(qū)）。3個數(shù)字在A區(qū)，有種取法，4個數(shù)字在B區(qū)，有種取法。合起來應(yīng)有種取法。綜上所述，從01-33這33個數(shù)字中取出7個不同列的數(shù)字組成一個中獎號碼的不同取法，共有從33個數(shù)字中取7個數(shù)字的取法，總共有種。故中獎號碼沒有同列號的概率為因此，中獎號碼有同列號的概率為。對此福利彩票自發(fā)行以來共99期和4個幸運(yùn)獎的統(tǒng)計(jì)，在103個中獎號碼中，沒有同列號現(xiàn)象的有12次（總期號分別為15，31，42，48，49，53，61，68，86，91，95，100），占11.65%，這與理論值非常接近。

彩票中還有其他一些現(xiàn)象和問題，都可以用數(shù)學(xué)知識來解釋。例如，在當(dāng)代，隨著數(shù)學(xué)在更大范圍和更廣泛領(lǐng)域內(nèi)被應(yīng)用于各門學(xué)科，數(shù)學(xué)在獲得越來越多應(yīng)用價值的同時，也存在著被誤用和濫用的現(xiàn)象。在某些情況下，數(shù)學(xué)化雖然具有貌似的合理性，但卻并非客觀和全面的量性刻畫，進(jìn)而容易造成貌似數(shù)學(xué)化的偽科學(xué)性。例如，在電視等媒體上，對體育彩票和福利彩票搖獎之后對近期中獎號碼重復(fù)頻率進(jìn)行的所謂統(tǒng)計(jì)分析純粹是一種誤導(dǎo)和欺騙彩民的偽數(shù)學(xué)行為，既是對數(shù)學(xué)的褻瀆，也是對彩票公正性的歪曲，因此是極不負(fù)責(zé)任的。例2.色盲的遺傳問題

色盲雖然不是什么嚴(yán)重疾病，但卻也是一種生理缺陷。大約在上世紀(jì)初葉，有人發(fā)現(xiàn)色盲是可以遺傳的。于是人們提出了一個驚人的問題：色盲既然是能遺傳給下一代，那么將來會不會有一天使全世界的人都成為色盲?

要弄清色盲是怎么回事，先得明白我們?yōu)槭裁茨芸吹筋伾?，又得研究視網(wǎng)膜的復(fù)雜的構(gòu)造和性質(zhì)，還得了解不同的光波所能引起的光化學(xué)反應(yīng)，等等。

因?yàn)檠劬κ侨梭w很復(fù)雜的器官，要從解剖學(xué)的角度來考慮，就已經(jīng)十分困難，何況還與遺傳因素有關(guān)。當(dāng)時，人們還不了解遺傳基因的結(jié)構(gòu)，根本沒法了解色盲在遺傳基因上的原因。所以，對于生理學(xué)來講這是個當(dāng)時無法解決的難題。這個問題被提到了哈代(1877-1947)的面前。哈代是英國大數(shù)學(xué)家，自稱是純粹數(shù)學(xué)家，對實(shí)際問題不感興趣。但是，這回是個例外，他對這個問題不但有興趣、而且以概率統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)、僅用初等代數(shù)知識，就巧妙地、徹底地解決了這個難題。分析：他首先從大量臨床統(tǒng)計(jì)資料得知以下情況：（1）色盲中男性遠(yuǎn)多于女性；（2）色盲父親與正常母親不會有色盲孩子；（3）正常父親和色盲母親的兒子是色盲，女兒則不是。

因此，他判斷：色盲的遺傳與性別有關(guān)。男女性別的差異，與遺傳基因中的性染色體有關(guān)。每個人的體內(nèi)有23對染色體，一半來自父親，一半來自母親；其中有一對特殊的染色體——性染色體，決定人的性別。男性性染色體是XY，女性的性染色體是XX。在遺傳給下一代時，母親賦予XX，給予子女的總是X，父親賦予XY，隨機(jī)地選擇一X或者Y給予子女，其概率是21∶22。若前者，則是女性，若后者，則是男性。所以男、女出生的概率是22∶21。這實(shí)際上已經(jīng)回答了統(tǒng)計(jì)中為什么男性比例略高于女性的問題。

既然色盲與性別有關(guān)，所以色盲者一定是性染色體出了毛病。那么，究竟是X出了毛病，還是Y出了毛病呢？一定是X，而且這個異常染色體會世代遺傳下去。

為什么能肯定病態(tài)染色體是X呢？這可用反證法來證明：假如病態(tài)染色體是Y，女性就不會有色盲，因?yàn)榕孕匀旧w中沒有Y。但是，女性有色盲存在，只是比男性色盲少而已。那么，為什么男性色盲比女性多呢？這是因?yàn)榕杂袃蓚€X，如果其中有一個異常、一個正常，仍然可以維持正常視力。這種女性，我們不妨稱之為“次正常”。這樣，男性分為兩類：正常和色盲；女性分為三類：正常、次正常和色盲。

根據(jù)這些分析，我們可以利用數(shù)學(xué)方法，來估計(jì)下一代人中的色盲比例。我們首先如下的假設(shè)：1.在兩類男子和三類女子之間，夫婦配對是隨機(jī)的；2．異常染色體(記作“”)，在所有染色體X中所占比例為p，在男、女染色體中保持不變；3.父、母和子女中男女出生比例均為1：1。以下建立數(shù)學(xué)模型和計(jì)算：男性中正常和色盲兩類，以F、S表示；女性中正常、次正常和色盲三類，分別以Z、C、Κ表示。則F、S在男性中所占比例分別為q、p(q=l-p)；Z、C、Κ在女性中的比例，分別為。男、女配對有6種夫婦類型，在夫婦總數(shù)中各占比例如下：

第一類(F，Z)——父、母均正常，其概率為，子女中不會有色盲。如表7-4所示。表7-4正常丈夫與正常妻子

男女X

Y

X（X，X）正常女兒（X，Y）正常兒子X（X，X）正常女兒（X，Y）正常兒子第二類(F，C)——父正常、母次正常，其概率為；其子女的四種情況中有一種是色盲（如表7-5），即這類夫婦的子女中有1/4是色盲，在下一代人口中所占的比例是。

表7-5正常丈夫與次正常妻子

男女

X

Y（

，X）次色盲女兒（，Y）色盲兒子

X

（X，X）正常女兒

（X，Y）正常兒子第三類(F，Κ)——父正常、母色盲，其概率為；其子女的四種情況中有兩種是色盲（如表6-6），故這類夫婦的子女中有l(wèi)/2是色盲，在下代人口中所占比例是/2。表7-6正常丈夫與色盲妻子

男女

X

Y

（，X）次色盲女兒（，

Y）色盲兒子（，X）次色盲女兒（，

Y）色盲兒子第四類(S，Z)——父色盲、母正常，其概率為；其子女不會有色盲（如表7-7）表7-7色盲丈夫與正常妻子

男女

Y

（X，）次色盲女兒（，

Y）正常兒子（X，）次色盲女兒（，Y）正常兒子XXXX第五類(S，C)——父色盲、母次正常，其概率為；這類夫婦的子女中有一半是色盲（如表7-8），在下代人口中所占比例是表7-8

色盲丈夫與次正常妻子

男女

Y

（X，）次色盲女兒（，

Y）正常兒子（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子XX第六類(S，K)——父母均色盲，其概率為；其子女全部為色盲（如表7-9）表7-9色盲丈夫與色盲妻子

男女

Y

（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子

將以上6類(實(shí)際只有4類)夫婦的子女中色盲的比例相加得：在例2中我們提到了男、女出生的概率是22∶21。在17世紀(jì)時，蘇格蘭的一位雜貨商人格蘭特，作為消遣，研究了當(dāng)時英國城市的各種死亡記錄，他注意到，男孩與女孩的出生比例差不多，而男孩稍多（當(dāng)時他還不知道概率事實(shí)）。例3身高和智力遺傳問題

英國的高爾頓與他的學(xué)生皮爾遜（KarlPearson）對人類身高與智力的遺傳問題所做的研究。皮爾遜選取了1078個父親，測量了他們的身高，然后測量他們已是成人的兒子的身高。皮爾遜發(fā)現(xiàn)，一般來說，父親高，兒子也高。皮爾遜對他的數(shù)據(jù)作了仔細(xì)分析，其中兩組數(shù)據(jù)是

父親平均身高約68英寸，兒子平均身高約69英寸；父親平均身高約72英寸，兒子平均身高約71英寸。

這兩組數(shù)據(jù)說明什么問題呢？高爾頓發(fā)現(xiàn)，父親的身高與兒子的身高有一種正相關(guān)的關(guān)系。一般來說，高個的父親會有高個的兒子；但是，兒子與中等個的父親的偏差??；也就是說，兒子的身高有向中等個退化的傾向。高爾頓在人類智力的研究中，也發(fā)現(xiàn)了類似的結(jié)果。天才的孩子們一般比較平庸，智力水平一般的父親可能有智力超常的孩子。高爾頓由此得出結(jié)論：人的生理結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的，所有有機(jī)組織都趨于標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)。他稱這種效應(yīng)為“回歸效應(yīng)”。例3求職決策

假設(shè)有兩個公司通知你去面試，但不巧定在同一時間面試，你不得不面臨選擇。根據(jù)你對公司的了解：公司1給你一個極好工作的概率是0.2，年薪為4萬元；給你一個中等工作的概率是0.3，年薪是3萬元；給你一個一般工作的概率是0.4，年薪為2.5萬元；不雇傭你的概率是0.1。公司2會給你一個2.6萬元年薪的工作。你如何選擇？決策依賴于你認(rèn)為什么是好決策的標(biāo)準(zhǔn)。如果你主要關(guān)心就業(yè)，那么公司2一定會雇傭你，公司1也可能不雇傭你，所以應(yīng)該選擇公司2；如果你不擔(dān)心就業(yè)問題，而以年薪的高低為標(biāo)準(zhǔn)，那么就應(yīng)計(jì)算一下公司1給你的“平均”年薪?，F(xiàn)在公司1給你的年薪是一個隨機(jī)變量，它的分布為：從而平均年薪為大于公司2給你的工資，應(yīng)該去公司1面試。工資（萬元）432.50概率0.20.30.40.1解：決策依賴于你對什么是好決策的標(biāo)準(zhǔn)。如果你主要關(guān)心就業(yè)，那么公司2一定回雇傭你，公司1也可能不雇傭你，所以應(yīng)該選擇公司2；如果你不擔(dān)心就業(yè)問題，而以年薪的高低為標(biāo)準(zhǔn)，那么就應(yīng)計(jì)算一下公司1給你的“平均”年薪?，F(xiàn)在公司1給你的年薪是一個隨機(jī)變量，它的分布為：從而平均年薪為（萬元）大于公司2給你的工資，應(yīng)該去公司1面試。7.3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想

1.創(chuàng)立了性的數(shù)學(xué)方法傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法解決了那些具有確定性結(jié)論的問題，而對于大量的具有不確定性的隨機(jī)現(xiàn)象卻束手無策。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為解決這類問題的不確定性、不規(guī)則性、偶然性的隨機(jī)現(xiàn)象問題提供了方法，使那些表面看來無序的大量隨機(jī)現(xiàn)象背后蘊(yùn)藏的規(guī)律性被揭示了出來。這是人類在自然規(guī)律性的挑戰(zhàn)面前取得的又一次勝利。

2.廣泛的應(yīng)用性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法現(xiàn)在已經(jīng)在理論物理、化學(xué)、生物、生態(tài)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、保險、管理等許多領(lǐng)域取得廣泛應(yīng)用，成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與生產(chǎn)生活不可或缺的數(shù)學(xué)技術(shù)。

3.促進(jìn)了認(rèn)識論的進(jìn)步從哲學(xué)上講，18世紀(jì)的思想家們建立了近代最全面、最有影響力的“決定論”哲學(xué)體系。這個體系設(shè)計(jì)了一個有序的世界，并使其按照人們的設(shè)計(jì)而運(yùn)行。數(shù)學(xué)定律明白無誤地揭示出了這種設(shè)計(jì)。遺憾的是，對于近代科學(xué)創(chuàng)立者來說，那種極簡單而又極和諧的自然界的秩序，由于19、20世紀(jì)廣泛而有效地應(yīng)用了概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)的猛烈，如今正分崩離析。數(shù)學(xué)家為他們把概率論的直覺思想轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N指導(dǎo)人們行動的極其有用的工具高興。正是由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法，使我們對自然規(guī)律有了更深入的認(rèn)識。從認(rèn)識論上講，這是人類歷史上又一偉大一步。

1.談?wù)勀銓Ω怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)的認(rèn)識。 2.試舉一例說明概率論或統(tǒng)計(jì)在實(shí)踐中的應(yīng)用。 3.我們經(jīng)?？吹接行侣劰?jié)目或報紙報道對“福利彩票”的中獎號碼進(jìn)行“專家分析”，你如何看待這件事情？思考題謝謝數(shù)學(xué)文化第8章

線性代數(shù)的思想方法與意義章節(jié)目錄8.1早起代數(shù)發(fā)展簡史8.2線性代數(shù)發(fā)展簡史8.3

線性代數(shù)思想方法舉例8.4

線性代數(shù)的思想文化意義

17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了一個新的分支---線性代數(shù)?，F(xiàn)在一般來說，線性代數(shù)的創(chuàng)始人是日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（sekiTakakazu，約1642-1708）、德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646-1716）、瑞士數(shù)學(xué)家克拉默（G.Cramer,1704-1752)、法國數(shù)學(xué)家范德蒙德（A.T.Vandermonde,1735-1796)，以及柯西、凱萊（A.Cayley,1821-1895)、拉普拉斯、歐拉等人。其實(shí)，早在約公元前200年到公元前100年間，中國人九已經(jīng)對矩陣有所了解。嚴(yán)格來講，漢朝張蒼等校正的《九章算術(shù)》中就給出了利用矩陣解線性方程組的方法。

代數(shù)與幾何的歷史一樣悠久。自從人類有了數(shù)的概念的時候就有了關(guān)于這些數(shù)的運(yùn)算，也就有了“算術(shù)”。所以，處于數(shù)學(xué)知識積累時期的算術(shù)與幾何是并駕齊驅(qū)的。

不過由于種種原因，在東西方，特別是在西方，代數(shù)的發(fā)展不如幾何發(fā)展的快。所以，在古希臘最早發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支是幾何。

8.1早起代數(shù)發(fā)展簡史我們猜想其中最主要的原因有兩種：

一是代數(shù)比起幾何來說可能更為抽象，更需要符號化以及對數(shù)學(xué)本質(zhì)更為深刻的認(rèn)識；

二是早期時候代數(shù)的應(yīng)用可能不如幾何的應(yīng)用在當(dāng)時更為需要。例如，田畝的丈量，土方的計(jì)算、建筑的需要等。

但是，代數(shù)還是在緩慢地發(fā)展與成長。

算術(shù)發(fā)展為代數(shù)首先應(yīng)歸功于末知數(shù)等字母符號的引入以及符號體系的引入，使得算術(shù)學(xué)科變成代數(shù)學(xué)科。初學(xué)代數(shù)時,老師常說“代數(shù)就是用字母代替數(shù)”，這可以堪稱是對代數(shù)狹義的理解或最簡明的理解。確實(shí),

用符號是代數(shù)學(xué)上最重大的變革之一，這是人類思想上的一件大事。

其次，承認(rèn)了末知數(shù)的存在性，從而結(jié)果就是在“存在”的前提下根據(jù)已知條件逐步推理得出來的，這是數(shù)學(xué)上的分析法，方程就是這種思想方法的具體體現(xiàn)。

在公元前2000年前后,古巴比倫數(shù)學(xué)就已演化成用文字?jǐn)⑹龅拇鷶?shù)學(xué)。在英國大不列顛博物館13901號泥板上記載了這樣一個問題：“我把我的正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得,求該正方形的邊長。”如果設(shè)正方形的邊長是x,則這個問題相當(dāng)于求解方程

該泥板上給出的解法相當(dāng)于將方程的系數(shù)代人公式求解（當(dāng)時計(jì)算是用60進(jìn)位制）。這一史實(shí)表明，當(dāng)時他們解二次方程的方法相當(dāng)于現(xiàn)在的公式法。也就是說，古巴比倫人那時可能已經(jīng)知道某些類型的一元二次方程的求根公式。

在另一塊泥板上,古巴比倫人給出這樣的數(shù)表：它不僅包含了從1到30的整數(shù)的平方和立方，還包含這個范圍內(nèi)的整數(shù)組合。 經(jīng)專家研究認(rèn)為,這個數(shù)表是用來解決形如的三次方程的。這說明當(dāng)時他們已經(jīng)開始討論某些二次或三次方程的解法。圖8-1

同樣地,古埃及人也很早就發(fā)展了他們的代數(shù)方法。在蘭德紙草書（大約成書于公元前1850年到公元前1650年間）中有一些討論計(jì)算若干的問題,例如圖8-1中的象形文字

圖8-1圖8-1

其意思是：某數(shù)為若干，它的加上它的,再加上它的，再加上這個數(shù)本身等于37,求這個數(shù)。 這個式子等價于解方程:這是一個一元一次方程問題,他們解決這類問題的辦法是試位法?？梢?古埃及人很早就知道了布列方程的方法。圖8-1

我們知道,古希臘人在幾何上具有非凡的成就,實(shí)際上他們也在縷慢地發(fā)展代數(shù)學(xué)科。被稱為代數(shù)學(xué)鼻祖的丟番圖

(生平不詳)。在其撰寫的十三卷本《算術(shù)》中,大部分內(nèi)容是代數(shù)知識,共包含了189個問題,討論了數(shù)、一次、二次與個別的三次方程與大量的不定方程,成為不定方程的創(chuàng)始人。例如下題:今有四數(shù),任取三數(shù)相加,其和分別為20,22,24,27,求四數(shù)。丟番圖給出了一種巧妙的解法：設(shè)四數(shù)之和為x,則四數(shù)分別為x-20,x-22,x-24,x-27。于是,x=(x-20)+(x-22)+(x-24)+(x-27),解得x=31

。于是四數(shù)分別為:11,9,7,4。圖8-1

丟番圖的另一成就是在代數(shù)中創(chuàng)造性地運(yùn)用了一套數(shù)學(xué)符號,并用符號布列算式。他把末知數(shù)稱為“題中之?dāng)?shù)”。下面列出一些丟番圖的符號：用s表示末知數(shù);用表示末知數(shù)的平方(即),用表示末知數(shù)的立方(即),等等;而1，2

，3，

等分別記為:;用表示常數(shù)。在運(yùn)算符號方面,用或表示減號,沒有加、乘與除的符號,而用表示等號。例如,代數(shù)式

,丟番圖就表示為：圖8-1

作為文明古國之一的印度的數(shù)學(xué),在代數(shù)方面也是很有成就的。阿耶波多(476-550）在其著作《阿耶波多文集》（一部以天文學(xué)為主的著作）中,有一章專講數(shù)學(xué),介紹了比例、開方、二次方程、一次不定方程等。婆羅摩笈多(約598-660)在其著作《婆羅摩修正體系》中,討論了二次方程、線性方程組及一次、二次不定方程的解法，還利用內(nèi)揷公式造了一張正弦表。婆羅摩笈多已經(jīng)把二次方程歸結(jié)為標(biāo)準(zhǔn)類型:,并給出了這個方程的一個根為：。這與現(xiàn)代的求根公式完全相同。圖8-1

婆什伽羅

(1114-1185)著有《麗羅娃提》與與《算術(shù)本原》,已經(jīng)知道二次方程有兩個根,并對形如的二次不定方程提出解法。印度人解不定方程的成就已經(jīng)超過了丟番圖。圖8-1

作為阿拉伯著名數(shù)學(xué)家的花拉子米(AlKhowarizmi,約780-850),著有《代數(shù)學(xué)》，其中系統(tǒng)討論論6種類型的一次或二次代數(shù)方程，并介紹論配平方法。這6種類型的方程（用現(xiàn)代方法表示）分別為:

圖8-1

他指出，采用復(fù)原(aljebr)與對消（muqabala)（相當(dāng)于今天的“移項(xiàng)”與“合并同類項(xiàng)”)的方法可將其他類型的方程劃歸為這6類方程。他的《代數(shù)學(xué)》這本書的原名就是由aljebr與

muqabala兩詞組合而成,在后來的傳抄過程中逐漸演變而成今王的代數(shù)(algebra)。

圖8-1

阿拉伯的另一數(shù)學(xué)家奧馬海雅姆（1044一1123）也著作《代數(shù)學(xué)》,比花拉子米有明顯的進(jìn)步。他詳盡地研究了三次代數(shù)方程的根的幾何作圖法，指出了用圓錐曲線圖解求根的理論，

是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)最重大的成就之一。

圖8-1

法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(FrancisVeita，1540-1603在代數(shù)符號體系上的研究,使代數(shù)學(xué)發(fā)生了質(zhì)的變革。當(dāng)時代數(shù)研究的中心是探究各種代數(shù)方程的解法。由于方程種類繁多，就必須尋求求解各種類型代數(shù)方程的通用方法。韋達(dá)認(rèn)真研究了泰塔格里亞、卡爾達(dá)諾、斯蒂文、邦別利、丟番圖等人的著作，并在他的名著《分析方法引論》中第一個有意識地系統(tǒng)地使用了字母，改進(jìn)了卡爾達(dá)諾等人關(guān)于三、四次方程的解法，利用變換消去方程的次高項(xiàng)，將二、三、四次方程都用一般表達(dá)式給出（即所謂的公式解），給出了著名的二、三次方程的韋達(dá)定理，等等。圖8-1

中國古代數(shù)學(xué)中對于代數(shù)有很多的研究,而且取得了很高的成就。特別是在公元前200年左右創(chuàng)造了“天元術(shù)”,用天元作為末知數(shù)符號，列出方程，產(chǎn)生了“符號代數(shù)”。圖8-2所示是《測圓海鏡》中表示一元二次程。其表示方法是：在一次項(xiàng)系數(shù)旁邊寫一個“元”字,“元”以上的數(shù)字表示各正次冪的系數(shù),“元”以下的數(shù)字表示常數(shù)和各負(fù)次冪系數(shù)。圖8-2

一般的說法,線性代數(shù)是從解多元線性方程組中發(fā)展出來的一種理論,其主要概念為矩陣、行列式、方程組、二次型等,本質(zhì)上是反映數(shù)的一種代數(shù)關(guān)系。當(dāng)矩陣和行列式作為一個獨(dú)立對象表現(xiàn)的時候，就開始引導(dǎo)了線性空間和線性變換等系統(tǒng)理論的演技，并與后來的向量理論結(jié)合在一起，促進(jìn)了代數(shù)理論的發(fā)展。

8.2

線性代數(shù)發(fā)展簡史

最早引人行列式概念的是日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和,他在其著作《解伏題之法》中提出了行列式的概念與算法。行列式的系統(tǒng)研究是在17、18世紀(jì)圍繞解線性方程組的研究中發(fā)展起來的。德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨開創(chuàng)了用指標(biāo)體系來表示方程組的方法,例如把方程組?成:

，然后研究含指標(biāo)的系數(shù)。1693年，萊布尼茨在寫給洛必達(dá)的一封信中使用并給出了行列式。8.2.1行列式發(fā)展史

1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默發(fā)展了萊布尼茨的思想，并在《代數(shù)曲線的分析術(shù)入門》中對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，發(fā)表了著名的“克拉默法則”。

稍后,數(shù)學(xué)家貝祖(E.Bezout,17301783）將確定行列式每一項(xiàng)等號的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化,利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解的方法。

在行列式的發(fā)展史上,法國數(shù)學(xué)家范德蒙德第一個對行列式理論作出系統(tǒng)的闡述,是他把行列式理論從解線性方程組中分離出來,成為一門獨(dú)立的理論。他是行列式理論的奠基人。特別地,他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。1772年,拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙德提出的一些規(guī)則,推廣了化的展開行列式的方法，也就是現(xiàn)在的拉普拉斯展開定理。

繼范德蒙德之后,在行列式的理論方面,又一位作出突出貢獻(xiàn)的是法國大數(shù)學(xué)家柯西。1815年,柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外,他第一個把行列式的元素排成方陣,采用雙足標(biāo)記法;引進(jìn)了行列式特佂方程的術(shù)語;給出了相似行列式概念;改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明等。把方陣放在兩條豎線之間來表示行列式則是英國數(shù)學(xué)家凱萊于1841年創(chuàng)造的。

柯西之后,德國數(shù)學(xué)家雅可比(J.Jacobi,1804-1851）引進(jìn)了函數(shù)行列式,即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用,給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。

由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線件方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用,促使行列式理論在19世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整個19世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了一般行列式的大量定理之外,還有許多有關(guān)特殊行列式的定理都相繼得到。8.2.2矩陣發(fā)展史

矩陣是線性代數(shù)中一個重要的基本概念，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具。為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式，西爾維斯特（J.J.Sylvester,1814-1897）首先使用了“矩陣”這個詞，不過他僅僅是把矩陣用于表達(dá)一個行列式。嚴(yán)格的說，矩陣應(yīng)當(dāng)是從行列式的研究過程中產(chǎn)生的。因?yàn)樾辛惺骄褪茄芯糠疥嚨臄?shù)值性質(zhì)。矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。

英國數(shù)學(xué)家凱萊一般被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者。因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個題目的一系列文章。凱萊在研究線性變換夏的不變量問題時引進(jìn)矩陣以簡化記號。

同樣，最初他也是把矩陣作為行列式的推廣或者作為線性方程組的表達(dá)工具。1858年，他發(fā)表了論文《矩陣論的研究報告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。

1855年，埃米特（C.Hermite,1822-1901）證明了一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。

特征方程和特征根的工作被哈密爾頓、弗洛伯紐斯等數(shù)學(xué)家予以推廣。

后來，克萊伯施（A.Clebsch,1831-1872）、布克海姆（A.Buchheim）等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)；泰伯（H.Taber）引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)結(jié)論。

弗羅伯紐斯討論了最小多項(xiàng)式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。1854年，約爾當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的問題。1892年，梅茨勒（H.Metzler）引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級數(shù)的形式。

矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支---矩陣論，其理論現(xiàn)已廣泛弗洛波牛市地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個領(lǐng)域。8.2.3線性方程組

早在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“方程”章中已經(jīng)對線性方程組作了比較完成的論述。其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而小曲兒未知量的方法，即高斯消元法。

下面來看漢朝張蒼等校正的《九章算術(shù)》中給出的利用矩陣解決實(shí)際問題的一個例證：

今有上禾3束、中禾2束、下禾1束，得實(shí)39斗；上禾2束、中禾3束、下禾1束，得實(shí)34斗；上禾1束、中禾2束、下禾3束，得實(shí)26斗。問上、中、下禾每一束得實(shí)各是多少？

用現(xiàn)代方法，若設(shè)三種谷物每束（秉）重量（實(shí)）分別為x，y，z，列方程組，得

(8-1)

其對應(yīng)的增廣矩陣為(8-2)

下面我們來看張蒼（前256-前152）的解法。

《九章算術(shù)》中的術(shù)算過程（1）：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗于右方，中、左行列如右方。即將3個線性方程組對應(yīng)的3個不同未知量的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按照下列方式排列：(8-3)123232311263439 這樣的方法相當(dāng)于將式（8-2）轉(zhuǎn)置，然后交換順序，第一列排在右邊，第三列排在左邊。這一點(diǎn)都不奇怪，因?yàn)橹袊糯鷿h字書寫為縱向，且方向從右往左。所以，這在本質(zhì)上與我們今天的線性方程組的增廣矩陣是一致的。

術(shù)算過程（2）：以右列上禾遍乘中列。即以右列上方的3，遍乘中列各項(xiàng)。這相當(dāng)于“第二種初等變換”：用一非零數(shù)乘矩陣的某一列。得(8-4)1632923312610239

術(shù)算過程（3）：而以直除。即由中列連續(xù)減去右列各對應(yīng)項(xiàng)的若干倍數(shù)，直到中列頭位數(shù)為0。這相當(dāng)于今天“第三種初等變換”：一列減去某列的若干倍。得(8-5)103252311262439

術(shù)算過程（4）：又來其次，亦以直除。即中列頭位消除后，以右列“上禾”3遍乘左列各項(xiàng)，連續(xù)減去右列各對應(yīng)項(xiàng)，消去左列頭位。得

(8-6)003452811392439

術(shù)算過程（5）：然以中列中禾不盡者遍乘左列而以直除......實(shí)即下禾之實(shí)。即再以中列中禾數(shù)遍乘左列而以直除，消去左列中位，得到的為下禾36秉的實(shí)際重量。(8-7)0030523611992439

由此，我們可以解得1秉第三種谷物（下禾）的重量。其余“術(shù)算”過程實(shí)為代入法。不再贅述。

這實(shí)際上就是后來直到19世紀(jì)初才被世人知曉的高斯消元法。在西方，線性方程組的研究是在17世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個未知量、三個線性方程組成的方程組。麥克勞林在18世紀(jì)上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現(xiàn)在稱為克拉默法則的結(jié)果?？死痪靡舶l(fā)表了這個法則。

18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖對線性方程組理論進(jìn)行了一系列研究，證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。 19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯（H.Smith）和道奇森（C.L.Dodgson）

繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了n個未知數(shù)、n個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結(jié)果之一。

線性方程組的思想具有非常好的應(yīng)用性?，F(xiàn)代大量的工程問題、金融問題、經(jīng)濟(jì)問題最終往往歸結(jié)為解線性方程組。特別是在20世紀(jì)，線性方程組的數(shù)值解法得到很好的發(fā)展。8.2.4二次型

二次型的研究起源于對二次曲線與二次曲面的分類討論問題。二次型的系統(tǒng)研究是從18世紀(jì)開始的。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡化方程的形狀，這個問題是在18世紀(jì)引進(jìn)的。

柯西在其著作中給出結(jié)論：當(dāng)方程是標(biāo)準(zhǔn)形時，二次曲面用二次項(xiàng)的符號來進(jìn)行分類。然而，那時并不太清楚，在化簡成標(biāo)準(zhǔn)形時，為何總是得到同樣數(shù)目的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了三個變數(shù)的二次型慣性定理，但沒有證明。這個定理后被雅可比重新發(fā)現(xiàn)和證明。

1801年，高斯在其名著《算術(shù)研究》中引進(jìn)了二次型的正定、負(fù)定、半正定和半負(fù)定等術(shù)語。

二次型化簡的進(jìn)一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出現(xiàn)在歐拉的著作中，拉格朗日在其關(guān)于線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。

1851年，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的相切和相交時，開始考慮二次曲線和二次曲面的分類。引進(jìn)了初等因子和不變因子的概念。

1858年，魏爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，并證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，這個化簡也是可能的。魏爾斯特拉斯比較系統(tǒng)地完成了二次型的理論并將其推廣到雙線性型。

8.3.1方程思想與“初等變換”方法

所謂“方程思想”就是在解決數(shù)學(xué)問題時通過設(shè)元、尋找已知與未知之間的等量關(guān)系構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程來解決問題，也就是把問題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組來解決的思想方法。經(jīng)濟(jì)中的“投入產(chǎn)出”方法與工程中的“線性規(guī)劃”方法堪稱是方程思想運(yùn)用的典范。由于在線性代數(shù)中的方程主要是線性方程組，所以在線性代數(shù)中運(yùn)用“方程思想”解決問題要注意以下幾點(diǎn)：8.3

線性代數(shù)思想方法舉例

第一，要具有正確列出方程組的能力，這實(shí)際上是一個數(shù)學(xué)建模問題。

第二，要注意靈活應(yīng)用方程的思想挖掘問題的本質(zhì)，把一些看似與方程沒有關(guān)聯(lián)的問題轉(zhuǎn)化為方程問題加以解決。

第三，要注意做到數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用幾何知識為代數(shù)問題提供背景，轉(zhuǎn)化問題。

圍繞“線性方程組”的問題主要有以下基本問題：線性方程組是否有解？有多少個解？能否給出公式解？如何解方程組?

“初等變換”是解線性方程組的主要方法，也是線性代數(shù)中一個非常重要的思想方法?！俺醯茸儞Q”通常是通過從學(xué)生熟悉的解二元或三元一次方程組引人的。 例1解三元一次方程組：(8-8)

解：我們應(yīng)用中學(xué)學(xué)過的消元法來解方程組。為方便起見，將方程組（8-8）中的第一、二兩個方程組互換，方程組（8-8）變?yōu)?8-9)

將方程組（8-9）中第一個方程兩邊分別乘以（-2）和（-3）加到第二、三個方程上去，得(8-10)

在方程組（8-10）中，將第三個方程兩邊同乘以2，得(8-11)

再把上面方程組（8-11）中第二個方程乘以3加到第三個方程上去，得(8-12)

在方程組（8-12）中，第三個方程是一元一次方程，兩邊同除以17，得(8-13)再把分別代人式（8-13）中第二個與第一個方程（這相當(dāng)于在式（8-13）第一，二個方程中消去），得(8-14)

方程組（8-14）中第二個方程兩邊同除以2，得：，代人式(8-14）中的第一個方程（也相當(dāng)于用消元法消去其第一個方程中的）得原方程組的解為(8-15)

我們仔細(xì)分析上述例1用消元法解方程組的過程，可以看出，用消元法解線性方程組的過程就是反復(fù)地將方程組進(jìn)行以下三種基本變換以化簡原方程組：(1)互換方程組中的兩個方程的位置

；(2)用一個非零的數(shù)乘某一個方程；(3)用一個數(shù)乘一個方程后加到另一個方程上。以上三種變換稱為線性方程組的初等變換。

這三種變換是我們經(jīng)常使用的方法，而且通過以上解方程組的過程，初等變換把線性方程組變成其同解方程組。

再分析上述解線性方程組的過程，可以看出，在作初等變換化簡方程組時，只是對這些方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行變換，下面我們把例1解方程組的過程通過下面“矩陣”表格的形式再做一遍：

大家看到，我們用這樣一種“矩陣”表格的形式對方程組的系數(shù)與常數(shù)進(jìn)行與解方程組的“加減消元法”對應(yīng)的“矩陣”表格中的“行”的運(yùn)算，最后也得到了方程組的解。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是“記號”簡單，節(jié)省書寫過程，尤其是它適用于計(jì)算機(jī)操作一一即我們可以通過編寫相應(yīng)的解題“程序”，然后把它交給計(jì)算機(jī)來演算。

由此，也能導(dǎo)出行列式的三個主要性質(zhì)：換法變換、倍法變換、消法變換。

設(shè)有n元線性方程組：

(8-16) 我們還可以用矩陣方程的形式把方程組（8-16）表示為

Ax=b (8-17) 由行列式理論的克拉默理論，當(dāng)m=n時且有方程組（8-16）的系數(shù)行列式D不等于0，則方程組（8-16）有唯一解且由克拉默公式給出公式解。 當(dāng)方程組（8-16）的系數(shù)行列式D=0時，我們由其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩可知： 設(shè)增廣矩陣B=（A,b

），當(dāng)r(B)不等于r(A）時方程組無解；當(dāng)r(B)=r(A)時方程組有解：若r(B

)=r(A)=n時，方程組有唯一解；若r(B)=r(A)=r<n，則方程組有無窮多解。我們并能寫出方程組的通解形式。

其實(shí)，如果我們把以“方程組（8-16）對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系的線性組合加方程組（8-16）的一個特解”的通解形式看成是線性方程組的公式解也沒有什么不妥。進(jìn)一步地，我們還可以運(yùn)用矩陣方法給出方程組（8-16）或方程組（8-17）的通解形式。 設(shè)方程組Ax=b,A是m行n列矩陣。系數(shù)矩陣的秩r(A)與其增廣矩陣的秩r(B)相等是該方程組有解的充要條件：方程組有唯一解的充要條件是r(B)=r(A)=n，此時方程組解的公式是X=A-lb。若r(B)=r(A)=r<n，則該方程組有無窮多解。在系數(shù)矩陣A中找出一個r階非零子式，不妨設(shè)是由左上角的元素構(gòu)成的矩陣A1，則IA1I不等于0。對矩陣作分塊： 則方程組Ax=b與（A1，A2)x=b1是同解方程組，即與方程組A1X1＋A2X2＝b1同解，進(jìn)而有求解公式：

X1=A1-1b1-A1-1A2X2 (8-18)其中，凡是自由未知量（向量）。 在向量空間中，我們也可以利用向量對線性方程組的基本問題給出說明，而且利用內(nèi)積空間理論還可以給出無解方程組的最小二乘解。為此，我們首先將方程組（8-16）改寫成向量組形式：

(8-19) 由向量空間的理論知，若向量組α1，α2，...，αn線性無關(guān)且向量b可由其線性表示，則方程組有唯一解； 若其線性相關(guān)且b可由其線性表示，則方程組有元窮多解；若b不能由其線性表示，則方程組無解。 當(dāng)線性方程組有無窮多解時，不妨設(shè)α1，α2，...，αr是其一極大元關(guān)組，則此時解的公式可以寫成：

(8-20)其中，是自由未知量。 我們進(jìn)一步可將上述公式寫成：

(8-21)其中，

在式（8-21）中作類似于式（8-18）的工作，我們也會得到一個類似于式（8-18）

的公式解。

解線性方程組的“初等變換”方法略加修正就是行列式的主要性質(zhì)（我們可以說行列式的性質(zhì)實(shí)際是由這3種初等變換展開的）；而當(dāng)把一個線性方程組“略去”未知數(shù)與運(yùn)算符號后就成為一個矩陣（增廣矩陣），解方程組的初等變換方法就立即又轉(zhuǎn)化為矩陣化簡的有力工具；對于一個向量組來說，求向量組的秩就是把一個向量組化為一個矩陣后作初等行變換；

進(jìn)一步地，在求出一個向量組的極大無關(guān)組后，把其余向量用其極大