人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第8章微專(zhuān)題3二面角的常見(jiàn)求法課件

第八章立體幾何初步微專(zhuān)題3二面角的常見(jiàn)求法求二面角是常見(jiàn)題型，根據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類(lèi)：有棱二面角、無(wú)棱二面角，對(duì)于前者的二面角通常采用找點(diǎn)，連線或平移等手段來(lái)找出二面角的平面角；而對(duì)于無(wú)棱二面角，一般通過(guò)構(gòu)造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其“無(wú)棱”而“現(xiàn)棱”，進(jìn)一步找二面角的平面角．類(lèi)型1定義法求二面角01方法：如圖所示，以二面角的棱a上的任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為此二面角的平面角．

類(lèi)型2三垂線法求二面角02方法：在平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面β作垂線AB，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角．【例2】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)證明：平面SBC⊥平面SAB；[解]

∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC.又AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC，∴SA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB?平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．[解]

取SB的中點(diǎn)D，連接AD，則AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD?平面SAB，∴AD⊥平面SBC.又SC?平面SBC，∴SC⊥AD.作AE⊥SC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，∵AE∩AD＝A，AE，AD?平面ADE.∴SC⊥平面ADE.

類(lèi)型3垂面法求二面角03方法：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角．【例3】如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大?。甗解]

∵SB＝BC且E是SC的中點(diǎn)，∴BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線，∴SC⊥BE

．又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD．又SA⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA?平面SAC，∴BD⊥平面SAC．

類(lèi)型4射影面積法04

證明：如圖，平面β內(nèi)的△ABC在平面α的射影為△A′BC，作AD⊥BC于D，連接A′D．∵AA′⊥α于A′，D∈α，∴AD在α內(nèi)的射影為A′D．∵AA′⊥α，又BC?α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，AD∩A′A＝A，AD，A′A?平面AA′D，∴BC⊥平面AA′D，又A′D?平面AA′D，∴A′D⊥BC．

【例4】在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PCD所成二面角的大?。甗解]

如圖，∵PA⊥平面ABC