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第八章立體幾何初步微專題3二面角的常見求法求二面角是常見題型,根據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類:有棱二面角、無棱二面角,對于前者的二面角通常采用找點,連線或平移等手段來找出二面角的平面角;而對于無棱二面角,一般通過構(gòu)造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其“無棱”而“現(xiàn)棱”,進(jìn)一步找二面角的平面角.類型1定義法求二面角01方法:如圖所示,以二面角的棱a上的任意一點O為端點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA,OB,則∠AOB為此二面角的平面角.
類型2三垂線法求二面角02方法:在平面α內(nèi)選一點A向另一個平面β作垂線AB,垂足為B,再過點B向棱a作垂線BO,垂足為O,連接AO,則∠AOB就是二面角的平面角.【例2】如圖,在三棱錐S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°,SA=AB,SB=BC.(1)證明:平面SBC⊥平面SAB;[解]
∵∠SAB=∠SAC=90°,∴SA⊥AB,SA⊥AC.又AB∩AC=A,AB,AC?平面ABC,∴SA⊥平面ABC.又BC?平面ABC,∴SA⊥BC.又AB⊥BC,SA∩AB=A,SA,AB?平面SAB,∴BC⊥平面SAB.又BC?平面SBC,∴平面SBC⊥平面SAB.(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值.[解]
取SB的中點D,連接AD,則AD⊥SB,由(1)知平面SBC⊥平面SAB,平面SBC∩平面SAB=SB,AD?平面SAB,∴AD⊥平面SBC.又SC?平面SBC,∴SC⊥AD.作AE⊥SC,垂足為點E,連接DE,∵AE∩AD=A,AE,AD?平面ADE.∴SC⊥平面ADE.
類型3垂面法求二面角03方法:過二面角內(nèi)一點A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,平面ABC交棱a于點O,則∠BOC就是二面角的平面角.【例3】如圖,在三棱錐S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分別交AC,SC于點D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大?。甗解]
∵SB=BC且E是SC的中點,∴BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線,∴SC⊥BE
.又SC⊥DE,BE∩DE=E,BE,DE?平面BDE,∴SC⊥平面BDE,∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC,BD?平面ABC,∴SA⊥BD,而SC∩SA=S,SC,SA?平面SAC,∴BD⊥平面SAC.
類型4射影面積法04
證明:如圖,平面β內(nèi)的△ABC在平面α的射影為△A′BC,作AD⊥BC于D,連接A′D.∵AA′⊥α于A′,D∈α,∴AD在α內(nèi)的射影為A′D.∵AA′⊥α,又BC?α,∴AA′⊥BC,又AD⊥BC,AD∩A′A=A,AD,A′A?平面AA′D,∴BC⊥平面AA′D,又A′D?平面AA′D,∴A′D⊥BC.
【例4】在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求平面PBA與平面PCD所成二面角的大?。甗解]
如圖,∵PA⊥平面ABC
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