高考數(shù)學 特色題型匯編：計數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計解答題-超幾何分布（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）

計數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計解答題——超幾何分布

1.“雙減”政策實施后，為了解某地中小學生周末體育鍛煉的時間，某研究人員隨機調(diào)

查了600名學生，得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：

周末體育鍛煉時間

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

r(min)

頻率0.10.20.30.150.150.1

(1)估計這600名學生周末體育鍛煉時間的平均數(shù)亍；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點值作代表)

(2)在這600人中，用分層抽樣的方法，從周末體育鍛煉時間在[40,60)內(nèi)的學生中抽取

15人，再從這15人中隨機抽取3人，記這3人中周末體育鍛煉時間在[50,60)內(nèi)的人數(shù)

為X,求X的分布列以及數(shù)學期望E(X).

2.書籍是精神世界的人口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀已成為中學生的一種生活習慣，

每年4月23日為世界讀書日.某研究機構(gòu)為了解某地中學生的閱讀情況，通過隨機抽

樣調(diào)查了〃名中學生，對這些人每周的平均閱讀時間(單位：小時)進行統(tǒng)計，并將樣

本數(shù)據(jù)分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),

[16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知這〃名中學生中每周平均間讀

時間不低于16小時的人數(shù)是2人.

⑴求〃和a的值；

(2)為進一步了解這〃名中生數(shù)字媒體讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況,從周平均

時間在[8,10),[10,12),[12,14)三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了6

人,現(xiàn)從這6人中隨機抽取3人，記周平均閱讀時間在[10,12)內(nèi)的中學生人數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學期望.

3.北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京市

和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同

為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧

組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結(jié)束

后進行了一次考核.為了解本次培訓活動的效果,從中隨機抽取80名志愿者的考核成績,

根據(jù)這80名志愿者的考核成績，得到的統(tǒng)計圖表如下所示.

女志愿者考核成績頻率分布表

分組頻數(shù)頻率

[75,80)20.050

[80,85)130.325

[85,90)180.450

[90,95)am

[95,100]b0.075

男志愿者考核成績頻率分布直方圖

0.080

0.060

25

15

10

若參加這次考核的志愿者考核成績在［90,100］內(nèi)，則考核等級為優(yōu)秀.

（1）分別求這次培訓考核等級為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù);

（2）若從樣本中考核等級為優(yōu)秀的志愿者中隨機抽取3人進行學習心得分享，記抽到

女志愿者的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

4.冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四

年舉辦一屆.第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行，為了弘揚奧林匹克

精神，增強學生的冬奧會知識，某市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.

為了了解學生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與情況，在全市中小學學校中隨機抽取

了10所學校，10所學校的參與人數(shù)如下：

(1)現(xiàn)從這10所學校中隨機選取2所學校進行調(diào)查，求選出的2所學校參與旱地冰壺

人數(shù)在30人以下的概率.

(2)某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進

行技術(shù)指導.規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導前，

該校中同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導后的考核中，甲同學總考

核成績?yōu)椤皟?yōu)”.能否認為甲同學在指導后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化?請說明理

由.

5.某公司采購部需要采購一箱電子元件，供貨商對該電子元件整箱出售，每箱10個.

在采購時，隨機選擇一箱并從中隨機抽取3個逐個進行檢驗.若其中沒有次品，則直接

購買該箱電子元件；否則，不購買該箱電子元件.

(1)若某箱電子元件中恰有一個次品，求該箱電子元件能被直接購買的概率；

(2)若某箱電子元件中恰有兩個次品，記對隨機抽取的3個電子元件進行檢測的次數(shù)為X,

求X的分布列及期望.

6.2021年11月25日，南非報告發(fā)現(xiàn)新冠病毒突變毒株8.1.1.529,26日，世界衛(wèi)生組

織將其命名為“奧密克戎'’.傳染病專家威蘭德根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)計算稱，相比原始新冠毒株,

“奧密克戎”的傳染性高出5倍，而“德爾塔”僅高出70%.在最近的中非合作論壇上，中

國正式宣布將再次向非洲援助冠狀病毒疫苗10億針.同時:衛(wèi)生部擬從5名防疫專家

中抽選人員分批次參與援助南非活動.援助活動共分3批次進行，每次援助需要同時派

送2名專家，且每次派送專家均從這5人中隨機抽選.已知這5名防疫專家中，2人有

援非經(jīng)驗，3人沒有援非經(jīng)驗.

⑴求5名防疫專家中的“甲”，在這3批次援非活動中恰有兩次被抽選到的概率；

(2)求第一次抽取到?jīng)]有援非經(jīng)驗專家的人數(shù)X的分布列與期望.

7.某公司全年圓滿完成預定的生產(chǎn)任務，為答謝各位員工一年來的銳意進取和辛勤努

力，公司決定在聯(lián)歡晚會后，擬通過摸球兌獎的方式對500位員工進行獎勵，規(guī)定：每

位員工從一個裝有4種面值的獎券的箱子中，一次隨機摸出2張獎券，獎券上所標的面

值之和就是該員工所獲得的獎勵額.

(1)若箱子中所裝的4種面值的獎券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較

員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率的大??；

(2)公司對獎勵總額的預算是6萬元，預定箱子中所裝的4種面值的獎券有兩種方案：第

一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80

元.為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相

對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由.

8.2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經(jīng)濟遺產(chǎn)報告(2022)》

顯示，北京冬奧會已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會贊助成為一項跨度時間較長的營銷方

式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺對

45家贊助企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有20家，余

3

下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占統(tǒng)計后得到如下2x2列聯(lián)表:

銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計

線上銷售時間不少于8小時1720

線上銷售時間不足8小時

合計45

(1)請完成上面的2x2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，能否認為贊助企業(yè)每天的

銷售額與每天線上銷售時間有關(guān);

(2)①按銷售額進行分層抽樣，在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè)，求銷售額不少于30萬

元和銷售額不足3()萬元的企業(yè)數(shù);

②在①條件下，抽取銷售額不足30萬元的企業(yè)時，設(shè)抽到每天線上銷售時間不少于8

小時的企業(yè)數(shù)是X,求X的分布列及期望值.

附:

a0.10.050.010.0050.001

Xn2.7063.8416.6357.87910.828

n{^ad-bc\

參考公式：x2=，其中“=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

9.一次性醫(yī)用口罩是適用于覆蓋使用者的口、鼻及下頜，用于普通醫(yī)療環(huán)境中佩戴、

阻隔口腔和鼻腔呼出或噴出污染物的一次性口罩，按照我國醫(yī)藥行業(yè)標準，口罩對細菌

的過濾效率達到95%及以上為合格，98%及以上為優(yōu)等品，某部門為了檢測一批口置對

細菌的過濾效率.隨機抽檢了200個口罩，將它們的過濾效率(百分比)按照［95,96),

［96,97),［97,98),［98,99),［99,100］分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中m的值并估計這一批口罩中優(yōu)等品的概率；

(2)為了進一步檢測樣本中優(yōu)等品的質(zhì)量，用分層抽樣的方法從［98,99)和［99,100］兩

組中抽取7個口罩，再從這7個口罩中隨機抽取3個口罩做進一步檢測，記取自［98,

99)的口罩個數(shù)為X,求X的分布列與期望.

10.為了解某車間生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢員從該車間一天生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，隨機不

放回地抽取了20件產(chǎn)品作為樣本，并一一進行檢測.假設(shè)這100件產(chǎn)品中有40件次品，

60件正品，用X表示樣本中次品的件數(shù).

(1)求X的分布列(用式子表示)和均值；

(2)用樣本的次品率估計總體的次品率，求誤差不超過0.1的概率.

參考數(shù)據(jù)：設(shè)P(X=%)=0*=O,1,2,,20,則

p5=0.06530,/?6=0.12422,/?7=0.17972,4=0.20078,

/?9=0.17483,“I。=0.11924,p”=0.06376,/?12=0.02667.

11.北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京

市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京，張家口

同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會，南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬

奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結(jié)

束后進行了一次考核.為了解本次培訓活動的效果，從中隨機抽取80名志愿者的考核

得到的統(tǒng)計圖表如下所示.

女志愿者考核成績頻率分布表

分組頻數(shù)頻率

[75,80)20.050

[80,85)130.325

[85,90)180.450

[90,95)am

[95,100]b0.075

若參加這次考核的志愿者考核成績在［90,100］內(nèi)，則考核等級為優(yōu)秀

(1)分別求這次培訓考核等級為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù);

(2)若從樣本中考核等級為優(yōu)秀的志愿者中隨機抽取3人進行學習心得分享，記抽到女志

愿者的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

12.設(shè)“22,〃eN*,甲、乙、丙三個口袋中分別裝有〃-1、〃、”+1個小球，現(xiàn)從

甲、乙、丙三個口袋中分別取球，一共取出〃個球.記從甲口袋中取出的小球個數(shù)為X.

(1)當”=5時，求X的分布列；

(2)證明：Cg“+CC“++c：c“=c;"；

(3)根據(jù)第(2)問中的恒等式，證明：E(X)=、」.

13.十三屆全國人大四次會議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個

五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要的決議，決定批準這個規(guī)劃綱要.綱要指出：“加強原

創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實現(xiàn)離

子注入機全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流、大束流、高能、特種應用及第三代半導體等

離子注入機，工藝段覆蓋至28nm,為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補上重要一環(huán)，為全球芯片

制造企業(yè)提供離子注入機一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做

出了重大貢獻.該企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進行試生產(chǎn)，該廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格

的芯片，第一批占60%,次品率為6%；第二批占40%,次品率為5%.為確保質(zhì)量，

現(xiàn)在將兩批芯片混合，工作人員從中抽樣檢查.

(1)從混合的芯片中任取1個，求這個芯片是合格品的概率；

(2)若在兩批產(chǎn)品中采取分層抽樣方法抽取一個樣本容量為15的樣本，再從樣本中抽取

3片芯片，求這3片芯片含第二批片數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

14.已知甲、乙、丙三個研究項目的成員人數(shù)分別為20,15,10.現(xiàn)采用分層抽樣的

方法從中抽取9人，進行睡眠時間的調(diào)查.

（1）應從甲、乙、丙三個研究項目的成員中分別抽取多少人？

（2）若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，現(xiàn)從這9人中隨機抽取3人做進一

步的訪談調(diào)研，若隨機變量X表示抽取的3人中睡眠充足的成員人數(shù)，求X的分布列與

數(shù)學期望.

15.2021年9月以來，多地限電的話題備受關(guān)注，廣東省能源局和廣東電網(wǎng)有限責任

公司聯(lián)合發(fā)布《致全省電力用戶有序用電、節(jié)約用電倡議書》，目的在于引導大家如何

有序節(jié)約用電.某市電力公司為了讓居民節(jié)約用電，采用“階梯電價''的方法計算電價，每

戶居民每月用電量不超過標準用電量x（千瓦時）時，按平價計費，每月用電量超過標

準電量x（千瓦時）時，超過部分按議價計費.隨機抽取了100戶居民月均用電量情況,

已知每戶居民月均用電量均不超過450度，將數(shù)據(jù)按照[0,50）,[50,100）,…[400,450]

分成9組，制成了頻率分布直方圖（如圖所示）.

（千瓦時）

⑴求直方圖中的值；

（2）如果該市電力公司希望使85%的居民每月均能享受平價電費，請估計每月的用電量

標準x（千瓦時）的值;

(3)在用電量不小于350(千瓦時)的居民樣本中隨機抽取4戶，若其中不小于400(千

瓦時)的有X戶居民，求X的分布列.

16.某校從高三年級中選拔一個班級代表學校參加“學習強國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔,

甲、乙兩個班級進入最后決賽，規(guī)定回答1道相關(guān)問題做最后的評判選擇由哪個班級代

表學校參加大賽.每個班級4名選手，現(xiàn)從每個班級4名選手中隨機抽取2人回答這個

問題.已知這4人中，甲班級有3人可以正確回答這道題目，而乙班級4人中能正確回

答這道題目的概率均為?，甲、乙兩班級每個人對問題的回答都是相互獨立、互不影響

的.

(1)求甲、乙兩個班級抽取的4人都能正確回答的概率.

(2)設(shè)甲、乙兩個班級被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為X,Y,求隨機變

量X,y的期望E(x),E(y)和方差￡>(x),D(Y),并由此分析由哪個班級代表學校

參加大賽更好.

17.2021年某省開始的“3+1+2”模式新高考方案中，對化學、生物、地理和政治等四門選

考科目，制定了計算轉(zhuǎn)換分T(即記入高考總分的分數(shù))的“等級轉(zhuǎn)換賦分規(guī)則”(詳見附1

和附2),具體的轉(zhuǎn)換步驟為：①原始分y等級轉(zhuǎn)換；②原始分等級內(nèi)等比例轉(zhuǎn)換賦分.某

校的一次年級模擬考試中，政治、化學兩選考科目的原始分分布如下表：

等級ABCDE

比例約15%約35%約35%約13%約2%

政治學科各等級對應的原始分區(qū)間[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]

化學學科各等級對應的原始分區(qū)間[90,100][80,89][69,79][66,68][63,65]

現(xiàn)從政治、化學兩學科中分別隨機抽取了20個原始分成績數(shù)據(jù)如下:

政治化學

個位數(shù)十位數(shù)個位數(shù)

987665406479

986542107012345799

862813469

49358

（1）該校的甲同學選考政治學科，其原始分為86分，乙同學選考化學學科，其原始分

為93分.基于高考實測的轉(zhuǎn)換賦分模擬，試分別計算甲乙同學的轉(zhuǎn)換分，并從公平性

的角度談談你對新高考這種”等級轉(zhuǎn)換賦分法”的看法.

（2）若從該?；瘜W學科等級為A、B的學生中，隨機抽取3人，設(shè)這3人轉(zhuǎn)換分不低于

90分的有4人，求J的分布列和數(shù)學期望.

附I：等級轉(zhuǎn)換的等級人數(shù)占比與各等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間.

等級ABCDE

原始分從高到低排序的等級人數(shù)占

約15%約35%約35%約13%約2%

比

轉(zhuǎn)換分了的賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

Y-YT-T

附2:計算轉(zhuǎn)換分T的等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：￡~/=黃=（其中：匕X，分別表示原始

分y對應等級的原始分區(qū)間下限和上限；幾（分別表示原始分對應等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)

間下限和上限.T的計算結(jié)果按四舍五入取整）

18.自“新冠肺炎”爆發(fā)以來，中國科研團隊一直在積極地研發(fā)“新冠疫苗”，在科研人員

不懈努力下，我國公民率先在2020年年末開始可以使用安全的新冠疫苗，使我國的“防

疫”工作獲得更大的主動權(quán)，研發(fā)疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為

實驗對象，進行了一些實驗.

（1）實驗一：選取10只健康白兔，編號1至10號，注射一次新冠疫苗后，再讓它們

暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中，實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除2號、3號和7號白兔仍然感染了新

冠病毒，其他白兔未被感染，現(xiàn)從這10只白兔中隨機抽取4只進行研究，將仍被感染

的白兔只數(shù)記作X,求X的分布列和數(shù)學期望.

（2）科研人員在另一個實驗中發(fā)現(xiàn)，疫苗可多次連續(xù)注射，白兔多次注射疫苗后，每

次注射的疫苗對白兔是否有效互相不影響，相互獨立，試問，若將實驗一中未被感染新

冠病毒的白兔的頻率當做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗能否保證有效率達

到96%,如若可以請說明理由，若不可以，請問每支疫苗的有效率至少要達到多少才能

滿足以上要求.

19.某中學選取20名優(yōu)秀學生參加數(shù)學知識競賽，將他們的成績（單位：分）分成范

圍為［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］,共6組，得到頻率分布

直方圖如圖所示.

（1）若將成績大于或等于80分視為高分，試求參加競賽學生成績的高分率；

（2）若從參加競賽的學生中隨機抽取2人，抽到的學生成績在范圍［40,70）記0分，在

范圍［7（）,1（用］記1分，用表X示被抽取得2名學生的總記分，求X的分布列和數(shù)學期望.

20.某中學為了解全校學生的上網(wǎng)情況，在全校隨機抽取了40名學生（其中男.女生各

占一半）進行問卷調(diào)查，并進行了統(tǒng)計，按男、女分為兩組，再將每組學生的月上網(wǎng)次

數(shù)分為5組：［0,5）,［5,10）,［10,15）,［15,20）,［20,25］,得到如圖所示的頻率分布直

方圖.

女生組男生組

(I)寫出女生組頻率分布直方圖中。的值；

(II)在抽取的40名學生中從月上網(wǎng)次數(shù)不少于20的學生中隨機抽取2人，并用X表

示隨機抽取的2人中男生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

參考答案:

1.(1)58.5；

9

⑵分布列答案見解析，數(shù)學期望：

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義，7等于頻率乘以每一組數(shù)據(jù)的中點值之和；

⑵根據(jù)題意，X的可能取值是0,1,2,3,再根據(jù)古典概型計算方法分別計算概率即可.

（1）

估計這600名學生周末體育鍛煉時間的平均數(shù)

T=35x0.1+45x0.2+55x0.3-1-65x0.15+75x0.15+85x0.1=58.5.

（2）

依題意，周末體育鍛煉時間在［40,50）內(nèi)的學生抽6人，在［50,60）內(nèi)的學生抽9人，

貝|JP（X=O）=曇=4，P"=l）=警=K，「5二與二等二及，

P（X=3）=g■福，

Gs65

故X的分布列為:

X0123

42721612

P

919?45565

八4127c216_129

貝E(X)=0x—+lx——+2x---+3x——=-.

'J9191455655

2.(1)100,0.10

(2)分布列見解析，期望為1

【分析】（1）根據(jù)總數(shù)等于頻數(shù)除頻率，即可求得總數(shù)〃，根據(jù)頻率和為1,可求得。值.

（2）根據(jù)［8,10）,［10,12）,［12,14）三組內(nèi)的中學生人數(shù)比為3:2:1,可求得6人中周平均閱讀

時間在［10,12)內(nèi)的中學生人數(shù)為2人，可得X的可能取值，分別求得各個取值對應的概率,

列出分布列，代入公式，即可得期望.

(1)

2

由題意得〃三；=100

2x0.01

a=11-2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+0.05+0.04+0.01)K2=0.10.

(2)

依題意,周平均閱讀時間在［810),［10,12),［12,14)三組內(nèi)的中學生人數(shù)比為3:2:1,

則6人中周平均閱讀時間在［10,12)內(nèi)的中學生人數(shù)為2人

X的所有可能取值為0,1,2

322

P(X=O)=NC=1L,尸(X=l)=c^'Ci=3±,P(X=2)=c^'C=1-

c：5C：5C：5

所以X的分布列為

X012

3]_

P

555

131

數(shù)學期望為EX=0xg+lxg+2xg=l

3.(1)考核等級為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為5,考核等級為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為7；(2)分

7

布列見解析，期望為7.

【分析】(1)根據(jù)頻率分布表求出女志愿者的人數(shù)，由概率和等于1求出加，進而根據(jù)概率

與志愿者總?cè)藬?shù)可求出優(yōu)秀人數(shù).

(2)根據(jù)超幾何分布求出分布列，再由分布列以及期望計算公式即可求解.

【詳解】解：(1)由女志愿者考核成績的頻率分布表可知被抽取的女志愿者的人數(shù)為

2-0.05=40.

因為0.050+0.325+0.450+m+0.075=1,所以機=0.1(X),

所以這次培訓考核等級為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為40x(0.100+0.075)=7.

因為被抽取的志愿者人數(shù)是80,所以被抽取的男志愿者人數(shù)是80-40=40.

由男志愿者考核成績頻率分布直方圖可知男志愿者這次培訓考核等級為優(yōu)秀的頻率為

(0.010+0.015)x5=0.125,

則這次培訓考核等級為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為40x0.125=5.

(2)由題意可知X的可能取值為0,1,2,3.

且=J1=_LCjC\70_7

尸(X=0)=尸(X=l)=

322022~C^~~220~22

Clc2105C_35_7

P(X=2)=-^-=——,P(X=3)=

品220C^-220-44

X的分布列為

X0123

17217

P

22224444

i72177

故E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=

v7222244444

4.(1)I；(2)答案不唯一，答案見解析.

【分析】(1)參與旱地冰壺人數(shù)在30人以下的學校共6所，計算從6所中選取2所和從10

所中選取2所的事件數(shù)，由隨機事件的概率公式計算概率；

(2)計算甲同學指導前考核"優(yōu)''的概率，推斷甲同學考核時“優(yōu)”發(fā)生可能性的大小，得出

結(jié)論，理由充分即可.

【詳解】(1)記“選出的兩所學校參與旱地冰壺人數(shù)在30人以下”為事件A,

參與旱地冰壺人數(shù)在30人以下的學校共6所，隨機選擇2所學校共C；=15種，

所以*4)=胃=/

jo3

因此選出的2所學校參與旱地冰壺人數(shù)在30人以下的概率為g.

(2)答案不唯一.

答案示例1：可以認為甲同學在指導后總考核為“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.

理由如下：

指導前，甲同學總考核為“優(yōu)”的概率為C；0.12.0.9+C；?0.F=o028….

指導前，甲同學總考核為“優(yōu)''的概率非常小，一旦發(fā)生，就有理由認為指導后總考核達到“優(yōu)”

的概率發(fā)生了變化.

答案示例2：無法確定.理由如下：

指導前，甲同學總考核為“優(yōu)''的概率為C<0.12.0.9+C；.0.r=0.028....

雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，

所以，無法確定總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.

7

5-⑴布；

⑵分布列答案見解析，數(shù)學期望：嚷109.

45

【分析】(1)依題意，利用古典概型的公式計算求解；

(2)利用概率的乘法計算每一個隨機變量取值的概率，再求數(shù)學期望.

(1)

設(shè)某箱電子元件有一個次品能被直接購買為事件A.

則p(A)=q」；

'，品1()

(2)

X可能取值為1,2,3,

則尸(X=l)=2=，；p(x=2)=—x-=—,P(X=3)=*xN=".

''105'7109451710945

故X的分布列是

皿1c8。28109

故E(X)=lx-+2x—+3x—=---

,)5454545

,36

6.(1)—；

125

(2)分布列見解析；期望為1.2.

【分析】(1)由題可得甲在每輪抽取中，被抽取到的概率，然后利用獨立重復實驗概率公式

即得；

(2)由題知X的可能取0,1,2.然后根據(jù)分布列的步驟及期望公式即得.

(1)

2

由題可知5名防疫專家中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為二，

則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為P=C；x(|jx6卜費；

(2)

由題可知X的可能取值有0,1,2.

P(X=。嚏vP(X=】)=善端尸(X=2)筆磊

所以分布列為:

X012

P0.10.60.3

所以X的期望￡X=OxO.l+lxO.6+2xO.3=1.2.

7.(1)員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等

(2)應選擇第二種方案；理由見解析

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布求出員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率即可；

(2)根據(jù)題意可知有兩種方案(20,20,100,100)、(40,40,80,80),分別求出對應的分布列，進

而求出對應的數(shù)學期望和方差，從而得出結(jié)論.

(1)

用X表示員工所獲得的獎勵額.

因為尸(X=80)=P(X=120)=

C：2,~^r-2

所以P(X=80)=尸(X=120),

故員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等.

(2)

第一種方案為(20,20,100,100),

設(shè)員工所獲得的獎勵額為X,,則X,的分布列為

X140120200

22\_

P

636

121

所以X1的數(shù)學期望為E(Xj=40x=+120x；+200xz=120,

636

,0197016400

X1的方差為￡>(Xj=(40_]2O)x—+(120T20)x_+(2(X)_]20)=

第二種方案為(40,40,80,80),

設(shè)員工所獲得的獎勵額為X?,則X?的分布列為

X?80120160

121

P

636

i21

所以X?的數(shù)學期望為E(X2)=80XW+120X；+160X2=120,

636

X,的方差為O(X,)=(80-120)2*1+(120-120)2x2+(160-120『xL=^22,

6363

又因為500E(Xj=500E(X2)=60000(元)，

所以兩種方案獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，

故應選擇第二種方案.

8.(1)2x2列聯(lián)表見解析，能認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān)；

(2)①應從銷售額不少于30萬元的企業(yè)抽取3家；從銷售額不足30萬元的企業(yè)抽取2家；

②解答見解析.

【分析】(1)由題意分析數(shù)據(jù)，完成2x2列聯(lián)表，計算對著參數(shù)判斷下結(jié)論；

(2)①利用分層抽樣即可求解；②判斷出X的可能取值為0,1,2.,分別求概率，寫出分

布列，求出數(shù)學期望.

(I)

由題意分析可得：簽約企業(yè)共45家，線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有20家，那么線上

33

銷售時間少于8小時的企業(yè)有25家，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占g,共有25x'=18.

完成2x2列聯(lián)表如下：

銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計

線上銷售時間不少于8小時17320

線上銷售時間不足8小時101525

合計271845

〃叱反)2_45x(17x15-3x10)2

Z~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~27x18x20x25一.,

a=0.01對應的參數(shù)為6.635.而9.375>6.635,所以可判斷贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線

上銷售時間有關(guān)；

(2)

①由題意可知銷售額不少于30萬元有27家，銷售額不足30萬元有18家.

按銷售額進行分層抽樣，在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè)，抽樣比為三=!，

459

所以應從銷售額不少于30萬元的企業(yè)抽取27*5=3(家)；

從銷售額不足30萬元的企業(yè)抽取18xt=2(家)；

②由題意進行數(shù)據(jù)分析可知：每天的銷售額不足30萬元，每天線上銷售時間不少于8小時

的企業(yè)有3家，線上銷售時間少于8小時的企業(yè)有15家.

由①可知，從銷售額不足30萬元的企業(yè)抽取2家.所以X的可能取值為0,1,2.

則尸40)=斑=巴著；唳=|)=警=舒喑；

(7C2o18x17515——

182x1

尸(、=2)磊=島74

2x1

所以X的分布列如下：

X012

35151

P

515151

15.1]_

所以醺X)=0x+lx—+2x—

7T51513

所以X的期望值為;.

9.(1)0.25,0.35

(2)分布列見解析，y

【分析】(1)根據(jù)頻率之和等于1可得，力然后直接計算優(yōu)等品的概率即可;

(2)先由分層抽樣取得各層樣板個數(shù)，然后由超幾何分布計算可得.

(1)

由圖可知w=1-(0.15+0.20+0.30+0.10)=0.25

估計這一批口罩中優(yōu)等品的概率為0.25+0.1=0.35

(2)

因為加=0.25,所以從［98,99)中抽取了宗工7義7=5個，從［99,100］中抽取,。廣7=2

V/.4JIV/?XX?乙JIyJ?1

個.

則X的可能取值為1,2,3,

2

且P(X=1)=*C'C=[1,P(X=2)=皆C'C'=,4P(X=3)=C=2

C；7

故X的分布列為

「kr20-女

(40^8()

10.(DX的分布列為P(X=Q=7^20~，后=0,1,2,,20,X的均值為E(X)=8；

Cl()0

(2)0.79879

【分析】(1)由題意隨機變量X服從超幾何分布，從而即可求解;

(2)樣本中次品率6。=看是一個隨機變量，由題意，P(|4,-0.4|^.l)=P(6X?10),根

據(jù)參考數(shù)據(jù)即可求解.

(1)

解：由于質(zhì)檢員是隨機不放回的抽取20件產(chǎn)品，各次試驗之間的結(jié)果不相互獨立，

所以由題意隨機變量X服從超幾何分布，

所以X的分布列為P(X=k)=筆］,無=0,1,2,,20,X的均值為

Cioo

40

E(X)=np=20x=8；

100

(2)

解：樣本中次品率八。=為是一個隨機變量，

所以

P(|4)-0.4|Ml)=尸(6X?10)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

=0.12422+0.17972+0.20078+0.17483+0.11924=0.79879.

所以誤差不超過().1的概率為0.79879.

11.(1)5,7

7

⑵分布列見解析，-

4

【分析】(1)由圖表數(shù)據(jù)求解

(2)由超幾何分布公式求解

(I)

由女志愿者考核成績頻率分布表可知被抽取的女志愿者的人數(shù)為2+0.05=40.

因為0.050+0.325+0.450+m+0.075=1,所以加=0.100,

所以這次培訓考核等級為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為40x(0.100+0.075)=7.

因為被抽取的志愿者人數(shù)是80,所以被抽取的男志愿者人數(shù)是80-40=40.

由男志愿者考核成績頻率分布直方圖可知男志愿者這次培訓考核等級為優(yōu)秀的頻率為

(0.010+0.015)x5=0.125,

則這次培訓考核等級為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為40x0.125=5.

(2)

由題意可知X的可能取值為0,1,2,3.

3

尸(x=0)=與=里=*，P(X=I)=707

\7/220-226-22

P(X=2)=華*，尸-3)二6357

7C：2一畫一

'C,222044

X的分布列為

X0123

17217

P

2222石44

I72177

故E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=一

'1222244444

12.(1)分布列答案見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)分析可知隨機變量X的可能取值為0、1、2、3、4,計算出隨機變量X在

不同取值下的概率，可得出隨機變量X的分布列；

(2)設(shè)從乙口袋抽取的小球的個數(shù)為隨機變量y,利用超幾何分布可得出隨機變量丫的分

布列，根據(jù)概率之和為1,結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

n—2

(3)利用組合數(shù)公式可得出AC3=(〃-l)C/,計算出ZCLC屋，=c：3,利用期望公式

，〃=0

可證得結(jié)論成立.

(1)

解：當〃=5時，甲、乙、丙三個口袋中小球的個數(shù)分別為4、5、6,

隨機變量X的可能取值為0、1、2、3、4,

P(X=0)=H，P(X=1)=粵喘P(X=2)=野嗡

-513C|5"1

「3r2040ii

P(X=3)=^1=—,p(x=4)=^^=—,

')CM143''。143

所以，隨機變量X的分布列如下表所示:

X01234

24030201

P

9?9?143143

⑵

證明：設(shè)從乙口袋抽取的小球的個數(shù)為隨機變量乙

由超兒何分布可知，隨機變量y的分布列為P（y=%）=一4J（04%4〃/eN）,

由組合數(shù)的性質(zhì)可知，當04人4/7且ZeN時，C=C丁，

根據(jù)分布列的性質(zhì)可知名"2n_a〃2"_I

-^一-^-

所以，c：c；"+c：c；"++c：c,=￡c：c;,=c)

r=0

⑶

證明：由題意可知，隨機變量X的可能取值為：0、1、2、L、n-\

隨機變量X的分布列為P（X=A）=與孕上（0

.(72—1)!——/

當"22時，"T=*!.(“_j)!=("i)!.(“_"])!=("l)-2,

〃一刀一

11di=半(〃-1)C|二空(〃-i)c;c渭T

則E(X)=ZhP(X=Z)=Z

Z-1/?

k=0k=0&=1。3〃w=0

設(shè)一批產(chǎn)品中有3〃-1(n22,〃€用)件產(chǎn)品，其中有〃一2件次品，2〃+1件正品,

從中抽取〃-1件產(chǎn)品，其中次品的件數(shù)記為乙則4的可能取值有0、1、2、L、〃—2,

H-1

n-2

乙2y“+17,所以，工丁=

根據(jù)分布列的性質(zhì)可得y尸=⑼=“1=0Zc%c51

-1m=0

6=0

n—2(〃-1)CLC籃t(〃-1).(3〃-1)!

因此，E(X)=Z

m=0G：(n-l)!-(2n)!(3〃)！3

13.(1)0.944

(2)分布列見解析，!

【分析】(1)設(shè)事件3="任取一個芯片是合格品“，事件A="產(chǎn)品取自第一批“，事件&=

“產(chǎn)品取自第二批"，則。=AL&且A、&互斥，由全概率公式可得答案;

(2)求出X的可取值和概率可得分布列.

(1)

設(shè)事件5=”任取一個芯片是合格品“，事件A=”產(chǎn)品取自第一批”，

事件&="產(chǎn)品取自第二批“，則。=A&且A、&互斥；

由全概率公式可知:P(B)=P(A)尸(網(wǎng)A)+P(4)P(B|4)，

所以尸(8)=0.6*(1—0.06)+0.4(1—0.05)=0.944.

(2)

由條件可知：第一批芯片數(shù)：9,第二批芯片數(shù)：6；

X的可取值為0,1,2,3；

wx=o)="=里』.

()味45565，

n/v__C；C：_216

唳一n|)-可F

尸"2)=華=里衛(wèi)；

'7CW45591

C：204

P(X=3)

C^-455-91

所以X的分布列為:

X0123

12216274

p

654559?91

6

所以E(X)=0x—絲+2X2+3XJ

6545591915

14.(1)分別抽取4人，3人，2人

(2)分布列見解析，￡(X)=|

【分析】(1)甲、乙、丙三個研究項目的成員人數(shù)之比為4:3:2,利用分層抽樣的方法，即

可求得從甲、乙、丙三個研究項目的員工人數(shù)；

(2)由題意，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,求得相應的概率，得出其分布列，利用

期望的公式，即可求解.

(1)

由己知，甲、乙、丙三個研究項目的成員人數(shù)之比為20:15:10=4:3:2,

.??應從甲、乙、丙三個研究項目的成員中分別抽取的人數(shù)為4x,3x,2x,

4x+3x+2x=9,解得x=l,

???應從甲、乙、丙三個研究項目的成員中分別抽取4人，3人，2人；

(2)

隨機變量X的所有可能取值為01,2,3,

41ClC2305

P(X=l)=^-=—

則”x=o)=,=正21C；84

,隨機變量X的分布列為

X0123

15105

P

21142?42

隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=Ox[+lx亮+2x3+3x'=|.

15.(l)/n=0.(X)3()

(2)尤=290