肥西縣2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

肥西縣2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.關(guān)于函數(shù)/（%）=-sin[x-彳]在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先遞減后遞增D.先遞增后遞減

2.如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）

與

2去

年

總O

同

量

(期

億

相

元

3比

)2增

1長

率

*(

南

寧

河

江

》

I?「去」同期相比增長.

A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省

B.與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長

C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個

D.去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元

22_

3.若雙曲線二—2L=i的離心率為百，則雙曲線的焦距為（）

a24

A.2A/6B.2加C.6D.8

4.如圖，平面e與平面￡相交于BC,ABcza,CDu0,點(diǎn)AeBC,苴D笠BC,則下列敘述錯誤的是（）

O

A.直線AD與BC異面

B.過AD只有唯一平面與BC平行

C.過點(diǎn)。只能作唯一平面與垂直

D.過AD一定能作一平面與垂直

5.為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所

示.勞倫茨曲線為直線OL時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線皿時，表示收入完全不平等.記區(qū)域A為不平等

區(qū)域，。表示其面積，S為△OAZ的面積，將Gini=￡稱為基尼系數(shù).

累

計(jì)

收

入

一

，

曰

分

比

累計(jì)人口百分比(%)

對于下列說法：

①Gini越小，則國民分配越公平；

②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為丁=/(*),則對Vxe(O,l),均有3>1；

X

③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=/(xe[O,l]),則Gini=(；

④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=x\x^[0,1]),則Gini=；.

其中正確的是：

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

6.給出下列三個命題：

①“3x0。R,片-2%+140”的否定;

②在ABC中，“3>30°”是“cos5<立”的充要條件；

2

③將函數(shù)>=2cos2x的圖象向左平移弓個單位長度，得到函數(shù)y=2cos[2x+t]的圖象.

其中假命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

7.若函數(shù)/(%)=兀2+2x—mcos(x+l)+〃+3加一7有且僅有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

-3-歷B.-3+國

A.C.-4D.2

22

x>l

,則z=/+y2的最大值等于()

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x-y<0

x-\-2y-6<0

A.2B.2^2C.4D.8

22

9.雙曲線C：土-乙=1(m>0),左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,則雙曲線C的漸近線方程為()

5m

A.2x±5y=0B.2%±島=0C.&±2y=0D.A/5X±y=0

10.設(shè)3={%|2]+1>0},T={x|3x-5<0},則S?T()

B.{x|x<-g}C.{.r|x>-|

A.0D.[x\--<x<-

23

11.某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為()

IT

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

248

A.-B.1C.一D.

333

12.已知集合乂={丫Iy=J,x>0},N={xIy=lg(2x一二一)},則MCN為()

A.(1,4-oo)B.(1,2)C.[2,+oo)D.[1,+oo)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)石、/、W、%為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量x和y的分布列如下表，若記。x,0y分別為x,y的方差,

則。xDY.(填>,<,=)

XX]%x3

西x+xX+%4%+再

Y+%2233

2222

j_j_j_

P

4444

14.AABC中，角ABC的對邊分別為“,4c,且A5c成等差數(shù)列，若b=6,c=l,則AABC的面積為

15.若復(fù)數(shù)Z滿足(1-2i)Z=-g(2+i),其中i為虛數(shù)單位，則Z的共朝復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

22

16.已知耳，工為橢圓。:?+4=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上移動時，耳鳥的內(nèi)心/的軌跡方程為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=%2+2x—〃71n(x+l),其中meR.

(I)若機(jī)>0,求函數(shù)/(九)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)8⑴=/⑴+二者8口^:在他+巧上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的最大值.

eJC十】

f_1g

X—1H------1

2

18.(12分)在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為「。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正

y=2------1

[2

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos"

(1)寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與曲線C相交于AB兩點(diǎn),的頂點(diǎn)P也在曲線C上運(yùn)動，求AR4B面積的最大值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=ln(ax)-a,(a>0).

(1)若函數(shù)/2(>)=-/0)在(0,+s)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)定義：若直線/：y=H+人與曲線G：工(x,y)=0、C2：力(匕、)=0都相切，我們稱直線/為曲線G、G的公

切線，證明：曲線/(x)=ln(ar)—a,(a>0)與g(x)=a],(a〉0)總存在公切線.

20.(12分)如圖所示，在四棱錐尸—ABC。中，底面ABC。為正方形，PA±AB,PA=6,AB=8,PD=10,

N為尸C的中點(diǎn)，產(chǎn)為棱BC上的一點(diǎn).

(1)證明：面乃。_1面43。。；

(2)當(dāng)歹為中點(diǎn)時，求二面角A—即—C余弦值.

21.(12分)已知4(—2,0),5(2,0),動點(diǎn)P滿足直線出與直線P3的斜率之積為-：，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

ITFI

(2)若過點(diǎn)F(l,0)的直線/與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且與直線I垂直的直線與x=4相交于點(diǎn)T,求4/

的最小值及此時直線/的方程.

22.(10分)如圖為某大江的一段支流，岸線人與6近似滿足，i〃4,寬度為7版.圓。為江中的一個半徑為2加1的

小島，小鎮(zhèn)4位于岸線4上，且滿足岸線4,。4,OA=3hn.現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)A經(jīng)小島。至對岸4的水上

通道ABC(圖中粗線部分折線段，3在A右側(cè))，為保護(hù)小島，段設(shè)計(jì)成與圓。相切.設(shè)

NA5C="40<6><3

(1)試將通道ABC的長L表示成。的函數(shù)，并指出定義域；

(2)若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、c

【解析】

先用誘導(dǎo)公式得/(%)=-sin=COSX+g,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.

【詳解】

函數(shù)/(%)=-511%-￡=85》+。的圖象可由丁=85%向左平移!：個單位得到,如圖所示,/(尤)在|,加上先

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

由折線圖可知A、B項(xiàng)均正確，該年第一季度G0P總量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項(xiàng)正確；4632.1+(1+3.3%)。4484<4500.

故D項(xiàng)不正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

3、A

【解析】

依題意可得〃=4,再根據(jù)離心率求出/，即可求出c,從而得解;

【詳解】

22

解：?.?雙曲線.-'=1的離心率為若,

c4

所以e~=lH—7=3,二a?=2,二c=后，雙曲線的焦距為

a"

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對選項(xiàng)中的命題判斷.

【詳解】

A.假設(shè)直線AD與共面，則A,D,B,C共面，則A5,共面，與ABua,CDu,矛盾，故正確.

B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過AD只有唯一平面與平行，故正確.

C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.

D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過AQ不一定能作一平面與垂直，故錯誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

5、A

【解析】

對于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式Gini=￡,可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積a越小，國民分配越公平，所以①正確.

對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得Vxe(O,l),均有/1(x)<X,可得△丑<1,所以②錯誤.對于

X

1

③，因?yàn)椤?f(彳-號及負(fù):爐-9吊=1,所以Gini=?=，=:,所以③錯誤.對于④，因?yàn)?/p>

23o33

2

1

-

〃4

---

-S1;，所以④正確.故選A.

2-

6、C

【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對三個命題逐個分析并判斷其真假，即可選出答案.

【詳解】

對于命題①，因?yàn)槠?2%+1=(%-丁20,所以“九eR,x^-2x0+l<0”是真命題，故其否定是假命題，即①是假命

題;

對于命題②，充分性：ABC中，若6>30°,則30°<B<180°,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,cos180°<cosB<cos30°,即

-1<COSB<—，即可得至【JcosB<—，即充分性成立;必要性:LABC中,0°<8<180°,若cosB<—，結(jié)合余弦函數(shù)

222

的單調(diào)性可知,cos180°<cosB<cos30°,HP300<3<180°,可得到B>30°,即必要性成立.故命題②正確；

對于命題③,將函數(shù)y=2cos2x的圖象向左平移6個單位長度,可得到y(tǒng)=2cos+=2cos(2x+］的圖象，即命

題③是假命題.

故假命題有①③.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題真假的判斷，考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，考查了學(xué)生的邏輯推理能

力,屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，由題意得出/(-1)=0,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)加的值，并對加的值進(jìn)

行檢驗(yàn)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

/(x)=(x+l)--mcos(x+l)+m2+3m-8,

貝！I+=(-1+x+l)--mcos(-1+%+1)+m2+3m-8=x2-mcosx+m2+3m-8,

=(—1-x+lJ-mcos(-l-x+l)+m2+3m-8=x2-mcosx+m2+3m—8,

=所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線％=—1對稱.

若函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)不為x=-1,則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對出現(xiàn)，不合題意.

所以，/(一1)=0,即加+2根—8=0,解得加=~4或2.

①當(dāng)機(jī)=-4時，令=(%+1)2—4cos(%+1)—4=0,得4cos(x+1)=4-(x+l)2,作出函數(shù)y=4cos(x+l)與

函數(shù)y=4—(x+l)2的圖象如下圖所示：

②當(dāng)m=2時，cos(x+l)<l,.?./(X)=(X+1)2-2COS(X+1)+2>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時，等號成立，則函數(shù)

y=/(x)有且只有一個零點(diǎn).

綜上所述，m=2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出/(-1)=0,在求出參數(shù)

后要對參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

8、D

【解析】

畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得z的最大值.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，其中A，,0,C(2,2),由于［0川=，2+［：=§,Qq=2夜,所以10cl>|Q4|,

所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為2應(yīng).

所以z的最大值為(2后丫=8.

故選：D

本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程J/x-Gy=0,再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,列方程即可求出機(jī)，進(jìn)而求

出漸近線的方程.

【詳解】

設(shè)左焦點(diǎn)為(-c,0),一條漸近線的方程為疝-J?y=0,由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,可得?"1=詬=2,

y/m+5

2xl

所以漸近線方程為y=±一片，即為2x土石y=0,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.

10、D

【解析】

集合S,T是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可

【詳解】

S={x|2x+l>0}=|x|x>

T={x13x_5<0}=卜|x<g

則ScT=1——<x<—

故選。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積V=gx\x2x2〉2=j故選C.

【解析】

二=(Z|ZI=J-.Z>0)=｛Z|Z>；J，

二=(r|L=lg(2El-二；)｝=｛二《二-二/>i

=｛二|二;7二<。=｛二|。(二<二，

.?.二-二二二.

故選a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、>

【解析】

根據(jù)方差計(jì)算公式，計(jì)算出ox,oy的表達(dá)式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關(guān)系.

【詳解】

EX=a(項(xiàng)+%2+*3+*4)，故

22222

DX=-[(%1-EX)+(x2-EX)+(x3-EX)+(x4-EX)j=--4(EX)

44；—]

DY=1EX1+廣+專EX]+r+%EX]+「+%

-EX

2222

1x+xx+xx+xx+Xj2

12+23+34+4-4(EX)

42222

要比較ox,"的大小，只需比較》與（七三］+1強(qiáng)產(chǎn)）+（號工）+（區(qū)產(chǎn)］,兩者作差并化簡得

42222

%+%2X+%3%+%4

+2++

i=l2222

2%：+2xf+2%；+2%4-2(x^2+x2x3+x3x4+x4xj

4

4

由于國,%2，%3，％4為互不相等的正實(shí)數(shù)，故①>0，也即

t^>1號:+［/］+］乎：+1號：，也即OX>OF

故答案為：>

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算，考查差比較法比較大小，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

14、昱.

2

【解析】

TT

由A,B,C成等差數(shù)列得出8=60。，利用正弦定理得C進(jìn)而得A=一代入三角形的面積公式即可得出.

【詳解】

VA,B,C成等差數(shù)列，，"。二2"

又A+3+C=180°,.?.33=180°,3=60°.

,,.>_、..、—一cb.-,1i_7C、TA兀

故由正弦定理------------sinC=—c<bC=—,故A=一

sinCsinB262

所以ABC--be=——>

22

故答案為：昱

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15、

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出2得答案.

【詳解】

(l-2i)z=-^(2+i)=-l-^i

—L1,

l-2i(l-2i)(l+2i)2

則N=gi,z的共朝復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為f0,1

故答案為］

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

16、x2+3y2=1(j;w0)

【解析】

22

考查更為一般的問題：設(shè)尸為橢圓c：=-==1(?！?/〉0)上的動點(diǎn)，耳,月為橢圓的兩個焦點(diǎn)，/為APB尸2的

ab

內(nèi)心，求點(diǎn)/的軌跡方程.

解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓/與MB的切點(diǎn)為"，半徑為r,且FiH=y,F2H=z,PFi=x+y,PF2^x+z,c=/"+刈，則

而根據(jù)海倫公式，有小尸尸1尸2的面積為（尤+y+z）r=J◎z（x+y+z）

xa-c

因此有k[Fjk%=

x+y+za+c

再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得/點(diǎn)的軌跡是以M凡為長軸,

離心率e滿足e?-1=--的橢圓，

a+c

/y2

其標(biāo)準(zhǔn)方程為2=1（y"°）?

-----------C

解法二：令P（acosabsin。），則sinOwO.三角形PF訴2的面積:

S=g?2cjbsinq=g（2c+2a）?/,

其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得廠

a+c

另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：

（C-XZ）-（X;+C）=|p/^|-|PT^|=（4Z-CCOS^）-（6Z+CCOS^）,

從而有％/=CCOS。.消去，得到點(diǎn)/的軌跡方程為:

X2

=l(yW0)

/+a-c

-------c,2

a+c

本題中：a=2,c=l,代入上式可得軌跡方程為：9+3丁2=1(丁，0).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)單調(diào)遞減區(qū)間為—1,，*—1,單調(diào)遞增區(qū)間為1,+s；(II)2.

【解析】

(I)求出函數(shù)y=/(x)的定義域以及導(dǎo)數(shù)/'(x),利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)由題意可知爐+2%-mln(x+l)>-...?在(0,+8)上恒成立，分機(jī)<0和機(jī)>0兩種情況討論，在機(jī)40

時，構(gòu)造函數(shù)G(x)=f+2x--—+~,利用導(dǎo)數(shù)證明出G(x)>0在(0,+s)上恒成立；在機(jī)>0時，經(jīng)過分析得

x+1e

出0〈加<2,然后構(gòu)造函數(shù)P(x)=f+2x—-----,利用導(dǎo)數(shù)證明出P(x)>0在(0,+8)上恒成

立，由此得出/(x)>P(x)>0,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)加的最大值.

【詳解】

(I)函數(shù)/(%)=犬+2x-7〃ln(x+l)的定義域?yàn)?一1,+8).

2+m

當(dāng)機(jī)>0時，f'(x\=2x+2-—=^^~-

令/'(%)=0,解得％=-畢一1<一1(舍去)，x=^p-l>-

21.

,

當(dāng)xe-1,^-1時，/(x)<0,所以，函數(shù)y=/(x)在-1,-上單調(diào)遞減；

、2J、2J

當(dāng)XCL+co時，/(x)>0,所以，函數(shù)y=/(x)在j巴―1,+s］上單調(diào)遞增.

\7

c1,單調(diào)遞增區(qū)間為］《變-1,+QO;

因此，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-1,

-^―-4在(0,+8)上恒成立.

(II)由題意，可知f+2x—〃zln(x+l)>

Ji1J-匕

(i)若znKO,ln(x+l)>0,/.-mln(x+l)>0,

/.x2+2x-mln(x+l)-

構(gòu)造函數(shù)G(x)=d+2x—--+-^,x>Q,則G，(X)=2X+2+711

1\23

x+1e(x+1)e

%>090<—<1,二.一1<-----<0.

exex

又2X+2+（「（2>2X+2>2,.?.G'（x）〉O在（0,+。）上恒成立.

所以，函數(shù)y=G（x）在（0,+。）上單調(diào)遞增，.?.G（x）>G（O）=O.

當(dāng)7篦<0時，x~+2.x—rnIn(x+1)--------1—->0在(€),+8)上恒成立.

x+1e

（ii）若機(jī)>0,構(gòu)造函數(shù)=—九-1,工>0.

"'（%）="—1>0,所以，函數(shù)y=H（x）在（0,+“）上單調(diào)遞增.

.?.H（x）>H⑼=0恒成立，即靖>x+l>0，.?.白〉士，即二7―±〉0.

x十Lex十1e

由題意，知/（力>」一一士在（0,+a）上恒成立.

「?/（%）=+2%—陽歷（X+1）>。在（0,+8）上恒成立.

由（I）可知〃比—?。O小值=7?:華-1],

I乙7

又Q/（O）=O,當(dāng)乂近一i〉o,即機(jī)>2時，函數(shù)y=/（x）在0,，?一1上單調(diào)遞減,

2k27

-1|</（0）=0,不合題意，,?.也近—IV0,即。（加〈2.

）2

此時g(x)----~~[=%2+2x一機(jī)山(冗+1)+4一-^―>x2+2x-21n(x+l)+--

x+1')exx+1

構(gòu)造函數(shù)P(%)—x2+2%—21n(x+1)~i--------fx>0.

ex+1

2___1_]

P'(x)=2x+2-+2

x+1(x+l)

11

-----〉---------9X+1>1,

exx+1

2___1_]31

/.尸'(1)=2x+2-x+ie'+(x+i)2>2x+2—----1------7

x+l(x+1)

2(x+iy-3(x+l)+l2(x+l)"-3(x+l)+lx(2x+l)0

(x+1)"(x+1)2(x+1)2

???尸'（尤）＞0恒成立，所以，函數(shù)y=P（x）在（0,+s）上單調(diào)遞增，.?.P（x）＞P（O）=O恒成立.

綜上，實(shí)數(shù)耀的最大值為2.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，本題的難點(diǎn)在于不斷構(gòu)

造新函數(shù)來求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.

18、(1)Z：x+y-3=0,C：x2+y2-4x=0；(2)尹

-2

【解析】

（1）由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線/的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線C的

直角坐標(biāo)方程；

（2）由14理=25產(chǎn)-/即可得ARAB的底|E,由點(diǎn)尸到直線/的距離的最大值為r+2即可得AR43高的

最大值，即可得解.

【詳解】

f_也

X=1H-----1

2

（1）由「消去參數(shù)得直線/的普通方程為1+y-3=0,

0加,

y=2------1

[-2

由O=4cos。得/??=4pcos3,曲線C的直角坐標(biāo)方程為》2+丁2-4尤=0；

（2）曲線C即（尤―2『+y2=4,

圓心（2,0）到直線/的距離[=￡卷=5＜2=「,

所以|=2〃—/=V14,

又點(diǎn)P到直線/的距離的最大值為r+d=2+正，

2

所以面積的最大值為J(r+d)=3牛蟲.

【點(diǎn)睛】

本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

19、(1)a=l；(2)見解析.

【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為“(x)..O在(0,+8)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出9(x)=ln(奴)+▲-a的最小值即可求解;

x

(2)分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為占,馬，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足

X,1

ae2=—

<芯有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.

X2X1

]n(a%i)_Q_]=ae-ax2e

【詳解】

(1)h(x)=ex[ln(ax)-?],x>0,

”(x)=ex\\n(ax)+--a]

x

函數(shù)h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增等價于丸'(%)..0在(0,+8)上恒成立.

令0(x)=ln(av)+,-Q,得0(元)='--\=，

xxxx

所以奴工)在(0,1)單調(diào)遞減，在(L”)單調(diào)遞增，貝!!"(%).=。(1).

因?yàn)?>0,則“(%)..0在(0,+8)上恒成立等價于夕⑴..0在(0,+8)上恒成立；

又。(』)=0,

a

^(―)=夕(1)=0,

a

所以工=1,即。=1.

a

(2)設(shè)/(%)=1!1(依)一々,(4>0)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為％=苞，則/&)='

石

切線方程為V-WxJ+a=-(%-%1).....①

西

設(shè)g(x)=ae*,(a〉0)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=4，則8’(而)=。淖，

X2

切線方程為丁一a*=ae(x-x2)...②

1

aeX2=

若存在西,尤2,使①②成為同一條直線，則曲線/(X)與g(x)存在公切線，由①②得再消

X2

ln(aXj)-a-l=ae當(dāng)-ax2e

2

去X］得_%2_a_1=as'—cix,e''

1_e^(x-l)-l_2*+l

—=--------2----------=cX2--------------

ax2+1x2+1

2ex+l....x2ex+ex+1C

令t(x)=ex貝n!11(x)=---—>0

x+1(x+1)

所以，函數(shù)y=?x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增,

"(1)4(2)<0BX0G(1,2),使得t(x0)=0

XG(x0,+co)時總有/(x)>t(x0)=0

又—+oo時，+0O

黑"DT在(0,+s)上總有解

ax+1

綜上，函數(shù)/(%)=111(公)-4,(0>0)與8(%)=四二(?！?)總存在公切線.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.

20、(1)證明見解析；(2)—士叵.

61

【解析】

(1)要證明面R4F_L面ABC。，只需證明？4_1_面ABC。即可；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AP分別為x,y,z軸建系，分別計(jì)算出面4\不法向量；］,面尸5c的法

UU

向量巧，再利用公式計(jì)算即可.

【詳解】

證明：(1)因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，所以A￡>=AB=8

又因?yàn)镼A=6,P￡)=10,滿足=/>￡)2,

所以RILAD

又R4_LAB,ADu面ABC。，ABI面ABC。，

ABr>AD=A,

所以B4上面ABC。.

又因?yàn)锽lu面所以，面RAF，面ABC。.

（2）由（1）知AB,AD,AP兩兩垂直，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD,AP分別為x,y,z軸建系如圖所示,

則40,0,0）,尸（0,0,6）,6（8,0,0）（（8,8,0）,。（0,8,0）則N（4,4,3）,網(wǎng)8,4,0）.

所以Ab=（8,4,0）,3=（4,4,3）,BC=（0,8,0）,PC=（8,8,-6）,

.、n.-AF=0f8.v,+4v,=0

設(shè)面ANN法向量為%=（x，%,zj,則由"皿c得”"°c，

7

\nA-AN=0[4%+4乂+34=0

33/33、

令4=1得X|=z，%=—5,即/=[1—,1）

同理，設(shè)面尸5c的法向量為%=（七,%，z2），

2-PC=Q8X+8y-6Z=0

則由《得＜222

-BC=08%=。

令Z2=4得々=3,為=°，即%=（3,0,4）,

n-n5A/61

所以cos<々,%>=x2

同同61'

設(shè)二面角A—八丁―c的大小為e,則

w—…,一手

所以二面角A—斷―C余弦值為—士叵.

61

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，此類問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo),

是一道中檔題.

V22,、\TF\

21、(1)L+2vL=1xw±2(2)的最小值為1,此時直線/：X=1

43I'\MN\

【解析】

(1)用直接法求軌跡方程，即設(shè)動點(diǎn)為P(x,y),把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍；

⑵設(shè)/：x^my+1,將其與曲線C的方程聯(lián)立，消元并整理得(3M+4)^+6沖-9=0,

設(shè)/(4%),N(%,%)，則可得X+%，，%%，由MM=J1+瘍求出|肱用

ITFI

將直線ET方程y=—加(1—1)與％=4聯(lián)立，得了(4,一3加)，求得|7F|,計(jì)算京設(shè)/=^//1.顯然/21,構(gòu)

造/("=除;+由導(dǎo)數(shù)的知識求得其最小值，同時可得直線/的方程.

【詳解】

3yy3

(D設(shè)P@,y),則上PA?即b=一^，即三不)?口=一［

22

整理得L+2Lxw±2）

43

（2）設(shè)/：x=my+\,將其與曲線C的方程聯(lián)立，得3（"9+l）2+4y2=12

即（3〉+4）/+6沖_9=0

設(shè)/（%，％），N（X2，%）,則%+%「掣＜，/

5m+43m+4

IR2'/~—6fn~~—912（z/t2+1）

WkVl+m2J----4x---——-

^\3m2+4y3m2+43m2+4

將直線方T：丁=—根（%—1）與％=4聯(lián)立，得7（4,—3切）

???加=的+9加2=3&+m2

\TF\If1Y-

構(gòu)造/(