2024年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）

2024年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（5分）（2024?聊城模擬）己知集合4=｛尤||尤|W2｝,B^｛x\x-a<Q）,若AUB,則。的取

值范圍為（）

A.(-8,-2)B.(-8,-2]C.(2,+8)D.[2,+8)

2.（5分）（2024?聊城模擬）若復(fù)數(shù)z滿足5=i-z,則z可以為（）

A.1-iB.1+iC.l+2zD.1-2z

3.（5分）（2024?聊城模擬）記等差數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為引,若57=49,515=45,則。6

=()

A.3B.5C.7D.10

4.（5分）（2024?聊城模擬）設(shè)6299=7〃+廣，其中“6N*,且0Wr<7,貝Ur=（）

A.3B.4C.5D.6

5.（5分）（2024?聊城模擬）設(shè)可，/2是雙曲線C：3―/=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，

P是C上的一點(diǎn)，若C的一條漸近線的傾斜角為60°,且|PFi|-|尸/2|=2,則C的焦距

等于（）

A.1B.V3C.2D.4

6.（5分）（2024?聊城模擬）6知數(shù)列｛麗｝滿足an+1=3an+2,則“al=-]"是“｛珈｝是等

比數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.（5分）（2024?聊城模擬）在三棱柱ABC-A18C1中，點(diǎn)。在棱881上，且△AOC1所在

的平面將三棱柱ABC-ALBICI分割成體積相等的兩部分，點(diǎn)M在棱4。上，且

2MC1,點(diǎn)N在直線881上，若〃平面AOG,則毀1=（）

NB1

A.2B.3C.4D.6

8.（5分）（2024?聊城模擬）已知P是圓C：？+/1外的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓C的兩條切線,

~?—>

設(shè)兩切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)P4-PB的值最小時(shí)，點(diǎn)P到圓心C的距離為（）

A.V2B.V2C.V2D.2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（6分）（2024?聊城模擬）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+3）+cos3x（3>0）的最小

正周期為2,則（）

A.0）=71

B.曲線y=f（x）關(guān)于直線久=1對(duì)稱(chēng)

C./（%）的最大值為2

D./（無(wú)）在區(qū)間［—勺上單調(diào)遞增

（多選）10.（6分）（2024?聊城模擬）在一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中，某市高一全體學(xué)生的

成績(jī)XE（u，。2）,且E（X）=80,D（X）=400,規(guī)定測(cè)試成績(jī)不低于60分者為及

格，不低于120分者為優(yōu)秀，令尸（|X-NW。）=m,P（|X-R|W2。）=n,則（）

A.|i=80,。=400

m+n

B.從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生測(cè)試成績(jī)及格但不優(yōu)秀的概率為丁

C.從該市高一全體學(xué)生中（數(shù)量很大）依次抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生恰好有一名測(cè)試

1—722

成績(jī)優(yōu)秀的概率為二一

D.從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，在已知該生測(cè)試成績(jī)及格的條件下，該生

1—71

測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為:;一

1+m

（多選）11.（6分）（2024?聊城模擬）設(shè)八無(wú)）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為g（x）,

若y（3尤+1）是奇函數(shù)，且對(duì)于任意的尤CR,y（4-x）—f（x）,則對(duì)于任意的左ez,下

列說(shuō)法正確的是（）

A.4%都是g（x）的周期

B.曲線y=g（x）關(guān)于點(diǎn)（2k,0）對(duì)稱(chēng)

C.曲線y=g（x）關(guān)于直線x=2A+l對(duì)稱(chēng)

D.g（x+4左）都是偶函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

6。一x,為V4,

-的值域?yàn)椋?,+8）,則實(shí)數(shù)

{logx,x>4

2

a的取值范圍為.

13.（5分）（2024?聊城模擬）已知橢圓C；圣+'=l（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,

0）,一條切線的方程為無(wú)+y=7,則C的離心率6=.

->—>

14.（5分）（2024?聊城模擬）己知正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)尸滿足4P?CD=0,

->—>

且PBPC=0,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程、演算步驟.

15.（13分）（2024?聊城模擬）已知拋物線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,

2）,動(dòng)直線/：不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P、與C相交于A、B兩點(diǎn)，且直線B4和尸2的斜率之

積等于3.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

16.（15分）（2024?聊城模擬）在梯形ABC。中，AD//BC,設(shè)NA4D=a,ZAB￡）=p,已

知cos（a-0）=2sin（a+^）sin（J3+^）.

（1）^ZADB；

（2）若CD=2,AD=3,BC=4,求AB.

17.（15分）（2024?聊城模擬）如圖，在四棱臺(tái)ABC。-AiBiCiDi中，AB//CD,。。1_1平

1

ffiABCD,BC=CD=~AB.

（1）證明：AD±BB\；

（2）若AO=3,A1B1=CD^l，DDi=2,求平面ABC。與平面BC&Bi的夾角的余弦

值.

18.(17分)(2024?聊城模擬)已知函數(shù)-1,g(x)—lnx-mx,<p(x)=ex-亨-

(1)求/(無(wú))的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求(p(%)的最小值；

(3)設(shè)//(x)=/(x)-g(x),討論函數(shù)/?(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

19.(17分)(2024?聊城模擬)如圖，一個(gè)正三角形被分成9個(gè)全等的三角形區(qū)域，分別記

作A,Bi,P,B2,Ci,Qi,C2,Q,C3.一個(gè)機(jī)器人從區(qū)域產(chǎn)出發(fā)，每經(jīng)過(guò)1秒都從一

個(gè)區(qū)域走到與之相鄰的另一個(gè)區(qū)域(有公共邊的區(qū)域)，且到不同相鄰區(qū)域的概率相等.

(1)分別寫(xiě)出經(jīng)過(guò)2秒和3秒機(jī)器人所有可能位于的區(qū)域;

(2)求經(jīng)過(guò)2秒機(jī)器人位于區(qū)域。的概率；

(3)求經(jīng)過(guò)〃秒機(jī)器人位于區(qū)域。的概率.

2024年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（5分）（2024?聊城模擬）已知集合4={尤||尤|W2},B={x\x-a<0},若AU2,則a的取

值范圍為（）

A.（-8,-2）B.（-8,-2]C.（2,+8）D.[2,+°°）

【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

【專(zhuān)題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】先求出集合A,B,再利用集合間的包含關(guān)系列出不等式，求出。的取值范圍即

可.

【解答】解：集合A={x||尤|W2}={x|-2WxW2},B={x|x-。<0}={尤|尤<。},

XVAEB,

.'.a>2,

即a的取值范圍為（2,+8）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?聊城模擬）若復(fù)數(shù)z滿足2=>z,則z可以為（）

A.1-iB.1+zC.1+2/D.1-2z

【考點(diǎn)】共軟復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等條件即可求解.

【解答】解：設(shè)2="萬(wàn)（a,6為實(shí)數(shù)），

因?yàn)?=>z,

所以a-bi—（a+bi）i—ai-b,

所以a=-b,

結(jié)合選項(xiàng)可知，A符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等條件的應(yīng)用及共軌復(fù)數(shù)的概念，屬

于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2024?聊城模擬）記等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”,若S7=49,Si5=45,則照

=（）

A.3B.5C.7D.10

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前“項(xiàng)和的性質(zhì)求出國(guó)、羽的值，由此求出d,進(jìn)而計(jì)

算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛外｝中，設(shè)其公差為d,

若57=49,即Si=（ai+?x7-7^=49,貝ija4=7,

若Si5=45,BP515=（ai+ai5）x^^=15（28=45,貝ij圓=3,

則心中=?=T，

故。6=。4+21=7-2=5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2024?聊城模擬）設(shè)6299=7〃+廣，其中“6N*,且0Wr<7,則r=（）

A.3B.4C.5D.6

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式以及整除問(wèn)題的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解:根據(jù)62"=（63-1）"=C°9-63"-盤(pán)9-6398+…一嗡,63i+C-.（-1產(chǎn)=

匾-63"-盤(pán)9-6398+…+c舞?63】-1=C&-63"--6398+...-C^-631-7+6.

故余數(shù)為6.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開(kāi)式，整除問(wèn)題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2024?聊城模擬）設(shè)為，放是雙曲線C：3一，=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，

P是C上的一點(diǎn)，若C的一條漸近線的傾斜角為60°,且|尸乃|-|巴切=2,則C的焦距

等于（）

A.1B.V3C.2D.4

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可解.

【解答】解：因?yàn)槭?,故是雙曲線C；、=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，尸是C

上的一點(diǎn)，若C的一條漸近線的傾斜角為60°,

bb/~~

則一=tan60°,即一=V3,

CLCL

又|尸乃|-|尸。|=2,貝lj2a=2,即。=1,

則b=V3,

又c1=a2+b2=4,

則c=2,

則C的焦距等于2c=4.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

6.（5分）（2024?聊城模擬）已知數(shù)列｛麗｝滿足斯+1=3即+2,則“m=-1”是“｛麗｝是等

比數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；充分條件與必要條件.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯推理.

【答案】C

【分析】由m+1=3珈+2,m=-1,得出數(shù)列｛麗｝是等比數(shù)列，判斷充分性成立；由｛即｝

是等比數(shù)列，得出41=-1,判斷必要性成立.

【解答】解：數(shù)列｛劭｝中,珈+1=3礪+2,ai=-1,

所以〃2=3〃I+2=3義(-1)+2=-1,。3=3〃2+2=-1,…，斯=3劭一1+2=-1,其中〃

22；

所以數(shù)列｛即｝是公比為1,首項(xiàng)為-1的等比數(shù)列，充分性成立；

設(shè)等比數(shù)列｛即｝的公比為q(qWO),由〃九+1=3即+2,可得即q=3即+2,即(.q-3)an=

2,

當(dāng)q=3時(shí)，(q-3)劭=0W2,不成立，應(yīng)舍去；

當(dāng)時(shí)，劭=■為定值，所以所以等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為q=1,

q-j

所以的=“22=12a=—1,必要性成立.

q_j1_3

所以“m=-1”是“｛斯｝是等比數(shù)列”的充要條件.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的定義與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了充分與必要條件的判斷問(wèn)題，

是中檔題.

7.(5分)(2024?聊城模擬)在三棱柱ABC-431cl中，點(diǎn)。在棱231上，且△ADQ所在

的平面將三棱柱A8C-A1B1Q分割成體積相等的兩部分，點(diǎn)M在棱AiCi上，且AiM=

2MC1,點(diǎn)N在直線881上，若MN〃平面A。。，則股1=()

NB1

A.2B.3C.4D.6

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】作出圖形，轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點(diǎn)與底面易得滿足題意的點(diǎn)。為8bB的中點(diǎn)，再過(guò)

M作平面AZ)Ci的平行平面，從而可得N點(diǎn)位置，從而得解.

【解答】解：如圖，設(shè)三棱柱ABC-4B1C1的體積為6,

則三棱錐A-A1B1C1的體積為2,

又三棱柱ABC-A1B1C1在截面ADC1上部分的幾何體為四棱錐Ci-A1ADB1,

又憶-AiAOBi=^C1-A1AB1+^C1-ADB1=^A-A1B1C1+^C1-ADB1—^■^C1-ADB1'

...當(dāng)三棱錐Ci-ADBi的體積為1時(shí)，滿足題意，

又三棱錐A-A1B1C1（即為三棱錐Ci-A1AB1）的體積為2,

—2SAADB『?'?AIA=2BID,為_(kāi)BI_B的中點(diǎn)，

為4cl上靠近Ci的三等分點(diǎn)，取AM的靠近A的三等分點(diǎn)P,

則MP〃C1A,過(guò)尸作PN〃A￡>,則易得平面〃平面A。。，

從而可得MN〃平面ADC1,

111

此時(shí)AP=DN=豺4=抻1,又DB\=^BBi,

111

：.NBi=DBi-DN=^BBi-^BBi=^BB\,

236

?烈-6

??一u?

NB、

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積問(wèn)題，面面平行的判定定理與性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬

中檔題.

8.（5分）（2024?聊城模擬）已知P是圓C：，+y2=1外的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓C的兩條切線，

—>—?

設(shè)兩切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)P2-PB的值最小時(shí)，點(diǎn)尸到圓心C的距離為（）

A.V2B.V2C.V2D.2

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；直線與圓的位置關(guān)系.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

t_>4_2

【分析】作出圖形,設(shè)|P8|=mZBPC=Q,由平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得PA?PB=勺，,

mz+l

換元后由基本不等式即可求得.

【解答】解：設(shè)|尸8|=根，ZBPC=O,由圖及圓的切線性質(zhì)可得：|必|=|尸8|=相，\PC\=

Vm2+1,ZAPB=2Q,

，匚7712—1TH4—TH2

所以24?PB=\PnA\\PnBn\cosZ-A4PBn—m72—n--=——,

mz+lmz+l

令/=謁+1,Z>1,則渥=L1,

所以后,SB=(I)?”-])=12；t+2=t+|_3“魚(yú)_3,當(dāng)且僅當(dāng)t=%,即t=

企時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)|PC|=7m2+1=VF=VA/2=V2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題列出直線與圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于

中檔題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（6分）（2024?聊城模擬）已知函數(shù)/（x）=sin?久+*+cosa）久（3>0）的最小

正周期為2,則（）

A.3=P

曲線>=/（X）關(guān)于直線X=看對(duì)稱(chēng)

C.f（x）的最大值為2

D./（%）在區(qū)間［一會(huì)勺上單調(diào)遞增

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】AB

【分析】先化簡(jiǎn)可得/（x）=V3sin再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：/（x）=sin（o>x+看）+cos3K=sinatx+|cos（i）x=V3sin（cox+

由最小正周期7=紅=2,得3=m

（JL）

所以/（%）=y/3sin（j［x+亨），故A正確；

,1,1,—TCTC.—

當(dāng)％=工時(shí)，f（-）=V3sin（一+-）=V3,

6，663

所以直線是函數(shù)/（X）的對(duì)稱(chēng)軸，故8正確；

因?yàn)?（x）=Vising+5），所以了（無(wú)）的最大值為遮，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)x6｝時(shí)，nx+號(hào)€［一t，,

而函數(shù)y=sinx在［-*勺上單調(diào)遞增，在g,凈上單調(diào)遞減，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）10.（6分）（2024?聊城模擬）在一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中，某市高一全體學(xué)生的

成績(jī)XW（R,?。摇辏▁）=80,D（X）=400,規(guī)定測(cè)試成績(jī)不低于60分者為及

格，不低于120分者為優(yōu)秀，令尸（|X-。）=m,P（|X-R|W2。）=n,則（）

A.|i=80,。=400

rrt+ri

B.從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生測(cè)試成績(jī)及格但不優(yōu)秀的概率為——

2

C.從該市高一全體學(xué)生中（數(shù)量很大）依次抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生恰好有一名測(cè)試

1—n2

成績(jī)優(yōu)秀的概率為------

2

D.從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，在已知該生測(cè)試成績(jī)及格的條件下，該生

測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為匕

1+m

【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布的性質(zhì)分析A、B,由相互獨(dú)立事件的概率公式分析C,

由條件概率的計(jì)算公式分析。，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,X-N(|1,八)，且￡(x)=80,D(X)=400,貝(Jp=80,o2=400,即。=

20,A錯(cuò)誤；

對(duì)于2,設(shè)該生測(cè)試成績(jī)及格但不優(yōu)秀為事件A,

令尸(|X-川)=m,P(|X-山＜2。)=及,即尸(60WXW100)=m,P(40WXW

120)—n,

故P(A)=P(60WXW120)=號(hào)巴B正確；

對(duì)于C,設(shè)一名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀為事件8,則P(8)=P(X2120)=-P(40WXW120)]=

1—n

則從該市高一全體學(xué)生中(數(shù)量很大)依次抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生恰好有一名測(cè)試

成績(jī)優(yōu)秀的概率P=6x號(hào):x(1-亨)=士”;C正確；

對(duì)于D,設(shè)一名學(xué)生成績(jī)合格為事件C,則尸(C)=＞竽=竽，P(BC)=尸(B)

1—n

=

1—71

故P(G8)=掰=率=瑞，。正確?

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及條件概率的計(jì)算，屬于中檔題.

(多選)11.(6分)(2024?聊城模擬)設(shè)八無(wú))是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為gl),

若/(3x+l)是奇函數(shù)，且對(duì)于任意的尤6R,/(4-x)—f(x),則對(duì)于任意的keZ,下

列說(shuō)法正確的是()

A.4/都是g(x)的周期

B.曲線y=g(x)關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱(chēng)

C.曲線y=g(x)關(guān)于直線x=24+1對(duì)稱(chēng)

D.g(x+4左)都是偶函數(shù)

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷；抽象函數(shù)及其應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，分析/(x)的對(duì)稱(chēng)性和周期性，由導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式分析g(x)的對(duì)

稱(chēng)性和周期性，由此分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，若/(3x+l)是奇函數(shù)，則有/(l-3x)=-/(l+3x),變形可

得/(無(wú))=-f(2-x),

又由對(duì)于任意的xCR,#4-x)=/(x),則有/(4-x)=-/(2-尤)，變形可得了(x+2)

=~f(X),

則有/(x+4)=-/(x+2)=f(尤)，故/(x)是周期為4的軸函數(shù)，

由于/(x)=-/(2-%),兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得f'(x)—f(2-x),即g(x)—g(2

-x),則g(x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，

由于/(4-尤)=/(x),兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得-f(4-x)=f(尤)，即-g(4-x)=g

(尤)，則g(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，

f(x+4)—f(x),兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得(x+4)—f'(x),即g(x+4)—g(x),則g

(x)的周期為4,

由此分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,當(dāng)人=0,4左=0,不是函數(shù)g(x)的周期，A錯(cuò)誤；

對(duì)于2,g(尤)的周期為4,則有g(shù)(4k-x)—g(-x),而-g(4-x)—g(x),即-g

(-無(wú))=g(x),

綜合可得：g(-x)=-g(x)=g(4及-x),故曲線y=g(x)關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱(chēng)，

B正確；

對(duì)于C,g(x)的周期為4,g(4k+2-x)—g(2-x),

又由g(x)—g(2-x),則有g(shù)(尤)—g(44+2-尤)，故曲線y=g(x)關(guān)于直線尤=2左+1

對(duì)稱(chēng)，C正確；

對(duì)于。，由8的結(jié)論，g(-x)=-g(x),g(x)為奇函數(shù)，即k=0時(shí)，g(x+4&)是

偶函數(shù)不成立，。錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

6。一Y.YV4.

一的值域?yàn)椋?,+8）,則實(shí)數(shù)

{logx,x>4

2

a的取值范圍為（1,+8）.

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值域.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1,+8）.

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析/（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性可得6。-4>2,

解可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)x>4時(shí)，f（x）=log2r,此時(shí)無(wú)）為增函數(shù)，易得了（x）

>log24=2,

當(dāng)x<4時(shí)，f（x）=6a-x,此時(shí)無(wú)）為減函數(shù)，有了（x）可（4）=6。-4,

6。一x.YV4,

一的值域?yàn)椋?,+8）,則有6。-4>2,

{log2x,x>4

解可得a>l,即°的取值范圍為（1,+°°）.

故答案為：（1，+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

13.（5分）（2024?聊城模擬）已知橢圓C：及+*l（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,

0）,一條切線的方程為尤+y=7,則C的離心率e=:

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線方程，轉(zhuǎn)化求解a,b,然后求解離心率即可.

YTIX71V

【解答】解：設(shè)橢圓與x+y=7相切于（相，九），可得切線方程為：—+—=又切

azbz

線的方程為x+y=7,

可得加=。2,n=b2,m+n=7,可得〃2+廿=7,

橢圓C；:*l（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）,

可得〃2-02=1,可得〃=2,b=V3,c=l,

所以橢圓的離心率為：6=：另.

m1

故答案為：二.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題.

14.（5分）（2024?聊城模擬）己知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)P滿足4P?CD=0,

—>—>

且PB?PC=0,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為V3?r.

【考點(diǎn)】軌跡方程.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；球；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】V37T.

【分析】作出圖形，分別取3C,CD的中點(diǎn)。，E,根據(jù)題意可得尸在球。被平面ABE

所截的截面小圓上，再根據(jù)球的幾何性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：如圖，分別取2C,C。的中點(diǎn)。，E,連接AE,BE,

—>T

由4PCD^0,可知AP±CD,

又在正四面體ABC。中，易知CD_L平面ABE,

點(diǎn)尸在平面ABE內(nèi)①，

—?—?

又PB-PC=0,：.PB±PC,

點(diǎn)尸在以8c為直徑的球。的球面上②，

綜合①②可得點(diǎn)尸在球。被平面ABE所截的截面小圓上,

又CE_L平面ABE,?!（9^OF//BE,>OFdBE^F,

11

：.OF±^ABE,且|Of]=,CE|=W，又球。半徑R=l,

設(shè)截面小圓的半徑為r,

則r=JR2-\OF\2=Jl-R亨,

,截面小圓的周長(zhǎng)為2nr=V37T,

即點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為遍加.

故答案為：V37T.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，球的幾何性質(zhì)，屬中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程、演算步驟.

15.（13分）（2024?聊城模擬）已知拋物線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,

2）,動(dòng)直線/：y=fcc+6不經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸、與C相交于A、8兩點(diǎn)，且直線融和PB的斜率之

積等于3.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；恒過(guò)定點(diǎn)的直線.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）f=2y；

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）設(shè)拋物線方程為了=@,再由點(diǎn)尸（2,2）在C上即可求解；

（2）設(shè)A（xi,yi）,B（尤2,y2）,由韋達(dá)定理尤I+X2=2左，ixi尤2=-2b,然后將直線B4

和PB的斜率表示出來(lái)，結(jié)合kp4?kpB=3推出左，6的關(guān)系即可得證.

【解答】（1）解：由C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為了=今，

又因?yàn)辄c(diǎn)P（2,2）在C上，

所以4=2a,解得a=2,

因此C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2y；

（2）證明：設(shè)A（xi,ji）,B（x2,,2）,

由y-得/-2fcc-26=0,其中A=4d+86>0,

ix=2y

貝!jXI+X2=2左，xix2=~2b,

所以直線PA的斜率kpa=\=TXx—2^=,

同理直線PB的斜率為kpB=也產(chǎn)，

所以建,小=吟空=巧冷+2（：1+冷）+4=生券W,

2/c—b+2

又kpA?kpB=3,即-------=3,

2

解得。=2左-4,

所以/的方程為了=履+2女-4,BPy=k（x+2）-4,

所以動(dòng)直線/恒過(guò)點(diǎn)(-2,-4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)和直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

16.(15分)(2024?聊城模擬)在梯形A8CD中，AD//BC,設(shè)ZABD=p,已

^Acos(a-0)=2sin(a+^)sin(fi+

(1)求/ADB；

(2)若CD=2,AD=3,BC=4,求AB.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)；正弦定理.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

71

【答案】(1)

6

(2)V3.

【分析】⑴先將角a-0拆分為(a+J)-(p+J),再運(yùn)用兩角和與差的余弦公式整

理得cos[(a+號(hào))+(0+&]=COS(a+B+爭(zhēng)=0,結(jié)合角的范圍及關(guān)系即可求解；

(2)由題意及(1)得NDBC=卷,運(yùn)用正弦定理解△5CZ),運(yùn)用余弦定理解即

可求解.

【解答】解：(1)因?yàn)閏os(a-P)=2sin(a+^)sin(0+@,

所以cos[(a+⑥-(B+電]=2sin(a+掾)sin(0+,),

即cos(a+g)cos(p+^)+sin(a+5)sin(B+芻)=2sin(a+⑥sin(0+電，

所以cos[(a+亨)+(B+5)]—cos(a+0+冬)=0,

由0<a+P<n,得Va+0+冬V挈，

所以。+0+等=竽，即a+0=患，

所以NAZ>B=IT-(a+p)=看.

(2)因?yàn)锳O〃5C,所以NDBC=NADB=3

4xm

在△BCD中，由正弦定理得sin/BDC=BGsgjDBC=^6=b

所以

所以BD=2?

在△ABD中，由余弦定理得

AB2^AD2+BD2-2AD'BD'COSZADB^32+（2A/3）2-2X2V3X^=3,

所以

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)的公式，考查正弦定理和余弦定理在解三角形

中的運(yùn)用，屬于中檔題.

17.（15分）（2024?聊城模擬）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-AiBiCiDi中，AB//CD,。。1_1平

1

ABCD,BC=CD=^AB.

（1）證明：ADXBBi；

（2）若AD=3,ArBr=CD=LDDI=2,求平面A3CZ）與平面BCGBI的夾角的余弦

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用；

邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）證明見(jiàn)解答；

3V34

（2）-------.

34

【分析】（1）連接點(diǎn)。與中點(diǎn)E,連接。8,DiBi,借助棱臺(tái)的性質(zhì)可得Bi,Di、D、

8共面，由。。△平面ABCZ）,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理可得。。利用題意中的數(shù)

量及位置關(guān)系可得AOLBD,即可得線面垂直，借助線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后借助空間向量計(jì)算即可得.

【解答】（1）證明：連接點(diǎn)。與A3中點(diǎn)E,連接。2,D1B1,

由棱臺(tái)的性質(zhì)可得故Bi,Di,D,8共面，

1

由AB//CD,BC=CD=^AB,故CD〃BE,CD=BE,

故四邊形CDEB為平行四邊形，故DE=BC,

故有DE=EA=EB,iiADLBD,由。Oi，平面ABCQ,且80、AOu平面ABC。,

i^DDiLAD,DDi±BD,

又BD、OOiu平面BDPiDDi=D,

故AO_L平面又BBiu平面81Q1D8,故AO_L88i.

(2)解：由(1)知，DDi、BD、A。兩兩垂直，故可以。為原點(diǎn)，建立如圖所示空間

直角坐標(biāo)系，

q1.______

由&Bi=CD=|,BC=CD=《AB,則AB=5,BD=V52-32=4,

點(diǎn)C到直線BD的距離為J8)2一$)2=I，

則有。(0,0,0)、B(0,4,0)、C(-|,2,0)、Bi(0,2,2),

—>o—>

則BC=(-2，-2,0),BBi=(0,—2,2),

由2軸_1平面ABC。，故平面48C￡>的法向量可為拓=(0,0,1),

設(shè)平面BCC1B1的法向量為蔡=(無(wú)，?z),

T-(3

則有，見(jiàn)=°,即—尹―2y=°,令尸4,則有y=-3,z=3,

n-BBi=0l-2y+2z=0

故平面BCCLBI的法向量可為￡=(4,-3,3),

—>—>

則cos而’行=常裾33/34

“6+9+9

3V34

故平面ABCD與平面BCC1B1的夾角的余弦值為一

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線線垂直的證明，面面角的求法，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理

能力，屬于中檔題.

18.(17分)(2024?聊城模擬)已知函數(shù)/(x)=xex-1,g(x)=lnx-mx,(p(x)=ex—

(1)求/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求(p(x)的最小值；

(3)設(shè)〃(尤)—f(x)-g(x),討論函數(shù)〃(無(wú))的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴[-1,+8);

(2)1；

(3)當(dāng)“2=-1時(shí)，函數(shù)力(X)有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)機(jī)<-1時(shí)，函數(shù)h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)機(jī)>-1時(shí)，函數(shù)//(x)無(wú)零點(diǎn).

【分析】(1)求導(dǎo)后令,(x)20,計(jì)算即可得；

(2)求導(dǎo)后，令n(x)=//+阮v(x>0),再次求導(dǎo)后可得n(x)的單調(diào)性，無(wú)法直

接求出使U(x)=0的解，因此虛設(shè)零點(diǎn)，借助零點(diǎn)的存在性定理，得到久°C(J,1),

11

使就e%。+lnx=0,再借助對(duì)數(shù)變形，得到久0〃。=In—?e—,從而構(gòu)造函數(shù)3(x)

0xoxo

=xd(x>0),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到Xo="。，代入隼(xo)中，即可得解.

xo

(3)變形后可得函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為<p(x)=-m的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，結(jié)合(p(x)

的單調(diào)性討論即可得.

【解答】解：(1)，(x)=(尤+1)令(%)\0,可得了2-1,

故了(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,+8)；

(2)0。)=靖一審+5=^^0>0),

令|1(%)=x2ex+Znx(x>0),

則〃(%)=(%2+2x)ex+

由x>0,故〃/(%)=(%2+2x)ex+-〉0恒成立，

故.G)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又〃(})=[cl+=去el—1=‘°；V0,〃(1)=e+Ini=e〉°,

2x

故存在％oG(-/1),使|i(xo)=0,BP%0e°+lnx0=0,

即cp(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減，在(xo++°°)上單調(diào)遞增,

故cp(x)><p(xo),

x

由久（）2靖。+lnx0=0,貝!J%（）e%。=—包出=/n—?eof

xo%o

令3（x）=f（x）+l=xex（X>O）,則有3（%o）=3（仇白）,

o）'（％）=f'（x）=（x+1）e^,當(dāng)x>0時(shí)，3,（x）>0恒成立,

1

故3（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，故％0=仇一,即/巾0=-冗0,

x0

1

一㈣1”=「環(huán)-3-。=。+—=1,

則9（%0）=e%。

%oxox0x0x0x0

即cp（x）的最小值為1；

（3）令h（尤）=f（%）-g（x）=xe）c-1-lnx-^mx=0（x>0）,

即有一TH=靖一號(hào)一］="⑺,

即函數(shù)。（X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（p（X）=-"的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，

由（2）知，（p（x）在（0,xo）上單調(diào)遞減，在（xo,+°°）上單調(diào)遞增，且（p（xo）=1,

又當(dāng)工-0時(shí)，（P（%）f+8,當(dāng)入一+8時(shí)，（p（%）f+8,

故當(dāng)-m=1,即m=-1時(shí)，（p（x）=-m有唯一實(shí)數(shù)根，

當(dāng)-m>l,即m<-1時(shí)，cp（x）=-m有兩實(shí)數(shù)根，

當(dāng)-m<1,即m>-1時(shí)，<p（x）=-m無(wú)實(shí)數(shù)根，

即當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)h（x）有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)m<-1時(shí)，函數(shù)h（龍）有兩個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)m>-1時(shí)，函數(shù)h（九）無(wú)零點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題.

19.（17分）（2024?聊城模擬）如圖，一個(gè)正三角形被分成9個(gè)全等的三角形區(qū)域，分別記

作A,Bi,P,B2,Ci,。1,Q,Q,。3.一個(gè)機(jī)器人從區(qū)域產(chǎn)出發(fā)，每經(jīng)過(guò)1秒都從一

個(gè)區(qū)域走到與之相鄰的另一個(gè)區(qū)域（有公共邊的區(qū)域），且到不同相鄰區(qū)域的概率相等.

（1）分別寫(xiě)出經(jīng)過(guò)2秒和3秒機(jī)器人所有可能位于的區(qū)域;

（2）求經(jīng)過(guò)2秒機(jī)器人位于區(qū)域。的概率；

（3）求經(jīng)過(guò)〃秒機(jī)器人位于區(qū)域。的概率.

A

【考點(diǎn)】幾何概型.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)

學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)機(jī)器人經(jīng)過(guò)2秒可能位于尸，Q,Qi；經(jīng)過(guò)3秒可能位于A,Bi,B2,CI,

Ci,Ci.

1

(2)

6

11

(3)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，所求概率為0；當(dāng)w為偶數(shù)時(shí)，所求概率為0)2.

【分析】(1)根據(jù)題意中機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合所給圖形寫(xiě)出答案；

(2)計(jì)算出機(jī)器人經(jīng)過(guò)1秒機(jī)器人位于區(qū)域比的概率，再根據(jù)下1秒機(jī)器人從法運(yùn)動(dòng)

到。的概率，進(jìn)而利用概率的乘法公式算出答案；

(3)根據(jù)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)路線，設(shè)經(jīng)過(guò)"秒機(jī)器人位于區(qū)域。的概率為斯，分”為奇數(shù)

和偶數(shù)兩種情況加以討論，利用全概率公式算出遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，

算出斯的表達(dá)式，從而得出本題答案.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，經(jīng)過(guò)2秒機(jī)器人可能位于的區(qū)域?yàn)镻,Q,0；

經(jīng)過(guò)3秒機(jī)器人可能位于的區(qū)域?yàn)锳,Bi,Bi,Ci,C2,C1.