6.3二階微分方程_第1頁
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文檔簡介

6.3二階微分方程一、可降階的二階微分方程例1解形如這種微分方程，只需連續(xù)進(jìn)行n次積分即可求解這類方程但請注意：每次積分都應(yīng)該出現(xiàn)一個積分常數(shù)。這是一個一階微分方程。因此可用一階微分方程的求解p（x),再積分即可就出y的表達(dá)式例2解兩邊積分，得即再積分，得原方程的通解于是，原方程化為這是一個一階微分方程。設(shè)其通解為這是一個變量分離方程，它的通解就是原方程的通解。例3解于是，原方程化為兩邊積分，得運(yùn)用分離變量法，得此方程的通解為綜上所述，原方程的通解為二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)為(1)的相對應(yīng)的齊方程。我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至n階線性方程中。1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程定理1的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解，證定理2

的兩個線性無關(guān)的解，則是方程(2)的通解。定理1的兩個線性無關(guān)的解，則是方程(2)的通解。形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，即特征方程二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個線性無關(guān)的解，故方程(1)的通解為由求根公式于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時，方程(1)的通解為3)特征方程有一對共軛復(fù)根：是方程(1)的兩個線性無關(guān)的解，其通解為二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式例4解例5解2、二階常系數(shù)非齊線性微分方程定理3

若常系數(shù)線性齊次方程y

+p

y

+q

y=0的線性無關(guān)的兩個特解y1與y2，得該方程的通解常系數(shù)線性非齊次方程y

+p

y

+q

y=f(x)的一個特解y*.那么，方程的通解為y=Y+y*.

Y=C1y1+C

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