第2講初等函數(shù)及性質(zhì)-江西省贛州市厚德外國語學(xué)校2021年強(qiáng)基計(jì)劃拔尖人才選拔培優(yōu)數(shù)學(xué)講義

1、映射對于任意兩個(gè)集合，依對應(yīng)法則，若對中的任意一個(gè)元素在中都有唯一一個(gè)元素與之對應(yīng)，則稱為一個(gè)映射，記作其中稱為像，稱為原像。如果是一個(gè)映射且對任意都有則是到上稱之為單射.如果是映射且對任意都有一個(gè)使得則稱是到上的滿射.如果既是單射又是滿射，則是到上叫做一一映射.如果是從集合到集合上的一一映射，并且對于中每一個(gè)元素，使在中的原像和它對應(yīng)，這樣所得的映射叫做的逆映射，記作2、函數(shù)方程問題（1）代換法（或換元法）把函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換（代換時(shí)應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會發(fā)生變化），得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得位置函數(shù)例.設(shè)求的解.（【解析】分別用帶入）（2）待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，可待定系數(shù)而求解.例.已知是一次函數(shù)，且，求.（【解析】設(shè)求解）3、函數(shù)對稱性以及周期性1）已知函數(shù)，若函數(shù)圖像與圖像關(guān)于：直線對稱，則；直線對稱，則；點(diǎn)對稱，則。2）已知函數(shù)圖像關(guān)于：直線對稱，則；點(diǎn)對稱，則，即。3）常用：若函數(shù)圖像與圖像關(guān)于：軸對稱，則；軸對稱，則；原點(diǎn)對稱，則。4）若，則圖像關(guān)于直線對稱；若，則圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；若與關(guān)于直線對稱；5）若，則函數(shù)是以為周期的函數(shù)。6）若，則，即；若，則，即；若，則，即。7）若關(guān)于直線和對稱，則為以為周期的周期函數(shù)；若關(guān)于點(diǎn)和對稱，則為以為周期的周期函數(shù)；若關(guān)于點(diǎn)和對稱，則為以為周期的周期函數(shù)。4、抽象函數(shù)問題的解法抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號極其滿足的條件的函數(shù)，如給出定義域、解析遞推式、特定點(diǎn)的函數(shù)值、特定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)的難點(diǎn)，也是與高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)。（1）函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性等）反映出來的，抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，才能夠?qū)⒊橄蠛瘮?shù)問題化難為易。常用的方法有：①利用奇偶性整體思考；②利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化；③利用周期性回歸已知；④利用對稱性數(shù)形結(jié)合；⑤借助特殊點(diǎn)列方程。（2）特殊化方法①在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用代換的方法，將換成或?qū)Q成其他字母等；②在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入；③研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題、填空題，或通過具體模型函數(shù)為解答綜合題提供思路和方法。5、函數(shù)的迭代一個(gè)函數(shù)的自復(fù)合，叫做迭代。我們用表示的次迭代函數(shù)。即，如果則稱有迭代周期迭代問題的解法通常是找它的迭代周期。一般來說，若的圖像關(guān)于直線對稱，則一定有.它的迭代周期就是2.下面是幾個(gè)常見函數(shù)的迭代周期。迭代周期是3；迭代周期是4；6、凹凸函數(shù)設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上任意兩點(diǎn)、和實(shí)數(shù)總有則稱為上的凸函數(shù)（有時(shí)也稱下凸函數(shù)）。反之，如果總有不等式則稱則稱為上的凹函數(shù)（有時(shí)也稱上凸函數(shù)）。特別地，時(shí)，有（凸函數(shù)）或（凹函數(shù)）。如何判斷一個(gè)函數(shù)是凸函數(shù)（凹函數(shù)）？除了定義以外，還有下面的定理：設(shè)為上二階可導(dǎo)函數(shù)，則為上的凸（凹）函數(shù)的充要條件是凸函數(shù)更一般的情形是下面的琴生不等式：若為上的凸函數(shù)，則對任意，且則1.（2019浙大）14.定義在上的偶函數(shù)滿足，求的值。解析：由得，令，則，則，所以是以2位周期的函數(shù)，也是偶函數(shù)，則，且，所以，即，且因?yàn)椋?，所以?.2018聯(lián)賽A，B9、已知定義在上的函數(shù)為，設(shè)是三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿足，求的取值范圍?！锝馕觯翰环猎O(shè)，由于在上遞減，在上遞增，在上遞減，且，，結(jié)合圖像知：，，，且。由得，即，此時(shí)，又，由得，所以。3.(2018清華)29.若函數(shù)滿足：對任意的三角形的三邊長，也能構(gòu)成三角形的三邊長，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，則下列說法正確的是（AB）A.具有性質(zhì)B.不具有性質(zhì)C.具有性質(zhì)D.具有性質(zhì)解析：不妨設(shè)，則，即，顯然，即具有性質(zhì)，所以A正確；對B，若取，顯然，即不具有性質(zhì)，故B正確；對C，取，顯然，即不具有性質(zhì)，故C錯(cuò)；對D,取，顯然有，即不具有性質(zhì)，故D錯(cuò)。綜上，選AB。4.(2018北大博雅)8.用表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，用表示當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域中的元素的個(gè)數(shù)，則使得最小的的值為（D）A.B.C.D.前三個(gè)答案都不對解析：令，（且，）則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則有個(gè)值。所以，所以當(dāng)或時(shí)取等號，而，且，所以時(shí)，取最小為，故選D。5.（2018中科大）3.設(shè)，則的最小值為答案：【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)）6.（2018中科大）6.已知定義在上的函數(shù)是單射，對任意，有，，則答案：【解析】令，則，由得，即，由是單射得，即，，所以7.(2017北大博雅)6.已知，定義，，，則的值等于（C）.A. B. C. D.前三個(gè)答案都不對解析：列舉可得是的一個(gè)迭代周期，又，所以，選C.8.2016B4、已知,均為定義在上的函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且，則的值為◆答案：★解析：由條件知①②由圖像的對稱性，可得結(jié)合①知，③由②、③解得從而另解：因?yàn)?，①所以②因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對稱，所以③又因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，，，從而④將③、④代入①，再移項(xiàng)，得⑤在⑤式中令，得⑥由②、⑥解得于是9.（模擬題）已知是定義在上的不恒為的函數(shù)，且對于任意的，有.（1）求的值.（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論.（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）令，則；令，則，。（2）令則再令則故，即是奇函數(shù)。（3）當(dāng)時(shí)，.令則有故，故又因?yàn)楣?.10.求函數(shù)的最小值解析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得最小值。1.（2006復(fù)旦）設(shè)且下列不等式中成立的是（）①②③④①③①④②③②④【解析】選B這是一道和凸函數(shù)有關(guān)的問題，分別畫出,的草圖。由圖像可知是下凸函數(shù)，是上凸函數(shù)，故選B2.(2018復(fù)旦)1.設(shè)，求函數(shù)的最小值；解析：，令，則即。3.(2015清華)4、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足：①；②。則為（AC）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.減函數(shù)D.有界函數(shù)解析：②中，令，得，令，得得為奇函數(shù)。當(dāng)時(shí)，由于，所以。故函數(shù)在上遞減，加上奇函數(shù)，知函數(shù)的定義域內(nèi)遞減，故選AC。4.(2014北約)3.已知函數(shù)滿足，，，則（A）A.B.C.D.解析：觀察等式可知，函數(shù)顯然為線性一次函數(shù)，可設(shè)代入求得從而5、（2009清華）求證：【解析】本題考查的是前文中證明函數(shù)是凸函數(shù)的充要條件。首先構(gòu)造函數(shù)先證明它是凸函數(shù)。事實(shí)上故是上的凸函數(shù)，從而證畢！6、（2007交大）已知函數(shù)對于定義若則.【解析】本題考查迭代周期問題。計(jì)算得故以6為周期.注：條件可以不用。7、（2007北大）求【解析】故，所以.8.設(shè)且，則的值有（）【解析】因?yàn)?，故為偶函?shù).在時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，恒有故選！9.(2018北大博雅)18.的最小值所屬區(qū)間為（C）A.B.C.D.前三個(gè)答案都不對解析：注意到，記，則即為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和，顯然（當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號）。接下來，記，，則即為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和，所以（當(dāng)且僅當(dāng)共線即，即取等號），所以的最小值為，故選C。10.(2016清華)10.定義在上的函數(shù)，滿足：①；②對任意實(shí)數(shù)，；③存在大于零的常數(shù)，使得，且當(dāng)時(shí)，，。則（ABD）A.B.當(dāng)時(shí)，C.函數(shù)在上無界D.任取，解析：令，得，，又得，故A對；令，得，當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，，故，B對；又，知函數(shù)在上有界，C錯(cuò)；令得，D對；綜上，選ABD。11、（模擬題）已知是定義在上的函數(shù)，且（1）試證明是周期函數(shù)；（2）若試求【解析】（1）又條件可知故用換上式的，得所以，即是以8為周期的周期函數(shù)。（2）.1.（2019上海交大）11.對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)，若滿足，則稱為凸函數(shù)，下列函數(shù)是凸函數(shù)的是（）A.B.C.D.解析：作圖可知，AD滿足。2.（2019上海交大）1.已知函數(shù)，且，求的值。解析：因?yàn)椋瑒t。3.(2018復(fù)旦)14.若函數(shù)滿足（），求解析：分別取及可以解得。4.(2017北大自招)2.函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差位于區(qū)間是（B）A.B.C.D.前三個(gè)都不對解析：展開成分段函數(shù)可得最大值為，最小值為，得差為，故選B。5.（2005交大）函數(shù)的最大值為最小值為求實(shí)數(shù)、.【解析】即.顯然，這個(gè)關(guān)于的方程必有實(shí)數(shù)根，從而有。根據(jù)題意，故，所以解得.6、（2002交大）函數(shù)有且求滿足的關(guān)系；證明：存在這樣的使【解析】因?yàn)橛星宜?，且（因?yàn)椋?，故即令而故在之間必有一解，所以存在，是的7、（2007復(fù)旦）若且則不是與無關(guān)的常數(shù)【解析】選D.由得故8、（2005復(fù)旦）定義在上的函數(shù)滿足，則【解析】令令9、設(shè)且，則的值有（）【解析】因?yàn)?，故為偶函?shù).在時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，恒有故選！10、（模擬題）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【解析】，值域?yàn)?1、（模擬題）已知是一次函數(shù)，且.求【解析】設(shè)則有.依此類推有：由題設(shè)可得：故解得.所以或.12、（2008交大）已知函數(shù)且沒有實(shí)數(shù)根.那么是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論.【解析】法一：利用，得到，故沒有實(shí)數(shù)根（本方