河南省開(kāi)封市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省開(kāi)封市2024屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:.姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是/=4x,則它的準(zhǔn)線方程是（）

A.x=-lB.尤=1C.y=~lD.J=1

2.已知集合N=[xE=sinT，"eZ；,8={0,1}則下列命題正確的是（）

A.A=BB.B^AC.Nc8={0,-l}D.\B={1}

zy_1%<0

3.若函數(shù)/（》）=一’八是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

x+>0

A.0B.—1C.1D.±1

4.已知數(shù)列{為}的前〃項(xiàng)和為S〃=3〃-1,則%=（）

A.81B.162C.243D.486

5.若（2%-1）4=%-+41%+%,貝|。0+。2+。4=（）

A.-40B.40C.41D.82

6.已知函數(shù)/'（無(wú)）=2，，則函數(shù)/（無(wú)）的圖象在點(diǎn)（0J（0））處的切線方程為（）

A.x-y-l=0B.%->+1=0

C.In2-歹一1=0D.In2->+1=0

7.若直線/:?1（。>0,6>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）,則直線/在x軸和y軸上的截距之和取

最小值時(shí)，/=（）

b

1/?

A.2B.-C.V2D.—

22

8.已知經(jīng)過(guò)圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部

分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積

之比是（）

A.1:8B.1：9C.1:26D.1:27

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)Z1=a+i,z2=1+M（其中i是虛數(shù)單位，a,ZJGR）,若為仁為純虛數(shù),

貝U（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A.a-b=OB.a+b=OC.ab-1D.ab1

10.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收

入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入的極差為12

B.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的75%分位數(shù)約為9

C.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

D.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值超過(guò)6.5萬(wàn)元

11.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函數(shù)為

〃尤)=兇，因表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如卜3.5]=-4,[2』=2.下列命題中正

確的有()

A.SxeR,/(X)=X-1

B.VxeR,neZ,/(x+n)=/(x)+?

C.Vx,y>0,/(lgx)+/(1gJ)=/(1g(xy))

D.eN*,/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+-??+/)=92

三、填空題

12.已知向量色友萬(wàn)在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,

則

(a+b)-c=;a-b=?

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

13.袋中有4個(gè)紅球，加個(gè)黃球，"個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為

若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為則￡(/=_____.

6

22

14.已知過(guò)雙曲線。:0-%=1(°>0,6>())左焦點(diǎn)￡且傾斜角為60。的直線與C交于

點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)瓦且/是的中點(diǎn)，則C的離心率為.

四、解答題

15.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,且

祈正二0.

⑴求C的離心率；

O

⑵射線四與C交于點(diǎn)B,且|/同=：,求為的周長(zhǎng).

16.記的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知6cos/=V^asin5.

⑴求sinA；

(2)若.=百，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)條件作為已知，使其能夠確定唯

一的三角形，并求AABC的面積.

條件①：b=y[6c;條件②：b=y[6；條件③：sinC=g.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分

別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.在四棱錐尸一48CD中，平面底面ZBCD,BDLAP.

P

是否一定成立？若是，請(qǐng)證明，若不是，請(qǐng)給出理由;

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(2)若是正三角形，且尸-48。是正三棱錐，AB=2,求平面尸ND與平面PBC夾

角的余弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=lnx-3.

(1)討論/(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；

⑵函數(shù)g(x)=￡；若方程〃x)=/(g(x))在xjo,；］上存在實(shí)根，試比較/(。2)與

1—X\)

2

In上e的大小.

4

19.在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法

中的應(yīng)用.設(shè)0,?是兩個(gè)正整數(shù)，若0,q的最大公約數(shù)是1,則稱0,q互素.對(duì)于

任意正整數(shù)小歐拉函數(shù)是不超過(guò)〃且與〃互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為9但).

⑴試求9⑶，。(9),夕⑺，9(21)的值；

(2)設(shè)〃是一個(gè)正整數(shù)，p,夕是兩個(gè)不同的素?cái)?shù).試求。(3"),。(四)與0(p)和°⑷

的關(guān)系；

(3)RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰.具體而

言：

①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p,q；

②計(jì)算〃=》?，歐拉函數(shù)夕(〃)；

③求正整數(shù)上使得何除以夕(〃)的余數(shù)是1;

④其中(〃應(yīng))稱為公鑰，5,左)稱為私鑰.

已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17).若滿足題意的正整數(shù)左

從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列｛2｝,數(shù)列｛g｝滿足80g="+47,求數(shù)列

｛tancjtanc“+J的前n項(xiàng)和T”.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)拋物線方程與準(zhǔn)線的關(guān)系，可得答案.

【詳解】因?yàn)?P=4,所以。=2,所以拋物線/=4x的準(zhǔn)線方程為x=-5=-l.

故選：A.

2.B

【分析】

求出集合4,根據(jù)集合的運(yùn)算與集合關(guān)系判斷.

【詳解】因?yàn)?=「|x=sin與,所以/={-1,0,1},5={0,1}

對(duì)A：AwB,故錯(cuò)誤；

對(duì)B：BcA,故正確；

對(duì)C：/口8={0,1},故錯(cuò)誤；

對(duì)D：6,5={-1),故錯(cuò)誤；

故選：B

3.C

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)-x<0,則/(-x)=a2(-x)-l=-x-a=-/(x),

[—a2——1

則，，解得“=1,

x-l,x<0

此時(shí)/(x)=

x+l,x>0

當(dāng)x<0時(shí)-x>0,所以/(—x)=—x+l=—(x—l)=—/(x),符合題意.

所以a=1.

故選：C

【分析】

根據(jù)給定條件，利用a“='-22)列式計(jì)算即得.

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S"=3"-l,所以%=Ss-邑=35-3"=162.

故選：B

5.C

【分析】

利用賦值法求出&+。3+。2+。1+。0、%3+。2-，從而解得.

32

【詳解】因?yàn)?2x-l『=+(23X+a2x+axx+tz0,

令X=1,可得%+。3+〃2+/+。0=(2xl-l『=1,

號(hào)x=-1f口f%—%+/—4+%=(-2xl—1)—81,

1IQ1

兩式相加可得知+&+%==—=41.

故選：C

6.D

【分析】

求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

【詳解】函數(shù)/(x)=2，,求導(dǎo)得/(x)=2，ln2,則r(0)=ln2,而"0)=1,

所以所求切線方程為yT=ln2.(x-0),BPx-ln2-y+l=0.

故選：D

7.D

【分析】

12

根據(jù)題意，由條件可得一+不=1,再結(jié)合基本不等式即可得到當(dāng)6取最小值的條件，即

可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹本€/：±+2=1(。＞0力＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),則工+?=1,

abab

則〃+6=(Q+Z?)H+2]=3+?+網(wǎng)＞3+2五,

\ab)ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)時(shí)，即6=缶時(shí)，等號(hào)成立，

ab

所以直線/在X軸和7軸上的截距之和取最小值為3+2逝，

止匕時(shí)6=血〃，貝！==

b41a2

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

故選：D

8.C

【分析】

作出圓錐SO的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比

為1:3,從而可得上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為1:27,從而可得解.

【詳解】如圖，作出圓錐SO的軸截面必L8,

設(shè)上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為E,F,半徑分別為，R,

即。F=FG=n,EG=r,

根據(jù)題意可知△MB為正三角形，易知SE=2r,圓錐SO的底面半徑OB=加，

:.SO=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=布＞0B,

3r+2R=37?,R=3Y,

上部分圓錐的底面半徑為百r,高為3廠,

又圓錐SO的底面半徑為OB=回=3技，高為SO=3r+2R=9r,

???上部分圓錐的體積與圓錐so的體積之比為1〕=—,

⑴27

上、下兩部分幾何體的體積之比是1:26.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到上、下底面的半徑的關(guān)系，從而得到兩圓錐的體積

之比.

9.AC

【分析】

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)Z「Z2,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念得到條件.

【詳解】因?yàn)?=”+i,z2=\+b\,

所以Z］-Z2=(l+6i)(a+i)=a+i+abi+bF=(a-b)+(l+06)i,

\a-b=O

又44為純虛數(shù)，所以，ic，即a-b=O且

［1+flO^O

故選：AC

10.BCD

【分析】

根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出極差、75%分位數(shù)、平均數(shù)判斷ABD；求出數(shù)據(jù)在［4.5,8.5)

內(nèi)的頻率判斷C.

【詳解】觀察頻率分布直方圖，

對(duì)于A,該地農(nóng)戶家庭年收入的極差約為14-3=11,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,數(shù)據(jù)在［2.5,8.5)的頻率為0.02+0.04+0.1+0.14+0.2+0.2=0.7,

數(shù)據(jù)在［2.5,9.5)的頻率為08,因此75%分位數(shù)機(jī)e(8.5,9.5),(加-8.5)x0.1=0.05,解得切=9,

B正確；

對(duì)于C,數(shù)據(jù)在［4.5,8.5)內(nèi)的頻率為0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,C正確；

對(duì)于D,庭年收入的平均值1=3x0.02+4x0.04+5x0.1+6x0.14+7x0.2+8x0,2

+9x0.1+10x0.1+11x0.04+(12+13+14)x0.02=7.68(萬(wàn)元)，D正確.

故選：BCD

11.BD

【分析】

根據(jù)給定的定義，結(jié)合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)xeZ時(shí)，/(x)=x,當(dāng)x￡Z時(shí)，/(x)eZ,而x-leZ,

因此〃無(wú))wx-l,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,VxeR,neZ,令于(x)=m,則+m+n<x+n<m+n+\,

因止匕/(尤+〃)=加+"=/(x)+〃，B正確；

對(duì)于C,取x=g,y=2,0<lg2<l,則/(坨》=一1,/(映2)=0,/(lg(1x2))=/(0)=0,

顯然/(愴；)+/(坨2)H/(聯(lián)42)),C錯(cuò)誤；

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

對(duì)于D,?eN,,當(dāng)1W〃W9時(shí)，/(lgn)=O,當(dāng)10099時(shí),/(lg?)=l,而〃lgl00)=2,

因此/(lg1)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lg99)+/(lg100)=92,此時(shí)〃=100,D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量

詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說(shuō)明.

12.03

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出a+B,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則)=(2,1)/=(2,-1族=(0,1),

3+1(4,0),(5+6)-c=4x0+0x1=0,

a-S=2x2+lx(-l)=3.

故答案為：0；3.

13.|

C21

【分析】記取出的兩個(gè)球都是紅球?yàn)槭录嗀,則尸(⑷=^^一=々，即可求出加+",從而

C加+〃+46

得到占的可能取值為0、1、2,求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望.

C1

【詳解】依題意加、"為非負(fù)整數(shù)，記取出的兩個(gè)球都是紅球?yàn)槭录嗀,則尸(/)=不+=-,

。加+〃+40

4x31

所以W+〃+4)M+〃+3)=%'解得加+”=5或加+〃=-12(舍去),

所以4的可能取值為0、1、2,

則上=。)=信C2=5得，尸r普T5

(AW尸(J=2)=cl_l

Lg10v-/29C；6

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

CC1Q

所以￡?=0x—+lx—+2x—=,

v718969

故答案為：

14.i+G/Q+1

【分析】

先利用斜率和點(diǎn)耳求出直線的方程，令x=0得8的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系求出點(diǎn)/

的坐標(biāo)，將/的坐標(biāo)代入雙曲線方程，結(jié)合離心率定義及范圍，計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意心=tan60。=退，耳(-。,0),所以直線”的方程為y=省卜+c),

令x=0得以0,&),因?yàn)?是班的中點(diǎn),所以

、乙乙)

將點(diǎn)代入c：］一、=1得：/3c2

力一g」，

122Jab4

結(jié)合產(chǎn)=02化簡(jiǎn)得,4一8c2/+4/=0,所以e4-8e2+4=0,

所以e?=4+2A/3或/=4—2^/3，所以e=1+-\/3或e=A/3—1>

又-1<-。，所以e=,2,所以e=l+V3.

故答案為：1+6

f

/FM1A

15.(1)—

2

⑵8

【分析】

(1)由葩'?數(shù)=0,可得。，c的關(guān)系,進(jìn)而求出橢圓的離心率；

(2)由(1)可得“與c,b與c的關(guān)系,設(shè)直線4月的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)8

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

的坐標(biāo)，求出Ma的表達(dá)式，由題意可得。，“的值，由橢圓的性質(zhì)可得的周長(zhǎng)為4a,

即求出三角形的周長(zhǎng).

【詳解】(1)依題意可得上頂點(diǎn)2(0,6),左，右焦點(diǎn)分別為耳(H,0),g(c,0),

所以4片=(―c,—b),AF2=(c,—Z)),

又麗次=0,

所以福?正=—，+(_?2=o,即〃=。2,即/一°2=°2,

所以42=2/,所以禺心率e=￡_=；

a2

22

(2)由⑴可得b=c,〃=①，則橢圓方程為r尸+與=1,

射線皿的方程為y=2x+b=x+c,

C

y=x+c

聯(lián)立＜x2y2，整理可得3%2+4cx=0,

匠+/=1

41(41、

解得x=0或%=_§c,貝BPB\^--C,--C^,

所以|第=&$]+(c+*)=，近=\，解得c=3，則a=2,

所以△/班的周長(zhǎng)C，出=|/卻+|/閭+|盟|=1周+|郎|+|公|+|典|=4a=8.

(2)答案見(jiàn)解析.

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】

(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角公式計(jì)算即得.

(2)選擇條件①，利用余弦定理及三角形面積公式計(jì)算求解；選擇條件②，利用正弦定理

計(jì)算判斷三角形不唯一；選擇條件③，利用正弦定理計(jì)算判斷，再求出三角形面積.

【詳解】(1)

由6cos4=后。sin5得：sinBcosA=V2sinAsmB而sinBwO，

則cosZ=V^sinN〉0，A為銳角,又sin?Z+cos?Z=1,解得sinZ=^^

3

所以sin/=且且A為銳角.

3

(2)

若選條件①，由sin4=——，A為銳角，得cosZ=——，

33

由余弦定理得/=3+。2-2feccos，,又b=4^c,貝!)3=602+/-4°2,

解得c=\,b=瓜AABC唯一確定,所以S,ABC=fcsinA=y-.

若選條件②，由正弦定理得‘二=二4,則.R^XTV6,

smZsmBsmti=---尸一=二一<1

<33

由6=&>a=G，得8>/,因此角8有兩解，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)三角形，不符合題意.

若選條件③，由sin4=",A為銳角，得cos/="，

33

又sin/=避^>sinC=L,得a>c,A>C,則cosC=，

333

因止匕sinB=sin(N+C)=sinAcosC+cos/sinC=,AABC唯一確定,

7

ar

由正弦定理得，則c=H6=1,所以S=Bc=gacsin3=T

sinAsinC

T

17.(1)不一定，理由見(jiàn)解析

⑵遮

13

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)尸作ZC的垂線交/C于點(diǎn)E,由面面垂直的性質(zhì)得到PE_L底面48CD,

舉出反例當(dāng)/尸_L4C,即點(diǎn)A與點(diǎn)￡重合時(shí)，均可得得到尸.

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

（2）依題意可得點(diǎn)E為/C的中點(diǎn)，再由線面垂直的性質(zhì)得到PE_L3D,從而得到AD1平

面/PC,設(shè)BDcAC=O,則。為2。的中點(diǎn)，作OFIIEP,則OF,底面/BCD,如圖建

立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫔?CL底面488,過(guò)點(diǎn)P作/C的垂線交/C于點(diǎn)￡,

又平面P/Cn底面=PEu平面R4C,所以PE_L底面/BCD,

若4PL/C,則點(diǎn)A與點(diǎn)￡重合，即/尸1底面/8C。，

所以/尸垂直平面ZBCZ）內(nèi)任意直線，即8。與/C無(wú)論何種位置關(guān)系，都有AD_L4P,

所以ADL/C不一定成立.

（2）因?yàn)锳R4c是正三角形，則點(diǎn)E為NC的中點(diǎn)，

由（1）尸E_L底面48cD,又BDu底面4BCD,所以PELBD,

又BDLAP,PE^AP=P,P￡,4Pu平面4PC,所以BO上平面4PC,

又/Cu平面4PC,所以助工/C,又尸-/助是正三棱錐，即△43。為等邊三角形,

設(shè)8Dc/C=O,則。為AD的中點(diǎn)，作OFIIEP,則OF_L底面/BC。，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則/（0,-6,0）,5（1,0,0）,C0,g,0,。（-1,0,0）,

所以=（-1,百,0）,AP=0,---,2,BC=-1,——,0,BP=-1,——,2

（'JI3,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

n-AD--x+拒y=0

設(shè)平面P4D的法向量為〃=(尤,y,z),則n-AP=^-y+2z=0

I3J

3

m?BC=-a+b=0

3

設(shè)平面PBC的法向量為m=(〃,b,c),則,取用=(行,3,6)，

n-JP=-a--b+2c=0

3

所以平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為上.

18.(1)答案見(jiàn)解析

2

⑵/(/)>吟

【分析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，分a20、。<0兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性與

極值；

(2)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明g(x)的單調(diào)性，即可得到0<g(x)<；,xe[o，￡|，令"g(x),則方程

/。)=/。)在工((),￡|,此,,￡|上存在實(shí)根，結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性，可得0<—a<g,

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

即—5<。<0,貝!J/(a?)=21n(-a),令,"(a)=21n(-a),——<a<0,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)

的單調(diào)性，即可得到"(a)>In],從而得解.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=lnx-f的定義域?yàn)?0,+司，

又廣⑺[+土手，

當(dāng)時(shí)，*(x)>0恒成立，所以“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)極值，

當(dāng)心。時(shí)，令/(月=0,解得X=F,

所以當(dāng)時(shí)/'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(-a,+oo)時(shí)”(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，/(x)取到極小值/(-a)=ln(-a)+l,無(wú)極大值，

綜上所述，當(dāng)a20時(shí)，/(?在(0,+⑹上單調(diào)遞增，無(wú)極值，

當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在(0,-。)上單調(diào)遞減，在(-%+8)上單調(diào)遞增，極小值為ln(-a)+l,無(wú)極大值.

/1

(2)因?yàn)間(x)=；—,0<x<-,

1-x2

rI，/、2x-(l-x)-(-l)x22x-x2x(2-x)

則g*)=—L—=E=E，

令g'(x)=0,解得x=2或0(舍)，

所以當(dāng)xe]o,￡|時(shí)g'a)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(0)<g(x)<g]；j,即0<g(x)<；,

令f=g(x),0<x<-,貝l]0</<L

22

若方程/(x)=/(g(x))在xe(0,上存在實(shí)根，

則方程/?=/(0在x?，te上存在實(shí)根，

當(dāng)“20時(shí)在(()1]上單調(diào)，貝IJx=g(x)在上有解，

即應(yīng)該在(嗎上有解，但是2x—=0在(o,￡|上無(wú)解，不合題意，

所以/(X)在(o,￡|上不單調(diào)，即。<0,

由(1)知0<—tz<一,即—<。<0,

22

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

所以/(/)=加“2—彳=21口(_“)_J_,一；<〃<(),

令加(a)=21n(-a)-L<a<0,

,/\212。+1

貝U加(a)=-----+—=——>0,

-aaa

所以制a)在1;,o］上單調(diào)遞增，

所以加(a)>"d=21n；+2=ln',

所以了(片)>1111.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常

化為不等式恒成立問(wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證

明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.

19.(1)奴3)=2/(9)=6,0⑺=6,0(21)=12；

（2）^（3"）=2-3,,-1,9（pq）=<p（p?9（q）；

⑶『一一

【分析】

(1)利用歐拉函數(shù)的定義直接求值.

(2)利用歐拉函數(shù)的定義求出夕(3"),夕(p)，e(q),進(jìn)而分析計(jì)算9(P4).

(3)根據(jù)給定信息求出2,g,再利用差角的正切公式，借助裂項(xiàng)求和法求解即得.

【詳解】(1)由歐拉