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目錄(1/1)目錄概述5.1李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.4非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.5Matlab問題
本章小結(jié)李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理(1/2)5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理本節(jié)主要研究李雅普諾夫意義下各種穩(wěn)定性的判定定理和判定方法。討論的主要問題有:基本概念:矩陣和函數(shù)的定號(hào)性(正定性、負(fù)定性等)基本方法:非線性系統(tǒng)線性化方法李雅普諾夫第一法矩陣符號(hào)(正定性、負(fù)定性等)檢驗(yàn)方法李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第一法(1/7)5.2.1李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法又稱間接法,它是研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一次近似數(shù)學(xué)模型(線性化模型)穩(wěn)定性的方法。它的基本思路是:首先,對(duì)于非線性系統(tǒng),可先將非線性狀態(tài)方程在平衡態(tài)附近進(jìn)行線性化,即在平衡態(tài)求其一次Taylor展開式,然后利用這一次展開式表示的線性化方程去分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。其次,解出線性化狀態(tài)方程組或線性狀態(tài)方程組的特征值,然后根據(jù)全部特征值在復(fù)平面上的分布情況來判定系統(tǒng)在零輸入情況下的穩(wěn)定性。李雅普諾夫第一法(2/7)下面將討論李雅普諾夫第一法的結(jié)論以及在判定系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性中的應(yīng)用。設(shè)所討論的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x)其中f(x)為與狀態(tài)向量x同維的關(guān)于x的非線性向量函數(shù),其各元素對(duì)x有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。李雅普諾夫第一法(3/7)欲討論系統(tǒng)在平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性,先必須將非線性向量函數(shù)f(x)在平衡態(tài)附近展開成Taylor級(jí)數(shù),即有其中A為n
n維的向量函數(shù)f(x)與x間的雅可比矩陣;R(x-xe)為Taylor展開式中包含x-xe的二次及二次以上的余項(xiàng)。雅可比矩陣A定義為李雅普諾夫第一法(4/7)上述線性化方程的右邊第一項(xiàng)A(x-xe)代表原非線性狀態(tài)方程的一次近似式,如果用該一次近似式來表達(dá)原非線性方程的近似動(dòng)態(tài)方程,即可得如下線性化的狀態(tài)方程:x’=A(x-xe)由于對(duì)如上式所示的狀態(tài)方程總可以通過n維狀態(tài)空間中的坐標(biāo)平移,將平衡態(tài)xe移到原點(diǎn)。因此,上式又可轉(zhuǎn)換成如下原點(diǎn)平衡態(tài)的線性狀態(tài)方程:x’=Ax判別非線性系統(tǒng)平衡態(tài)xe穩(wěn)定性的李雅普諾夫第一法的思想即為:通過線性化,將討論非線性系統(tǒng)平衡態(tài)穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)換到討論線性系統(tǒng)x’=Ax的穩(wěn)定性問題。李雅普諾夫第一法(5/7)李雅普諾夫第一法的基本結(jié)論是:1.若線性化系統(tǒng)的狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe漸近穩(wěn)定,而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階項(xiàng)R(x)無關(guān)。2.若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe不穩(wěn)定,而且該平衡態(tài)的穩(wěn)定性與高階項(xiàng)R(x)無關(guān)。3.若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A除有實(shí)部為零的特征值外,其余特征值都具有負(fù)實(shí)部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性由高階項(xiàng)R(x)決定。李雅普諾夫第一法(6/7)由上述李雅普諾夫第一法的結(jié)論可知,該方法與經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性判據(jù)的思路一致,需求解線性化狀態(tài)方程或線性狀態(tài)方程的特征值,根據(jù)特征值在復(fù)平面的分布來分析穩(wěn)定性。值得指出的區(qū)別是:經(jīng)典控制理論討論的是輸出穩(wěn)定性問題,而李雅普諾夫方法討論狀態(tài)穩(wěn)定性問題。由于李雅普諾夫第一法需要求解線性化后系統(tǒng)的特征值,因此該方法也僅能適用于非線性定常系統(tǒng)或線性定常系統(tǒng),而不能推廣至?xí)r變系統(tǒng)。李雅普諾夫第一法(7/7)—例5-1試確定系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定性。解1:由狀態(tài)方程知,原點(diǎn)為該系統(tǒng)的平衡態(tài)。將系統(tǒng)在原點(diǎn)處線性化,則系統(tǒng)矩陣為例5-1某裝置的動(dòng)力學(xué)特性用下列常微分方程組來描述:因此,系統(tǒng)的特征方程為|
I-A|=
2+K1
+K2=0李雅普諾夫第一法(8/7)2.
由李雅普諾夫第一法知,原非線性系統(tǒng)的原點(diǎn)為漸近穩(wěn)定的充分條件為:K1>0和K2>0.李雅普諾夫第二法(1/3)5.2.2李雅普諾夫第二法由李雅普諾夫第一法的結(jié)論可知,該方法能解決部分弱非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定問題,但對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定則無能為力,而且該方法不易推廣到時(shí)變系統(tǒng)。下面我們討論對(duì)所有動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的穩(wěn)定性分析都適用的李雅普諾夫第二法。李雅普諾夫第二法(2/3)李雅普諾夫第二法又稱為直接法。它是在用能量觀點(diǎn)分析穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上建立起來的。若系統(tǒng)平衡態(tài)漸近穩(wěn)定,則系統(tǒng)經(jīng)激勵(lì)后,其儲(chǔ)存的能量將隨著時(shí)間推移而衰減。當(dāng)趨于平衡態(tài)時(shí),其能量達(dá)到最小值。反之,若平衡態(tài)不穩(wěn)定,則系統(tǒng)將不斷地從外界吸收能量,其儲(chǔ)存的能量將越來越大?;谶@樣的觀點(diǎn),只要能找出一個(gè)能合理描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù),通過考察該函數(shù)隨時(shí)間推移是否衰減,就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(1/5)2.李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義從平衡態(tài)的定義可知,平衡態(tài)是使得系統(tǒng)靜止不動(dòng)(導(dǎo)數(shù)為零,即運(yùn)動(dòng)變化的趨勢(shì)為零)的狀態(tài)。從能量的觀點(diǎn)來說,靜止不動(dòng)即不存在運(yùn)動(dòng)變化所需要的能量,即變化所需的能量為零。通過分析狀態(tài)變化所反映的能量變化關(guān)系可以分析出狀態(tài)的變遷或演變,可以分析出平衡態(tài)是否穩(wěn)定或不穩(wěn)定。下面通過一剛體運(yùn)動(dòng)的能量變化來簡(jiǎn)介李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(2/5)右圖所示動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)在一定范圍內(nèi)為漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)。對(duì)該平衡態(tài)的鄰域,可定義其能量(動(dòng)能+勢(shì)能)函數(shù)如下:其中x為位移,x’為速度,兩者且選為狀態(tài)變量。在圖中所示狀態(tài),v=-x’,由牛頓第二定律可知,其運(yùn)動(dòng)滿足如下方程:m(-x’’)=mgcos
-fmgsin
其中f為摩擦阻尼系數(shù)。因此,有mx’’=-mg(cos
-fsin)因此,能量的變化趨勢(shì)(導(dǎo)數(shù))為V’=mx’x’’+mgx’cos
=-mgx’(cos
-fsin)+mgx’cos
=mgx’fsin
李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(3/5)當(dāng)取值為[0,90],由于v的方向與x相反,x’為負(fù),因此上式恒小于零。即漸近穩(wěn)定的平衡態(tài),其正定的能量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(變化趨勢(shì))為負(fù)。對(duì)小球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)亦可作同樣分析。從直觀物理意義的角度,也非常易于理解。由于物體運(yùn)動(dòng)所受到的摩擦力作負(fù)功,由能量守恒定律可知,物體的能量將隨物體運(yùn)動(dòng)減少,即其導(dǎo)數(shù)(變化趨勢(shì))為負(fù)。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(4/5)再如右圖所示的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),其平衡態(tài)在一定范圍內(nèi)為不穩(wěn)定的平衡態(tài)。對(duì)該平衡態(tài)的鄰域,可定義其能量(動(dòng)能+勢(shì)能)函數(shù)如下:李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(5/5)由牛頓第二定律可知,其運(yùn)動(dòng)滿足如下方程:ma=mgcos
-fmgsin
因此,有mx’’=mg(cos
-fsin)因此,能量的變化趨勢(shì)(導(dǎo)數(shù))為李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(6/5)V’=mx’x’’-mgx’cos
=mgx’(cos
-fsin)-mgx’cos
=-mgx’fsin
當(dāng)取值為[0,90],由于x’為正,因此上式恒小于零。即不穩(wěn)定的平衡態(tài),其負(fù)定的能量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(變化趨勢(shì))為負(fù)。李雅普諾夫第二法的基本思想就是通過定義和分析一個(gè)在平衡態(tài)鄰域的關(guān)于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的廣義能量函數(shù)來分析平衡態(tài)的穩(wěn)定性。通過考察該能量函數(shù)隨時(shí)間變化是否衰減來判定平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定,還是不穩(wěn)定。基于上述關(guān)于函數(shù)的定號(hào)性的定義和上述物理意義解釋,下面闡述李雅普諾夫第二法關(guān)于平衡態(tài)穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定的幾個(gè)定理。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義(7/5)3.李雅普諾夫第二法的幾個(gè)定理下面分別介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性分析的如下3個(gè)定理:漸近穩(wěn)定性定理(定理5-4)穩(wěn)定性定理(定理5-5)不穩(wěn)定性定理(定理5-6)李雅普諾夫第二法的幾個(gè)定理(1/1)(1)漸近穩(wěn)定性定理定理5-4
設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t)其中xe=0為其平衡態(tài)。若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t),滿足下述條件:1)
若V’(x,t)為負(fù)定的,則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的;2)
更進(jìn)一步,若隨著||x||→
,有V(x,t)→
,那么該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的?!鯘u近穩(wěn)定性定理(1/7)李雅普諾夫定理是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)重要方法和結(jié)論。它不僅適用于線性系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng);既適用于定常系統(tǒng),也適用于時(shí)變系統(tǒng)。因此,李雅普諾夫第二法是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的具有普遍性的方法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論對(duì)控制理論中其他分支理論的發(fā)展也起著重要的作用,是進(jìn)行現(xiàn)代系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)工具。對(duì)上述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的使用有如下說明:1)
此定理只為判別系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定的充分條件,而非必要條件。漸近穩(wěn)定性定理(2/7)也就是說,若找到滿足上述條件的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù),則系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定或大范圍一致漸近穩(wěn)定的。但是,如果我們一時(shí)找不到這樣的李雅普諾夫函數(shù),也并不意味著平衡態(tài)就不是漸近穩(wěn)定的。此時(shí),我們或者繼續(xù)尋找滿足條件的李雅普諾夫函數(shù),或者可利用后續(xù)定理的結(jié)論來判別平衡態(tài)的漸近穩(wěn)定性。2)
對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡態(tài),滿足條件的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的,但并不唯一。漸近穩(wěn)定性定理(3/7)3)
對(duì)于非線性系統(tǒng),雖然具體的李雅普諾夫函數(shù)可證明所討論的系統(tǒng)在平衡態(tài)的鄰域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的,但并不意味著在其他的區(qū)域系統(tǒng)是或不是漸近穩(wěn)定的;對(duì)于線性系統(tǒng),如果存在著漸近穩(wěn)定的平衡態(tài),則它必是大范圍漸近穩(wěn)定的。4)
此定理不僅適用于線性系統(tǒng),同樣適用于非線性系統(tǒng);既適用于定常系統(tǒng),同樣也適用于時(shí)變系統(tǒng)。因此李雅普諾夫第二法是判別平衡態(tài)穩(wěn)定性的具有普遍性的方法。5)
李雅普諾夫第二法的結(jié)論并沒有指明尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法。尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法將依具體的系統(tǒng)和狀態(tài)方程而具體分析。漸近穩(wěn)定性定理(4/7)定理5-4中嚴(yán)格要求選擇的李雅普諾夫函數(shù)為正定函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為負(fù)定函數(shù)。這給該定理的應(yīng)用,特別是尋找適宜的李雅普諾夫函數(shù)帶來一定困難。下面給出一個(gè)定理對(duì)上述定理5-4作一補(bǔ)充,以減弱判別條件。漸近穩(wěn)定性定理(9/7)(2)穩(wěn)定性定理定理5-5
設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t),其中xe=0為其平衡態(tài)。若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t),滿足下述條件:1)
V’(x,t)為非正定(半負(fù)定)的,則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致穩(wěn)定的;2)
更進(jìn)一步,若V(x,t)的定義域
為Rn,對(duì)任意的t0和任意的x(t0)
0,V’(x,t)在t>t0時(shí)不恒為零,那么該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的,否則將僅是一致穩(wěn)定而非一致漸近穩(wěn)定。此時(shí),隨著||x||→
,有V(x,t)→
,則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的一致漸近穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的?!醴€(wěn)定性定理(1/4)由此定理的結(jié)論可知,定理5-5不僅可用于判別平衡態(tài)的穩(wěn)定性,而且可作為定理5-4的補(bǔ)充,用于判別平衡態(tài)的漸近穩(wěn)定性。例5-5
試確定例5-4的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。解前面已經(jīng)定義例5-4的系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。該函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)分別為穩(wěn)定性定理(2/4)—例5-5由于V’(x)是非正定函數(shù),由定理5-5的1)可知,系統(tǒng)為一致穩(wěn)定的。穩(wěn)定性定理(5/4)—例5-5對(duì)例5-5,選取李雅普諾夫函數(shù)為則是負(fù)定的,系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。例5-6
試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。穩(wěn)定性定理(6/4)—例5-6為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t),V(x)的全導(dǎo)數(shù)解顯然,原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇正定函數(shù)由于V’(x)非正定,由定理5-5的1)可知,系統(tǒng)為一致穩(wěn)定的。由于V’(x)對(duì)任意的x
0恒為零,因此由定理5-5中2)可知,該系統(tǒng)是穩(wěn)定的但非漸近穩(wěn)定?!醴€(wěn)定性定理(6/4)—例5-6(3)不穩(wěn)定性定理定理5-6
設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t),其中xe=0為其平衡態(tài)。若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t),滿足下述條件:1)
V’(x,t)為正定的,則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的;2)
若V’(x,t)為非負(fù)定的,且對(duì)任意的t0和任意的x(t0)
0,V’(x,t)在t>t0時(shí)不恒為零,那么該平衡態(tài)xe亦是不穩(wěn)定的?!醪环€(wěn)定性定理(1/2)下面將前面討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性的判定方法作一小結(jié)不穩(wěn)定性定理(5/2)—穩(wěn)定性定理小結(jié)
V(x)
V’(x)結(jié)論正定(>0)負(fù)定(<0)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)半負(fù)定(
0)且不恒為0(對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)半負(fù)定(
0)且恒為0(對(duì)某一非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定正定(>0)正定(>0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定正定(>0)半正定(
0)且不恒為0(對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)不穩(wěn)定穩(wěn)定性定理(4/4)—例5-5下面利用定理5-5的結(jié)論2)來分析相應(yīng)的平衡態(tài)是否漸近穩(wěn)定。分析過程可如右圖所示。平衡態(tài)漸近穩(wěn)定例5-7
試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。不穩(wěn)定性定理(2/2)—例5-7解顯然,原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇李雅普諾夫函數(shù)為則由于V’(x)非負(fù)定,但其只在x1=0,x2=0時(shí)才恒為零,而在其他狀態(tài)不恒為零,因此由定理5-6的2)可知,系統(tǒng)的該平衡態(tài)為不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定性定理(3/2)—例5-8例5-8設(shè)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。
解定義李雅普諾夫函數(shù)為顯然,在x1-x2平面上的第一,三象限內(nèi),有V(x,t),是正定的。在此區(qū)域內(nèi)取V(x,t)的全導(dǎo)數(shù)為不穩(wěn)定性定理(4/2)—例5-8所以在x1-x2平面上的第一,三象限內(nèi)V(x,t),>0,它的一階導(dǎo)數(shù)亦大于零,由此根據(jù)定理5-6可知,系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。例5-3
試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。漸近穩(wěn)定性定理(7/7)--例3解顯然,原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇正定函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t),V(x)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)是負(fù)定函數(shù)。此外,當(dāng)||x||→
時(shí),必有V(x)→
。因此,由定理5-4知,在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例5-4
試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。漸近穩(wěn)定性定理(8/7)—例4解顯然,原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我們選擇正定函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t),V(x)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)是負(fù)定函數(shù),故由定理5-4知,根據(jù)所選的李雅普諾夫函數(shù)分析不出該平衡態(tài)是否漸近穩(wěn)定或穩(wěn)定。但這也并不意味著該平衡態(tài)就并不漸近穩(wěn)定?!趵钛牌罩Z夫第二法(3/3)在給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理之前,下面先介紹一些數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí),然后介紹一些李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的直觀意義,最后介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性定理數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)(1/1)1.數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)下面介紹在李雅普諾夫穩(wěn)定性分析中需應(yīng)用到的如下數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí):函數(shù)的正定性二次型函數(shù)和對(duì)稱矩陣的正定性矩陣正定性的判別方法實(shí)函數(shù)的正定性(1/4)—函數(shù)定號(hào)性定義(1)
實(shí)函數(shù)的正定性實(shí)函數(shù)正定性問題亦稱為函數(shù)定號(hào)性問題。它主要討論該函數(shù)的值在什么條件下恒為正,什么條件下恒為負(fù)的。下面先給出n維向量x的標(biāo)量實(shí)函數(shù)V(x)的正定性定義。定義5-5設(shè)x
Rn,
是Rn中包含原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域,若實(shí)函數(shù)V(x)對(duì)任意n維非零向量x
都有V(x)>0;當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),才有V(x)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域
上的正定函數(shù)。
實(shí)函數(shù)的正定性(2/4)—函數(shù)定號(hào)性定義從定義可知,所謂正定函數(shù),即指除零點(diǎn)外恒為正值的標(biāo)量函數(shù)。由正定函數(shù)的定義,我們相應(yīng)地可定義負(fù)定函數(shù)、非負(fù)定(又稱半正定或正半定)函數(shù)、非正定函數(shù)(又稱半負(fù)定或負(fù)半定)和不定函數(shù)。實(shí)函數(shù)的正定性(3/4)—函數(shù)定號(hào)性定義定義5-6設(shè)x
Rn,
是Rn中包含原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域,若實(shí)函數(shù)V(x)對(duì)任意n維非零向量x
,都有V(x)<0;當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),才有V(x)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域
上的負(fù)定函數(shù)。若對(duì)任意n維非零向量x
,都有V(x)≥0,且V(0)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域
上的非負(fù)定函數(shù)。若對(duì)任意n維非零向量x
,都有V(x)≤0,且V(0)=0,則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域
上的非正定函數(shù)。若無論取多么小的原點(diǎn)的某個(gè)鄰域,V(x)可為正值也可為負(fù)值,則稱函數(shù)V(x)為不定函數(shù)。
實(shí)函數(shù)的正定性(4/4)下面是幾個(gè)在由變量x1和x2組成的2維線性空間中的正定函數(shù)、負(fù)定函數(shù)等的例子。1)正定函數(shù)2)負(fù)定函數(shù)3)非負(fù)定函數(shù)4)非正定函數(shù)實(shí)函數(shù)的正定性(5/4)5)不定函數(shù)函數(shù)的定號(hào)性是一個(gè)相對(duì)概念,與其函數(shù)定義域有關(guān)。如,函數(shù)對(duì)x1與x2組成的2維空間為非負(fù)定的,但對(duì)于1維空間x2則為正定的。上面定義了時(shí)不變函數(shù)V(x)的定號(hào)性,相應(yīng)地可以定義標(biāo)量時(shí)變函數(shù)V(x,t)的定號(hào)性。實(shí)函數(shù)的正定性(6/4)定義5-7設(shè)x
Rn,是Rn中包含原點(diǎn)的一個(gè)封閉有限區(qū)域,實(shí)函數(shù)V(x,t)是定義在[t0,)上的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)且V(0,t)=0,標(biāo)量連續(xù)函數(shù)(||x||)和(||x||)為非減(函數(shù)值單調(diào)增加)的且滿足
(0)=(0)=0,1)
如果對(duì)任意tt0和x0,V(x,t)為有界正定的,即0<(||x||)V(x,t)(||x||),稱函數(shù)V(x,t)為[t0,)上的(時(shí)變)正定函數(shù)。2)
如果對(duì)任意tt0和x0,分別為有界負(fù)定,即0>-(||x||)V(x,t)-(||x||);有界非負(fù)定,即0V(x,t)(||x||);有界非正定,即0V(x,t)-(||x||),實(shí)函數(shù)的正定性(6/4)分別稱函數(shù)V(x,t)為[t0,)上的(時(shí)變)負(fù)定函數(shù)、非負(fù)定函數(shù)和非正定函數(shù)。3)
如果存在tt0,無論取多么小的原點(diǎn)的某個(gè)鄰域,V(x,t)可為正值也可為負(fù)值,則稱函數(shù)V(x,t)為不定函數(shù)。二次型函數(shù)和對(duì)稱矩陣的正定性(1/4)(2)
二次型函數(shù)和對(duì)稱矩陣的正定性二次型函數(shù)是一類特殊形式函數(shù)。設(shè)V(x)為關(guān)于n維變量向量x的實(shí)二次型函數(shù),則其可以表示為其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)為實(shí)常數(shù)。二次型函數(shù)和對(duì)稱矩陣的正定性(2/4)由線性代數(shù)知識(shí)知,實(shí)二次型函數(shù)V(x)又可表示為V(x)=x
Px其中P稱為二次型函數(shù)V(x)的權(quán)矩陣,它為如下n
n維實(shí)對(duì)稱矩陣:二次型函數(shù)和對(duì)稱矩陣的正定性(3/4)二次型函數(shù)與一般函數(shù)一樣,具有正定、負(fù)定、非負(fù)定、非正定和不定等定號(hào)性概念。二次型函數(shù)V(x)和它的對(duì)稱權(quán)矩陣P是一一對(duì)應(yīng)的。因此,由二次型函數(shù)的正定性同樣可定義對(duì)稱矩陣P的正定性。定義5-8設(shè)對(duì)稱矩陣P為二次型函數(shù)V(x)的權(quán)矩陣,當(dāng)V(x)分別為正定、負(fù)定、非負(fù)定、非正定與不定時(shí),則稱對(duì)稱矩陣P相應(yīng)為正定、負(fù)定、非負(fù)定、非正定與不定?!醵?/p>
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