2024年南寧市三中高三數(shù)學考前最后一模試卷附答案解析

年南寧市三中高三數(shù)學考前最后一模試卷（全卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將學校、班級、姓名、考號填寫在答題卡上．2．考生請在答題卡上作答（答題注意事項見答題卡），在本試題上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，則的值為（

）A．B．C． D．－2．棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理表明：若隨機變量，當充分大時，可以用服從正態(tài)分布的隨機變量來近似，且的期望和方差與的期望和方差相同，已知某運動員每次投籃的命中率為，則他在1800次投籃中，超過1180次命中的概率約為（

）（參考數(shù)據(jù):若，則，，）A．0.65865 B．0.84135 C．0.97725 D．0.998653．已知命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，4．已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．15．把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．96種 B．60種 C．48種 D．36種6．已知是橢圓的左、右焦點，點P在C上，且線段的中點在以為直徑的圓上，則三角形的面積為（

）A．1 B． C． D．87．已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．若，，，，則的值等于（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．給出下列命題，其中錯誤的命題為（

）A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為6．B．具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，那么越接近于0，x，y之間的線性相關(guān)程度越高；C．在一個列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到的觀測值k，若k的值越大，則認為兩個變量間有關(guān)的把握就越大；D．甲同學所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按簡單隨機抽樣的方法抽取容量為200的一個樣本，則甲被抽到的概率為．10．定義：設(shè)是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為6C．函數(shù)有三個零點 D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為111．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，點C在底面圓周上，且二面角的大小為45°，則（

）A．的面積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．該圓錐的體積為π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．底面半徑為2且軸截面為正三角形的圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個高為的圓錐，所得的圓臺的側(cè)面積為．13．設(shè)函數(shù)，則，若，則實數(shù)的取值范圍是．14．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．16．2024龍年春節(jié)期間哈爾濱旅游火出圈，“小土豆”等更成為流行詞，旅游過節(jié)已成為一種新時尚.某旅行社為了解某市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次是否有關(guān)，從該市隨機抽取了200位市民，通過調(diào)查得到如下表格：單位：人市民春節(jié)旅游意愿愿意不愿意青年人8020老年人4060(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次是否有關(guān)聯(lián).(2)從樣本中按比例分配選取10人，再隨機從中抽取4人做某項調(diào)查，記這4人中青年人愿意出游的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．在三棱錐中，D為線段PA的中點，，．(1)證明：；(2)若，平面平面ABC，求平面PBC與平面DBC的夾角的余弦值．18．如圖，對每個正整數(shù)n，是拋物線上的點，過焦點F的直線交拋物線于另一點．(1)試證：；(2)取，并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點．試證．19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)若直線是曲線的切線，求的最小值；(3)證明：.1．B【分析】根據(jù)題意，由誘導公式化簡，即可得到結(jié)果.【詳解】.故選：B2．B【分析】設(shè)該運動員投籃次有次命中，則，根據(jù)二項分布的期望、方差公式求出、，依題意令，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)計算可得.【詳解】設(shè)該運動員投籃次有次命中，則，所以，，令，則,即他在次投籃中，超過次命中的概率約為.故選：B．3．D【分析】全稱命題的否定為特稱命題，否定形式為：將改為，再將結(jié)論否定.【詳解】由命題，可知，為，，故D正確；ABC錯誤；故選：D4．D【分析】利用向量數(shù)量積的運算律求得，再由夾角公式求，進而求其正弦值即可.【詳解】由，則，由，則，故.故選：D5．D【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求得.【詳解】依題意，設(shè)這五個人分別為甲乙丙丁戊.第一步，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有種情況，第二步，將這個整體與丁戊全排列，有種安排方法，第三步，排好后產(chǎn)生4個空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個空中任選1個安排甲，有種安排方法.則由分步乘法計數(shù)原理，不同的方案共有種.故選：D.6．C【分析】利用橢圓的定義得到為等腰三角形，進而求等腰三角形的面積即可.【詳解】設(shè)的中點為M，則，于是，又，則為等腰三角形，．故選：C．7．A【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與中間值4的大小關(guān)系進而得到與的大小關(guān)系；利用冪函數(shù)的單調(diào)性得到與的大小關(guān)系，最終得到的大小關(guān)系.【詳解】是上的增函數(shù)，，．在上單調(diào)遞增，，，，，在上單調(diào)遞增，，，，故選：A．8．B【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角差的余弦公式與二倍角公式計算即可得.【詳解】，，，，，，，.故選：B.9．ABD【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的概率是等可能的可判斷D?！驹斀狻咳魳颖緮?shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為，故A錯誤；由相關(guān)系數(shù)的實際意義知越接近于1，x，y之間的線性相關(guān)程度越高，故B錯誤；的觀測值越大，則認為兩個變量間有關(guān)的把握就越大，故C正確；簡單隨機抽樣中每個個體被抽到的概率是等可能的，概率等于，故D錯誤；故選：ABD10．AB【分析】根據(jù)函數(shù)對稱中心的定義求出，的值，可判斷A的真假；用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，可判斷B的真假；結(jié)合函數(shù)極值的符號，判斷函數(shù)零點的個數(shù)，判斷C的真假；求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值，與極值點的函數(shù)值比較，得到函數(shù)的最小值，判斷D的真假.【詳解】由題意，點在函數(shù)的圖象上，故；又.由，即.故A正確；所以，所以.由或.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為；極小值為，所以極大值與極小值之和為：，故B正確；因為函數(shù)的極小值，所以三次函數(shù)只有一個零點，故C錯誤；又，，所以函數(shù)在上的最小值為，故D錯.故選：AB11．BD【分析】根據(jù)二面角的定義與圓錐的幾何性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】如圖，取中點，則，由二面角定義可知，.對于A，在中，，所以，所以，，故C錯誤；所以，故A錯誤；，故B正確；，故D正確.故選：BD.12．【分析】由已知條件求出圓臺的上底面半徑，下底面半徑及母線長，再利用圓臺的側(cè)面積公式計算即可.【詳解】由已知是邊長為4的等邊三角形，，又，可得圓臺的上底面半徑，下底面半徑，母線長，則該圓臺的側(cè)面積為．故答案為：.13．，．【詳解】試題分析：∵，∴，∴；若：；若：，故實數(shù)的取值范圍是．考點：1．分段函數(shù)；2．分類討論的數(shù)學思想．14．【詳解】分析：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，先求出圓的標準方程，再設(shè)點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），根據(jù)=λ+μ，求出λ，μ，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．詳解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC?CD=BD?r，∴r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=，設(shè)點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值為3，故答案為：3．點睛：本題考查了向量的坐標運算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點P的坐標，考查了學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因為，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．16．(1)有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意補全列聯(lián)表，從而利用卡方公式求得，進而得解；（2）利用分層抽樣的知識得到青年人愿意出游的人數(shù)的可能取值，從而利用超幾何分布的分布列求得的分布列，進而求得其數(shù)學期望，由此得解.【詳解】（1）零假設(shè)：該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次無關(guān).依題意，得列聯(lián)表如下：市民春節(jié)旅游意愿合計愿意不愿意青年人8020100老年人4060100合計12080200所以.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.（2）從樣本中按比例分配選取10人，則青年人愿意出游?青年人不愿意出游?老年人愿意出游?老年人不愿意出游的人數(shù)分別為，再隨機從中抽取4人，青年人愿意出游的人數(shù)的所有可能取值為，且，，，則的分布列為01234數(shù)學期望為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）欲證，需證垂直直線所在的一個平面，取AC的中點O，連接DO，BO，可證與、垂直，得到線面垂直，可得線線垂直.（2）根據(jù)題意，可以為原點，建立空間直角坐標系，明確點的坐標，求平面的法向量，利用空間向量法即可求二面角的余弦值.【詳解】（1）在中，因為D為線段PA的中點，且，則為直角三角形，且．取AC的中點O，連接DO，BO，如圖：則，所以．因為，所以．因為，BO，平面BOD，所以平面BOD．因為平面BOD，所以．（2）因為平面平面ABC，平面平面，，平面PAC，所以平面ABC，則以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)B，OC，OD所在直線為x軸、y軸、之軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，取，則．設(shè)平面DBC的法向量為，則，取，則，所以，即平面PBC與平面DBC的夾角的余弦值為．18．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先設(shè)直線的方程為，然后與拋物線方程聯(lián)立消去得到，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得到，從而得證．（2）先根據(jù)導數(shù)求出拋物線在處的切線的斜率，進而可得到拋物線在處的切線的方程，同理可得到在處的切線方程，然后兩切線方程相減整理可得到交點的坐標，然后結(jié)合兩點間的距離公式可得到整理即可得到，又由于可得到，最后根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式可得到最后答案．【詳解】（1）證明：對任意固定的，因為焦點，所以可設(shè)直線的方程為，將它與拋物線方程聯(lián)立得：，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得．（2）解：對任意固定的，利用導數(shù)知識易得拋物線在處的切線的斜率，故在處的切線的方程為：，①類似地，可求得在處的切線的方程為：，②由②①得：，，③將③代入①并注意得交點的坐標為．由兩點間的距離公式得：．現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：．19．(1)0(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)討論單調(diào)性后求出最值即可；（2）設(shè)出切點，利用導數(shù)的意義求出斜率，再利用點斜式寫出直線方程之后用代定系數(shù)法找到，然后構(gòu)造函數(shù)，求導分析單調(diào)性，找到最小值即可；（3）利用（1）將函數(shù)變