安徽省2024屆高三年級下冊聯(lián)考（二模）數(shù)學試題（含答案與解析）

2023-2024學年第二學期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考

高三數(shù)學

考生須知：

1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知A,B是全集U的非空子集，且人之①'，則（）

A.BAB.BcC.疫AuVBD.A^B

2.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事

休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖象特

2x

征.則函數(shù)/■（%）=——的圖象大致為（）

X十1

3.已知復數(shù)2=。+歷(a,bwR)且X2-(4+2i)x+4+ai=0有實數(shù)根6,則|z"=()

A.273B.12C.275D.20

4.已知等邊」ABC的邊長為2,點、D、E分別為AB,的中點，若DE=2EF，則砂?■=（）

465

A.1B.—C.—D.一

554

5.已知耳，K是雙曲線5―==l（a〉0,6〉0）的左、右焦點，若雙曲線上存在點尸滿足

ab

尸瓦?尸片=—2/，則雙曲線離心率的最小值為（）

A.76B.75C.2D.也

6.在數(shù)列｛?！埃校琒,為其前"項和，首項4=1,且函數(shù)〃%）=%3一%+避近1+（為“+1）1+1的導函

數(shù)有唯一零點，則$5=（）

A.26B.63C.57D.25

2024

7.已知函數(shù)〃尤）的定義域為R,且/（x+2）—2為奇函數(shù)，/（3x+l）為偶函數(shù)，/⑴=0,則（4）

k=T

=（）

A.4036B.4040C.4044D.4048

8.已知直線/：Ax+3y+C=0（A2+32/0）與曲線W：y=d-x有三個交點O、E、尸，且Q目=|石耳=2,

則以下能作為直線/的方向向量的坐標是（）.

A.（0,1）B,（1,-1）C.（1,1）D,（1,0）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知由樣本數(shù)據(jù)（4%）（i=l,2,3,…，10）組成一個樣本，得到回歸直線方程為亍=-x+3,且1=4.易I

除一個偏離直線較大的異常點（-5,-1）后，得到新的回歸直線經(jīng)過點（6,-4）.則下列說法正確的是

A,相關變量尤，y具有正相關關系

B,剔除該異常點后，樣本相關系數(shù)的絕對值變大

C.剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點（5,-1）

D.剔除該異常點后，隨x值增加相關變量y值減小速度變小

10.在平面直角坐標系xOy中，角3以坐標原點。為頂點，以無軸的非負半軸為始邊,其終邊經(jīng)過點M（a,b）,

定義/（。六處烏，g（^）=—,則（）

mm

n+g[]=iB.f（0）+f（0）＞o

C.若^(=2,則sin26==D.〃e)g(e)是周期函數(shù)

g⑻5

11.如圖，多面體PS—A3CD由正四棱錐ABCD和正四面體S—MC組合而成，其中PS=1,則下

列關于該幾何體敘述正確的是()

A.該幾何體的體積為二B.該幾何體為七面體

4

C.二面角A—P8—C的余弦值為一;D.該幾何體為三棱柱

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機抽取11個，其尺寸值為43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(單

位：mm),現(xiàn)從這11個零件中任取3個，則3個零件的尺寸剛好為這11個零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分

位數(shù)、眾數(shù)的概率為.

13.已知偶函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(o>O)圖像關于點中心對稱，且在區(qū)間0,：上單調(diào)，則

CD=.

14.若實數(shù)X,y滿足f+V=25,則，50+8%+6y+,50+84-6y的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)"X)=Inxd--ax,aeR

(1)若了(%)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)當。<；時，求〃％)的極值點.

16.據(jù)新華社北京2月26日報道，中國航天全年預計實施100次左右發(fā)射任務，有望創(chuàng)造新的紀錄，我國

首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務，多個衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設；中國航天科技集團有限公司計

劃安排近70次宇航發(fā)射任務，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大工程任務.由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)

展前景，有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進

器飛行距離與損壞零件數(shù)進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離x（kkm）5663717990102110117

損壞零件數(shù)y（個）617390105119136149163

88

參考數(shù)據(jù)：x=86,歹=112,82743,^62680

Z=1Z=1

（1）建立y關于x的回歸模型y=2X+6,根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求y關于x的回歸方程（B精確到

0.1,6精確到1）；

（2）該公司進行了第二項測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60

臺進行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進器占比30%,請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2義2

列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關？

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢20

未報廢

合計60100

￡（%「于）（％-歹）

附：回歸方程￡=晟+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為另=上匕------------，a=y-bx,

i=l

n(ad-bc]

K2=7---77---77---77---7，n=a+b+c+d;

(^a+b)[c+d)[a+c)^b+d)

0.250.10.050.0250.010.001

6635

k。1.3232.7063.8415.02410.828

17.在三棱錐P—ABC中，平面ABC,A5=BC=5P=2,點E在平面ABC內(nèi)，且滿足平面

平面PBE,BA垂直于BC

71TC

C1）當NABEe時，求點E的軌跡長度;

o3

（2）當二面角石一Q4—3的余弦值為走時，求三棱錐￡—FCB的體積.

3

22

18.在平面直角坐標系xOy中，橢圓卬：=+3=1（。〉6〉0）的離心率為e,已知橢圓長軸長是短軸長

ab

的2倍，且橢圓W過點（l,e）.

（1）求橢圓W方程；

（2）已知平行四邊形A3C。的四個頂點均在W上，求平行四邊形ABC。的面積S的最大值.

19.對稱變換在對稱數(shù)學中具有重要的研究意義.若一個平面圖形K在機（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下

仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記機為K的一個對稱變換.例如，正三角形R在㈣（繞中心。

作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以網(wǎng)是R的一個對稱變換，考慮到變換前

「123、

后R的三個頂點間的對應關系，記犯=；又如，R在乙（關于對稱軸弓所在直線的反射）的作

1312）

（123、

用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以4也是R的一個對稱變換，類似地，記記正

I_LJZ/

三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S.一個非空集合G對于給定的代數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿

足:

I.\/a,beG,abGG；

II.\/a,b,c&G,(ab)c=a(bc)；

III.eG,\/aeG,ae=ea=a-

IV.VaeG,3a-1GG>a(f'=(f'a=e-

對于一個群G,稱III中e為群G的單位元，稱W中的為。在群G中的逆元.一個群G的一個非空子集

?叫做G的一個子群，假如反對于G的代數(shù)運算來說作成一個群.

（1）直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）；

（2）同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如

I23)(132)_(213)_(2312、’32

叫32r112.對于集合S中的

(312凡21廠U3廠123b1力

vt-o%b2b3y(a}a2%、

元素，定義一種新運算*,規(guī)則如下：7,,

bbcccc

323）23>23>

{4，%,%}=他也也}={。,。2，。3}={1,2,3}.

①證明集合s對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群;

②已知H是群G的一個子群，e,e'分別是G,〃的單位元，aeH,a1>a'分別是。在群G,群H中的

逆元.猜想e,e'之間的關系以及a-'a'之間的關系，并給出證明；

③寫出群S的所有子群.

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知A,B是全集U的非空子集，且4口樂3,則（）

A.BoAB.C.UBD.A^B

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)Venn圖，結(jié)合子集和集合間的運算理解判斷.

【詳解】由題意知A口電5,從而可得Venn圖如下圖，

對A、D：由Venn圖，可得5cA=0,故A、D錯誤;

對B：因為6cA=0,正確，故B正確；

對C：因為5cA=0,則板1°B錯誤,故C錯誤;

故選：B.

2.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事

休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖象特

2x

征.則函數(shù)/(X)=F—的圖象大致為(

十JL

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=F—的定義域為R,

JC+1

-2x2x

〃r)==一/(x),所以函數(shù)“X)為奇函數(shù)，排除A,B選項,

(-x)2+lX2+1

2x

又因為當x>0時，/（%）=——>0,排除C選項，選項D滿足題意，

故選:D.

3.己知復數(shù)2=。+磯且x2-（4+2i）x+4+ai=0有實數(shù)根6,則目=（）

A.273B.12C.2逐D.20

【答案】D

【解析】

Z?2—4Z?+4=0

【分析】根據(jù)題意可求得廿—4b+4+（2〃+a）i=0,從而得<，求解得z=Y+2i,從

（26+a）i=0

而可求解.

【詳解】由題意知b為犬―（4+2。X+4+盤=0的實數(shù)根,

則/—（4+2i）Z?+4+oi=0,即/—4Z?+4+（a—2Z?）i=0,

d―46+4=0[b=2

則c…c，解得｛，，所以z=4+2i，

（"26）1=0[。=4

所以,|=42+22=20,故D正確.

故選：D.

4.已知等邊，ABC的邊長為2,點￡）、E分別為AB,BC的中點，若DE=2EF，則EFAF=（）

465

A.1B.—C.—D.一

554

【答案】A

【解析】

【分析】取AC、A2為基底，利用平面向量基本定理表示出A/，進行數(shù)量積運算即可.

【詳解】在」WC中，取AC,為基底，則kq=|Aq=2,AC,A3=60。.

因為點。、E分別為的中點，

EF=-DE=-AC,

24

111Q

AF=AE+EF=-（AB+AC）+-AC=-AB+-AC,

2、>424

1(13、132

EFAF=-AC]-AB+-AC\=-AC-AB+—AC

4(24J816

13

=—x2x2xcos60H--x4=l

816

故選：A

5.已知6，工是雙曲線W—a=1（?！?］〉0）的左、右焦點，若雙曲線上存在點p滿足

朋?尸耳=—2",則雙曲線離心率的最小值為（）

A.76B.75C.2D.73

【答案】D

【解析】

【分析】設P的坐標，代入雙曲線的方程，利用數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合雙曲線離心率的計算公式求解即

得.

22

【詳解】設尸（%,%）,雙曲線的半焦距為C,則有4-4=1-耳（一。,0）,乙（。,0）,

ab

于是尸耳=（c—九0,-%）,尸發(fā)=（一。一%0，-%），

222

因止匕出.尸耳=君_02+,；=%+（?一I）/—。？=彳.焉_沙2_022;.。2_32_02=_》2,

aaa

當且僅當I/1=。時取等號，則—242—62,即g.22,離心率e=￡=Jl+??G，

aaYa"

所以雙曲線離心率的最小值為G.

故選：D

6.在數(shù)列｛a“｝中，S”為其前”項和，首項6=1,且函數(shù)/（%）=%3一%+避近%+（勿“+1）1+1的導函

數(shù)有唯一零點，則$5=()

A.26B.63C.57D.25

【答案】C

【解析】

【分析】計算/'(%),分析/'(%)的奇偶性，可判斷零點取值，代入計算可得｛%｝的遞推關系，求出前5

項，計算求和即可.

【詳解】因為=—a〃+[Sinx+(2a.+1)^+1,

所以/'(x)=3x2—a“+icosx+(2a“+l),由題意可知：/'(尤)=0有唯一零點.

令g(x)=f(x)=3/-an+1cos%+(2an+1),可知g(x)為偶函數(shù)且有唯一零點,

則此零點只能為0,即g(0)=0,代入化簡可得：a“M=2a”+l,

又％=1,所以%=3,q=7,%=15，生=31，所以S5=57.

故選：C

2024

7.已知函數(shù)〃尤)定義域為R,且/(x+2)—2為奇函數(shù)，〃3x+l)為偶函數(shù)，/(1)=0,則(4)

k=T

=()

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題中/(%+2)-2為奇函數(shù)，/(3x+l)為偶函數(shù)，從而可得出/(可為周期為4的函數(shù)，從

而可求解.

【詳解】由題意得/(x+2)—2為奇函數(shù)，所以/(x+2)—2+/(—x+2)—2=0,即

〃x+2)+/(-x+2)=4,所以函數(shù)4％)關于點(2,2)中心對稱,

由〃3x+l)為偶函數(shù)，所以可得“X+1)為偶函數(shù)，則/(x+l)=/(—x+1),所以函數(shù)/(%)關于直線

X=1對稱，

所以〃x+2)=/(—x)=—/(-x+2),從而得/(x)=/(x+4),所以函數(shù)/(九)為周期為4的函數(shù),

因為y(l)=O,所以/(1)+/(3)=4,則/(3)=4,

因為“可關于直線x=l對稱，所以〃3)=/(—1)=4,

又因為〃龍)關于點(2,2)對稱，所以"2)=2,

又因為〃4)=/(—2)=—〃0),又因為/(—2)=/(—2+4)=。(2)=2,所以

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=8,

所以E?依)=一^義口⑴+/(2)+/(3)+〃4)]=4048,故D正確.

k=i4

故選：D.

8.已知直線/：—+為+。=0(42+4#0)與曲線W：y=13一；(；有三個交點￡)、￡、況且0目=|石耳=2,

則以下能作為直線/的方向向量的坐標是().

A.(0,1)B,(1,-1)C.(1,1)D,(1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)丁=三-x的性質(zhì)可得曲線W的對稱中心(0,0),即得石(0,0),再根據(jù)給定長度求出點。

的坐標即得.

3

【詳解】顯然函數(shù)/(x)=x3—x的定義域為R,y(-x)=(-x)-(-%)=-/(%),即函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，

因此曲線W的對稱中心為(0,0),由直線/與曲線W的三個交點。，及尸滿足國=|訪|=2,得

￡(0,0),

設。(X,/—X),則％2+，—X)2=4,令￡=t，則有2r+2/—4=0,即(『+2)(?2)=0,

解得f=2,即％=±0,因此點。(立,0)或。(―夜,—后)，￡。=(應,四)或石。=(一0,—近)，

選項中只有坐標為(1,1)的向量與加共線，能作為直線/的方向向量的坐標是(1,1).

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵首先是得到曲線對稱中心為(0,0),從而得到E(0,0),然后再去設點。

坐標，根據(jù)|。耳=2,得到高次方程，利用換元法結(jié)合因式分解解出。的坐標即可.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知由樣本數(shù)據(jù)(4%)(i=l,2,3,…，10)組成的一個樣本，得到回歸直線方程為亍=-x+3,且工=4.剔

除一個偏離直線較大的異常點(-5,-1)后，得到新的回歸直線經(jīng)過點(6,-4).則下列說法正確的是

A,相關變量尤，y具有正相關關系

B.剔除該異常點后，樣本相關系數(shù)的絕對值變大

C.剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點(5,-1)

D.剔除該異常點后，隨x值增加相關變量y值減小速度變小

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出新樣本的中心點，進而求出新回歸直線的斜率，再逐項判斷即得.

【詳解】依題意，原樣本中，y=—4+3=—1,

剔除一個偏離直線較大的異常點(-5,-1)后，新樣本中，?=4*IO9(―5)=5,V=—1義1；—(―1)=,

因此剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點(5,-1),C正確；

由新的回歸直線經(jīng)過點(6,-4),得新的回歸直線斜率為，。1=-3,因此相關變量x,y具有負相關

關系，A錯誤；

又I-3|>1,則剔除該異常點后，隨尤值增加相關變量y值減小速度變大，D錯誤;

由剔除的是偏離直線較大的異常點，得剔除該點后，新樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度變強，即樣本相關系數(shù)的

絕對值變大，B正確.

故選：BC

10.在平面直角坐標系尤Oy中，角e以坐標原點。為頂點，以X軸的非負半軸為始邊,其終邊經(jīng)過點M(a,b),

=定義〃。)=處g(0)=~,貝|()

mm

A./用+g[]=lB.4)+/⑻對

f⑼3

=2,則sin§D.”e)g(。)是周期函數(shù)

g⑻

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出cos6=@,smO=-,貝U/(，)=0sin［e+；］

mm14J

g（，）=后sin，-；，從而可對A判斷求解，利用換元法令

t—sin0+cos0—V2sinf0H—］e「一J5,、回］可對B判斷求解，由~~7~7=----—=2求出

IL」g⑻tan6?-l

tan6?=3,并結(jié)合sin28==—從而可對C判斷求解，由/（。京（。）=^€?2。可對口判斷求解.

tan~e+l

【詳解】由題意得M（a,Z?）在角。的終邊上，且|0閘=機，所以cos，=幺，sin^=—,

mm

則/（°）=""=sin6+cose=V^sin[e+?）,g（8）=---=sine—cos^=V2sinf^-^-j,

,上「兀、/兀、.兀71.71兀1

對A：/—+g—=sin—+cos—+sin——cos—=1故A正確;

<6J<6J6666

對B：/⑻+/⑻=sine+cose+(sine+cose)2,令

%=sin6+cos6=A/2sin］。(

所以/'(e)+/2(e)=f+/=’+；)故B錯誤;

f⑻sin0+cos6tan61+1、

對C-v=--------------=----------=2,解得tan0=3,

g⑻sin8-cos6tan8—1

2sin6*cos2tan6*2x3_3

又由sin10=2sin6cos0=故C正確;

sin2e+cos?6tan23+132+l-5

對D：/(8)g(。)=(sin8+cose)(sine—cos8)=sin?夕一cos?8=—cos20,因為y=cos2。為周期

函數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，多面體PS—A3CD由正四棱錐P—ABCD和正四面體S—P5C組合而成，其中PS=1,則下

列關于該幾何體敘述正確的是（）

A.該幾何體的體積為正

B.該幾何體為七面體

4

C.二面角A—依―C的余弦值為-g

D.該幾何體為三棱柱

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項A可以分別求正四棱錐P-A6CD和正四面體S-P3C的體積即可;

選項C先確定二面角A-PB-C的平面角為NAFC,在三角形中利用余弦定理可得;

選項D先根據(jù)二面角A—依―C與二面角S-PB-C的關系確定P,A,3,S四點共面，再證得平面SCB//平

面R4。，三個側(cè)面都是平行四邊形即可；

選項B根據(jù)選項D三棱柱有5個面，可判斷錯誤.

如圖：在正四面體中S—P3C中，G為PB的中點，連接CG,連接SG作SOLCG于。,

則。為一PBC的中心，SO為正四面體中S—PBC的高，

因FS=1,CG=—，CO=-CG=—，SO=ylSC2-CO2=—，

2333

匕=-x-xPBxCGxSO=-x-xlx—x—,

S~PrBaCc32322312

在正四面體中S—PBC中，G為PB的中點，所以SGLPB,CGLPB,

故ZCGS為二面角S-PB-C的一個平面角,

1

3

如圖：在正四棱錐尸一A5CD中，由題意PC=CB=1,

連接AC，BD交于點E,連接PE，則PE為正四棱錐P—ABCD的高,

CE=—CB=—,PE=y/PC2-CE2=

22—2'

=-xCDxBCxPE=ixlxlx—=—

3326

該幾何體的體積為VpS-ABC￡>=Vs-PBC+Vp_ABC?=今+坐'故A正確,

12o4

取PB的中點尸，連接A尸，CF,

由題意正四棱錐P—ABCD的棱長都為1,所以A尸，CF±PB,

故ZAFC即為二面角A——C的一個平面角，

其中4尸=。尸=[3。=岑，AC=42BC=V2>

Af+cb—

在中,cosZAFC=-1,故C正確,

2AF-CF3

因cosZCGS=-=-cosZAFC,可知二面角S-PB-C與二面角A—P5—C所成角互補,

3

故平面P5S與P朋為同一平面，同理，平面PDC和平面？DS也為同一平面,

故該幾何體有5個面，B錯誤,

因P,A3,S四點共面，且△PDC和一PCS都為等邊三角形，易知SC/APD,且SC=。。，故側(cè)面

?DCS為平行四邊形,

又PDu平面QAD,SCa平面BLD,所以SC//平面BLD,

同理S3//平面R4。，且側(cè)面E4BS為平行四邊形，

又S。SB=S,SCu平面SCB,SBu平面SCB,

所以平面SC8//平面R4。，又側(cè)面A3CD為正方形，

故多面體PS—A3CD即為三棱柱AD尸—5CS,故D正確,

故選：ACD

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機抽取11個，其尺寸值為43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57（單

位：mm）,現(xiàn)從這11個零件中任取3個，則3個零件的尺寸剛好為這H個零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分

位數(shù)、眾數(shù)的概率為

【答案】士

【解析】

【分析】分別求出11個零件平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50,眾數(shù)45,然后分別求出取出3個零件有

165種，3個零件符合平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)有6種情況，再利用古典概率從而可求解.

43+45+45+45+49+50+50+51+51+53+57

【詳解】由題意知H個零件的平均數(shù)為=49,

11

第六十百分位數(shù)的位置為Hx60%=6.6,即取第7位數(shù)50,故第六十百分位數(shù)為50,

由題可知眾數(shù)為45,

所以當從11中取出3個零件共有C：］=165種情況,

則3個數(shù)分別為平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50,眾數(shù)45共有C；C；C；=6種情況,

所以其概率為———

16555

故答案為：—.

71中心對稱，且在區(qū)間：上單調(diào)，則

13.已知偶函數(shù)/（x）=sin（〃，x+0）（啰＞O）的圖像關于點,00,

o)=.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

兀3

【分析】根據(jù)題意夕=E+—，再由對稱中心求出0=3左+—,左eZ,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定0.

22

【詳解】因偶函數(shù)/(xhsiMaa+o)?>。)，所以°=左兀+]■,keZ,

即/(%)=COS(9X或/(無)=-COSCDX,

又/(x)=sin(a)x+0)(G>O)的圖像關于點中心對稱，

7T7T7L

所以COS—Q=0,即一①=E+一,左wZ,

332

3

所以刃=3左+—,左sZ,

2

TTTT.fl)71

因為xe0,-函數(shù)單調(diào)，所以04口XV——<-,即0<口<2,

L4J42

3

所以當左二。時，◎二大符合條件.

2

3

故答案為：一

2

14.若實數(shù)X,y滿足X2+y2=25,則j50+8x+6y+,50+8%-6y的最大值為

【答案】6710

【解析】

【分析】利用向量不等式并結(jié)合龍的范圍求最值.

【詳解】設a=(羽y)]=(1,1),

則a-b=x+y4同忖=當且僅當x=y20等號成立

故J'50+8x+6y+j50+8x-6y<夜?V16x+100，

又必+丁=25,所以,區(qū)5,

所以夜-Jiex+lOO<72-716x5+100=6A/W，

當且僅當x=5,y=o等號成立.

故答案為：6yjl0

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用向量不等式求最值，關鍵是兩次運用不等式且保證等號成立.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)=ln%+——ax,

(1)若/(九)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)當?！?時，求了(%)的極值點.

【答案】(1)；，+°0]

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】⑴先由"%)在定義域內(nèi)是減函數(shù)得出對于+8),/'(x)<0恒成立，進而分離參數(shù)將問

10<^—<-

題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；再利用基本不等式得出x+—22,2即可解答.

X%+一

X

(2)分aWO和0<a<；兩種情況討論，在每一種情況中借助導數(shù)判斷函數(shù)7(%)的單調(diào)性即可求解.

【小問1詳解】

a+a

由"了)=111%+9—ax可得：函數(shù)定義域為(0,+。)，f'(x\=--^--a=-^~^.

XXXX

因為了(%)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，

所以對于Vxe(0,+co),/'(x)WO恒成立，即對于Vxe(0,+co),依？—工+。》0恒成立.

]

則對Vxe(O,-Ko),a~1恒成立.

X

X

因為x>0,

所以x+^22,當且僅當x=l時等號成立，

X

X

所以a」

2

故a的取值范圍為

【小問2詳解】

2

b「，/、1aax-x+a/n,\

因f\X)=---2~a=------2---，］￡(。，+00)，

所以當aWO時，/^%)>0,則函數(shù)/(%)=111%+0—a尤在(O,+e)上單調(diào)遞增，此時了(%)無極值點;

當0<a<g時，方程℃2—%+a=o的判別式八=1—4片=?！?a)(l+2a)>0,方程兩根為

l-Jl-4a之八1+J1-4a2

X=-------->0，M=--------->0.

12a22a

冷力汨1—J1-4〃21+—4/

令費%)>O,角牛得-----------<%<------------；

2a2a

令/'(x)<0,解得,<］一反還或x>匕曲二絲i,

2a2a

1-Jl-4a2

則函數(shù)八％)在0,上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在

2a

上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)〃%)的極小值點為1—'1—4」,極大值點為1+2―4/

la2a

綜上可得：當aWO時，"％)無極值點；

當0<a<工時，函數(shù)八可的極小值點為匕近至，極大值點為“"—4〃.

22a2a

16.據(jù)新華社北京2月26日報道，中國航天全年預計實施100次左右發(fā)射任務，有望創(chuàng)造新的紀錄，我國

首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務，多個衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設；中國航天科技集團有限公司計

劃安排近70次宇航發(fā)射任務，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大工程任務.由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)

展前景，有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進

器飛行距離與損壞零件數(shù)進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離X（kkm）5663717990102110117

損壞零件數(shù)y（個）617390105119136149163

88

參考數(shù)據(jù)：元=86,歹=112,82743,=62680

1=11=1

（1）建立y關于x的回歸模型y=Bx+&,根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求y關于龍的回歸方程（B精確到

0.1,6精確到1）；

（2）該公司進行了第二項測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60

臺進行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進器占比30%,請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2x2

列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關？

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢20

未報廢

合計60100

￡（七-元）（％-歹）

附：回歸方程￡=晟+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為月=且吃-------------，a=y-bx,

i=l

K?n[ad-bc)

n=a+b+c+d；

(i+b)(c+d)(i+c)(b+d)

*0.250.10.050.0250.010.001

k。1.3232.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（1），=L6x—26

（2）2x2列聯(lián)表見解析；是否報廢與保養(yǎng)有關，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可求出另=1,6，4=—26,從而可求解.

（2）根據(jù)題意可將2x2列聯(lián)表補充完整，并求得片=9.375>6.635,從而求解判斷是否報廢與是否保

養(yǎng)有關.

【小問1詳解】

二：/舟—取

882743-8x86x112,,

由題意得g=上―---------------------------------3—?1.6,

￡（七—可262680-8x862

Z=1

則4=112—1.6x8