第3章圓錐曲線的方程章末測試(基礎(chǔ))(原卷版+解析)

第3章圓錐曲線的方程章末測試（基礎(chǔ)）一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案。每題5分，8題共40分）1．（2023·浙江高二單元測試）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．（2023·浙江高二單元測試）已知直線雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．3．（2023·浙江高二單元測試）已知是的定直徑，過上的動點(diǎn)作切線與過點(diǎn)的切線分別交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線的一段 D．線段4．（2023·浙江高二單元測試）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．（2023·浙江高二單元測試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．（2023·全國高二單元測試）在雙曲線中，，且雙曲線與橢圓4x2＋9y2＝36有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是（）A． B．C． D．7．（2023·浙江高二單元測試）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線的一條漸近線，過作一條直線垂直與，垂足為，則的值為（）A． B． C． D．8．（2023·全國高二單元測試）已知P為雙曲線C：x2﹣＝1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且線段A1A2，B1B2分別為C的實(shí)軸與虛軸，若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比數(shù)列，則|PF2|＝（）A．4 B．10 C．5 D．6二、多選題（每題不止一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2023·浙江高二單元測試）已知橢圓C：內(nèi)一點(diǎn)M(1,2)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)?(-2,0) B．橢圓C的長軸長為C．直線的方程為 D．10．（2023·浙江高二單元測試）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C的長軸長為 C．C的短軸長為4 D．C的離心率為11．（2023·全國高二單元測試）已知點(diǎn)P在雙曲線上，，分別是左、右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（）A．點(diǎn)P到x軸的距離為 B．C．為鈍角三角形 D．12．（2023·全國高二單元測試）如圖已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，的角平分線交軸于點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率可能是（）A． B． C． D．三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2023·浙江高二單元測試）已知點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)恰好在橢圓上，則橢圓的長軸長為______．14．（2023·全國高二單元測試）若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．15．（2023·浙江高二單元測試）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），則當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí)，橢圓的離心率是_________.16．（2023·浙江高二單元測試）如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.勤勞而充滿智慧的我國古代勞動人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn)象.太極圖由正方形的內(nèi)切圓(簡稱大圓)和兩個(gè)互相外切且半徑相等的圓(簡稱小圓)的半圓弧組成，兩個(gè)小圓與大圓均內(nèi)切.若正方形的邊長為8，則以兩個(gè)小圓的圓心(圖中兩個(gè)黑白點(diǎn)視為小圓的圓心)為焦點(diǎn)，正方形對角線所在直線為漸近線的雙曲線實(shí)軸長是_______.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．（2023·全國）（1）求與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的離心率，求的值．18．（2023·全國高二單元測試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程.（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過，求直線的方程.19．（2023·全國高二單元測試）雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動點(diǎn)在上．當(dāng)時(shí)，．（1）求的離心率；（2）若在第一象限，證明：．20．（2023·全國高二單元測試）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點(diǎn)P(0，3)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.21．（2023·全國高二單元測試）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.22．（2023·全國高二單元測試）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).第3章圓錐曲線的方程章末測試（基礎(chǔ)）一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案。每題5分，8題共40分）1．（2023·浙江高二單元測試）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．答案:D解析：由題可知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：D2．（2023·浙江高二單元測試）已知直線雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．答案:A解析：雙曲線的漸近線為，所以，所以離心率為，故選：A3．（2023·浙江高二單元測試）已知是的定直徑，過上的動點(diǎn)作切線與過點(diǎn)的切線分別交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線的一段 D．線段答案:B解析：設(shè)圓的半徑為1，以圓心O為原點(diǎn)直徑AB為x軸建立直角坐標(biāo)系：則，圓的方程為，設(shè)，則切線MN的方程為，直線AM的方程為，直線BN的方程為，所以，則直線AN的方程為，直線BM的方程為，兩式相乘得，即，當(dāng)點(diǎn)P恰為A或B時(shí)，四邊形ABNM變?yōu)榫€段AB，不符合題意，所以軌跡不包括A，B兩點(diǎn)，所以T的軌跡為橢圓，故選：B4．（2023·浙江高二單元測試）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．答案:A解析：拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，由拋物線的定義知，即，所以，所以，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A.5．（2023·浙江高二單元測試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．答案:D解析：因?yàn)槭钦切危?，軸.設(shè)，則，，故，解得，從而.將代入橢圓方程可得，因此，得，故橢圓的離心率，故選：D.6．（2023·全國高二單元測試）在雙曲線中，，且雙曲線與橢圓4x2＋9y2＝36有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是（）A． B．C． D．答案:B解析：橢圓方程可化為，，所以雙曲線的，且焦點(diǎn)在軸上.由于，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B7．（2023·浙江高二單元測試）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線的一條漸近線，過作一條直線垂直與，垂足為，則的值為（）A． B． C． D．答案:B解析：由題知雙曲線如圖做出雙曲線的一條漸近線，則，即，又，所以，.故選：B.8．（2023·全國高二單元測試）已知P為雙曲線C：x2﹣＝1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且線段A1A2，B1B2分別為C的實(shí)軸與虛軸，若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比數(shù)列，則|PF2|＝（）A．4 B．10 C．5 D．6答案:D解析：∵|A1A2|＝2a＝2，|B1B2|＝2b＝4，|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比數(shù)列,可得|PF1|＝8，再由雙曲線的定義可得：|PF2|＝8﹣2a＝6．故選：D．二、多選題（每題不止一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2023·浙江高二單元測試）已知橢圓C：內(nèi)一點(diǎn)M(1,2)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)?(-2,0) B．橢圓C的長軸長為C．直線的方程為 D．答案:BCD解析：A：由橢圓方程知：其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，錯(cuò)誤；B：，即橢圓C的長軸長為，正確；C：由題意，可設(shè)直線為，，，則，聯(lián)立橢圓方程并整理得：，M為橢圓內(nèi)一點(diǎn)則，∴，可得，即直線為，正確；D：由C知：，，則，正確.故選：BCD.10．（2023·浙江高二單元測試）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C的長軸長為 C．C的短軸長為4 D．C的離心率為答案:AB解析：由已知可得，解得或（舍去），∴長軸長為，短軸長為，離心率為，故選：AB.11．（2023·全國高二單元測試）已知點(diǎn)P在雙曲線上，，分別是左、右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（）A．點(diǎn)P到x軸的距離為 B．C．為鈍角三角形 D．答案:BC解析：由雙曲線方程得，，則，由△的面積為20，得，得，即點(diǎn)到軸的距離為4，故錯(cuò)誤，將代入雙曲線方程得，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，，則，由雙曲線的定義知，則，則，故正確，在△中，，則，為鈍角，則△為鈍角三角形，故正確，，則錯(cuò)誤，故正確的是，故選：．12．（2023·全國高二單元測試）如圖已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，的角平分線交軸于點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率可能是（）A． B． C． D．答案:CD解析：∵，∴，，則.∵是的角平分線，∴，又，∴，，在中，由余弦定理得，∵，∴，解得.故選：CD.三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2023·浙江高二單元測試）已知點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)恰好在橢圓上，則橢圓的長軸長為______．答案:4解析：由線段的中點(diǎn)恰好在橢圓上，即為右頂點(diǎn)，可得，解得，所以橢圓的長軸長為4．故答案為：.14．（2023·全國高二單元測試）若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案:解析：由于方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：15．（2023·浙江高二單元測試）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），則當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí)，橢圓的離心率是_________.答案:解析：由題意，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，可得，可得，又由，整理得，即橢圓的離心率為.故答案為：.16．（2023·浙江高二單元測試）如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.勤勞而充滿智慧的我國古代勞動人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn)象.太極圖由正方形的內(nèi)切圓(簡稱大圓)和兩個(gè)互相外切且半徑相等的圓(簡稱小圓)的半圓弧組成，兩個(gè)小圓與大圓均內(nèi)切.若正方形的邊長為8，則以兩個(gè)小圓的圓心(圖中兩個(gè)黑白點(diǎn)視為小圓的圓心)為焦點(diǎn)，正方形對角線所在直線為漸近線的雙曲線實(shí)軸長是_______.答案:解析：以兩焦點(diǎn)所在直線為軸，兩焦點(diǎn)所在線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得雙曲線的漸近線方程為，，所以，進(jìn)而得.故雙曲線的實(shí)軸長為：.故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．（2023·全國）（1）求與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的離心率，求的值．答案:（1）；（2）1.解析：（1）因?yàn)殡p曲線與雙曲線1有相同焦點(diǎn)，可設(shè)所求雙曲線方程為：，因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以，解得或（舍），所以所求雙曲線方程為.（2）橢圓方程可化為:，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，解?18．（2023·全國高二單元測試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程.（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過，求直線的方程.答案:（1）；（2）.解析：（1）由拋物線定義可知：，解得：，拋物線的方程為：；（2）由拋物線方程知：，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程得：，，，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，，，解得：，直線的方程為：，即.19．（2023·全國高二單元測試）雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動點(diǎn)在上．當(dāng)時(shí)，．（1）求的離心率；（2）若在第一象限，證明：．答案:（1）；（2）見解析.解析：（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，，因?yàn)?，故，故，即，?（2）設(shè)，其中.因?yàn)椋?，，故漸近線方程為：，所以，，當(dāng)時(shí)，又，，所以，因?yàn)?，?當(dāng)，由（1）可得，故.綜上，.20．（2023·全國高二單元測試）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點(diǎn)P(0，3)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.答案:（1）；（2）存在，.解析：解：（1）由已知點(diǎn)代入橢圓方程得，由得可轉(zhuǎn)化為a2=2b2，由以上兩式解得a2=4，b2=2，所以橢圓C的方程為：.（2）存在這樣的直線.當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足，所以設(shè)所求直線方程l：y=kx+3代入橢圓方程化簡得：(1+2k2)x2+12kx+14=0，①，②△=(12k)2﹣4×14×(1+2k2)>0，，設(shè)所求直線與橢圓相交兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知條件可得x2=2x1③，綜合上述①②③式子可解