北師版高數(shù)必修一第10講：對數(shù)與對數(shù)運算(教師版)

對數(shù)與對數(shù)運算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解對數(shù)的概念；能夠說明對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，并能運用指對互化關(guān)系研究一些問題.一、對數(shù)的定義一般地，如果的次冪等于,就是，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。特別提醒：1、對數(shù)記號只有在，時才有意義，就是說負(fù)數(shù)和零是沒有對數(shù)的。2、記憶兩個關(guān)系式：①；②。3、常用對數(shù)：我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)。為了簡便,的常用對數(shù)，簡記作：。例如：簡記作;簡記作。4、自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)。為了簡便，的自然對數(shù)，簡記作：。如：簡記作；簡記作。二、對數(shù)運算性質(zhì)：如果有：特別提醒：1、對于上面的每一條運算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)記號都有意義時，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。2、注意上述公式的逆向運用：如；三、對數(shù)的換底公式及推論：對數(shù)換底公式：兩個常用的推論:（1）（2）四、兩個常用的恒等式：，類型一指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化例1：將下列指數(shù)式與對數(shù)式進(jìn)行互化．(1)3x＝eq\f(1,27)； (2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；(3)5－eq\s\up10(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(5))； (4)logeq\r(2)4＝4；(5)lg0.001＝－3; (6)logeq\r(2)－1(eq\r(2)＋1)＝－1.解析：(1)log3eq\f(1,27)＝x.(2)eqlog\s\do6(\f(1,4))64＝x.(3)log5eq\f(1,\r(5))＝－eq\f(1,2).(4)(eq\r(2))4＝4.(5)10－3＝0.001.(6)(eq\r(2)－1)－1＝eq\r(2)＋1.答案：見解析練習(xí)1：將下列指數(shù)式與對數(shù)式進(jìn)行互化．(1)e0＝1；(2)(2＋eq\r(3))－1＝2－eq\r(3)；(3)log327＝3；(4)log0.10.001答案：(1)ln1＝0.(2)log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.練習(xí)2：將下列對數(shù)式與指數(shù)式進(jìn)行互化．(1)2－4＝eq\f(1,16)；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5.答案：(1)log2eq\f(1,16)＝－4.(2)log5125＝3.(3)102＝a.(4)25＝32.類型二對數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用例2：求下列各式中x的值．(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；解析：(1)∵log2(log5x)＝0，∴l(xiāng)og5x＝1，∴x＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝3，∴x＝103＝1000.答案：（1）x＝5.（2）x＝1000.練習(xí)1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．答案：80練習(xí)2：(2014～2015學(xué)年度陜西寶雞市金臺區(qū)高一上學(xué)期期中測試)已知4a＝2，lgx＝a，則x＝______.答案：eq\r(10)類型三對數(shù)的運算法則例3：計算(1)loga2＋logaeq\f(1,2)(a>0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；解析：(1)loga2＋logaeq\f(1,2)＝loga(2×eq\f(1,2))＝loga1＝0.(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2.(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.答案:（1）0（2）2（3）2練習(xí)1：(2014～2015學(xué)年度陜西寶雞市金臺區(qū)高一上學(xué)期期中測試)計算log535＋2log2eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514的值．答案:4練習(xí)2：(2014～2015學(xué)年度山西太原市高一上學(xué)期期中測試)計算：2log510＋log50.25的值為________．答案：2類型四帶有附加條件的對數(shù)式的運算例4：lg2＝a，lg3＝b，試用a、b表示lg108，lgeq\f(18,25).解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a＋3blgeq\f(18,25)＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lgeq\f(102,22)＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2b－2.答案：3a＋2b練習(xí)1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lgeq\r(45).答案：0.8266練習(xí)2：若lgx－lgy＝a，則lg(eq\f(x,2))3－lg(eq\f(y,2))3等于()A．eq\f(a,2)B．a(chǎn)C．eq\f(3a,2)D．3a答案:D類型五應(yīng)用換底公式求值例5:計算：lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log278.解析：lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lg12.5－log89·log278＝lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lgeq\f(25,2)－eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg8,lg27)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(8,5)×\f(25,2)))－eq\f(2lg3,3lg3)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)練習(xí)1:計算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．答案：13練習(xí)2:log89·log32的值為()A．eq\f(2,3)B．1C．eq\f(3,2)D．2答案：A類型六應(yīng)用換底公式化簡例6:已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3.解析：∵log89＝eq\f(lg9,lg8)＝eq\f(2lg3,3lg2)＝a，①又∵log25＝eq\f(lg5,lg2)＝eq\f(1－lg2,lg2)＝b，②由①②消去lg2可得：lg3＝eq\f(3a,21＋b).答案：lg3＝eq\f(3a,21＋b).練習(xí)1:(2014～2015學(xué)年度安徽合肥一中高一上學(xué)期期中測試)已知log23＝a，log37＝b，則log1456＝()A．eq\f(ab＋3,ab＋1)B．eq\f(ab＋3,ab＋1)C．eq\f(b＋3,ab＋1)D．eq\f(ab－3,ab＋1)答案：A練習(xí)2:已知log72＝p，log75＝q，則lg5用p、q表示為()A．pqB．eq\f(q,p＋q)C．eq\f(1＋pq,p＋q)D．eq\f(pq,1＋pq)答案：B1、使對數(shù)loga(－2a＋1)有意義的aA．0＜a＜eq\f(1,2)且a≠1 B．0＜a＜eq\f(1,2)C．a(chǎn)＞0且a≠1 D．a(chǎn)＜eq\f(1,2)答案：B2、(2014～2015學(xué)年度遼寧沈陽二中高一上學(xué)期期中測試)已知x、y為正實數(shù)，則下列各式正確的是()A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy答案：A3、(2014～2015學(xué)年度寧夏銀川一中高一上學(xué)期期中測試)若lg2＝a，lg3＝b，則eq\f(lg12,lg15)等于()A．eq\f(2a＋b,1－a＋b) B．eq\f(2a＋b,1＋a＋b)C．eq\f(a＋2b,1－a＋b) D．eq\f(a＋2b,1＋a＋b)答案：A4、．log52·log425等于()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．2答案：C5、化簡logeq\f(1,a)b－logaeq\f(1,b)的值為()A．0 B．1C．2logab D．－2logab答案:A__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－eq\f(1,2)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2\r(3))C．eq\f(1,2\r(2)) D．eq\f(1,3\r(3))答案：C2．若f(10x)＝x，則f(3)的值為()A．log310 B．lg3C．103 D．310答案：B3．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝a＋3b－c B．x＝eq\f(3ab,5c)C．x＝eq\f(ab3,c5) D．x＝a＋b3－c3答案：C4．方程2log3x＝eq\f(1,4)的解是()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．eq\f(1,9) D．9答案：C5．eln3－e－ln2等于()A．1 B．2C．eq\f(5,2) D．3答案:C能力提升6．若log(1－x)(1＋x)2＝1，則x＝________.答案：-37．若logx(2＋eq\r(3))＝－1，則x＝________.答案：2－eq\r(3)8．已知log32＝a，則2log36＋log30