廣東省湛江市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)二?？荚嚁?shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省湛江市2024屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合力=,[<同<4},2={#>一2},貝()

A.(1,4)B.(-l,O)U(O,4)

C.(-2,4)D.(-2,-l)u(l,4)

2.如圖，這是一件西周晚期的青銅器，其盛酒的部分可近似視為一個(gè)圓臺(tái)(設(shè)上、下

底面的半徑分別為。厘米，6厘米，高為。厘米)，則該青銅器的容積約為(取兀=3)()

A.+立方厘米B.《<?-碇+62)立方厘米

C.《/-仍+/)立方厘米D.。(/+仍+62)立方厘米

3.函數(shù)/(x)=4sin(5x-j在0金上的值域?yàn)?)

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-273,4]D.[-2^,2]

4.若復(fù)數(shù)z=(2x+_yi)(2x-4yi)(x,昨R)的實(shí)部為4,則點(diǎn)(xj)的軌跡是()

A.直徑為2的圓B.實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線

C.直徑為1的圓D.虛軸長(zhǎng)為2的雙曲線

9

5.已知(1一2、)9=旬+4%+…+4/9，則()

i=2

A.-2B.-19C.15D.17

6.當(dāng)x>0,y>0時(shí)，亨N歷.這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)x,y>0時(shí)，

其中4+〃=1且4>0,〃>0.考慮取等號(hào)的條件，進(jìn)而可得當(dāng)》"夕時(shí),

___11111Q

力工+4^^^3/^用這個(gè)式子估計(jì)^/元可以這樣操作：IO?x92?—xl0+—x9=—,貝!I

222

而。過。3.167用這樣的方法，可得癡的近似值為()

6

A.3.033B.3.035C.3.037D.3.039

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

7.已知函數(shù)/(無)=,g(x)=/—4忖+2—a,則()

A.當(dāng)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/(無)只有1個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/(x)有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)“X)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn)

8.在四棱錐尸一/BC。中，底面/BCD為矩形，尸/，底面/8。。,//8。=60°,可,尸。

pA

與底面所成的角分別為a],且a+，=45。，則F=()

AB

AV17-2?V15-3八V15-2

222

二、多選題

9.廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則()

A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬

B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢(shì)

C.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬

D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬

10.已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,〃x)不恒為零，且〃尤+y)+/(x-y)=2/(尤)/3,

則()

A."0)=1

B./(X)為偶函數(shù)

C./(x)在x=0處取得極小值

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

D.若/(。)=0,貝!|/(x)=/(x+4a)

11.下列命題為真命題的是()

A.\Jx2-4x-8V-x+4+-1|的最小值是2

B.Jx2—4x-8>/Z^工+|X-1|的最小值是逐

C.&-4x-8A+4+&-2x-4行+2的最小值是百

D.&-4.X-8A+4+面-2X-4A/T+2的最小值是百

三、填空題

12.若向量方=(-3,-1),b=(x,x-6),a//b，則片,皿曰龍=.

13.財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性

建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的

一個(gè)最高點(diǎn)/，點(diǎn)/在大廈底部的射影為點(diǎn)。，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)8、。與。在同一水平面

上，他測(cè)得5c=102近米，Z5OC=120°,在點(diǎn)3處測(cè)得點(diǎn)/的仰角為。(tan6=2),

在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°,則財(cái)富匯大廈的高度CM=米.

BC

14.已知￡,修是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)尸滿足|咫『=19|尸引二則C

的離心率的取值范圍是.

四、解答題

15.甲、乙兩人進(jìn)行中國(guó)象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒有平局的情況，甲每

局贏的概率均為:，且每局的勝負(fù)相互獨(dú)立，

(1)求該比賽三局定勝負(fù)的概率；

(2)在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期

望.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

16.如圖，在直三棱柱ABC-4耳G中，4G=AG=3,44=4收，。為44的中點(diǎn).

(1)證明：3c〃平面NG。.

⑵若以ABX為直徑的球的表面積為48兀，求二面角C-AD-Q的余弦值.

17.在〃個(gè)數(shù)碼1,2,eN,〃22)構(gòu)成的一個(gè)排列jj2…/"中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排

在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序(例如/2>上，則人與力構(gòu)成逆序)，這

個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為7(//…力，例如，7(3⑵=2,

⑴計(jì)算7(51243)；

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足。用=%,1(51243)-7(3412),q=2,求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(3)設(shè)排列jj2■■■)?(neN,n>2)滿足

J="+l-i(i=l,2,=7(/九)S"=齊齊…+J，求S”，

18.雙曲線C:3-4=l(a>0,b>0)上一點(diǎn)。(6，⑹到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6,

(1)求雙曲線C的方程，

⑵已知/(T0),8(3,0),過點(diǎn)(5,0)的直線/與C交于峪N(異于4?)兩點(diǎn)，直線

與A?交于點(diǎn)尸，試問點(diǎn)尸到直線x=-2的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不

是，請(qǐng)說明理由，

19.已知函數(shù)/(x)=e*+xlnx.

⑴求曲線>=/(》)在點(diǎn)(1J。))處的切線方程；

(2)若a>0,b>0,且/+62=],證明：/(a)+/(Z))<e+l.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.D

【分析】先解出集合A,再利用交集的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)?＜國(guó)＜4,解得xe(-4,-l)u(l,4),

故/=(-4,一1)口(1,4),所以Nc3=(-2,-l)u(l,4).

故選：D

2.D

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意可得該青銅器的容積約為；戰(zhàn)2+47萬)cRC(/+a6+62)(立方

厘米).

故選：D

3.B

【分析】先求得5x-72r的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可容易求得結(jié)果.

6

TV717rSir(jrA1

【詳解】因?yàn)閤e0,-,所以,所以sine--,1,

_5J6|_66JI6J|_2_

故/(x)=4sin(5尤-2在0,y上的值域?yàn)椴?,4].

故選：B.

4.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)z,并根據(jù)其實(shí)部為4,結(jié)合曲線方程，即可判斷.

【詳解】因?yàn)?2x+yi)(2x-4yi)=4x2+4/-6盯i,fffl^4x2+4y2=4,即一+/二],

所以點(diǎn)(%J)的軌跡是直徑為2的圓.

故選：A.

5.D

【分析】令x=l得到展開式系數(shù)和，再寫出展開式的通項(xiàng)，求出生,即可得解.

【詳解】令x=l,得％)+〃]+4■1----i-a9=-1,

又(1-2x)9展開式的通項(xiàng)為&]=C；(-2x)r=C；(-2)rxr(0W9且/N),

9

所以％=(-2)，C；=-18,所以a()+X/=T-(T8)=17.

i=2

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

故選：D

6.C

【分析】根據(jù)給定的信息，求出28；x27：的近似值，進(jìn)而求出瘍的近似值.

【詳解】依題意，28\27^\28+工27=竺，貝|儂。坦土3.037.

33327

故選：C

7.D

【分析】作出函數(shù)>=忙-1|,昨尤2-4慟+2圖象，兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象

與>的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與N的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

作出>=忙-1|,了=/一4慟+2的大致圖象，如圖所示.

由圖可知，當(dāng)g(”有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/⑺無零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，〃尤)只有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)/(“有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn).

【分析】設(shè)/8=。,力=6,利用線面角的定義，結(jié)合正切函數(shù)的和差公式得到關(guān)于白的方

a

程，解之即可得解.

因?yàn)樵诰匦?BCD中，AABD=60°,所以/C=BO=2a,

因?yàn)镻/_L底面ABCD,

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

所以/尸54/PC4分別是尸民尸。與底面/BCZ)所成的角，即。=/尸氏4,尸=/尸。4,

所以tana=tanZPBA--,tan0=tanZPCA=——

a2a

因?yàn)閍+P=45°,

bb

—+——

tana+tan0A解得2=”口(負(fù)根舍去),

所以tan(a+/?)=a2a_

1-tanatan/?Abb~a2

a2a

所以篝=717-3

-2-

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將花看作一個(gè)整體，結(jié)合題設(shè)條件得到關(guān)于商

的方程，從而得解.

9.ACD

【分析】根據(jù)極差的計(jì)算判斷A；根據(jù)圖示即可判斷B；根據(jù)百分位數(shù)以及中位數(shù)的計(jì)算判

斷C,D.

【詳解】由圖可知，湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為

736.00-698.12238(萬),A正確;

這6年的常住人口前3年呈遞增趨勢(shì)，后三年也遞增，但后三年的常住人口低于前3年，B

錯(cuò)誤.

湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為698.12,703.09,

703.54,730.50,732.20,736.00,

6x0.6=3.6,所以第60百分位數(shù)為730.50萬，中位數(shù)為強(qiáng)衛(wèi)國(guó)毀=717.02(萬)，C,

2

D均正確.

故選：ACD

10.ABD

【分析】根據(jù)條件，通過適當(dāng)?shù)馁x值，即可判斷出選項(xiàng)ABD的正誤，選項(xiàng)C,通過取特殊

的函數(shù)f(x)=cosx,即可判斷出選項(xiàng)的正誤，從而得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,令x=y=0,得2〃0)=2[/(0)了,解得“0)=0或/(0)=令

當(dāng)"0)=0時(shí)，令k0,則2〃x)=2/(x)/(O),則/(x)=0,這與不恒為零矛盾,

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

所以/(0)=1,故選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,令x=0,則/(0+y)+/(0-y)=2/(力/(0),即/(力=/(一力,

即“X)為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,取/(尤)=cos尤，滿足題意，此時(shí)尤=0不是“X)的極小值點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)

誤，

對(duì)于選項(xiàng)D,令＞=。，得

若/⑷=0,貝！(x+a)=-/(x-a),則/(x)=-/(x+2a),

貝！|/(x+4a)=-/(x+2a)=/(x),所以選項(xiàng)D正確，

故選：ABD.

11.BC

【分析】利用兩點(diǎn)距離公式將題干中復(fù)雜式子轉(zhuǎn)化為幾個(gè)點(diǎn)間的距離，結(jié)合拋物線的定義,

作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】設(shè)4(0,2),8(-1,1),尸(-1,0),尸(灰正石),

易知點(diǎn)尸的軌跡是拋物線F=-4X的上半部分，

拋物線/=Tx的準(zhǔn)線為直線x=1,P到準(zhǔn)線的距離d^x-\\,F為拋物線j2=-Ax的焦點(diǎn),

對(duì)于AB,y/x2-4x-85/-x+4+1x-11=yjx2+(V-4x-2)2+d

=|PA\+d^PA\+\PF|>|AF\=45,

所以J?一4X-8?7+4+|X-1|的最小值為石，故A錯(cuò)誤，B正確;

對(duì)于CD,y/x2-4x-Sy/-x+4+yjx2-2x-4J-x~+2~

=而不[瓦工F+J(x+1)?+(1]=|PA\+\PB|>|ABI=①,

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

所以Jx?-4x-8丘+4+Jx?-2X-4H+2的最小值是亞，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化根號(hào)內(nèi)的式子，聯(lián)想到兩點(diǎn)距離公式，從而數(shù)

形結(jié)合即可得解.

12.9-4

【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解第一空，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解第二空即可.

【詳解】因?yàn)樗?3（x-6）+x=0,解得x=9,

所以bg@x=log39=-210g39=-4

33

故答案為：9；-4

13.204

【分析】根據(jù)仰角設(shè)出長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理列出△03。的邊長(zhǎng)關(guān)系，解方程求解即可.

OA卜

【詳解】設(shè)=〃米，因?yàn)樵邳c(diǎn)5處測(cè)得點(diǎn)4的仰角為6,所以胃=2,所以=

0B2

因?yàn)樵邳c(diǎn)。處測(cè)得點(diǎn)4的仰角為45。，所以0C=〃米.

由余弦定理，^\^BC2=OB2+OC2-2OB-OC-cosZBOC，

ii7

即1022x7=_力2+h2+-h2=」力2,解得旦=204.

424

故答案為：204

4

【分析】利用橢圓的定義構(gòu)造齊次不等式求解離心率范圍即可.

【詳解】因?yàn)閨尸片「=19|列珠，所以盧用=/西尸閶，

則2a=|%+1尸引=(M+1)鶴|,所以桃[?-c,?+c]-

則efl-

10-V19.

所以C的離心率的取值范圍是-9-，,

7

io-M

故答案為:9~

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

15.(l)j

25

(2)分布列見解析；y

【分析】(1)分析三局定勝負(fù)的情況，利用獨(dú)立事件的概率公式即可得解；

(2)根據(jù)題意得到X的可能取值，再根據(jù)相應(yīng)取值的比賽情況求得對(duì)應(yīng)概率，從而得到X

的分布列，進(jìn)而求得其數(shù)學(xué)期望，從而得解.

【詳解】(1)該比賽三局定勝負(fù)意味著甲、乙兩人前面三局有一人連贏，

則該比賽三局定勝負(fù)的概率為0

(2)依題意，X的可能取值為2,3,4,

則尸-2)*"，尸(X=3)=C；x"：+0二，

則X的分布列為

9399

16.(1)證明見解析

【分析】(1)連接4c交/G于點(diǎn)E,則E為4c的中點(diǎn)，連接。E,則DE//BC，根據(jù)線

面平行的判定定理證明即可.

(2)建系，利用二面角的向量求法求解即可.

【詳解】(1)

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

連接4c交于點(diǎn)￡,則￡為4c的中點(diǎn),

連接DE,因?yàn)椤?4的中點(diǎn)，所以。E〃耳C,

又DEu平面/C。，8ctz平面ZCQ,

所以4c〃平面ZCQ.

（2）因?yàn)?G=4。，。為4月的中點(diǎn)，所以且加。=，32-（2班『=1,

因?yàn)橐?耳為直徑的球的表面積為48兀,

所以4兀x=48兀，解得44]=4,

2

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，z）G的方向?yàn)榇踺S正方向，豎直向上為z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系,

則。（0,0,0）,G（0,1,0）,/（々也0,4）c@1,4）,

M=（0,1,0）,刀=（-272,0,4）,設(shè)平面/QD的法向量為）=（卬/）,

in-DC=y=0

則X

mDA=-2cx+4z=0

令Z=l,得應(yīng)=（行,0,1）,

DC=（0,1,4）,設(shè)平面ACD的法向量為7=（xJN）,

萬?友=V+4/=0

則

心房=-2缶'+4z'=0'

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

令z'=l,得萬=(板,一4,1)

m-n3屈

因?yàn)閏os—r：~~r二—尸—7^^-------,

|m||?|19

由圖可知，二面角為銳角,

所以二面角ND-G的余弦值為答.

17.(1)5

⑵%=5^+1

⑶S.T

n+\

【分析】(1)利用逆序數(shù)的定義，依次分析排列51243中的逆序個(gè)數(shù)，從而得解；

(2)利用逆序數(shù)的定義得到。用=5?！?4,從而利用構(gòu)造法推得是等比數(shù)列，從而

得解；

(3)利用逆序數(shù)的定義，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式得到6“，再利用裂項(xiàng)相消法即可得解.

【詳解】(1)在排列51243中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，

與2構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，

所以7(51243)=4+0+0+1+0=5.

(2)由(1)中的方法，同理可得7(3412)=4,

又7(51243)=5,所以％1=5%-4,

設(shè)％+1+彳=5(?！?孫得%+1=5*+42,

所以44=-4,解得2=-1,則?！?|-1=5(?“-1),

因?yàn)椋ァ猯=lw0,

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為5的等比數(shù)列，

所以%-1=5"、貝IU〃=5"T+L

(3)因?yàn)?〃+1-，。=1,2,…，〃)，

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

n-l^n

所以也,=7。/2…，）2+---+1+0=

2

(2)是定值，定值為三19

【分析】(1)利用雙曲線的定義與點(diǎn)在雙曲線上得到關(guān)于的方程，解之即可得解;

⑵假設(shè)直線/方程》=町+5,聯(lián)立雙曲線方程得到必十%,必必，再由題設(shè)條件得到直線

與的方程，推得兩者的交點(diǎn)尸在定直線上，從而得解.

2a=6

【詳解】(1)依題意可得＜62(＞/3)2，解得a=36=1,

[a2b2

故雙曲線C的方程為"-r=1.

(2)由題意可得直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為無=吵+5,

x=my+5

消去x,得(加2一9)『+10町+16=0,

聯(lián)立/2.

222

則加2一900,A=（10m）-4xl6（m-9）=36（m+16）＞0,

設(shè)M（XQJ,N（X2，%）,則乂+%

m-9m-9

又/（-3,0）,8（3,0）,

直線蜀/守=。。+3）,直線7a-3）,

玉+3x2-3

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

尸仁(2)

聯(lián)立<

y=

通t*口后殂x+3_y2a+3)_%仇外+8)_rnyxy2+8%

兩式相除，付---77T--777X-7^一

x-3%(巧-3)y,(my2+2)myxy2+2y1

16m80m64m

2y

=町%+8(，i+%)-8%=病一9相2一9必m-9'=4

—+2乂-3+2%一*^+2%一，

m—9m—9

丫+

即一二3=-4,解得x=9=,

x-35

9

所以點(diǎn)P在定直線X=(上，

因?yàn)橹本€x=9與直線尤=-2之間的距離為10+2=(19

19

所以點(diǎn)P到直線x=-2的距離為定值，且定值為1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(不,必),(工2，%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或V)的一元二次方程，注意△的判斷;

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為國(guó)+%、網(wǎng)工2(或%+%、%%)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

19.(l)(e+l)x-j；-l=0

(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用到數(shù)的幾何意義，即可求得答案；

(2)設(shè)。=四$丫，b=sinx,原不等式即為

ecosx+cosx-In(cosx)+esinx+sinx-In(sinx)<e+1,利用g(x)=x-lnx-l的單調(diào)性，繼而轉(zhuǎn)化

為e8sx+e'以-cosx-sinxve,繼而再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.

【詳解】(1)由/(x)=e"+xlnx,得/'(x)=e"+lnx+l,

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

則/(l)=e,r(l)=e+l,.

故曲線了=/(x)在點(diǎn)處的切