2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)期末模擬卷2（全解全析）（新高考地區(qū)專用）

2023-2024學(xué)年上學(xué)期期末模擬考試02

高二數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：空間向量與立體幾何、直線與圓的方程、圓錐曲線、數(shù)列。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知向量）=（1,-3,-2）,5=（3,2,-5）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.allbB.aC.a-b=（-2,-5,-3）D.|a|=V14

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法，模長定義即得.

【詳解】因3=（1,-3,-2）,石=（3,2,-5）,

對于A選項(xiàng)，由￡=與可得：（1,-3,-2）=2（3,2,-5）,易知X的值不存在；

對于B選項(xiàng)，由鼠6=3+（-6）+10=7/0可知B不成立；

對于C選項(xiàng)，a-b=（1-3-2）-（3,2,-5）=（-2-5,3）^（-2-5-3）；

對于D選項(xiàng)，@=#+（_3）2+（_2>="

故選：D.

2.拋物線16了的焦點(diǎn)到點(diǎn)（2,5）的距離為（）

A.2B.75C.V7D.4

【答案】B

【分析】首先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用距離公式計(jì)算可得.

【詳解】拋物線f=16了的焦點(diǎn)為尸（0,4）,

所以點(diǎn)（2,5）到焦點(diǎn)的距離d=百+（5-4）2=6

故選：B

3.2023年10月17?18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個(gè)國家、92個(gè)國際組

織的外賓參與論壇.從2013年到2022年，中國與共建“一帶一路”國家的進(jìn)出口累計(jì)總額年均增長

率為6.4%.現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計(jì)總額為10.9萬億美元，則2022年進(jìn)出口累計(jì)總額（保留1

位小數(shù)）約為（）.

參考數(shù)據(jù)：1.0648?1.64,1.0649?1.75,1.06410-1.86,1.06411-1.98

A.17.9萬億B.19.1萬億C.20.3萬億D.21.6萬億

【答案】B

【分析】根據(jù)給定信息，構(gòu)建等比數(shù)列，再求出其中的項(xiàng)即可.

【詳解】依題意，從2013年到2022年的每年進(jìn)出口累計(jì)總額依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列{?！皚,

其中為=10.9,公比q=l+6.4%=1.064,

所以2022年進(jìn)出口累計(jì)總額為%。=砧9=10.9*1.064晨10.9*1.75近9.1（萬億）.

故選：B

4.給出下列命題：

①直線x=l的傾斜角不存在；

②若直線/的方向向量3=（0,1,-1）,平面。的法向量為=0,-1,-1）,則〃/a；

③己知。為空間直角坐標(biāo)的原點(diǎn)，且N（W）,則點(diǎn)尸。,2,3）到直線CM的距離是亞；

④如果向量用B與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么凡分一定共線.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.2C.ID.0

【答案】B

【分析】對于①④，可舉出反例；對于②，計(jì)算向量數(shù)量積得到為，從而得到/〃a或/ua；對

于③，變形后得到直線所過定點(diǎn).

【詳解】對于①，直線x=l的傾斜角為90°,①錯(cuò)誤；

對于②，因?yàn)橄扌?(0,1,-1)山,一=-1+1=0,故元,

則直線/與亢垂直，貝U///a或/ua,②錯(cuò)誤；

對于③，由題意可知”=(1,1,1)是直線CM的方向向量，而在直線。4上的投影向量的模長為

2

OPu6

=26所以點(diǎn)尸(1,2,3)到直線的距離是d=|OP|2-OP-u=42,③正確;

|w|V3T

對于④，如果向量a,B與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，則向量與與任何向量均共面,

那么一定共線，④正確.

故選：B

5.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262?公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)

的重要成果.其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)4(2^1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人

稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)。(0,0),43,0),動點(diǎn)滿足烏=1,則點(diǎn)尸的軌跡與圓

\PA\2

匚(》-1)2+必=1的公切線的條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式整理等式，可得動點(diǎn)尸的軌跡方程，明確兩圓的圓心和半徑，結(jié)合兩圓

的位置關(guān)系，可得答案.

【詳解】由題意知化簡得(尤+以+/=4,其圓心為3(-1,0),半徑12,

又圓C的圓心C(l,0),半徑4=1,所以由。|=2,且…|<|3C]<u+力

所以兩圓相交，故其公切線的條數(shù)為2條.

故選：B.

6.在正方體/BCD-44G。中，若棱長為1,E,尸分別為線段4D1,8G上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論

錯(cuò)誤的是()

A.。4，平面/。2B.直線4E與平面8BQQ所成角的正弦值為定值;

C.平面4GB//平面AC。D.點(diǎn)尸到平面/CR的距離為定值且

3

【答案】B

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間向量逐個(gè)計(jì)算

判斷即可

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0,0,0),BQ,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),A(0,0,1),a(1,0,l)g(U,[(0,1,1),

uuu.uuuu.

令==4(-l,l,0),得E(l-441),

numUUUL

令5F=〃g=M0,Ll)，得尸(L〃，〃)，A,^e[0,l],

-，—>—>DBcAC=0

對于A,DBt=(1,-1,1),C=(1,1,0),AD,=(0,1,1),顯然__'__.

DBX?ADX=0

即。與_L/C,DBX±ADX,

^ACIADX=A,4C,4D1u平面/C2,因此。耳_L平面/CR,A正確;

對于B,由_L平面/BCD,%Cu平面/BCD,得

因?yàn)锽B、cBD=B,BB、,BDu平面BBRD,則4。_L平面5片2。,

于是衣二(1,1,0)為平面BB】DQ的一個(gè)法向量，赤=(1-,

設(shè)直線AE與平面BBRD所成角為夕，

\AC-AE\_1

則sin6=|cos〈旅次〉|=不是定值,B錯(cuò)誤;

\AC^AE\~V2.A/222-22+2

對于C,由選項(xiàng)A知。4，平面ZCD],即謂=（1,-1,1）為平面NCR的一個(gè)法向量,

;郎=o

而4Go），45=（i,o,—1）,則

\?AXB=0

即有。4_L4G，￡>4LAtB,

又4Gn4B=4,4G,U平面,因此。耳，平面4GB，

則平面4c3〃平面/c。，C正確;

對于D,顯然赤=&〃,〃），

UUUUUUL

因此點(diǎn)尸到平面42的距離為"=9^^=美=9，為定值，D正確.

故選：B

22

7.己知雙曲線￡:=-==1（°>0,6>0）,過E的右焦點(diǎn)廠作其漸近線的垂線，垂足為P,若尸尸

ab

的面積為心呢，則￡的離心率為（）

4

A.V3B.—C.2D.V2

3

【答案】C

【分析】先求出焦點(diǎn)尸到漸近線的距離為6,由勾股定理求出RTAOEP的邊長|。尸|=。，再由面積

得到a,c的關(guān)系，從而求出離心率.

22r

【詳解】雙曲線E:0-5=1（°>0,6>0）的漸近線方程為：y=±±x

aba

則上―6

過E的右焦點(diǎn)廠作其漸近線的垂線，垂足為尸,

所以在RTAO尸尸中，ZOPF=^,\FP\=b,pF\=c,所以|。尸|="

則S=—ab=,即2b=y/3c

MOPPFF24

所以4〃=3C2,即41-*=3C?,所以4/=02,故e=：=2

故選：C

8.定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差

是相同的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公方差.已知各項(xiàng)均為正

數(shù)的數(shù)列｛0“｝是等方差數(shù)列，且公方差為3,4=1,則數(shù)列1的前33項(xiàng)的和為（）

A.3B.6C.2D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列｛%｝是等方差數(shù)列，且公方差為3,得到o3-d=3,再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式

求得從而得到:引求解?

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等方差數(shù)列，且公方差為3,

所以-=3,又=1,

所以+(〃—1).3=3〃—2,

又?jǐn)?shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以為=I,

11+1-Y3n-2出n+\-Jn-2

所以Q〃+Q〃+I弋3n-2+】3〃+1'Z3n-2+J3.+1)(次x+1-6-2)3

111

所以-----+------+…+-------,

4]I。2+。33?。34

V4-V1V7-V473x33+1-73x33-2.

=----------+------------+???H--------------------------------=3，

333

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，在平行六面體/3CD-44G2中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是2,且它們彼此的夾角

都是60°,P為4。與“〃的交點(diǎn)，^AB=a,AD=b,A^=c,則下列正確的是（）

B.ACX=a+b-c

D.3。的長為2G

【答案】AC

【分析】A、B選項(xiàng)考查的是空間向量基本定理的應(yīng)用，以萬，b，3為基底表示蘇，鶯就可以

得到結(jié)論；C選項(xiàng)考查利用空間向量數(shù)量積求向量夾角的余弦，先用基底表示皮和布，再求它

/__.__ADC'AC

們的數(shù)量積和模，利用cosMC,"G)=片可判斷是否正確；對D選項(xiàng)，先用基底表示西,

,AC,C

再結(jié)合西2=|西『可求BDX的長.

VCP=ZP-^C=1(ZD+Z^)-(Z8+2D)=-AB-^AD+^AAl=-a-^b+卜,故A正確.

:煎；=刀+齊心+元=方+而+怒=)+不+3.故B錯(cuò)誤.

X**>52=62=c2=4，a'b=b'C=C'a=2x2xcos60°=2.

DC=a，|℃|=2;

ACX=a+b+c,

硝=萬+3+G『=/2+『+/+方彳+方@+萬｝=74+4+4+4+4+4=2行.

慶?布=萬?(萬+5+dj=萬？+萬彳+萬］=44-2+2=8

-777\8

???cM"A、=回DC'A同CX=TA/6?故c正確?

\BDx=-a+b+c,：.

I麗■[“_石+g+@2=，才+#+>_23g+2g己23a=J4+4+4-4+4-4=2亞.故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.己知直線/：丘-夕+2a+1=0和圓。：x2+y2=8,則()

A.直線/恒過定點(diǎn)(2,1)

B.存在先使得直線/與直線/。：x-2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交

D.直線/被圓O截得的最短弦長為2行

【答案】BC

【分析】利用直線方程求定點(diǎn)可判斷選項(xiàng)A；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項(xiàng)B；利

用直線恒過定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項(xiàng)C；利用弦長公式可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對A,由Ax—y+2左+1=?？傻?，&(x+2)—y+1=0,

令x+2=0,即x=-2,此時(shí)y=。所以直線/恒過定點(diǎn)(-2,1),A錯(cuò)誤；

對B,因?yàn)橹本€％：x-2y+2=0的斜率為卜所以直線/的斜率為-2,即斤=-2,

此時(shí)直線/與直線/。垂直，滿足題意，B正確；

對C,因?yàn)槎c(diǎn)(-2,1)到圓心的距離為"71=石<272,

所以定點(diǎn)(-2,1)在圓內(nèi)，所以直線/與圓O相交，C正確；

對D,因?yàn)橹本€/恒過定點(diǎn)4-2,1),圓心到直線/的最大距離為卜石，

此時(shí)直線/被圓。截得的弦長最短為27^7=26，D錯(cuò)誤；

故選：BC.

11.已知數(shù)列｛%｝滿足4+3/+…+3"-%=〃-3"M(〃eN*),設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，則下列結(jié)

論正確的是()

A.數(shù)列｛。〃｝為等差數(shù)列

B.Sn=3n2+6n

C.數(shù)列1-1)"凡｝的前100項(xiàng)和為300D.數(shù)列的前20項(xiàng)和為284

【答案】ABC

【分析】先構(gòu)造數(shù)列2=3"-%"，知其前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)也,，進(jìn)而再求出％,選項(xiàng)A,由定義證明為

等差數(shù)列；選項(xiàng)B,利用等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式求解即可；選項(xiàng)C,兩項(xiàng)并一項(xiàng)，并項(xiàng)為常數(shù)列求

和；選項(xiàng)D,分段討論去絕對值后，分組求和，再利用等差數(shù)列求和公式即可求出.

+1

【詳解】由6+3%-+----H3"Tan=n-3"(neN,),

設(shè)6“=3"-4,貝屹+仇+…+久=〃?3向，

所以當(dāng)"22時(shí)，4+仇+—+。_]=(〃-1)-3",

兩式相減得，6“=(2〃+1)3,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=%=9也適合上式.

則6“=(2〃+1)?3"=3"為“,解得，an=3(2"+1),

所以。用-4=6,故數(shù)列｛?！埃且?為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，

則J=M(9+6?+3)=%(〃+2)=%2+的，

故選項(xiàng)AB正確；

選項(xiàng)C,數(shù)列1-1)"凡｝的前100項(xiàng)和

河=3[(-3+5)+(-7+9)+-■■+(-199+201)]

=3x2x50=300,故C項(xiàng)正確;

III?fl7-6?,zz<2*

選項(xiàng)D,|%-20|=|6〃-17|=,neN,

>3

181103

貝l]｛k“一20|｝前20項(xiàng)和為N=ll+5+l+7+13+??-+103=16+(+)=952,

故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

22

12.已知耳，&分別為橢圓C:土+匕=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)(不在無軸上)，△對巴

1612

外接圓的圓心為H,半徑為R，△尸耳￡內(nèi)切圓的圓心為/,半徑為廠，直線7V交無軸于點(diǎn)M,。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則()

A.S“貼2最大時(shí)，r=B.而.麗的最小值為8

「M-2D.Rr的取值范圍為12,|

,\PM\3

【答案】BCD

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積邑兩弓=。上|，可知其最大值，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可判斷A選

項(xiàng),根據(jù)外心的概念及向量的線性運(yùn)算可判斷B選項(xiàng),根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得備=￡=2,即可

判斷C選項(xiàng)，再根據(jù)外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的求法可判斷D選項(xiàng).

22_

【詳角軍】由C:土+匕=1,得a=4,b=26,c=2,

1612

A選項(xiàng)：設(shè)P（x,y）,則—4<x<4,-273<y<2V3,S/尸內(nèi)二；尸石|?卜卜。?卜卜2川，所以當(dāng)點(diǎn)尸在

短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大值為4g，

此時(shí)由內(nèi)切圓性質(zhì)可知邑冏烏=g川尸4|+|尸園+|4動=67,

則r=2咨=拽，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

63

設(shè)|尸耳|=加，|尸月|=〃，則加+〃=2o=8,

B選項(xiàng)：如圖所示，設(shè)尸片中點(diǎn)為G,則G”,尸片，所以

PHPO=^PH^PFl+PF^=^PH-PF\+^PH-PF\,

又麗.聞=（所+西?所=而.所=g兩=-1rh,

同理尸”了工=—/，

2

2

—?—?1-1--_LJ匚1—加m+n

所以PH-PO=51+2=8,

244T+24V'22

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，等號成立，B選項(xiàng)正確;

血n裔居V即

C選項(xiàng)：設(shè)77與耳與交于點(diǎn)由角分線定理可知m=

PI_附+%I_絲一[=2,^\PI\=2\IM\,

IM廠幽+\F2M2;

,,,,\PI\2

所以|尸叫=3|如所以裾=］，C選項(xiàng)正確;

D選項(xiàng)：設(shè)NF\PF,=9,由正弦定理得2尺=險(xiǎn)=士，即火=三

sin。sin。sing

由余弦定理得2一⑸、(加+”廣后

cosej"'1="1，

2mn2mnmn

24m+n21

則mn=----------,S.mn<=16,即cosez^,當(dāng)且僅當(dāng)冽=〃時(shí)取等號,

cos6^+12

所以cosOeg,l1,

i2sm3

SPFF=-mnsin(9=

鵬2cos0+1

所以2sin。

6cos9+1

42,1,D選項(xiàng)正確;

則K嬴”

故選：BCD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知“(11,0),川0,3,0),C(2,2,2),則向量方在就上的投影向量的坐標(biāo)是.

【答案】

65653

【分析】由已知得出方，衣的坐標(biāo)，然后求出投影向量即可得出答案.

【詳解】因?yàn)榉?(-1,2,0),就=(1,1,2),

ABACAC-1+2+0AC

所以，向量通在/C上的投影向量是不g—,i=|=一法"F=-AC

6，

其坐標(biāo)為，就

故答案為:

14.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為，，且｛對｝滿足。3=%%+2,若$3=13,q=1,則"

〃1~I-〃2

【答案】9

【解析】

【詳解】因?yàn)椤?=?！啊！?2,所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為4(?>0)，

則邑=%(1+q+q2)=13,得/+g-12=0,解得4=3(q=-4舍去)，

所以巴士幺=d1aL±?=“2=9.

a

ax+&％+i

15.已知兩點(diǎn)M(—2,0),#(2,0),若直線y=-3)上存在四個(gè)點(diǎn)尸1=1,2,3,4),使得AMVP是直

角三角形，則實(shí)數(shù)后的取值范圍是

【答案】[-等o]jo,咨

I'7I'J

【分析】根據(jù)△MAP是直角三角形，轉(zhuǎn)化為以九W為直徑的圓和直線(x-3)相交，且存0,然

后利用直線和圓相交的等價(jià)條件進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)HMLx,尸"/Lx時(shí)，此時(shí)存在兩個(gè)直角三角形，

當(dāng)血W為直角三角形的斜邊時(shí)，是直角三角形,

要使直線廠左(x-3)上存在四個(gè)點(diǎn)P(z=l,2,3,4),

使得AM部是直角三角形，等價(jià)為以AW為直徑的圓和直線(x-3)相交，且厚0,

圓心O到直線kx-y-3k=0的距離d—2

平方得9/<4(1+F)=4+4F,

即5k<4,BPk2<-,得一漢5〈發(fā)〈拽.

555

又存o,...實(shí)數(shù)4的取值范圍是卜華，o卜卜，半］

16.從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的

一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖

①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)與，鳥的橢圓。與雙曲線S構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)耳發(fā)出，依

次經(jīng)S與C反射，又回到了點(diǎn)片，歷時(shí)白秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)耳發(fā)出，

經(jīng)C兩次反射后又回到了點(diǎn)耳，歷時(shí)4秒.若。與S的離心率之比為2:3,則g=.

h

【答案】6

【分析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得A/AF；和AC。K的周長，再根據(jù)光

速相同，時(shí)間比等于路程比，再結(jié)合C與S的離心率之比為2:3,即可求解.

【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：忸媚+忸周=2%,由雙曲線的定義得圖-|/胃=血，兩式

相減得|幽|+忸閶盟|+卜周=2%-2%,

所以448片的周長為2%-2%，

在圖②中，ACD片的周長為4%,

t2_4q_4

因?yàn)楣馑傧嗤?一2〃1-22一2-2歿

ax

c

因?yàn)?。與S的離心率之比為2:3,即2=2=包=3,

e2ax3

_——______—h

所以「2-2，?

3

故答案為：6.

四、解答題：本題共6小題，共70分.第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

17.（10分）已知直線/：3x+4y+12=0和圓C：/+/+2x-4y-4=0.

（1）求與直線m垂直且經(jīng)過圓心C的直線的方程；

（2）求與直線加平行且與圓C相切的直線的方程.

【答案】（l）4x-3y+10=0

⑵3x+4y-20=0或3x+4y+10=0

【分析】（1）先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)直線，再結(jié)合直線過圓心求參即可；

（2）先根據(jù)平行設(shè)直線方程，再根據(jù)圓心到直線距離為半徑求參得出直線方程.

【詳解】（1）設(shè)與直線加：3x+4y+12=0垂直的直線的方程為4x-3y+a=0.

圓C可化為（x+iy+（y-2）2=9,圓心為C（T,2）,

因?yàn)橹本€4x-3y+a=0經(jīng)過圓心C,所以4x（—1）一3x2+a=0,即。=10,

故所求直線的方程為4x-3y+10=0.

（2）設(shè)與直線〃?：3x+4y+12=0平行的直線的方程為3x+4y+c=0（c/12）.

因?yàn)橹本€3x+4y+c=0與圓C相切，

|3x（-l）+4x2+c|

所以圓心C（T2）到直線3x+4y+c=0的距離等于半徑，即1、二——~L=3,

A/32+42

所以|c+5|=15,c=-20或10,

故所求直線的方程為3尤+4y-20=0或3x+4y+10=0.

18.（12分）S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.已知%>0,d+2%=4S,,+3.

（I）求｛七｝的通項(xiàng)公式;

（II）設(shè)或=-----，求數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和.

anan+l

1

【答案】(I)2〃+1(II)7-

64〃+6

【分析】（/）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法即可求｛的｝的通項(xiàng)公式:

(II)求出加利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和.

%%+1

【詳解】解：(/)由。/+2斯=45〃+3,可知斯+i=4S〃+i+3

2

兩式相減得an+i~an+2(&n+i-an)=4斯+1，

艮口2(a“+i+〃“)-a/(a〃+i+a〃)(a〃+i—a〃),

?>0,??Cln+l~4〃2,

ai2+2tzi—4tzi+3f

.'.ai=-1(舍)或0=3,

則｛斯｝是首項(xiàng)為3,公差d=2的等差數(shù)歹U,

???｛斯｝的通項(xiàng)公式?！?3+2(?-1)=2。+1：

(II)???斯=2〃+1,

?心，=______1______=1(」______L_)

'anan+l(2??+1)(2?+3)22?+12〃+3'

++

二數(shù)列｛60｝的前n項(xiàng)和Tn=^-(+)1(1_=1_1

235572幾+12〃+3232〃+364〃+6

19.(12分)已知拋物線C:/=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)M(2,-2⑹，直線/與拋物線相交于不同的A、

B兩點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)如果區(qū).赤=-4，直線/是否過一定點(diǎn)，若過一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過一定點(diǎn)，試說明理由.

【答案】⑴產(chǎn)=4%

(2)過定點(diǎn)(2,0)

【分析】(1)將點(diǎn)“(2,-2后)代入拋物線方程，可得。=2,從而可得答案；

(2)設(shè)出直線方程/:叼=x+",與拋物線方程聯(lián)立，由數(shù)量積公式結(jié)合韋達(dá)定理可得"=-2,進(jìn)

而可得答案.

【詳解】(1)由題意可知，將點(diǎn)可(2,-20)代入拋物線方程，

可得/2啦丁=2px2,解得°=2,

則拋物線方程為必=4尤.

(2)因?yàn)?，直線/與拋物線相交于不同的A、B兩點(diǎn),

所以直線不與x軸平行，

可設(shè)/：7索=尤+〃，與了2=4x聯(lián)立，得了2-4加V+4〃=0,

設(shè)4（%,必）,5優(yōu),%），；?%+%=4機(jī)，%%=4".

由OAOB=xrx2+yxy1

=(myl-n)(my2-n)+yly2

22

=(m+l)y1y2-mM(y1+y2)+?

m2+1)x4/?—mnx4m+n2

=*+4〃=一4,解得n=-2,

l：my=x-2過定點(diǎn)（2,0）.

20.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD_L底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=V^,PA_LPD,底面ABCD

為直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AB=BC=1,0為AD的中點(diǎn).

（1）求直線PB與平面POC所成角的余弦值.

（2）線段PD上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為逅？若存在，求出冬的值;若不存在,

3QP

請說明理由.

【答案】（1）如；（2）存在，；

32

【詳解】試題分析：由以=尸。,。為AD中點(diǎn)，側(cè)面PAD,底面ABCD,可得POL平面ABCD.又

在直角梯形ABCD中，易得OC，AD,所以可以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OC為x軸,OD為y軸,OP為z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解.

試題解析：（1）在AP4D中，PA=PD=6,。為AD的中點(diǎn)，所以尸OL4D,

側(cè)面PAD_L底面ABCD,貝ijPO±ffiABCD.

又在直角梯形ABCD中，連接OC,則。CL4D,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0C為x軸，直線OD為y軸，直線O尸為z軸建立空間直角坐標(biāo)

系.而=(1,-1,-1),40_LffiPOC,04=(0,-l,0),cos(PB,OA^=^-=sin。

所以，直線PB與平面POC所成角的余弦值為它.

3

(2)假設(shè)存在，則設(shè)迎及所,OV2V1

因?yàn)榱?(0,1,-1),所以Q(0,X,1-X).

[〃+6=0

設(shè)平面CAQ的法向量為玩=(a，b,c),則，+i)b+(l1/)c=0

所以取而=(1-X,X-1,UI),

平面CAD的法向量元=(0,0,1),

因?yàn)槎娼荙-Ab口的余弦值為g，

所以\n'扁m\T

所以我2-10九+3=0.

所以入=g或九=3(舍去),

所以意=3?

21.(12分)已知等差數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和為S",公差140,且$3+$5=50,%,%，%成等比

數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)歹h

①求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

②若不等式彳（-5.+2〃240對一切"eN*恒成立，求實(shí)數(shù)2的最大值.

【答案】【小題1】?！?2〃+1；【小題2】①4=小3"；②一焉.

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)進(jìn)行求解;

（2）①先計(jì)算｛"｝的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求解北；

②代入&S“，得到2W箏對一切“eN*恒成立，構(gòu)造函數(shù)〃"）=姜，再求〃"）的最小值,

即可求得結(jié)果.

3x24x5

H-------d+5。1H--------d—50—3

【詳解】（1）依題意得2,2，解得"=2，

（%+3d）2=%（%+12"）I

/.an=ax+(〃-V)d=3+2(〃-1)=2n+1,即%=2〃+1.

B1lH1

(2)S—=3_,bn=an-y-=(2M+1)-3-,

an

7；=3+5-3+7-32+…+(2"+l>3"T,

231H

3Tn=3.3+5-3+7-3+---+(2H-1)-3"-+(2M+1)-3,

所以一27；=3+2?3+2?32+…+2-3"T-(2〃+l)3"=3+2.i&Z121_(2〃+l)3"=-2〃.3".

:.T.=n-3".

②由(1)易求得S.=〃(〃+2),所以不等式XT；-S"+2〃2wo對一切〃eN*恒成立,

即轉(zhuǎn)化為X4寸2—Yl對一切neN,恒成立，

令/(〃)=?(〃eN*),則

又〃〃+1/(")=w="

當(dāng)時(shí)，/(n+l)-/(w)<0；時(shí)，/(H+1)-/(H)>0,

所以/(1)>〃2)>〃3),且以3)<〃4)<…,則%”(嘰二/⑶二一白.

所以實(shí)數(shù)2的最大值為-3

22

22.(12分)已知橢圓C:1r+3=1(。>6>0)的左、