2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-圓的切線的證明

2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破—圓的切線的證明

1.如圖，已知AB為「。的直徑，點(diǎn)C為外一點(diǎn)，AC=BC,連接OC,DF^AC

的垂直平分線，交OC于點(diǎn)尸，垂足為點(diǎn)E,連接AD、CD,S.ZDCA=ZOCA.

⑴求證：AD是。的切線；

⑵若CD=6,OF=4,求cos/ZMC的值.

2.如圖，ABC內(nèi)接于O,AB是。的直徑，作N3CD=NA,8與AB的延長線

交于點(diǎn)。，DE1AC,交AC的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：CD是。的切線；

(2)若CE=2,DE=4,求AC的長.

3.如圖，點(diǎn)E在以為直徑的圓。上，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作C。垂直AE,

交AE的延長線于點(diǎn)。，連接8E交AC于點(diǎn)

⑴求證：8是圓。的切線.

4

⑵若cosNCAO=g,BF=15,求AC的長.

4.如圖，AB是〈。的直徑，尸為一O上一點(diǎn)，AC平分交(。于點(diǎn)C.過點(diǎn)C作

8，Ab交項(xiàng)的延長線于點(diǎn)。.

⑴求證：8是，:。的切線.

(2)若0c=6,AB=13,求"的長.

5.如圖，Rt^ABC中NBC4=90。，AE2=ADxAC，點(diǎn)。在AC邊上，以8為直徑

(1)求證48是。的切線；

(2)若5=00=1,求BE的長度.

6.如圖，在.ABC中，AE是它的角平分線，NC=90。，48=30。，。在A8邊上，A￡>=4,

以AO為直徑的圓O經(jīng)過點(diǎn)E.

(2)求圖中陰影部分的面積；

7.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,。是3C邊上一點(diǎn)，以。為圓心，0B為半徑

的圓與相交于點(diǎn)O,連接C。，且CD=AC.

試卷第2頁，共6頁

A

⑴求證：8是：。的切線;

⑵若NA=60。，AC=2抬，求80的長.

8.如圖，在.ABC中，點(diǎn)。是8c中點(diǎn)，以。為圓心，8C為直徑作圓，剛好經(jīng)過A點(diǎn),

延長8C于點(diǎn)。，連接AD已知NCAO=NB.

(1)求證：是。。的切線；

⑵若BD=8,tanB=g,求。。的半徑.

9.如圖，。是.A3C的外接圓，A8為一。的直徑，點(diǎn)E為。上一點(diǎn)，跖〃AC交

48的延長線于點(diǎn)尸，CE與交于點(diǎn)O,連接BE,^ZBCE^^ZABC.

⑴求證：EF是t。的切線.

3

(2)若跖=2,sinZBEC=-,求O的半徑.

10.如圖，在半徑為10c根的。。中，A2是。。的直徑，C。是過。。上一點(diǎn)C的直線,

且AZ)J_OC于點(diǎn)。，AC平分/BA。，點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，OE=6cm.

D

⑴求證：C。是。。的切線；

⑵求的長.

11.如圖，在RfAABC中，ZC=90°,ZB=30°,點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在邊BC上,

以點(diǎn)。為圓心的圓過頂點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D.

A

(1)求證：直線AB是。。的切線；

(2)若AC=g,求圖中陰影部分的面積.

12.如圖，AB為。。的直徑，弦。0，至于￡,連接AC,過A作Ab_LAC,交。。

于點(diǎn)尸，連接。R過8作尸，交。尸的延長線于點(diǎn)G.

(1)求證：BG是。。的切線；

(2)若NDE4=30。，DF=4,求/G的長.

13.如圖，AC是。。的直徑，。。與。。相交于點(diǎn)8,ZDAB=ZACB.

ci)求證：是。。的切線.

(2)若/AD3=3O。，DB=2,求直徑AC的長度.

試卷第4頁，共6頁

c

14.如圖①，AB是，；O的弦，OEJLAB,垂足為P,交AB于點(diǎn)E,且OP=3PE,AB=4A/7.

(I)求i。的半徑；

(H)如圖②，過點(diǎn)E作二。的切線CO,連接。2并延長與該切線交于點(diǎn)。，延長。4

交CD于C,求0c的長.

15.如圖，以A3為直徑作半圓。，C是半圓上一點(diǎn)，/ABC的平分線交,O于點(diǎn)E,

D為3E延長線上一點(diǎn)，且DE=FE.

(1)求證：AD為IO的切線；

(2)若AB=20,sin/E3A=0.6,求Cb的長.

16.如圖，AB為0O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD是。。的切線，D為切點(diǎn),

0FLAD于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：ZADC=ZA0F；

(2)若sinC=g,BD=8,求EF的長.

17.如圖，AB、8是。。中兩條互相垂直的弦，垂足為點(diǎn)E,且AE=CE,點(diǎn)、F是BC

的中點(diǎn)，延長FE交于點(diǎn)G,已知AE=1,BE=3,OE=6.

(1)求證：XAED父ACEB；

(2)求證：FGA.AD；

(3)若一條直線/到圓心。的距離”=正，試判斷直線/是否是圓。的切線，并說明

理由.

18.如圖，。。是△ABC的外接圓，為直徑，過點(diǎn)。作OO〃8C,交AC于點(diǎn)D

(1)求/A。。的度數(shù)；

(2)延長。。交。。于點(diǎn)E,過E作。。的切線，交CB延長線于點(diǎn)R連接。尸交

于點(diǎn)G.

①試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；

②若BG=2,AD=3,求四邊形CDEB的面積.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.(1)證明見解析

⑵典

6

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可得COLAB,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得

NZMC=NDC4,由ZDC4=NOC4可得ZDAC=NOC4,證明AD〃OC,從而可得結(jié)論；

(2)連接相，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF=AD=CD=CF=6,再由勾股定理求出相

關(guān)線段長即可.

【詳解】(1)證明???。為圓心，

OA=OB,

AC^BC,

：.CO_LAB,即/COA=ZCOB=90°,

DF是AC的垂直平分線，

:.AD—CD,

：.ZDAC=ZDCA,

?：ZDCA=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

：.ZDAO=ZCOB=90°,即AO_LAB,

又AB是圓。的直徑，

/.是'O的切線；

(2)解：連接AF,如圖，

答案第1頁，共60頁

由(1)知，AD=CD,AE-CE,

?.?ZDCA=/OCA,DF_LAC,

：.CD=CF,AF=AD.

:.AF=AD=CD=CF=6,

在RtAO尸中，AF=6,OF=4,AO2+OF2=AF2,

AO=YIAF2-OF2=A/62-42=2石>

在RtAOC中，AO=2如,CO=CP+。尸=6+4=10,

AC2=AO2+OC2,

?*-AC=yjAO2+OC2=7(2^)2+102=2病，

/.AE=-AC=y[30,

2

?AEA/30

??cosZDAC=cosZDAE=-----=------.

AD6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，勾股定

理以及求銳角余弦值，熟練運(yùn)用相關(guān)知識解答本題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析

(2)6

【分析】(1)如圖，連接OC,則NAC3=90,ZA=ZACO,因?yàn)?3CD=NA,所以

ZBCD=ZACO,于是可證/OC￡>=90,所以8是。的切線；

(2)由(1)結(jié)論及已知易證NACB=NDEC,所以BC//DE,再求證，AEDDEC,所以

DFFC

專=需，進(jìn)而解得AC=6-

AEDE

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

是：。的直徑，

ZACB=90,

???ZACO+ZOCB=90°

OA=OC,

.\ZA=ZACO,

■:ZBCD=ZA

答案第2頁，共60頁

:./BCD=ZACO,

：.ZBCD+ZOCB=90°9即NOC￡>=90,

0C是。的半徑，

:./DEC=90,

ZACB=90,

???ZACB=NDEC,

s.BCHDE,

:./EDC=/DCB,

ZBCD=ZA,

：.ZEDC=ZA,

又ZE=ZE,

/.AEDDEC,

.DEEC

??瓦―Bi'

._4__2

**AE~4"

:.AE=8,AC=AE-CE=8-2=6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定定理、平行線的判定、相似三角形的判定及性質(zhì)；根據(jù)題

意作出過切點(diǎn)的半徑是（1）問的關(guān)鍵；結(jié)合題意及審圖發(fā)現(xiàn)相似三角形是（2）的關(guān)鍵.

3.（1）見解析

⑵16

【分析】（1）連接OC,根據(jù)垂徑定理的推論可知班，根據(jù)直徑所對的圓周角為90

度可知班，進(jìn)而得出仞〃OC,根據(jù)AD_LCD可得OC_LCD；

答案第3頁，共60頁

(2)連接5C,根據(jù)直徑所對的圓周角為90度可知NACB=90。，根據(jù)圓周角定理可證

4

ZCBE=ZCAD=Z.CAB,進(jìn)而可得cosNCBE=cosZCAD=cosZCAB=g，在RtAABC中,

我4

設(shè)AC=43AB=5k,則BC=3左，再根據(jù)cosNC3E=——=一=—求出左值即可.

BF155

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖所示，

點(diǎn)。是5E的中點(diǎn)，

/.CE=BC，

OCLBE,

是一。的直徑，

:.AD±BE,

:.AD〃OC,

ADLCD,

/.OC1CD,

二.CD是圓。的切線.

(2)解：連接5C,如圖所示,

是。的直徑，

ZACB=90°f

點(diǎn)C是班的中點(diǎn)，

答案第4頁，共60頁

:.CE=BC，ZCAD=ZCAB,

/CAD=/CBE,

，/CBE=/CAD=/CAB,

4

cosNCBE=cosACAD=cosZCAB=—,

在中，設(shè)AC=43AB=5k,

則5C=，W2__g=3”

CLBC3k4

??cosNCBE==—=—,

BF155

k=4,

,\AC=4k=16.

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，垂徑定理，圓周角定理，切線的判定，勾股定理等，解題

的關(guān)鍵是掌握直徑所對的圓周角為90度，同弧或等弧所對的圓周角相等.

4.(1)見詳解

(2)5

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質(zhì)以及切線的判定定理即可得到結(jié)論;

(2)連接交AC與點(diǎn)E,首先借助圓周角定理證明四邊形CETO為矩形，由矩形性質(zhì)

可得EF=CD=6,OCYBF,利用垂徑定理即可推導(dǎo)班-=12；然后在RrAB尸中，由勾

股定理計算"的長即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,如下圖，

VACWZE45,

AFAC=ACAO,

"：AO=CO,

答案第5頁，共60頁

ZACO^ZCAO,

：.ZFAC=ZACO,

：.AD//OC,

*.?CD±AF,

：.CDLOC,

*/OC為半徑，

是。的切線；

(2)解：連接所，交AC與點(diǎn)E,如下圖,

；A5為二。的直徑，

ZAFB=90°,

：.ZDFE=180°—ZAFB=90°,

"：CD.LAF,CD.LOC,

：.NFDC=NDCE=90°,

四邊形CEED為矩形，

EF=CD=6,ZCEF=90°,即CEJL3尸，

?：OC為O半徑，

BF=2EF=2x6=12,

...在如AB歹中，由勾股定理可得A7?=JAB?一所2='132-12?=5-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、平行線

的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

5.⑴見解析

⑵6

答案第6頁，共60頁

【分析】（1）根據(jù)人彥=ADXAC得出=,ZA=ZA,得出:AEDs^c,可得

ADAE

ZAED=ZACE,由OC是直徑，可得ZDEC=90。，則NDEO+/OEC=90。，又OD=OE,

得出NOEC=NOCE,等量代換可得NAED+NOED=90。，即可得證；

（2）在RCAOE中，勾股定理求得AE,證明AOEs6ABe，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求

得的長，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，

AE2=ADXAC,

,AEAC

??一,

ADAE

又：ZA=ZA,

,AED^AEC,

ZAED=ZACE,

即/1=N2,

,/DC是直徑，

ZDEC=90°,

即Z3+Z4=90°,

又OD=OE,

/?Zl=/4,

.*.12=14,

Z2+Z3=90°,

即OE_LAB,

：0E是半徑，

.?.AB是。的切線；

(2)VAD=DO=EO=OC=1,

答案第7頁，共60頁

AO=2,OE=1,AC=AD+CD=l+2=3,

在RtA4OE中，AE=^AO2-OE2=V3>

VABM。的切線，

??.OE±AB,

：.ZAEO=ZACB,

又ZA=ZA,

；?AOESjABC,

.AO_AE

??AB-AC?

即2_=旦

AB3

??AB=2^/^>

/.BE=AB-AE=j3.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，切線的判定，掌握相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

6.(1)證明見解析

⑵mT

【分析】(1)直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出NC4E=NOE4,進(jìn)而得

出NO￡B=90。，即可得出答案；

(2)首先求出E。，8E的長，進(jìn)而利用陰影部分的面積等于SEOB-S扇相⑺,進(jìn)而得出答

案；

【詳解】(1)證明：連接0E；

???AE平分/C4B

???ZCAE=ZEAB

,:AO=EO

???ZOAE=ZAEO

：.ZCAE=ZOEA

：.AC//EO

;ZC=90°

答案第8頁，共60頁

ZOEB=90°

，BC是，。的切線；

(2)解：，；/B=30°,ZOEB=90°

EO=-BO,ZEOB=60°

2

,/AD=4

：.EO=2,DO=2

：.30=4

/.BE=273

故圖中陰影部分的面積為:

-EO.BE-60兀乂22網(wǎng)2兀

23603

【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及扇形面積求法，正確得出BE的長是解題關(guān)

鍵.

7.(1)見解析

4

⑵丁

【分析】(1)連接OD由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得NA=NAOC,/B=NBDO.再

根據(jù)余角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得/ODC=180。-(ZADC+ZBDO)=90°.最后由

切線的判定定理可得結(jié)論；

(2)根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得/OCO=/ACB-ZAC￡)=30°.再由解直角三角形

及三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式可得答案.

【詳解】(1)證明：連接OD

答案第9頁，共60頁

A

9：AC=CD,

：.ZA=ZADC.

?：OB=OD,

：.ZB=ZBDO.

丁ZACB=90°,

???ZA+ZB=90°.

???ZA￡>C+ZBZ)O=90°.

：.ZODC=180°-(/ADC+NBDO)=90。.

又是OO的半徑，

???CD是的切線.

(2)解：?:AC=CD=26,NA=60。，

???△AC0是等邊三角形.

,ZACD=60°.

：.ZDCO=ZACB-ZACD=30°.

在RSOC￡)中，OZ)=CZ)tanNZ)CO=2百.tan3()o=2.

VZB=90°-ZA=30°,OB=OD,

：.ZODB=ZB=30°.

：.ZBOD=180°-(NB+NBDO)=120。.

【點(diǎn)睛】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長公式，正確作出輔助線

是解決此題的關(guān)鍵.

8.(1)見解析

(2)。。的半徑為3.

答案第10頁，共60頁

【分析】（1）連接AO,由等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出/D4O=/CW+/CAO=90。,

則可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定方法由相似三角形的性質(zhì)推出

CDAC1

AD=W==求出。c=2,則可得出答案.

BD

【詳解】（1）證明：連接AO,

???5C是直徑,

???ZBAC=90°,

JZB+ZACO=90°,

*：OA=OC,

：.ZACO=ZOAC,

*：ZCAD=ZB.

：.ZDAO=ZCAD+ZCAO=90°,

：.OA±ADf

???AO是。。的切線；

(2)解：VZCAZ)=ZB,ZADC=ZBDAf

：.AACD^ABAD,

.ADCDAC

"BD~AD~AB9

*.*tanB=—,

2

?AC1

??一-，

AB2

.ADCDAC_1

??茄—AO_AB―2，

VBD=8,

.AD_1

??一，

82

答案第11頁，共60頁

：.AD=4,

CD=—AD=—x4=2,

22

：.BC=BD-CD=8-2=6,

的半徑為3.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理.解決問

題的關(guān)鍵：(1)熟練掌握切線的判定方法；(2)正確證得

9.(1)過程見解析

(2)3

【分析】⑴連接OE,先根據(jù)圓周角定理及已知條件得出進(jìn)而得出OE〃3C,

再由於〃。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/尸￡。=/4。8,然后根據(jù)直徑所對的是直角，即可得

出答案；

(2)先說明丫碗:NACB,再設(shè)的半徑為r,并表示R9,AB,BC,然后根據(jù)對應(yīng)

邊成比例得出PO絲=—F0,根據(jù)比例式求出半徑即可.

BCAB

【詳解】(1)證明：連接0E.

,/NBCE=-ZABC,ABCE=-NBOE,

22

ZABC=ZBOE,

：.OE//BC,

：.ZOED=ZBCD.

'：EF//CA,

：.ZFEC=ZACE,

：.ZOED+ZFEC=ZBCD+ZACE,

^ZFEO=ZACB.

,：AB是直徑，

答案第12頁，共60頁

???ZACB=90°,

：.NFEO=90°,

:?FE1EO.

???EO是。的半徑，

；,EF是:。的切線.

(2)EF//AC,

:?VFEO:NACB.

3

*：BF=2,sinZBEC=~.

設(shè)的半徑為r,

6

：.F0=2+r,AB=2r,BC=-r.

5

..E0__F0_

?茄一茄

r2+r

解得r=3,

.??OO的半徑是3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)

鍵.

10.⑴見解析

【分析】（1）連接OC,由AC平分NBA。，OA=OC,可得/D4c=/OC4,AD//OC,根

據(jù)AOLOC,即可證明CD是。。的切線；

ADACAD17

（2）由是AABC的中位線，得AC=12,再證明△ZMCs^cAB,U=即把=上，

ACAB1220

從而得到

【詳解】（1）證明：連接。C,如圖：

答案第13頁，共60頁

D

〈AC平分NBA。,

：.ZDAC=ZCAO,

*：OA=OC,

：.ZCAO=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

'：AD.LDC,

：.COLDC,

TOC是。。的半徑，

???CO是。。的切線；

(2)解：,??萬是5。的中點(diǎn)，且04=03,

???0￡1是△A5C的中位線，AC=20E,

??,0E=6,

:.AC=n,

TAB是。。的直徑，

'ZACB=90°=ZADC,

又/DAC=/CAB,

：.ADAC^ACAB,

.ADACAD12

??=f艮nn=，

ACAB1220

：.AD=—.

5

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟

練應(yīng)用圓的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化圓中的角和線段.

11.(1)見解析

⑵3十

答案第14頁，共60頁

【分析】（1）連接0,CD,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AC=gAB,求出

ZA=90°-ZB=60°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出求出AD=AC,根據(jù)等邊三

角形的判定得出AAOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NAOC=NACO=60。，求

出/OOC=4DCO=30。，求出再根據(jù)切線的判定得出即可；

（2）求出B￡）=AC=6,BO=2DO,根據(jù)勾股定理得出8。2=0?+8。2,求出再分別求

出AB。。和扇形DOE的面積即可.

【詳解】（1）證明：連接。。，CD,

：.AC=-AB,ZA=90°-ZB=60°,

2

?.?。為AB的中點(diǎn)，

：.BD=AD=-AB,

2

：.AD=AC,

：./vine是等邊三角形，

ZADC=ZACD=60°,

,/ZACB=90°,

NZ)CO=90°-60°=30°,

,?OD=OC,

：.ZODC=ZDCO=30°,

：.ZADO=ZADC+ZOZ)C=60°+30o=90°,

即OD±AB,

答案第15頁，共60頁

:。。過圓心o,

直線A2是。。的切線；

（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=-AB,

2

又?:AC=6，

BD=AC=y[3,

VZB=30°,ZBDO=ZADO=90°f

：.ZBOD=60°,BO=2DO,

由勾股定理得：BO2=OD2+BD2,

即（20。）2=0。2+（6）2,

解得：0。=1（負(fù)數(shù)舍去），

所以陰影部分的面積x1x6-盟正=走一2.

236026

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積計算等知識

點(diǎn)，能熟記直角三角形的性質(zhì)、切線的判定和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵.

12.（1）見解析；（2）FG=2

【分析】（1）由題意根據(jù)切線的判定證明半徑08,5G即可BG是。。的切線；

（2）根據(jù)題意連接CR根據(jù)圓周角定理和中位線性質(zhì)得出=尸，進(jìn)而依據(jù)等邊三角

形和四邊形BEDG是矩形進(jìn)行分析即可得出FG的長.

【詳解】解：（1）證明：；C,A,D,尸在。。上，ZCAF=90°,

：.ZD=ZCAF=90°.

VABLCE,BGLDF,

：.ZBED=ZG=90°.

：.四邊形BEDG中，ZABG=90°.

：.半徑0B_L8G.

/.3G是。。的切線.

（2）連接CF,

答案第16頁，共60頁

c

w

A------d~~G

ZCAF=90°,

???b是。。的直徑.

???OC=OF.

???直徑A5_LCD于E,

???CE=DE.

???OE是ACOb的中位線.

OE=-DF=2.

2

VAD=AD^/AFD=30。,

???ZACD=ZAFD=30°.

：.ZG4E=90°-ZACE=60°.

???OA=OC,

???△AOC是等邊三角形.

?.*CE±ABf

JE為AO中點(diǎn)，

???OA=2OE=4903=4.

BE=BO+OE—6.

ZBED=ZD=ZG=90°,

/.四邊形BEDG是矩形.

DG=BE=6.

：.FG=DG-DF=2.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問題，熟練掌握切線的判定和圓周角定理和中位線性質(zhì)以及等邊

三角形和矩形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析;(2)AC=4.

答案第17頁，共60頁

【分析】(1)根據(jù)//山。=90。和〃45=408證明ZOAD=90°,再根據(jù)經(jīng)過半徑外端點(diǎn)

并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線來判定；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論和/4。2=30。來說明在04。中，直角邊0A等于斜邊的一

半，又因?yàn)椤?=08,所以。4=。8=。8=2,所以AC=2OA=4.

【詳解】(1)證明：是。。的直徑，

ZABC=90°,

ZACB+ZCAB=90°,

又：ZAC4NDAB,

：.ZDAB+Z.CAB=9Q°,即/Q4ZA90。，

是。。的半徑，

是。。的切線；

(2)解：由(1)可知NOAZA90。，

ZADB=30°,

：.OA=Or>=1(OB+BD),

VO^OB,DB=2,

：.OAF=2,

：.AC=2OA=4.

【點(diǎn)睛】這道題考查的是切線的判定和30。所對直角邊是斜邊一半的概念.對圓相關(guān)概念、

性質(zhì)，以及特殊直角三角形性質(zhì)熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

32

14.(1)8；(II)—

3

【分析】(I)已知由垂徑定理可得AP=2，\設(shè)尸E=X,則0P=3X,

OA=OE=4x,在RrZXQ4P中，由勾股定理可得16/=9尤?+28,解方程求得x的值，即可

求得半徑Q4的值.

(II)由切線的性質(zhì)可得OELCD.再由可得AB〃CD,根據(jù)平行線分線段成

比例定理可得三;=W=；,由此即可求得oc=一.

OCOE43

【詳解】(I)'：OE±AB,

：.AP=-AB=2/7.

2

設(shè)PE—x,貝!JOP=3x,OA=OE-4x,

答案第18頁，共60頁

在RtAOAP中，OA2=OP2+AP-,

即16x2=9/+28,

解得x=2,(負(fù)舍)

4x=8,

???半徑。4為8.

(II)?:CD為。的切線，

：.OE.LCD.

又〈OELAB,

：.AB//CD,

OP=3PE,

.OAOP_3

OC-OE-4?

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理及平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用相關(guān)定理是

解決問題的關(guān)鍵.

15.（1）見解析；（2）CF=4.2.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到/C=/A班=90。，求得NO=NA即，根據(jù)角平分線的定

義得至1]NABD=NCBF,求得NZMB=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到/C8F=/CAE=/E8A,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???A8為的直徑，

/.ZC=ZAEB=90°,

*.?DE=FE,

：.AD=AF,

：.ZD=ZAFD,

ZAFD=ZBFC,

：.ZD=NBFC,

8。平分/ABC,

?.ZABD=NCBF,

：.ZCBF+ZBFC=ZABD+ZD=90°,

答案第19頁，共60頁

ZZMB=90°,

；?AD為：_。的切線；

(2)解：,/NCBF=ZCAE=ZEBA,

AkFF「F

：.sinZEBA=sinZCBF=sinZCAE=—=——=—=0.6,

ABAFBF

'：AB=20,

AE=12,

V—=0.6,AF2=AE2+EF2,

AF

：.AF2=122+(O.6AF)2,

???AF=15,

：?EF=9,

,-*BE=YIAB2-AE2=V202-122=16,

???BF=BE-EF=16-9=7,

CF

,：——=0.6,

BF

：.CF=0.6x7=4.2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，圓周角定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

16.（1）見解析；（2）2.

【分析】（1）連接OD,根據(jù)CD是。O的切線，可推出/ADC+NODA=90。，根據(jù)OFJ_AD,

ZAOF+ZDAO=90°,根據(jù)OD=OA,可得NODA=NDAO,即可證明；

（2）設(shè)半徑為r,根據(jù)在RtAOCD中，sinC=1,可得C?=r,OC=3r,AC=2r,由AB

為。O的直徑，得出NADB=90。，再根據(jù)推出OF,AD,OF〃BD,然后由平行線分線段成

比例定理可得堡=空=工，求出OE,—,求出OF,即可求出EF.

BDAB2BDBC4

【詳解】（1）證明：連接OD,

答案第20頁，共60頁

〈CD是。O的切線，

AODXCD,

???ZADC+ZODA=90°,

VOF±AD,

???ZAOF+ZDAO=90°,

TODOA,

.\ZODA=ZDAO,

JNADC=NAOF；

.OD1

??—―，

OC3

：.OD=r,OC=3r,

VOA=r,

.'.AC=OC-OA=2r,

TAB為。O的直徑，

.\ZADB=90o,

又???OF_LAD,

???OF〃BD,

.OE_OA_1

??BD~AB~2’

AOEM,

..OF_OC

?BD~BC~4,

：.OF=6,

EF=OF-OE=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓

答案第21頁，共60頁

周角是90。，靈活運(yùn)用知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

17.(1)見解析；(2)見解析；(3)直線/是圓。的切線，理由見解析

【分析】(1)由圓周角定理得/A=/C,由ASA得出母4￡￡)g/k(7功；

(2)由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得由等腰三角形的性質(zhì)得

ZB,由圓周角定理和對頂角相等證出NA+/AEG=90。，進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)作OH_LAB于H,連接OB,由垂徑定理得出AH=BH=；AB=2,則EH=AH-AE=\,

由勾股定理求出OH=1,OB=下,由一條直線/到圓心。的距離』=石等于。。的半徑，

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：由圓周角定理得：ZA=ZC,

在反4皮>和△CEB中，

'/A=/C

<AE=CE,

ZAED=ZCEB

：.AAED^ACEB(ASA)；

(2)證明：9CABLCD,

：.ZAED=ZCEB=90°,

：.ZC+ZB=90°f

??,點(diǎn)廠是5C的中點(diǎn),

；.EF=gBC=BF,

：.ZFEB=ZB,

VZA=ZC,NAEG=NFEB=NB,

：.ZA+ZAEG=NC+N3=90。，

ZAGE=90°,：.FG±AD；

(3)解：直線/是圓。的切線，理由如下：作0HLA3于H,連接08,如圖所示：

答案第22頁，共60頁

\'AE=1,BE=3,

：.AB=AE+BE=4,

'JOHLAB,

：.EH=AH-AE=1,

0H=^OE1-EH2=J(揚(yáng)2_仔=1,

OB=^JBH2+OH2=V22+l2=Vs，即。。的半徑為百，

???一條直線/到圓心O的距離1=6=。。的半徑，

直線/是圓。的切線.

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、垂徑定理、切線的判定、全等三角形的

判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，

熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

27

18.(1)90。；(2)①四邊形CDEF為矩形，理由見解析；②萬

【分析】(1)由圓周角和平行線的性質(zhì)求出結(jié)論.

(2)根據(jù)矩形的判定定理得出結(jié)論.

(3)根據(jù)全等三角形和勾股定理得到方程，聯(lián)立方程組求出OA的長度，即可求出矩形的

面積.

【詳解】(1)為直徑，

；.NC=90。.

'：OD//BC,

：.ZADO=ZC=90°.

(2)①四邊形CDEP為矩形，理由如下：

：NC=90°,OD//BC,

答案第23頁，共60頁

???ZODC=180°-90°=90°.

???M與。。相切于點(diǎn)E,

???ZOEF=90°.

VZC=ZODC=ZOEF=90°,

???四邊形CO跖為矩形.

②如圖，連接AE,OC,

*：OA=OC,OD±AC,

：.AD=DC=3.

由①知四邊形COM為矩形，

：.DE=CF.

又丁ZADE=ZDCF=90°f

：.AADE^ADCF(SAS).

：.ZOEA=ZCFD.

9：DE//CF,

：.ZCFD=ZODG,

：.ZODG=ZOEA.

：.DG//AE,

：.ZOGD=ZOAE.

又由O4=0E知NQA石二NOEA,

：.ZODG=ZOGD,

：.OD=OG.

設(shè)04=%,貝!JO5=OE=x.

■:BG=2,

OG—x-2

OD=OG=x-2.

又,.,A￡>=3,

13

???在R3ADO中，32+(x-2)2=x2,解得x=一,

4

OE=x=—,OD=x-2=3,

44

答案第24頁，共60頁

9

：.DE=OD+OE=-.

2

927

，矩形CZ)E尸的面積為：DCDE=^-=—.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，全等三角形

的判定和性質(zhì)，找準(zhǔn)全等三角形是解題的關(guān)鍵.

初中數(shù)學(xué)圓的有關(guān)性質(zhì)解答題專題訓(xùn)練含答案

姓名：班級：考號：.

一、解答題(共15題)

1、如圖，絲是。。的直徑，切是。。的一條弦，且切，四于點(diǎn)￡.

(1)求證：NBCO=/D；

②)若BE=8cm,CD=6cm,求.。0的半徑.

2、如圖，加是“歐的外接圓。的直徑，點(diǎn)。在半圓上，DC與AB交

于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作CF±DC交DB的延長線于點(diǎn)尸，交圓。于點(diǎn)G.

(1)求證：dABCsaDCF；

(2)當(dāng)N1=N2,DF=1G舊，AE：EC=\x2時，求圓0的

半徑.

答案第25頁，共60頁

(3)在(2)的條件下，連接DG交BC于點(diǎn)M,則工?。海济?(直接

寫出答案).

3、如圖，?0的半徑為1,點(diǎn)力是。。的直徑BD延長線上的一點(diǎn)，C

為。。上的一點(diǎn)，AD=CD,ZA=30°.

(1)求證：直線力。是。0的切線；

(2)求△]a'的面積；

(3)點(diǎn)￡在上運(yùn)動(不與B、D重合)，過點(diǎn)。作"的垂線，與

EB的延長線交于點(diǎn)F.

①當(dāng)點(diǎn)￡運(yùn)動到與點(diǎn)。關(guān)于直徑劭對稱時，求沖的長；

②當(dāng)點(diǎn)￡運(yùn)動到什么位置時，切取到最大值，并求出此時6F的長.

4、aABC內(nèi)接于。0,點(diǎn)。在弧AC上，弦劭交AC邊于點(diǎn)￡，且龐=

AE.

(1)如圖1,求證：BE=CE

(2)如圖2,作射線CO,交弦BD于點(diǎn)F,連接AF并延長月尸，交。

0于點(diǎn)G,連接CG,/BFG=/FCG,求/ACB的度數(shù).

答案第26頁，共60頁

ADAD

(Fx)

圖i

5、已知：如圖，出是的直徑，C,。是8上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線

交Q4的延長線于點(diǎn)E,1CE,連接仃，，口，

(1)求證：-灰=2—4日二；

tmZADC?-

(2)若'一W,求的半徑.

6、在口中，灰為直徑，「為。上一點(diǎn).

(I)如圖①，過點(diǎn)C作G。的切線，與43的延長線相交于點(diǎn)P,若

?匚”=?；，，，求「F的大?。?/p>

(n)如圖②，。為優(yōu)弧〃，.上一點(diǎn)，且D的延長線經(jīng)過水，的中點(diǎn)

E,連接口與相交于點(diǎn)兒若.求一口三的大小.

答案第27頁，共60頁

D

7、如圖，O。中，弦-狂與，力相交于點(diǎn)S,加=”,連接回、PC.

求證：⑴苑=曠；

(2)AE=CE.

8、如圖，而是□「的直徑，點(diǎn)。是□‘上異于A、B的點(diǎn)，連接AC.

8C,點(diǎn)。在主4的延長線上，且“以="<:,點(diǎn)￡在口「的延長線上，且

EE-口二.

(1)求證：。。是你的切線：

0A22

(2)若。。3，求入人的長.

答案第28頁，共60頁

9、如圖，點(diǎn)□是必以,的邊看上一點(diǎn)，「,一與邊月”相切于點(diǎn)左，與邊E匚、

力F分別相交于點(diǎn)口、尸，且L>E-EF.

(1)求證：.「'=加"；

..=3

(2)當(dāng)￡'=：；,s'''一？時，求一必'的長.

10、如圖，絲是。。的弦，半徑ODLAB,垂足為。，點(diǎn)￡在。。上,

連接04、龐、BE.

(1)若ZDEB=30。，求ZAOD的度數(shù)；

(2)若5=2,弦AB=8,求。。的半徑長.

11、如圖1,在中，N84C=%。，AB=AC,D為“3：內(nèi)一點(diǎn)，

將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到四，連接方，BD的延長線與CE

交于點(diǎn)F.

(1)求證：ED=CS,

(2)如圖2.連接AF,DC,已知-8口2="3,判斷AF與DC的位置

關(guān)系，并說明理由.

答案第29頁，共60頁

12、如圖，A,3是上兩點(diǎn)，且月3=以，連接處并延長到點(diǎn)C,使

BC=OB,連接AC.

(1)求證：力。是匚」的切線.

(2)點(diǎn)。，E分別是AC,0A的中點(diǎn)，DE所在直線交口于點(diǎn)尸，G,

口4=4,求GF的長.

13、如圖，00是d4鳳7的外接圓，點(diǎn)。是標(biāo)'的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作EFHBC

分別交A?、的延長線于點(diǎn)￡和點(diǎn)F,連接■幺八BD,加C的平

分線的交功于點(diǎn)M.

答案第30頁，共60頁

A

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若月338=5:2,AD=,求線段DM的長.

14、如圖，是8的直徑，點(diǎn)。是O0上異于A、B的點(diǎn)，連接AC.

3C,點(diǎn)。在反4的延長線上，且〃。4=乙48(7,點(diǎn)￡在8的延長線上,

且BE工DC.

(1)求證：DC是。。'的切線：

0A2___

TTZ?=:?BE=3

(2)若0。3，求A4的長.

15、如圖，OO是d46c的外接圓，血)是。。的直徑，318于點(diǎn)后.

答案第31頁，共60頁

(1)求證：ABAD=ACAD.

(2)連接8。并延長，交4?于點(diǎn)尸，交口二’于點(diǎn)G,連接GC.若匚心

的半徑為5，0E=3,求GC和。尸的長.

============參考答案============

一、解答題

1、(1)見解析；

73

⑵O0的半徑為16cm

【解析】

【分析】

(1)由等腰三角形的性質(zhì)與圓周角定理，易得ZBCO=ZB=/D；

(2)由垂徑定理可求得CE與DE的長，然后證得△BCEDAE,再由

相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AE的長，繼而求得直徑與半徑.

(1)

證明：0B=0C,

：.ZBCO=ZB,

VZB=ZD,

：.ZBCO=ZD；

答案第32頁，共60頁

(2)

解：彼是。。的直徑，CDLAB,

，CE=DE=3CD=二X6=3,

?：4B=/D,/BEC:/DEA,

/.△BCEs'DAE,

AE：CE=DE：BE,

AE：3=3：8,

9

解得：AE=i,

973

/.A