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文檔簡介

北京房山區(qū)2023-2024學(xué)年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某地區(qū)高考改革,實行“3+2+1”模式,即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,則一名學(xué)生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種2.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法錯誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的對稱中心是D.函數(shù)的對稱軸是3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長棱的長為()A. B. C. D.4.如圖,在中,點為線段上靠近點的三等分點,點為線段上靠近點的三等分點,則()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.6.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612427.寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.8.已知,是函數(shù)圖像上不同的兩點,若曲線在點,處的切線重合,則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.19.已知全集為,集合,則()A. B. C. D.10.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.11.將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種12.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,且恒成立,則的值為____________.14.已知全集,集合則_____.15.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則________16.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對任意,若經(jīng)過點的一次函數(shù)與軸的交點為,且互不相等,則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當(dāng)_________時,為的幾何平均數(shù).(只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,是棱上的一點,滿足平面.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設(shè),,若為棱上一點,使得直線與平面所成角的大小為30°,求的值.18.(12分)已知函數(shù)(),且只有一個零點.(1)求實數(shù)a的值;(2)若,且,證明:.19.(12分)己知等差數(shù)列的公差,,且,,成等比數(shù)列.(1)求使不等式成立的最大自然數(shù)n;(2)記數(shù)列的前n項和為,求證:.20.(12分)已知橢圓:(),與軸負半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,連接,并延長交直線于,兩點,已知,求證:直線恒過定點,并求出定點坐標.21.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求證:對于任意,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分兩類進行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學(xué)生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理,熟記其計數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于??碱}型.2、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性逐項判斷即可.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的周期,所以.將點代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯誤;令,得,故函數(shù)的對稱中心是,故C正確;令,得,故函數(shù)的對稱軸是,故D正確.故選:B.【點睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式,同時也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的判斷,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.3、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),計算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知,幾何體是一個四棱錐,如圖所示:由三視圖知:,所以,所以,所以該幾何體的最長棱的長為故選:D【點睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.4、B【解析】

,將,代入化簡即可.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運算、數(shù)乘運算,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.5、C【解析】

求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由得,在時,是增函數(shù),是增函數(shù),是增函數(shù),∴是增函數(shù),∴由得,解得.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查解函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性,解題時可先確定函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)求解.6、C【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。7、B【解析】

根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點處的切線方程,再利用兩直線斜率相等且縱截距相等,列出關(guān)系樹,從而得出,令函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,則;當(dāng)時,則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點,當(dāng)或時,,不符合題意,故.則在處的切線方程為;在處的切線方程為.由兩切線重合可知,整理得.不妨設(shè)則,由可得則當(dāng)時,的最大值為.則在上單調(diào)遞減,則.故選:B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了推理論證能力,考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點是計算.9、D【解析】

對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補集;對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查集合的補集、交集運算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.10、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則,直接計算,即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法,熟記運算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.11、D【解析】

采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

易得,所以是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知,,因,所以,所以數(shù)列是以為首項,3為公差的等差數(shù)列,故,所以.故答案為:【點睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.14、【解析】

根據(jù)補集的定義求解即可.【詳解】解:.故答案為.【點睛】本題主要考查了補集的運算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可.【詳解】,.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應(yīng)用.16、【解析】

由定義可知三點共線,即,通過整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點睛】本題考查了兩點的斜率公式,考查了推理能力,考查了運算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點共線.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由平面,可得,又因為是的中點,即得證;(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標系,設(shè),計算平面的法向量,由直線與平面所成角的大小為30°,列出等式,即得解.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接交于點,連接,則是平面與平面的交線,因為平面,故,又因為是的中點,所以是的中點,故.(Ⅱ)由條件可知,,所以,故以為坐標原點,為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則,即,故取因為直線與平面所成角的大小為30°所以,即,解得,故此時.【點睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時,取最小值,由函數(shù)只有一個零點,觀察可知則有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得,由,可知,因為時,為增函數(shù),即可得證得結(jié)論.【詳解】(1)().因為,所以,令得,,且,,在上;在上;所以函數(shù)在時,取最小值,當(dāng)最小值為0時,函數(shù)只有一個零點,易得,所以,解得.(2)由(1)得,函數(shù),設(shè)(),則,設(shè)(),則,,所以為減函數(shù),所以,即,所以,即,又,所以,又當(dāng)時,為增函數(shù),所以,即.【點睛】本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學(xué)生分析問題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.19、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)根據(jù),,成等比數(shù)列,有,結(jié)合公差,,求得通項,再解不等式.(2)根據(jù)(1),用裂項相消法求和,然后研究其單調(diào)性即可.【詳解】(1)由題意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴,∴,故滿足題意的最大自然數(shù)為.(2),∴...從而當(dāng)時,單調(diào)遞增,且,當(dāng)時,單調(diào)遞增,且,所以,由,知不等式成立.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運算和裂項相消法求和,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)證明見解析;定點坐標為【解析】

(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時滿足∴∴直線恒過定點【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.21、(1);(2).【解析】

(1)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計算函數(shù)的單調(diào)性,得到,再討論,,三種情況,計算得到答案.(2)計算得到,討論,兩種情況,分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值,得到答案.【詳解】(1),①當(dāng)時恒成立,所以單調(diào)遞增,因為,所以有唯一零點,即符合題意;②當(dāng)時,令,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)。(i)當(dāng)即,所以符合題意,(ii)當(dāng)即時,因為,故存在,所以不符題意(iii)當(dāng)時,因為,設(shè),所以,單調(diào)遞增,即,故存在,使得,不符題意;綜上,的取值范圍為。(2)。①當(dāng)時,恒成立,所以單調(diào)遞增,所以,即符合題意;②當(dāng)時,恒成立,所以單調(diào)遞增,又因為,所以存在,使得,且當(dāng)時,。即在上單調(diào)遞減,所以,不符題意。綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,恒成立問題,意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.22、(Ⅰ),(Ⅱ)見解析【解析】

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