陜西省商洛市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

陜西省商洛市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）

第I卷

一、選擇題

1.已知集合4={%1%2_%_640},3={-3,-2,0,2,3},則（）

A.{-3,-2,0,2}B.{-2,0}

C.{-2,0,2,3}D.{0,2}

K答案XC

（解析』由不等式%—6=（x+2）（x—3）＜0,解得一2WxW3,所以

A=1x|-2<%<3},

又由5={—3,-2,0,2,3},所以AB={-2,0,2,3}.

故選：C.

2.復(fù)數(shù)z=■在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

4+3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［答案』A

l+2i（l+2i）（4-3i）_4-3i+8i-6i2_21.

K解析X由復(fù)數(shù)z=.

（4+3i）（4-3i）16-9i255

所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為該點位于第一象限.

故選：A.

3.已知a=0.9",6=logL；,c=logi2,則（）

5J3

A.a>b>cB.a>c>b

C.oa>bD.b>a>c

K答案』D

k解析》因為y=0.9，為R上的單調(diào)減函數(shù)，y=log2X,y=log3］為（0,+s）上的單調(diào)增

函數(shù),

故0<0.9"<0.9°=1,logx—=log23>l,logj2=—log32<0,

533

所以

故選:D

4.在△ABC中，角A8C的對邊分別是a,b,c,若3Q=4Z?,A=2B,則cosB=

13

A.-BCD.-

3I-l4

K答案』B

K解析U因為A=25,所以51114=5近25=2$1118以圮8.

abab

因為,所以,所以COS3=」L

sinAsinB2sinBcosBsinB2b

A0

因為3a=4/7,所以3=-,貝！|cos3=q=—

b32b3

故選：B

5.根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速如

圖所示，則下列說法錯誤的是（）

30,社會消費品零售總額同比增速/%

20

10

0

3月4月5/1朗7月明陰UW月份

A.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速最高為18.4%

B.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為6.55%

我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的極差為14.9%

D.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為8.125%

K答案』c

《解析》對A,我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速從小到大依次為

2.5%,3-1%,4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4%.我國今年3月份至10月份社會消

費品零售總額同比增速最高為18.4%,A正確.

對B,我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為

5.5%+7.6%.

-----------=6.55%，B正確.

2

對C,我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的極差為15.9%,C錯誤.

對D,我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為

|X(2.5%+3.1%+4.6%+5.5%+7.6%+10.6%+12.7%+18.4%)=8.125%,D正確.

故選：C.

6.將一個底面半徑為3,高為4的圓柱形鐵塊熔化為鐵水，恰好制成一個實心鐵球，則該實

心鐵球的半徑是（)

A.2B.3C.4D.6

K答案』B

K解析』由題意,可得圓柱的體積為V=Ttr2h=7tx32x4=36兀，

4

設(shè)該實心鐵球的半徑為R,則§兀7?q3=36兀，解得尺=3.

故選：B.

5兀

7.已知sinCCH--=-3sin(。一兀），則tan2a=（）

2

3344

A.-B.——C.一D.——

4433

K答案』B

K解析I因+兀+'71+a)=sin1371+a)=cosa,

22

sin(cr—兀)=sin[-(兀-a)]=-sin(兀-a)=-sina,

▼ric.l…1八2tana3

所以cos。二一3sma,所以tana=一一,則Jtan2a=----廠=——

31-tanor4

故選：B.

8.已知拋物線C:V=6x,過點A（4,2）的直線/與拋物線C交于M,N兩點，若MA=A7V，

則直線/的斜率是（）

343

B.-C.一D.-

'I432

（答案』D

k解析U設(shè)河（%,%）,?/（々,％），貝（I靖=64￡=6%2，

因為MA=AN，所以A（4,2）為"N的中點，

所以乂+為=4,

.J-%—2.6-3

故直線/的斜率%V；y\+y22.

石一石

故選：D

9.在正四面體A3CD中，E,F是棱BC,AB的中點，則異面直線DE與CF所成角的余

弦值是（）

A6R2蓬r1ny/35

5566

K答案XC

《解析》如圖所示，取線段B尸的中點G,連接。G,EG,￡）F,

因為E為的中點，所以EG//CF,

所以NDEG是異面直線DE與CF所成的角或其補角,

設(shè)AB=4,則。E=CT=。尸=26,Gb=l,

從而EG=LCF=5DG=7GF2+DF2=V13,

2

DF+F(72-DG21

在ADEG中，由余弦定理可得cos/DEG=---------------=

2DEEG6

故選：C.

10.已知函數(shù)，(x)=2(x—l)e%—%2—改在R上單調(diào)遞增，則4的最大值是()

1

A.0B.-C.eD.3

6

[答案XA

K解析U由函數(shù)/(x)=2(x—l)e'—/-ar,(x)=2xeA'-2x-a,

因為/(無)在R上單調(diào)遞增，所以/'(x)=2xe*-2x—a20恒成立，

即a<2xex-2x恒成立，

設(shè)g(x)=2xex-2x,則g'(x)=(2x+2)e*-2,

當(dāng)x<0時，g'(%)<0；當(dāng)尤>0時，g'(x)>0,

則g(x)在(-8,O)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以ga)min=g(°)=°，即「WO,所以實數(shù)”的最大值為。?

故選：A.

11.已知A,3是直線y=#與函數(shù)/(x)=sin，x+W]?〉0)圖象的兩個相鄰交點，若

二—,則①二()

6

A.4B.4或8C.2D.2或10

K答案工D

K解析工設(shè)了⑴的最小正周期為T，則=或卻=二丁,

66

口12兀兀310兀7i

即——=—或---=一,

6a)66a)6

解得口=2或口=10.

故選：D

12.己知函數(shù)/(%)=腕2同,xe(—l,O)_(0,4］，若關(guān)于X的方程/(x)=a有3個實數(shù)

1611

解玉,％2，%，且西＜招＜￡則--------------的最小值是()

%3X1X3XxX2

A.8B.11C.13D.16

［答案XC

k解析I由函數(shù)/(x)=|log2同,xe(T,0)_(o,4］,作出函數(shù)/(%)大致圖象，如圖

所示，

由圖可知七e(l,4］，w&=1,玉=一％,則占馬%=西，

e、，1,1%+七%+%./+%一?七一|丫2

內(nèi)'一一一一1一工人3，

%/X1X2玉X2X2

x3x1x3xrx2x3

設(shè)函數(shù)g(x)=l+12+3(1<X<4),則g，(x)=2xT=2x；16,

尤XX

當(dāng)l<x<2時，g'(%)<0；當(dāng)2〈龍W4時，g'(x)>0,

所以gCOnrin=g(2)=1+4+8=13,即—；一的最小值是13.

>^3"^1*^2

第II卷

二、填空題

13.若向量。、匕為單位向量，且,+2目=6，則向量?與/＞的夾角為.

TT

（答案】-

3

K解析?因為向量。、b為單位向量，且,+2。|=近，

I|2.2...21

貝+=a+4〃2+46=5+4〃2=7,可得。為二萬，

因為04a力號兀，故卜,“=m，即向量￡與的夾角為：

7T

故［答案』為：一.

3

14.［x-的展開式中，含了2項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

（答案』-12

K解析工展開式的通項4+1=C>x6-「(-2)JC""

令6—4r=2,得廠=1,

貝|]心=—2xC]=一12一.

故［答案》為：-12.

15.己知某比賽在六支隊伍（包含甲、乙兩支隊伍）之間進(jìn)行，假設(shè)這六支隊伍的水平相當(dāng),

則甲、乙這兩支隊伍都進(jìn)入前3名的概率是.

K答案二

（解析》這六支隊伍按排名先后，共有A：=720種情況，

其中甲、乙這兩支隊伍排在前3位的情況共有C；A；A；=144種,

1441

所以所求概率P=F==.

7205

故K答案』為：

22

16.過雙曲線C:二-1=1（a>0/>0）的右焦點工作。的一條漸近線的垂線，垂足為A,

ab

lab

且C的左頂點為8,|A3|=，則C的離心率為.

{a2+/

K答案』2

（解析】設(shè)。為坐標(biāo)原點，。的焦距為2c.過點A作AH垂直于x軸，垂足為

易得||=J!I.=8I°川=，|0年『-3耳「=Vc2-b1=a，

所以|AH|[0可=|AOM&|mA〃|=?,

2

由，OAH。月?？傻脇。4『=|0叫.|0閭,即口叫=幺,

所以忸叫=〃+——=JAB12TAH|?,得c+〃=J§Z?,

所以（c+a）2=3/=3（，一々2）,故￡=￡=2.

''a

故K答案X為：2.

三、解答題

（一）必考題.

17.在等差數(shù)列｛?！ǎ?，4+%=12,1=1L

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）若2=2%,求數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn.

解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

a.+a.=2a+5d=12

由題意可得《-]一，解得q=l,d=2.

4=%+5d=11

故4=4+（〃一l）d=2〃一l.

&k=4

（2）由⑴可得么=221,則耙22n+1,從而

1+1bn

因為々=2,所以｛〃｝是首項為2,公比為4的等比數(shù)歹!J.

2n+1

^(l-g")_2x(l-4-)_2-2

由等比數(shù)列的前〃項和公式可得

sn=

1—(71-43

18.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而

著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按［30,

40）,［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80］分成五組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示.

0.032

0M0

njoi

0.012卜……

JO40506070ao吊■板栗度丸

（1）請估計該板栗園板栗質(zhì)量的中位數(shù);

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［40,50）和［70,80］內(nèi)的板栗中抽取10顆，再從這10

顆板栗中隨機抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質(zhì)量N70克）的個數(shù)為X,求X的分布列

與數(shù)學(xué)期望.

解:(1)因為(0.008+0.018)x10=0.26<0.5,

0.26+0.032x10=0.58>0.5

所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在［50,60）內(nèi).

設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為m,

則(相—50)x0.032+0.26=0.5,解得m=57.5,

所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5.

（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［40,50）內(nèi)的板栗中抽取

IQx°-°180.012

=6顆，從質(zhì)量在［70,80］內(nèi)的板栗中抽取10x=4顆.

0.018+0.0120.018+0.012

X的所有可能取值為0』,2,3,4.

3x

C41cc8

“x=°)=2=2，P(X=1)=

過21

「202o「3

4

尸"=2）=蠅=5，P（X=3）=學(xué)產(chǎn)

Mo'Jo35

「4i

P（X=4）=*=—.

'）C：。210

19.如圖，在三棱柱ABC—中，A&J?平面ABC,.ABC是等邊三角形，且。為

棱A3的中點.

(1)證明：45，平面。。。；

(2)若2A%=3AB,求平面A。。與平面ABC1所成銳二面角的余弦值.

(1)證明：由三棱柱的性質(zhì)可知CG〃叫.

因為A&J_平面ABC,所以CG_L平面ABC.

因為A5u平面ABC,所以CG^AB.

因為D為AB的中點，且4ABe是等邊三角形，所以CDLAB.

因為CD,CGu平面CC］。，且CGCD=C,

所以平面CG。.

(2)解：取4片的中點O一連接。由題意可得。5,DC,兩兩垂直，故以。為坐

標(biāo)原點，

DB,DC,DDX的方向分別為x，yz軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2,則A(—1,0,0),3(1,0,0),。(0,6,0),。(0,0,0)，4(-1,0,3),￡(0,逝,3卜

故A5=(2,0,0),AG=(1，石，3)，%=(一1,0,3),℃=(0,逝,0).

設(shè)平面AC°的法向量為〃=(%,%,馬)，

則'令占=3,得"=(3,0,1).

“.￡>C=?=0,

設(shè)平面ABG的法向量為加=(%,上，Z2)，

m?AB=2X9=0,「

則，.r令%=6，得加二

m-AC)=x2+43y2+3z2=0,

設(shè)平面\CD與平面ABC.所成的銳二面角為e，

則0°電"'3=需=總r*

即平面AC。與平面ABG所成銳二面角余弦值為巫.

20

20.已知函數(shù)/(x)=sin%+%2.

(1)求曲線y=/(x)在點(0J(。))處的切線方程，

(2)證明：/(x)>-^.

(1)解：/(x)=cosx+2x,/(0)=1,f(0)=0.

故曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程為y=X.

(2)證明：由(1)得/'(%)=cos%+2%.

令函數(shù)"(x)=7'(x),則，(x)=—sin%+2>0,所以"(x)=/'(%)是增函數(shù).

cos—1<0,

2

所以存在使得/即2

Xoe1-g,o）,''（Xobcosxo+Zxo=0,4=|cosx0.

所以當(dāng)xe（YO,Xo）時，f'（x）<0,當(dāng)xe5,+00）時,f'（x）>0,

所以/（x）在（7,%）上單調(diào)遞減，在（仆，+8）上單調(diào)遞增.

/（x）>/（xo）=sinxo+xo=sinx0+-

因為/,所以O(shè)〉sinx（）〉sin

而z1?，11（1Y115

所以——sin-x+sinx+—>——x——---h—=---.

4°n°n44{2J2416

故/'（x）〉一搭.

16

21.已知點片（—1,0）,乙（1,0）,動點M滿足|"周+|"周=4,動點〃的軌跡記為E.

（1）求E的方程；

（2）若不垂直于x軸的直線/過點工，與E交于C,。兩點（點。在無軸的上方），4,4

分別為E在x軸上的左、右頂點，設(shè)直線的斜率為人（勺。0）,直線的斜率為左2,

k]

試問u?是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

攵2

解：⑴因為|西|+|5|=4>閨閶=2,

所以E的軌跡是以耳，鳥為焦點，且長軸長為4的橢圓,

V2y2

設(shè)E的軌跡方程為二+=l（〃〉b>0）,則2〃=4,可得〃=2.

ab2

22

又C=l,所以/=/—。2=3,所以E的方程為L+2L=1.

43

（2）依題意，設(shè)直線LyukQ—lJClxpyJ.Ol/DzlAl—ZOb&Q,。）,

三+21=1

聯(lián)立《43，消去V得（3+4左2）尤2一&k2工+492-3）=o.

y=Zr（x-1）

易知/>0,且%+%=8k,=:.-3）.

123+4^25123+4獷

由左=%，%2=%

國+2%2—2

F勺_%（々-2）_左（％-1）（々-2）_再々一2%—W+2

彳導(dǎo)------------------------------------------------

左2%（西+2）左（尤2—1）（%1+2）為了2+2%-2

（方法一）

_8k?

石+X2二2--------

-3+4左23+442

因為＜

4（/—3）

3+4左23+442

k,1

所以，為定值，且定值為彳.

左23

（方法二）

k、玉％一2（西+12）+兀2+2

因為r廠=

k2

4伊一3）16公.

—

3+4左2―3+4^2+"十3-------+x9+2

所以？=3+4左22

——T+3X2—29

欠2—1------y+3%-2