圓錐曲線復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

圓錐曲線復(fù)習(xí)課一、教學(xué)內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容：本節(jié)課是一節(jié)圓錐曲線復(fù)習(xí)課，主要內(nèi)容包括圓錐曲線與方程，選自選擇性必修課程中的幾何與代數(shù)主題，這些內(nèi)容中蘊(yùn)含著運(yùn)動(dòng)變化思想，數(shù)形結(jié)合思想，并在坐標(biāo)法的應(yīng)用過程中得到進(jìn)一步的體現(xiàn).2.內(nèi)容解析：內(nèi)容的本質(zhì)：解析幾何是在直角坐標(biāo)系中通過代數(shù)的方法研究幾何問題的一門學(xué)科，其研究對(duì)象是幾何圖形，高中階段主要包括直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圖形.在初中階段平面幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)的方式，主要研究了直線和圓這兩類基本幾何圖形的定性性質(zhì)，是高中階段直線和圓的方程這一章的研究基礎(chǔ).通過對(duì)直線和圓的方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本形成了利用坐標(biāo)法研究幾何圖形的認(rèn)識(shí)，并初步掌握利用坐標(biāo)和方程，對(duì)直線與直線、直線與圓、圓與圓相關(guān)的位置關(guān)系和度量關(guān)系問題進(jìn)行定量研究.“圓錐曲線與方程”是在“直線和圓的方程”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用代數(shù)方法，在平面直角坐標(biāo)系中研究圓錐曲線的幾何特征、性質(zhì)及位置關(guān)系.與此同時(shí)，解析幾何把變量引入到數(shù)學(xué)中，使得人們可以借助數(shù)學(xué)對(duì)客觀現(xiàn)象中的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律進(jìn)行定量分析，也為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課知識(shí)上下位關(guān)系如圖：解析幾何解析幾何直線圓圓錐曲線直線方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義定義標(biāo)準(zhǔn)方程坐標(biāo)法定義坐標(biāo)法定義坐標(biāo)法定義描述幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單應(yīng)用圓的一般方程點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式一般式直線與圓的位置關(guān)系類比類比帶著問題結(jié)合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖回顧一下本章學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容吧！你能說說用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的具體過程嗎？在橢圓、雙曲線、拋物線三類圓錐曲線的研究中，橢圓是研究的第一類圓錐曲線，對(duì)雙曲線、拋物線的研究，我們采用的是類比的方法，你能說說具體的類比內(nèi)容嗎？圓錐曲線的“統(tǒng)一性”體現(xiàn)在哪些方面？你如何理解圓錐曲線的“統(tǒng)一性”？數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線的研究中具有重要作用，你能舉例說明嗎？蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：解析幾何是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算得出結(jié)果，再用代數(shù)結(jié)果解釋幾何問題的“方法論”，主要包括數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想、坐標(biāo)思想、運(yùn)動(dòng)變化思想以及坐標(biāo)法、類比法.育人價(jià)值：通過圓錐曲線復(fù)習(xí)課，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的美，學(xué)會(huì)運(yùn)用類比猜想探究問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理，數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：圓錐曲線的統(tǒng)一定義；圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合思想方法.二、學(xué)情分析高二年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備了研究三種曲線的方法體系，本節(jié)課將通過對(duì)三種曲線的共同特征的研究建立統(tǒng)一的定義，從知識(shí)上完善圓錐曲線的定義，從研究方法上系統(tǒng)領(lǐng)會(huì)解析幾何的研究思路.表面上學(xué)生對(duì)三種圓錐曲線的了解有一定的基礎(chǔ)，但是深層次的領(lǐng)悟與歸納上存在欠缺，因此本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題，解決問題，提出猜想，驗(yàn)證猜想，應(yīng)用理論的探究教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.學(xué)生的思維缺乏深度與廣度，需要教師引導(dǎo)，通過問題串聯(lián)本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容，拓展學(xué)生的橫向和縱向思維，引導(dǎo)學(xué)生探究圓錐曲線的統(tǒng)一性，更深層次的理解數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法的重要.三、教學(xué)目標(biāo)及其解析目標(biāo)達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志1.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握?qǐng)A錐曲線的“個(gè)性定義”．能夠正確解答問題1，并會(huì)解決目標(biāo)檢測(cè)中的圓錐曲線的定義問題2.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性.能夠順暢地將幾何條件翻譯成代數(shù)語言，并能用代數(shù)結(jié)果解釋幾何問題3.了解圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).在教師的引導(dǎo)下能夠得出圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，并能利用光學(xué)性質(zhì)比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟忉尮鈱W(xué)現(xiàn)象四、教學(xué)問題診斷分析認(rèn)知基礎(chǔ)與將要達(dá)到水平的差異難點(diǎn)解決難點(diǎn)的策略學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)完圓錐曲線這一章的內(nèi)容，能夠比較熟練地進(jìn)行幾何語言代數(shù)語言之間的互相轉(zhuǎn)化本節(jié)復(fù)習(xí)課的目的在于引領(lǐng)學(xué)生感受本章知識(shí)的整體性和貫穿本章的思想方法主線，對(duì)于模塊知識(shí)學(xué)生是比較好掌握的，但經(jīng)常缺少對(duì)知識(shí)網(wǎng)的梳理，也欠缺這樣的能力體會(huì)本章知識(shí)的整體性和重點(diǎn)思想方法通過教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行本章知識(shí)的再梳理、問題串的引領(lǐng)以及三個(gè)任務(wù)的完成來突破難點(diǎn)五、教學(xué)支持條件分析動(dòng)畫演示六、教學(xué)過程任務(wù)一：感悟圓錐曲線定義的發(fā)展1.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是，軌跡方程是.2.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是，軌跡方程是.答案1：設(shè)由題意有即：化簡(jiǎn)可得答案2：設(shè)由題意有即即：即：整理可得：兩邊同除可得：?jiǎn)栴}1：你還能提出什么樣的問題，這里存在什么結(jié)論？預(yù)設(shè)：學(xué)生能夠由此得出圓錐曲線的統(tǒng)一定義.設(shè)計(jì)意圖：圓錐曲線的“個(gè)性定義”的幾何特征非常突出，但是圓錐曲線的統(tǒng)一定義表明三種曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，是非常重要的，所以任務(wù)一的目的是引導(dǎo)學(xué)生再梳理圓錐曲線的聯(lián)系性、統(tǒng)一性，再感知解析幾何中蘊(yùn)含的思想方法.任務(wù)二：利用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題設(shè)橢圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)，且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）求橢圓方程.（2）若,求的值.（3）是否存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線?證明你的結(jié)論.問題1：解決解析幾何問題的三部曲是什么？預(yù)設(shè)：先將題目中的幾何條件轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的代數(shù)語言，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后將代數(shù)結(jié)果翻譯成所求.師生活動(dòng)如何解決解析幾何問題：完成表格并解決問題幾何條件代數(shù)語言離心率為上、下頂點(diǎn)分別為,，即過點(diǎn)，且斜率為的直線直線與軸相交于點(diǎn)即直線與橢圓相交于兩點(diǎn)設(shè)直線平行于直線若，則所以答案（1）由題意所以可得橢圓方程為（2）由題意可設(shè)直線方程為則點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)所以由題意，則有則有又可解得：（3）由題意可得若，則所以即即即即所以即整理得，無解所以不存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線.設(shè)計(jì)意圖：本章數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)全局，教師帶領(lǐng)學(xué)生反復(fù)進(jìn)行幾何條件代數(shù)化的過程，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法在解析幾何部分的重要性.任務(wù)三：了解圓錐曲線的實(shí)際背景之光學(xué)性質(zhì)問題2：當(dāng)一束光線照到鏡面時(shí)，光線會(huì)依一定的規(guī)律反射，即入射角等于反射角.當(dāng)光線從圓錐曲線的一焦點(diǎn)射出，經(jīng)曲線上的一點(diǎn)反射后，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？（觀察動(dòng)畫）動(dòng)畫演示地址：s:///resource_web/course/#/805549s:///resource_web/course/#/805550s:///resource_web/course/#/805552預(yù)設(shè)：從橢圓一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線會(huì)交于橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)上；從雙曲線一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的的延長(zhǎng)線會(huì)交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)；從拋物線焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線會(huì)平行于拋物線的對(duì)稱軸.1.如圖，圓的半徑為定長(zhǎng),是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是什么？你能給出證明嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？預(yù)設(shè)：由于點(diǎn)在線段的垂直平分線上，由圖可知，且，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)的軌跡是以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.追問1：觀察圖形，你還有什么發(fā)現(xiàn)？預(yù)設(shè)：的垂直平分線與橢圓相切，是切點(diǎn).追問2：你能給出證明嗎？預(yù)設(shè)1：沒思路預(yù)設(shè)2：根據(jù)相切定義：直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn).追問3：顯然，點(diǎn)已經(jīng)是直線和橢圓的交點(diǎn)了，你有什么想法？預(yù)設(shè)：那么只需要證明直線上除了點(diǎn)在橢圓上外，沒有其它的點(diǎn)在橢圓上了.追問4：如何證明點(diǎn)是否在橢圓上？預(yù)設(shè)：用定義.：如圖所示，設(shè)為上任意一點(diǎn)，由于為線段的垂直平分線，則有，當(dāng)且僅當(dāng)與的垂直平分線與橢圓相切，是切點(diǎn).追問5:若過點(diǎn)作的垂線，該垂線是否平分？預(yù)設(shè)：可證.追問6：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，是否也成立？預(yù)設(shè)：此時(shí)三點(diǎn)共線，還是可以認(rèn)為l的垂線平.追問7：由此你得到了一個(gè)關(guān)于橢圓的什么性質(zhì)？學(xué)生經(jīng)過討論總結(jié)，教師板書：性質(zhì)1設(shè)圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，為過點(diǎn)且與橢圓相切的直線，則過點(diǎn)且與垂直的直線平分.問題3：你能否利用這個(gè)性質(zhì)解釋說明橢圓的光學(xué)性質(zhì)？預(yù)設(shè)：如圖，當(dāng)光線從射入經(jīng)橢圓上的點(diǎn)反射時(shí)，過點(diǎn)作橢圓的切線,過點(diǎn)作切線的垂線，則該垂線就是光線反射的法線，根據(jù)性質(zhì)1，該垂線平分，故根據(jù)光的反射原理，光線從射入經(jīng)點(diǎn)反射后會(huì)經(jīng)過.折紙?jiān)囼?yàn)：按照上面的習(xí)題，先在圓內(nèi)標(biāo)記一點(diǎn)，再在圓上標(biāo)記一點(diǎn)，折疊使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，出現(xiàn)一條折痕，這條折痕就是習(xí)題中的直線，重復(fù)上述做法，若干條折痕圍成的輪廓線就是橢圓，大家試一試吧.課后思考題1：將上述問題中的定點(diǎn)移動(dòng)到圓外，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？你能給出證明嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？2.如圖，為一定點(diǎn)，為不經(jīng)過點(diǎn)的定直線，在直線上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，連接，設(shè)線段的垂直平分線交的垂線于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡是什么？你還有什么發(fā)現(xiàn)？（可用幾何畫板再畫一次圖）預(yù)設(shè)：學(xué)生動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡為拋物線，經(jīng)過小組討論和論證，得到了一個(gè)關(guān)于拋物線的性質(zhì)：性質(zhì)2設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，為過點(diǎn)與拋物線相切的直線，則平分.）問題4：你能否利用這個(gè)性質(zhì)解釋說明拋物線的光學(xué)性質(zhì)？預(yù)設(shè)：如圖，當(dāng)光線從射入經(jīng)拋物線上的點(diǎn)反射時(shí)，過點(diǎn)作拋物線的切線,過點(diǎn)作切線的垂線，則該垂線就是光線反射的法線，根據(jù)性質(zhì)3，切線平分，故根據(jù)光的反射原理，光線從射入經(jīng)點(diǎn)反射后的反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸(垂直于拋物線的準(zhǔn)線).解決下面數(shù)學(xué)問題，來數(shù)學(xué)地感受拋物線光學(xué)性質(zhì)吧！若拋物線的焦點(diǎn)為,從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線的點(diǎn)反射，求證反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸.求反射光線的流程：求過點(diǎn)的拋物線的切線方程求過點(diǎn)與垂直的直線方程求點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)求反射光線所在直線方程證明：顯然過點(diǎn)的切線的斜率存在，設(shè)則有則有：化簡(jiǎn)可得：，即則切線方程為則過點(diǎn)與垂直的直線方程：則設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，則有所以反射光線方程為.課后思考題2：國(guó)家大劇院為什么設(shè)計(jì)成橢球形？汽車的內(nèi)反光鏡的鏡面是雙曲線形，為什么反光鏡內(nèi)的視野會(huì)更開闊？為什么衛(wèi)星信號(hào)接收器的曲面要設(shè)計(jì)成拋物線面？設(shè)計(jì)意圖：教科書中在明確提出要利用信息技術(shù)進(jìn)行探究活動(dòng)，而圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)“數(shù)學(xué)含金量”非常高，一方面通過對(duì)圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的探究加深對(duì)定義的理解，另一方面感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.【課堂小結(jié)】通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你能再回答一下本節(jié)課開篇的幾個(gè)問題嗎？你能說說用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的具體過程嗎？在橢圓、雙曲線、拋物線三類圓錐曲線的研究中，橢圓是研究的第一類圓錐曲線，對(duì)雙曲線、拋物線的研究，我們采用的是類比的方法，你能說說具體的類比內(nèi)容嗎？圓錐曲線的“統(tǒng)一性”體現(xiàn)在哪些方面？你如何理解圓錐曲線的“統(tǒng)一性”？數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線的研究中具有重要作用，你能舉例說明嗎？七、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為________．2.點(diǎn)P是拋物線y2＝8x上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,3)，則|PM|＋|PF|的最小值為________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．3．根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對(duì)稱軸平行，一條平行于對(duì)稱軸的光線經(jīng)該拋物線反射后會(huì)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).如圖所示，從沿直線發(fā)出的光線經(jīng)拋物線兩次反射后，回到光源接收器，則該光線經(jīng)過的路程為（）A．11 B．12 C．13 D．144．已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.八、作業(yè)設(shè)計(jì)1．古希臘后期的數(shù)學(xué)家帕普斯在他的《數(shù)學(xué)匯編》中探討了圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的性質(zhì)：平面內(nèi)到一定點(diǎn)和定直線的距離成一定比例的所有點(diǎn)的軌跡是一圓錐曲線．這就是圓錐曲線的第二定義或稱為統(tǒng)一定義．若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線的距離之比是，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線2．智慧的人們?cè)谶M(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙