機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ) 課件 第7章 工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃 - 2

第7章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃?rùn)C(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)目錄contants7.1機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃概述7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法7.3操作空間的軌跡規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃就是關(guān)節(jié)變量的插補(bǔ)問(wèn)題。雖然機(jī)械臂有多個(gè)關(guān)節(jié)，但各個(gè)關(guān)節(jié)的插補(bǔ)過(guò)程是互相獨(dú)立的，所以只要理清單一關(guān)節(jié)變量（即標(biāo)量）的插補(bǔ)方法即可。由于不平穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人關(guān)節(jié)產(chǎn)生震動(dòng)和沖擊，加劇機(jī)械零部件的磨損和破壞。因此軌跡規(guī)劃的原則是加速度為有限值且盡量連續(xù)，速度與位置則必須連續(xù)。7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法第7章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)在數(shù)學(xué)課中我們熟悉的三次多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)形式如下：我們可以賦予自變量x和因變量y任何物理意義，但人們習(xí)慣于將(x,y)看作平面兩坐標(biāo)，此時(shí)y(x)代表的是一個(gè)空間概念，即平面上的一條曲線(xiàn)。做軌跡規(guī)劃時(shí)，自變量為時(shí)間t，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)而言因變量是轉(zhuǎn)角θ，所以θ(t)代表轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化規(guī)律，為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，本節(jié)將三次多項(xiàng)式插補(bǔ)函數(shù)寫(xiě)為但請(qǐng)不要因此認(rèn)為7.2節(jié)介紹的插補(bǔ)方法僅適用于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，事實(shí)上這些方法可以用于所有標(biāo)量的插補(bǔ)。7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)插補(bǔ)函數(shù)表達(dá)式起點(diǎn)

關(guān)節(jié)角終點(diǎn)

關(guān)節(jié)角終點(diǎn)

時(shí)間從起點(diǎn)到終點(diǎn)過(guò)程中，任一時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.1解：①

將已知條件帶入下式所以滿(mǎn)足該運(yùn)動(dòng)的三次多項(xiàng)式軌跡插補(bǔ)函數(shù)為代入7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.1位置曲線(xiàn)光滑連續(xù)遞增速度曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)，也是光滑連續(xù)的，初始點(diǎn)速度為0，然后逐漸增大，運(yùn)行到半程（t=1.5s）時(shí)速度達(dá)到極大值，然后逐漸減小，到終止點(diǎn)的速度降為0加速度相對(duì)時(shí)間t的變化為一條直線(xiàn)，初始點(diǎn)加速度為最大，然后逐漸減小，運(yùn)行到半程（t=1.5s）時(shí)加速度為0，然后反向加速度逐漸增大，直到終止點(diǎn)的加速度達(dá)到負(fù)向最大。7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.1拓展練習(xí)：讀者可以嘗試自己編寫(xiě)代碼求解該題。7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.27.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.2解：①

關(guān)節(jié)1的插補(bǔ)函數(shù)在例7.1中已經(jīng)求出。將關(guān)節(jié)2的已知條件代入代入所以滿(mǎn)足關(guān)節(jié)2運(yùn)動(dòng)的三次多項(xiàng)式軌跡插補(bǔ)函數(shù)為7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.2據(jù)此可畫(huà)出兩關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度隨時(shí)間變化的函數(shù)曲線(xiàn)。關(guān)節(jié)2的三次多項(xiàng)式軌跡插補(bǔ)函數(shù)為已知關(guān)節(jié)角求末端位姿，需要用到機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)。在例3.5中已經(jīng)推導(dǎo)出該機(jī)械臂末端的坐標(biāo)為7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.2機(jī)械臂末端從起始點(diǎn)（左圖）運(yùn)動(dòng)到終止點(diǎn)（右圖）的軌跡拓展練習(xí)：讀者可以嘗試自己編寫(xiě)代碼求解該題7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.27.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)思考：在上例中要求起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度均為0，如果要求起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度為某給定值，是否仍舊可以通過(guò)三次多項(xiàng)式插補(bǔ)得到符合要求的運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)？由圖可以看出，兩關(guān)節(jié)在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的加速度都比較大，如果要在這兩點(diǎn)指定期望的加速度，三次多項(xiàng)式插補(bǔ)是否還適用？第7章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)用三次多項(xiàng)式做插補(bǔ)函數(shù)時(shí)，由于共有4個(gè)待定系數(shù)，要獲得唯一解就只能有4個(gè)約束。如果對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡有更為嚴(yán)格的要求，約束條件必然增多，三次多項(xiàng)式就不能滿(mǎn)足需求，此時(shí)高階多項(xiàng)式就有了用武之地。7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)例如，對(duì)某關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的位置、速度和加速度均有明確要求，則有6個(gè)約束條件，這時(shí)就可以選用5次多項(xiàng)式做插補(bǔ)函數(shù)（有6個(gè)系數(shù)），即其約束方程組為求導(dǎo)7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.3解：將tf=3代入可求得線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣A根據(jù)第一組已知條件可以得常數(shù)向量b=[15750000]’用MATLAB命令a=A\b即可求得5次多項(xiàng)式的系數(shù)數(shù)組a。對(duì)于第2組和第3組情況，分別有b=[1575503000]’和b=[157530-3000]’，同樣用a=A\b可求得對(duì)應(yīng)5次多項(xiàng)式的系數(shù)。7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.37.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.37.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)例7.3思考：①第二組的速度曲線(xiàn)在t=1.5~1.8區(qū)間速度接近0，這意味著什么？②前兩組插補(bǔ)函數(shù)在t=0~3秒內(nèi)都是單調(diào)遞增的，而第三組在t=0~2.3區(qū)間內(nèi)為遞增，t=2.3~3區(qū)間內(nèi)為遞減。這意味著什么？這個(gè)插補(bǔ)軌跡是否令人滿(mǎn)意？第7章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃根據(jù)作業(yè)要求，經(jīng)常需要機(jī)械臂末端連續(xù)順滑地經(jīng)過(guò)操作空間的某些路徑點(diǎn)，比如下圖中，不但要求機(jī)械臂在3秒內(nèi)從起始點(diǎn)A順滑地運(yùn)動(dòng)到終止點(diǎn)D，而且必須在t=1和t=2秒時(shí)經(jīng)過(guò)B和C兩個(gè)路徑點(diǎn)。我們應(yīng)如何規(guī)劃出符合要求的各條關(guān)節(jié)軌跡？7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃但這種插補(bǔ)方法的問(wèn)題在于，因?yàn)榧s束中包含起始點(diǎn)和終止點(diǎn)速度為0，機(jī)械臂經(jīng)過(guò)B，C等路徑點(diǎn)時(shí)必然會(huì)停下。對(duì)于很多作業(yè)，這種不斷啟停的運(yùn)行方式不夠平穩(wěn)，效率也不高。如果我們希望機(jī)械臂經(jīng)過(guò)路徑點(diǎn)但不停留，就需要將前述方法加以推廣，將三次多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間的軌跡規(guī)劃。7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃回顧7.2.1中三次多項(xiàng)式插補(bǔ)函數(shù)的約束條件，如果希望經(jīng)過(guò)中間路徑點(diǎn)不停留，只要將關(guān)節(jié)速度約束修改為給定的速度即可，因此四個(gè)約束方程變?yōu)椋航庠摼€(xiàn)性方程組可得7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃從上式可以看出，

的取值會(huì)直接影響多項(xiàng)式系數(shù)，對(duì)插補(bǔ)函數(shù)的走向有重大影響。那么，應(yīng)該如何合理確定機(jī)械臂經(jīng)過(guò)路徑點(diǎn)時(shí)各關(guān)節(jié)的過(guò)渡速度？7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃應(yīng)該如何合理確定機(jī)械臂經(jīng)過(guò)路徑點(diǎn)時(shí)各關(guān)節(jié)的過(guò)渡速度？目前主要有以下三種方式。（1）根據(jù)機(jī)械臂末端在操作空間的瞬時(shí)線(xiàn)速度和角速度來(lái)確定路徑點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度利用機(jī)械臂末端在該路徑點(diǎn)上的速度逆雅克比矩陣，可將其在該點(diǎn)在瞬時(shí)線(xiàn)速度和角速度映射為所要求的關(guān)節(jié)速度。該方法生成的軌跡雖然能滿(mǎn)足用戶(hù)設(shè)置速度的需求，但是逐點(diǎn)設(shè)置速度工作量很大，而且如果某個(gè)路徑點(diǎn)是奇異點(diǎn)還無(wú)法任意設(shè)置速度值。因此這種方法并不常用。7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃（2）系統(tǒng)采用適當(dāng)?shù)膯l(fā)式方法，自動(dòng)選擇合理的過(guò)渡速度圖為一種簡(jiǎn)單而合理的過(guò)渡速度選擇方式，圖中短小直線(xiàn)段的系列代表各路徑點(diǎn)的速度。首先用直線(xiàn)把路徑點(diǎn)連接起來(lái)，如果路徑點(diǎn)兩側(cè)的直線(xiàn)的斜率正負(fù)發(fā)生變化，則將該點(diǎn)速度設(shè)定為零，圖中

的速度均屬于這種情況；如果路徑點(diǎn)兩側(cè)的直線(xiàn)的斜率正負(fù)沒(méi)有改變，則選取兩條直線(xiàn)的平均斜率作為該點(diǎn)的速度，圖中路徑點(diǎn)

的速度均屬于這種情況。7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃（2）系統(tǒng)采用適當(dāng)?shù)膯l(fā)式方法，自動(dòng)選擇合理的過(guò)渡速度如圖所示，啟發(fā)法規(guī)劃出的軌跡是連續(xù)光滑的，不難看出路徑點(diǎn)的速度正好是軌跡曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)斜率。從速度圖可以發(fā)現(xiàn)在路徑點(diǎn)處速度曲線(xiàn)出現(xiàn)尖點(diǎn)，導(dǎo)致加速度在該點(diǎn)出現(xiàn)突變，而且起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的加速度也都比較大，這顯然不是我們希望看到的。因此還需要進(jìn)一步優(yōu)化算法。7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃（3）以路徑點(diǎn)處加速度連續(xù)為原則選取各點(diǎn)的速度θ0θ1θ2θ3θ4θ5θf(wàn)7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃（3）以路徑點(diǎn)處加速度連續(xù)為原則選取各點(diǎn)的速度另外起始點(diǎn)和終止點(diǎn)還有位置和速度約束，即有n個(gè)路徑點(diǎn)則可以確定4n個(gè)約束。4個(gè)約束這樣我們就確定了4(n+1)個(gè)線(xiàn)性方程，求解該線(xiàn)性方程組就可以獲得4(n+1)個(gè)待定系數(shù)的唯一解。以上正是構(gòu)造三次樣條函數(shù)的基本思想。由于三次樣條函數(shù)使用非常廣泛，各種數(shù)學(xué)軟件一般都會(huì)提供相關(guān)函數(shù)方便大家調(diào)用，比如MATLAB中的spline函數(shù)。7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃例7.47.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃例7.4解：MATLAB函數(shù)spline可用于求過(guò)多點(diǎn)的三次樣條函數(shù)。主要命令如下。表示三次樣條曲線(xiàn)的需要經(jīng)過(guò)的路徑點(diǎn)坐標(biāo)為(t,q)，且起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的速度為0，計(jì)算出的各段三次多項(xiàng)式的系數(shù)等信息存儲(chǔ)在結(jié)構(gòu)pp中。7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃例7.4啟發(fā)法加速度連續(xù)法（樣條函數(shù)）對(duì)比啟發(fā)法的軌跡規(guī)劃圖可以發(fā)現(xiàn)，以加速度連續(xù)為原則的插補(bǔ)方法，其速度曲線(xiàn)更加光滑，加速度曲線(xiàn)連續(xù)，也就是說(shuō)通過(guò)各個(gè)路徑點(diǎn)時(shí)不會(huì)出現(xiàn)加速度突變。7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃例7.4程序NCUT7_4a：加速度連續(xù)法

NCUT7_4b：?jiǎn)l(fā)法7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃不論三次還是五次多項(xiàng)式插補(bǔ)都有一個(gè)缺點(diǎn)，即其速度一直在變化中。為了提高效率，我們希望機(jī)器人各關(guān)節(jié)的允許速度盡量穩(wěn)定在允許范圍之內(nèi)的高位上，這就是下一種的插補(bǔ)方法閃亮登場(chǎng)的原因。第7章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)采用多項(xiàng)式函數(shù)插補(bǔ)的優(yōu)點(diǎn)是，在區(qū)間內(nèi)速度和加速度永遠(yuǎn)是連續(xù)的，五次多項(xiàng)式甚至可以指定區(qū)間端點(diǎn)處加速度的值，但是區(qū)間內(nèi)的速度是變化的。顯然，這對(duì)于機(jī)器人的工作效率是一個(gè)很大的限制，機(jī)器人必須持續(xù)地高速運(yùn)動(dòng)，才能獲得更高的工作效率。所以可以嘗試線(xiàn)性插補(bǔ)。比如讓關(guān)節(jié)在3秒內(nèi)以恒定的速度從運(yùn)轉(zhuǎn)到，則其軌跡是一條直線(xiàn)，如圖所示。7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)但這里有個(gè)明顯的問(wèn)題。由于起始點(diǎn)要求速度從0瞬間上升到20，理論上加速度無(wú)窮大，勢(shì)必造成很大的沖擊，在終止點(diǎn)也有類(lèi)似的問(wèn)題，這就需要對(duì)線(xiàn)性插補(bǔ)函數(shù)做一些改進(jìn)。7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)為了生成一條位置和速度都連續(xù)光滑的運(yùn)動(dòng)軌跡，在使用線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)，需要在啟動(dòng)和停止時(shí)各增加一段拋物線(xiàn)（二次多項(xiàng)式）作為過(guò)渡，從而平滑地改變速度。直線(xiàn)函數(shù)和兩個(gè)拋物線(xiàn)函數(shù)組合成一條光滑軌跡在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，速度是漸變的，加速度也穩(wěn)定在可接受范圍之內(nèi)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)構(gòu)造拋物線(xiàn)過(guò)渡的直線(xiàn)插補(bǔ)函數(shù)的思路與多項(xiàng)式的類(lèi)似，首先寫(xiě)出拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式，然后再根據(jù)約束條件確定其中的系數(shù)。為構(gòu)造這樣的插補(bǔ)函數(shù)需要增加一個(gè)約束條件，即兩段拋物線(xiàn)關(guān)于中點(diǎn)（th,θh）中心對(duì)稱(chēng)，這意味兩段拋物線(xiàn)具有相同的持續(xù)時(shí)間且加速度大小相等符號(hào)相反。7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)首先寫(xiě)出首段拋物線(xiàn)方程，即二次多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式求導(dǎo)可得其速度方程由于拋物線(xiàn)在起始點(diǎn)的位置為θ0，速度為0，所以有其速度方程為根據(jù)兩段拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，第二段拋物線(xiàn)方程為其速度方程為7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)中間部分軌跡為直線(xiàn)，其速度方程及位置方程分別為7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)例7.5解：①根據(jù)式有7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)例7.5第二段拋物線(xiàn)方程第一段拋物線(xiàn)方程直線(xiàn)方程代入右式可以得到三組插補(bǔ)函數(shù)，每組插補(bǔ)函數(shù)分為三段7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)思考：當(dāng)過(guò)渡拋物線(xiàn)加速度變大時(shí)，軌跡中的直線(xiàn)段如何變化？過(guò)渡時(shí)間如何變化？平臺(tái)速度如何變化？如果加速度無(wú)窮大，軌跡會(huì)有什么變化？7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)運(yùn)行NCUT7_5b看加速度變大時(shí)，線(xiàn)性插補(bǔ)軌跡的變化情況動(dòng)畫(huà)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)例7.5拓展練習(xí)：讀者可以嘗試自己編寫(xiě)代碼求解該題。第7章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法7.2.1三次多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.2高階多項(xiàng)式插補(bǔ)7.2.3多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.4拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃在7.2.3中，我們將多項(xiàng)式插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃，本節(jié)研究如何用拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)解決多路徑點(diǎn)的軌跡規(guī)劃問(wèn)題。求解多路徑點(diǎn)的拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)曲線(xiàn)的核心思想是，首先用直線(xiàn)連接各路徑點(diǎn)，相鄰兩條直線(xiàn)之間用拋物線(xiàn)過(guò)渡。7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃這種軌跡規(guī)劃的關(guān)鍵在于如何確定過(guò)渡拋物線(xiàn)函數(shù)的各個(gè)系數(shù)。拋物線(xiàn)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中有三個(gè)待定系數(shù)。如果軌跡需要經(jīng)過(guò)n個(gè)路徑點(diǎn)，則需要n個(gè)路徑點(diǎn)過(guò)渡區(qū)，加上起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，軌跡中共需要n+2段拋物線(xiàn)，待定系數(shù)則有3(n+2)個(gè)。7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃下面再看看有多少約束。首先，為保證速度連續(xù)，每個(gè)路徑點(diǎn)都有2個(gè)約束，即起點(diǎn)和終點(diǎn)各有兩個(gè)約束2n個(gè)4個(gè)以上共有約束2(n+2)個(gè)，少于待定系數(shù)3(n+2)個(gè)，因此軌跡有無(wú)窮多解。與上一節(jié)的思路類(lèi)似，我們必須指定各段拋物線(xiàn)的加速度或者過(guò)渡時(shí)間，軌跡才會(huì)被唯一確定下來(lái)。7.2.5拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性插補(bǔ)用于多點(diǎn)間軌跡規(guī)劃例7.6①取過(guò)渡時(shí)間為0.8秒，請(qǐng)用拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性函數(shù)規(guī)劃出符合要求的軌跡，并繪制出軌跡的位置、速度、加速度曲線(xiàn)，請(qǐng)借助軟件完成。②上一問(wèn)繪制出的軌跡是否通過(guò)各路徑點(diǎn)？如果希望軌跡盡量接近路徑點(diǎn)，應(yīng)該加大還是減小過(guò)渡時(shí)間？此時(shí)對(duì)應(yīng)的加速度是增大還是減小了？%調(diào)用mstraj生成過(guò)多路徑點(diǎn)的拋物線(xiàn)過(guò)渡的直線(xiàn)插補(bǔ)軌跡，插補(bǔ)點(diǎn)存在traj中