2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）方程（組）與不等式（組）測試（提升卷）（解析版）

第二章方程（組）與不等式（組）真題測試

（時(shí)間：90分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（2019?四川南充?中考真題）關(guān)于x的一元一次方程2x"2+加=4的解為x=1,則。+加

的值為（）

A.9B.8C.5D.4

【答案】C

［分析］根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答即可.

【解析】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程2產(chǎn)+片4的解為戶1,

可得：3-2=1,2+777=4,解得：3=3,777=2,所以3+777=3+2=5,故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的定義，關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答.

2.（2022?浙江溫州）若關(guān)于x的方程/+6x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，貝Ue的值是（）

A.36B.-36C,9D.-9

【答案】C

【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=62-4c=0,然后解關(guān)于C的一次方程即可.

【詳解】解：?.■方程/+6工+。=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

A=62-4xlxc=0解得C=9故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+6x+c=0（aN0）的跟與A=/-4ac的

關(guān)系，關(guān)鍵是分清楚以下三種情況：當(dāng)△>?時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)/<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

3.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題汜知關(guān)于x的分式方程3+1=一二的解是非負(fù)數(shù)，則機(jī)

x-22-x

的取值范圍是（）

A.mw2B.m^2C.且機(jī)N-2D.m<22

【答案】C

［分析】解分式方程求出x=三"，然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)以及解不是增根得出關(guān)于m的不

等式組，求解即可.

資料整理

【詳解】解：分式方程去分母得：m+x-2=-x,

V分式方程「+1=，的解是非負(fù)數(shù)，

x-22-x

2-m_口2—m

-5-0,且x="w2,

/2

機(jī)w2且機(jī)/-2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關(guān)于加的不等式組是解

題的關(guān)鍵.

4.(2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題)不等式組的解集是()

3%+1>2x

A.x<5B.1<x<5C.-l<x<5D.x<-l

【答案】c

【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

羊」［3x+l>2x(2)

解不等式①，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，尤<5;

解不等式②，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，x>-l

故不等式組的解集為：-lwx<5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找;

大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

41

5.(2021?安徽)設(shè)a,b,c為互不相等的實(shí)數(shù)，B.b=-a+-c,則下列結(jié)論正確的是

()

A.a>b>cB.c>b>aC.a-b=4(6-c)D,a-c=5(a-b)

【答案】D

【分析】

舉反例可判斷A和B,將式子整理可判斷C和D.

資料整理

【詳解】

41

解：A.當(dāng)Q=5,c=10,6=《a+,c=6時(shí)，c>b>a,故A錯(cuò)誤；

41

B.當(dāng)Q=10,c=5,b=—a+—c=9^,a>b>cf故B錯(cuò)誤；

i4

C.Q-6=40-c）整理可得八丁-不，故C錯(cuò)誤；

41

D.Q—C=5（Q—Z?）整理可得=故D正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?四川遂寧?中考真題）關(guān)于x的方程」--1=」-的解為正數(shù)，則k的取值

2x—4x-2

范圍是（）

A.k>-4-B.k<4C.左>一4且左w4D,左<4且左/一4

【答案】C

【分析】先對分式方程去分母，再根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.

t4

【解析】解：分式方程去分母得：左-（2x-4）=2x,解得：x=——+，

4

左+4k+4

根據(jù)題意得：——>0,且——N2,解得：上>—4,且左w4.故選C.

44

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的求解方法.

X>m+3

<c,I的整數(shù)解僅有4個(gè)，

{5x-2<4x+l

則m的取值范圍是（）

A.-5<m<-4B.-5<m<-4C.-4<m<-3D.-4<m<-3

【答案】A

【分析】不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解共有4個(gè)，確定出m的范

圍即可.

.、、……加+3①

【詳解】解：LG,

[5x-2<4x+1②

資料整理

由②得：x<3,

解集為加+3vxv3,

由不等式組的整數(shù)解只有4個(gè)，得到整數(shù)解為2,1,0,-1,

-24初+3V—1,

-5<m<-4；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點(diǎn)的理解和

掌握，能根據(jù)不等式組的解集得到-2s優(yōu)+3<-1是解此題的關(guān)鍵.

8.(2023,四川成都,統(tǒng)考中考真題)《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十

書》之一.書中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩

量之，不足一尺.木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將

繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設(shè)木長x尺，則可列方程為()

A.+4.5)=x-1B.+4.5)=x+1

C.~(x+1)=x-4.5D.~(x-1)=x+4.5

【答案】A

【分析】設(shè)木長x尺，根據(jù)題意“用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折

再量長木，長木還剩余1尺”，列出一元一次方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)木長x尺，根據(jù)題意得，

~(x+4.5)—x-1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

4x-1

x-l>

9.(2022?重慶)若關(guān)于x的一元一次不等式組-3的解集為xw-2,且關(guān)于了的

5x-1<a

分式方程匕|=」彳-2的解是負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是()

y+1y+1

A.-26B.-24C.-15D.-13

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式組的解集，確定根據(jù)分式方程的負(fù)整數(shù)解，確定a<l,根據(jù)

分式方程的增根，確定aX-2,計(jì)算即可.

資料整理

【詳解】?二二-①，解①得解集為xw-2,解②得解集為x<一,

5x-lV4②

'14x-l

?「不等式組"3的解集為xw-2,.?.嬰>-2,解得a>Tl,

5x-\<a

'：乙—Z的解是y='L且yX-l,匕]二—^■-2的解是負(fù)整數(shù)，

y+1y+13y+1y+1

「.av1且a4-2,/.-11<a<1_&aW-2,故a=-8或a=-5,

故滿足條件的整數(shù)。的值之和是-8-5=-13,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解集，分式方程的特殊解，增根，熟練掌握不等式組的解法,

靈活求分式方程的解，確定特殊解，注意增根是解題的關(guān)鍵.

3%+y=2/77—1

.一的解滿足x+y=i,

{x-y=n

貝I]4'"+2"的值是（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

【分析】法一：利用加減法解方程組，用“，加表示出x,y,再將求得的代數(shù)式代入x+y=l,

得到〃的關(guān)系，最后將r+2"變形，即可解答.

法二1"+'一?一1①中①-②得至1J2加一”=2（x+y）+l,再根據(jù)x+y=l求出2加一〃=3代

x-y=n（2）

人代數(shù)式進(jìn)行求解即可.

3x+y=2m一1①

【詳解】解：法一:

x-y=n(2)

①+②得4x=2加+〃一1,

2m+n-l

解得“

4

將X=2m+n-l代人②，解得y=2m-3n-l

-'x+y=l,

2m+77-12m-3n-1,

------------+--------------=1

44

得至!J2m—〃=3,

...。2〃=22m+2〃=22m-n=23=8,

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3x+y=2m一1①

法二:

x-y=n（^）

①-②得：2x+2y=2m-n-l,即：2m-n=2（x+y）+l,

'：x+y=l,

2m—n=2x14-1=3,

...4“：2〃=22W+2〃=22m-n=23=8,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)塞除法，哥的乘方，熟練求

出見〃的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

11.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）已知方程3-3x-4=0的根為生土,則&+2）.d+2）

的值為.

【答案】6

【分析】解方程,將解得的曰三代入&+2）?（/+2）即可解答.

（詳解］解：x?-3尤-4=0,

對左邊式子因式分解，可得伍-4乂彳+1）=0

解得再=4,x2=—1,

將再=4,%2=T代入（占+2）代+2）,

可得原式=（4+2）X（-1+2）=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

丫一aa

12.（2022?四川瀘州）若方程一二+1=^—的解使關(guān)于x的不等式（2-a）x-3>0成立，則

x-22-x

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】?<-1

【分析】先解分式方程得x=l,再把X=1代入不等式計(jì)算即可.

去分母得：x-3+x-2=-3解得：x=1

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經(jīng)檢驗(yàn)，X=1是分式方程的解

把x=1代入不等式（2-。）％-3>0得：

2-〃-3>0解得。v-1故答案為：a<-\

【點(diǎn)睛】本題綜合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)運(yùn)

算法則.

'四<4

13.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組2，至少有2個(gè)整數(shù)

2x-a>2

a—\4

解，且關(guān)于y的分式方程--+--=2有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和

y—22-y

是.

【答案】4

【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a46,再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，

解得y=F，由分式方程有正整數(shù)解，確定出a的值，相加即可得到答案.

x+3v4c

【詳解】解：F&①

2x-a>2②

解不等式①得：x<5,

解不等式②得：x>l+^,

.??不等式的解集為1+5工工5,

V不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，

/.1+-<4,

2

解得：a<6;

q—14

???關(guān)于y的分式方程---=2有非負(fù)整數(shù)解，

y—22-y

/.?-1-4=2（y-2）

解得：y=\1，

即且,

22

解得：〃N1且QW5

a的取值范圍是1waw6,且QW5

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，a可以?。?,3,

1+3=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)

鍵.

14.（2020?湖北孝感？中考真題）有一列數(shù)，按一定的規(guī)律排列成;，-1,3,-9,27,

-81，.…若其中某三個(gè)相鄰數(shù)的和是-567,則這三個(gè)數(shù)中第一個(gè)數(shù)是.

【答案】-81

【解析】

【分析】

題中數(shù)列的絕對值的比是-3,由三個(gè)相鄰數(shù)的和是-567,可設(shè)三個(gè)數(shù)為n,-3n,9n,據(jù)題

意列式即可求解.

【詳解】

題中數(shù)列的絕對值的比是-3,由三個(gè)相鄰數(shù)的和是-567,可設(shè)第一個(gè)數(shù)是n,則三個(gè)數(shù)為n,

-3n,9n

由題意：n+（-3n）+9n=-567,

解得n=-81,

故答案為：-81.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查數(shù)列的規(guī)律探索與運(yùn)用，一元一次方程與數(shù)字的應(yīng)用，熟悉并會用代數(shù)式表示

常見的數(shù)列，列出方程是解題的關(guān)鍵.

15.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程V-2（機(jī)+1卜+m+4=0兩根的倒數(shù)和

為1,則機(jī)的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為a,b,

由題意得：a+b=2（w+l）,ab=m+4,

,J_I_a+b_2（w+l）

abab*4

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二也?=1,解得：m=2,

m+4

經(jīng)檢驗(yàn)：加=2是分式方程的解，

檢驗(yàn)：A=[-2（m+l）]2-4（m+4）=4x（2+l）2-4x（2+4）=12>0,

.-.1=2符合題意,

m=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

16.（2022?浙江寧波）定義一種新運(yùn)算：對于任意的非零實(shí)數(shù)a,b,a0b=-+^.若

ab

2x+l

(x+l)?x=d<則X的值為.

X

【答案】

【分析】根據(jù)新定義可得(x+l)8x=49x±+1L由此建立方程9X竽+L1=9土x+土1解方程即可.

X+XX+XX

,11/1、^IIx+l+x2x+l

【詳解】解：「。8)6=一+工，，(x+l)區(qū)

abXi-lXA(X~vi\X~rX

l/…2x+12x+12x+1

又?「(x+1)0x=-------

xX2+x—X

(x2+x)(2x+l)-x(2x+l)=0,(x2+x-x)(2x+1)=0,x2(2x+1)=0,

(x+l)?x=2x+l即％w0,2x+l=0,解得％=—：，

x2

經(jīng)檢驗(yàn)V是方程黑=”的解，故答案為：j

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于X的方

程是解題的關(guān)鍵.

「2x+3y=3+。

17.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x,V的二元一次方程組、,的解滿足

[x+2j=6

x+y>2框,寫出。的一個(gè)整數(shù)值.

【答案】7（答案不唯一）

【分析】先解關(guān)于x、y的二元一次方程組的解集，再將x+y>2近代入，然后解關(guān)于。的

不等式的解集即可得出答案.

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[詳解】將兩個(gè)方程相減得X+y=。-3,

x+y>2>/2,

??a-3>2^2,

?-a>3+2^/2,

4<8<9,

2<272<3.

5<2V2+3<6,

二。的一個(gè)整數(shù)值可以是7.

故答案為：7（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，整體代人的思想方法是解

答本題的亮點(diǎn).

18.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）已知占、芍是方程2/一3x+l=0的兩根，則代數(shù)式

%!+x

2的值為.

1+X1X2

【答案】1

b

X]+=-----

【分析】根據(jù)毛、々是一元二次方程研2+bx+c=0的兩個(gè)根，則有一ca，求解即

可.

【詳解】解：由題意得

-3

玉+工2=5

.1，

再

3

原式=3=1.

1+-

2

故答案：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

2x+l>x+a①

19.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組x5…所有整數(shù)解的和

一+IN—龍一9②

122—

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為14,則整數(shù)。的值為.

【答案】2或-1

【分析】根據(jù)題意可求不等式組的解集為a-I<xw5,再分情況判斷出。的取值范圍，即可

求解.

【詳解】解：由①得：x>a-\,

由②得：x<5,

不等式組的解集為：a-l<x<5,

;所有整數(shù)解的和為14,

①整數(shù)解為：2、3、4、5,

1—6Z—lv2,

解得：2wav3,

???〃為整數(shù)，

..4=2.

②整數(shù)解為：-1,o,1,2、3、4、5,

—2-u—1<—1,

解得：-lwa<0,

:。為整數(shù)，

/.a——1.

綜上，整數(shù)。的值為2或-1

故答案為：2或-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了含參數(shù)的一元一次不等式組的整數(shù)解問題，掌握一元一次不等式組的解

法，理解參數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

20.(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)某校截止到2022年底，校園綠化面積為1000平方米.為美

化環(huán)境，該校計(jì)劃2024年底綠化面積達(dá)到1440平方米.利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積

的年平均增長率為x,則依題意列方程為.

【答案】1000(l+x)2=1440

【分析】設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長率為x,依題意列出一元二次方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長率為x,則依題意列方程為1000(1+x)2=1440,

故答案為：1000(1+x)2=1440.

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【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共11小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

2（尤-1）+1>—3,

21.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）解不等式組1+x并把它的解集在數(shù)軸上表

x—1------,

I3

示出來.

【答案】-I<xv2,數(shù)軸表示見解析

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小找不到確定不等式組的解集.

Nx-1）+1>-迎

【詳解】解：，1+xi

x-l<——②

I3

解不等式①得

解不等式②，得：xw2,

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

j-------------------1-------------------*-----1----------1----------1

-2-1012345

則不等式組的解集為：

—1vxw2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)

不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則

是解答此題的關(guān)鍵.

3x—2y+20=0

22.（2021?四川眉山市?中考真題）解方程組\.八

2x+15y-3=0

【分析】

方程組適當(dāng)變形后，給②x3-①x2即可消去x,解關(guān)于y的一元一次方程，再將y值代入①

式，即可解出y.

【詳解】

3x—2y+20=03x—2y=—20（T）

解由ycc可得

2x+15j-3=0[2x+\5y=3②

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②x3-①x2得3(2x+15jv)—2(3x—2y)=3x3—2x(—20),

即49y=49,

解得y=l,

將y=1代入①式得3x—2xl=—20,解得X=—6.

x=-6

故該方程組的解為1.

Iy=l

【點(diǎn)睛】

本題考查解二元一次方程組.解二元一次方程主要用到“消元思想”，將二元一次方程組化為

一元一次方程求解.主要方法有加減消元法和代入消元法，熟練掌握這兩種方法并能靈活利

用是解題關(guān)鍵.

V—13

23.(2021?陜西中考真題)解方程：-------.一=1?

X+1X—1

【答案】戶-;

【分析】

按照解分式方程的方法和步驟求解即可.

【詳解】

解：去分母(兩邊都乘以(x+l)(x-1)),得，

(X-1)2-3=X2-1.

去括號，得，

x~-2,x+1—3=x~-1,

移項(xiàng)，得,

x~—2x—=—1—1+3-

合并同類項(xiàng)，得，

-2x=l.

系數(shù)化為1,得，

1

X~~2'

檢驗(yàn)：把x=一代入(x+l)(x—1)/0.

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=是原方程的根.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步驟是解題的關(guān)鍵，尤其注意解分式方程

必須檢驗(yàn).

24.（2020?湖北隨州?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+l）x+w-2=0.

（1）求證：無論加取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根石，x2,且項(xiàng)+%+3再%2=1,求加的值.

【答案】（1）見解析；（2）m=8.

【分析】（1）求出△的值即可證明；（2）,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到?2；\

xtx2=m-2

代入%+%+3西%=1，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可.

【解析】（1）證明：依題意可得△=（2加+1）2—4（加—2）=4^2+9>0

故無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

X]+=_(2m+1)

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得:

=m-2

=

由X]+/+3XJX21,得—（2m+1）+3（加—2）=1,解得m=8.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程

ax2+bx+c=0（a#0）的根與系數(shù)的關(guān)系：Xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）的兩根

bc

時(shí)，X1+X2=---,X1X=—.

a2a

25.（2020?寧夏中考真題）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗

從甲地勻速步行前往乙地，同時(shí)，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距

離y（m）與步行時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段4S—BC—所示.

3067.5i(min?

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(1)小麗與小明出發(fā)min相遇；

(2)在步行過程中，若小明先到達(dá)甲地.

①求小麗和小明步行的速度各是多少？

②計(jì)算出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并解釋點(diǎn)C的實(shí)際意義.

【答案】⑴30；(2)①小麗步行的速度為80m/min,小明步行的速度為100m/min；②

點(diǎn)。(54,4320),點(diǎn)c表示：兩人出發(fā)54min時(shí)，小明到達(dá)甲地，止匕時(shí)兩人相距4320m.

【解析】

【分析】

(1)直接從圖像獲取信息即可；

(2)①設(shè)小麗步行的速度為匕m/min,小明步行的速度為匕m/min,且匕〉匕，根據(jù)

圖像和題意列出方程組，求解即可；

②設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(xj),根據(jù)題意列出方程解出x,再根據(jù)圖像求出y即可，再結(jié)合兩人

的運(yùn)動(dòng)過程解釋點(diǎn)C的意義即可.

【詳解】

(1)由圖像可得小麗與小明出發(fā)30min相遇，

故答案為：30；

(2)①設(shè)小麗步行的速度為匕m/min,小明步行的速度為匕m/min,且匕〉匕，

130匕+30匕=5400

則［(67.5—30)匕=30%'

化=80

解得：<,

優(yōu)=100

答：小麗步行的速度為80m/min,小明步行的速度為100m/min；

②設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),

則可得方程(100+80)(x-30)+80(67.5-%)=5400,

解得x=54,

>=(100+80)(54-30)=4320m,

，點(diǎn)0(54,4320),

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點(diǎn)C表示：兩人出發(fā)54min時(shí)，小明到達(dá)甲地，此時(shí)兩人相距4320m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，從圖像獲取信息是解題

關(guān)鍵.

26.（2022?重慶）為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠.

⑴計(jì)劃修建灌溉水渠600米，甲施工隊(duì)施工5天后，增加施工人員，每天比原來多修建20

米，再施工2天完成任務(wù)，求甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠多少米？

⑵因基地面積擴(kuò)大，現(xiàn)還需修建另一條灌溉水渠1800米，為早日完成任務(wù)，決定派乙施工

隊(duì)與甲施工隊(duì)同時(shí)開工合作修建這條水渠，直至完工.甲施工隊(duì)按（1）中增加人員后的修

建速度進(jìn)行施工.乙施工隊(duì)修建360米后，通過技術(shù)更新，每天比原來多修建20%,灌溉

水渠完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建的長度恰好相同.求乙施工隊(duì)原來每天修建灌溉水渠多少米？

【答案】⑴100米⑵90米

【分析】（1）設(shè)甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來每天修建20）米，根

據(jù)工效問題公式：工作總量=工作時(shí)間x工作效率，列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即

可得出答案；

（2）設(shè)乙施工隊(duì)原來每天修建灌溉水渠y米，技術(shù)更新后每天修建。+20%）y米，根據(jù)水渠

總長1800米，完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建長度相同，可知每隊(duì)修建900米，再結(jié)合兩隊(duì)同時(shí)開

工修建，直至同時(shí)完工，可得兩隊(duì)工作時(shí)間相同，列出關(guān)于y的分式方程，解方程即可得出

答案.

⑴解：設(shè)甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來每天修建（x-20）米,

則有5（x-20）+2x=600解得x=100

二.甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠100米.

⑵1?水渠總長1800米，完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建長度相同

兩隊(duì)修建的長度都為1800-2=900（米）

乙施工隊(duì)技術(shù)更新后，修建長度為900-360=540（米）

解：設(shè)乙施工隊(duì)原來每天修建灌溉水渠y米，技術(shù)更新后每天修建（i+20%）y米，即1.2y米

r-540360900-八八

貝11有再+7=而解得'=9°

經(jīng)檢驗(yàn)，了=90是原方程的解，符合題意

乙施工隊(duì)原來每天修建灌溉水渠90米.

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【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和分式方程的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)注意分式方程要檢驗(yàn)，讀懂題意,

正確設(shè)出未知數(shù)，并列出方程，是解題的關(guān)鍵.

27.（2019?湖南衡陽?中考真題）某商店購進(jìn)/、5兩種商品，購買1個(gè)/商品比購買1個(gè)

3商品多花10元，并且花費(fèi)300元購買/商品和花費(fèi)100元購買B商品的數(shù)量相等.（1）

求購買一個(gè)/商品和一個(gè)8商品各需要多少元；（2）商店準(zhǔn)備購買/、3兩種商品共80

個(gè)，若/商品的數(shù)量不少于2商品數(shù)量的4倍，并且購買B商品的總費(fèi)用不低于1000

元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？

【答案】（1）購買一個(gè)4商品需要15元，購買一個(gè)3商品需要5元；（2）商店有2種購買

方案，方案①：購進(jìn)/商品65個(gè)、8商品15個(gè)；方案②：購進(jìn)/商品64個(gè)、8商品16

個(gè).

【分析】（1）設(shè)購買一個(gè)8商品需要X元，則購買一個(gè)/商品需要（X+10）元，根據(jù)數(shù)量=

總價(jià)+單價(jià)結(jié)合花費(fèi)300元購買/商品和花費(fèi)100元購買8商品的數(shù)量相等，即可得出關(guān)

于X的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買B商品加個(gè)，則購買/商品

（80-加）個(gè)，根據(jù)/商品的數(shù)量不少于3商品數(shù)量的4倍并且購買8商品的總費(fèi)用不

低于1000元且不高于1050元，即可得出關(guān)于加的一元一次不等式組，解之即可得出加的

取值范圍，再結(jié)合加為整數(shù)即可找出各購買方案.

【解析】解：（1）設(shè)購買一個(gè)8商品需要X元，則購買一個(gè)/商品需要（X+10）元，

依題意，得：<22_=則，解得：x=5,

x+10x

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的解，且符合題意，，x+10=15.

答：購買一個(gè)/商品需要15元，購買一個(gè)2商品需要5元.

（2）設(shè)購買3商品加個(gè)，則購買/商品（80-加）個(gè)，

80-m>4m

依題意，得：15（80-m）+5m>1000,解得15V加W16.

15（80—掰）+5加S1050

?.?加為整數(shù)，，加=15或16.，商店有2種購買方案，方案①：購進(jìn)/商品65個(gè)、5商

品15個(gè)；方案②：購進(jìn)/商品64個(gè)、3商品16個(gè).

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找

準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式

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組.

28.如圖，在AABC中，28=90。，AB=5cm,BC=7cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B

以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)8開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).

(1)如果尸，Q分別從AB同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△尸BQ的面積等于6cm2?

(2)在(1)中，△尸QB的面積能否等于8cm2?說明理由.

【答案】(1)2或3秒；(2)不能.

【解析】(1)設(shè)經(jīng)過x秒以后APBQ的面積為6cm2,

則(5-x)x2x=6,

2

整理得：x2-5x+6=0,

解得:x=2或x=3.

答：2或3秒后APBQ的面積等于6cm2.

(2)設(shè)經(jīng)過x秒以后APBQ面積為8cm2,貝U

1

—x(5-x)x2x=8,

2

整理得：x2-5x+8=0,

因?yàn)椤?25-32=-7<0,

所以此方程無解，

故△尸QB的面積不能等于8cm2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“△尸8Q的面積等于6cm?”,

得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)經(jīng)過x秒鐘，△尸BQ的面積等于6cm2,根據(jù)點(diǎn)尸從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1

cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，表示出BP和

BQ的長可列方程求解.

(2)通過判定得到的方程的根的判別式即可判定能否達(dá)到8cm2.

29.(2020?遼寧丹東?中考真題)某服裝批發(fā)市場銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50

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元，規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場調(diào)查，每月的銷售量歹（件）與每件的售價(jià)X（元）

滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

售價(jià)X（元/件）606570

銷售量》（件）140013001200

（1）求出y與X之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量X的取值范圍）

（2）該批發(fā)市場每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給

這種襯衫定價(jià)？

（3）物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%,設(shè)這種襯衫每月的總利

潤為w（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【答案】⑴歹與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-20x+2600；⑵這種襯衫定價(jià)為每件70

元；（3）價(jià)定為65元可獲得最大利潤，最大利潤是19500元.

【分析】（1）根據(jù)題意可以設(shè)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得

y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)“總利潤=每件商品的利潤x銷售量”列出方程并求解，

最后根據(jù)盡量給客戶實(shí)惠，對方程的解進(jìn)行取舍即可；（3）求出w的函數(shù)解析式，將其化

為頂點(diǎn)式，然后求出定價(jià)的取值，即可得到售價(jià)為多少萬元時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是多

少.

【解析】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b（k#0）,

W+6=1400f左=—20

把x=60,y=1400和x=65,y=1300代人解析式得，,解得，5,

65K+0=1300[6=2600

二V與x之間的函數(shù)表達(dá)式為J=-20%+2600；

（2）設(shè)該種襯衫售價(jià)為x元，根據(jù)題意得，（x-50）（-20x+2600）=24000解得，司=70,x2=110,

;批發(fā)商場想盡量給客戶實(shí)惠，，x=70,故這種襯衫定價(jià)為每件70元；

（3）設(shè)售價(jià)定為x元，則有：

w=（x-50）（-20x+2600）=-20（x-90）2+32000

x-50<50x30%xv65

?.?k=-20<0,j.w有最大值，即當(dāng)x=65時(shí),w的最大值為-20（65-90）2+32000=19500（元）.

所以，售價(jià)定為65元可獲得最大利潤，最大利潤是19500元.

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【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，

利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解答.

30.(2021?重慶中考真題)對于任意一個(gè)四位數(shù)m,若干位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和

是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍,則稱這個(gè)四位數(shù)m為“共生數(shù)”例如：m=3507,

因?yàn)?+7=2x(5+0),所以3507是“共生數(shù)”：加=4135,因?yàn)?+5w2x(1+3),所以

4135不是“共生數(shù)”；

(1)判斷5313,6437是否為“共生數(shù)”?并說明理由；

(2)對于“共生數(shù)叼，當(dāng)十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)

字之和能被9整除時(shí)，記/(〃)=1.求滿足尸(“)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有

【答案】⑴5313是“共生數(shù)”，6437不是“共生數(shù)”.(2)〃=2148或〃=3069.

【分析】

(1)根據(jù)“共生數(shù)”的定義逐一判斷兩個(gè)數(shù)即可得到答案；

(2)設(shè)“共生數(shù)””的千位上的數(shù)字為則十位上的數(shù)字為2a,設(shè)百位上的數(shù)字為“個(gè)位

上的數(shù)字為G可得：lwa<5,0<6<9,0<c<9,且。也c為整數(shù)，再由“共生數(shù)”的定

義可得：c=3a+2”而由題意可得：b+c=9或b+c=18,再結(jié)合方程的正整數(shù)解分類討

論可得答案.

【詳解】

解:(1)5+3=2x(1+3)=8,

.?.5313是“共生數(shù)”,

.「6+7=13N2X(4+3)=14,

6437不是“共生數(shù)”.

(2)設(shè)“共生數(shù)””的千位上的數(shù)字為則十位上的數(shù)字為2a,設(shè)百位上的數(shù)字為“個(gè)位

上的數(shù)字為G

.?.Iwa<5,0<b<9,0<c<9,且凡6,c為整數(shù)，

所以：n=1000a+1006+20a+c=1020a+1006+c,

由“共生數(shù)”的定義可得：a+c=2{2a+b),

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/.c=3a+2b,

n=1023。+1026,

"（〃）=；=341a+34人

百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和能被9整除，

.,.6+c=0或6