第5講平面向量江西省贛州市厚德外國(guó)語學(xué)校2021年強(qiáng)基計(jì)劃拔尖人才選拔培優(yōu)數(shù)學(xué)講義

1.叫做在方向上的投影；叫做在方向上的投影?！さ膸缀我饬x：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積2.向量處理方法：（建系、幾何大法、巧換基底）3.向量的插點(diǎn)：4.三點(diǎn)共線5.點(diǎn)是內(nèi)任一點(diǎn)，則有：點(diǎn)在外時(shí)，面積有正負(fù)，但等式仍成立6.可以進(jìn)行合情推理，空間中也有點(diǎn)是四面體內(nèi)任一點(diǎn)，則有：7.內(nèi)各種心的向量關(guān)系利用第5點(diǎn)結(jié)論有：1）是重心：2）是內(nèi)心：3）是外心：，另有，，4）是垂心：，例1.（2019江蘇夏令營(yíng)）設(shè)為的外心，滿足，若，則面積的最大值為_________________.解析：，令，，則，所以三點(diǎn)共線，此時(shí)，如圖所示，不妨設(shè)，，，則在中，，在中，由余弦定理得，得，又當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)。故填。例2.（2019年貴州預(yù)賽）在中，,,則____________.解析：由題意知，分別是中點(diǎn)且，所以，可得，故.例3.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，為內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，，則。解析：由，及得：，所以，。由得為的重心，為的中點(diǎn)，解法一：在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得，即②由①：②得，所以。解法二：由于為的重心，為的中點(diǎn)，由不漏油的奔馳定理可得，即代入數(shù)據(jù)可得。解法三：由，得，由平面向量基本定理，記，，則，在中，，由正弦定理得：，即，解得。解法四：由，，，得，由，得，設(shè)，，則，即，消去得，即。解法五：建立如圖所示坐標(biāo)系：由，，，，得，，設(shè)，則，由得，即，兩邊平方解得，所以。例4.在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上．若△ABC的面積為2，則的最小值是_____．解法一如圖，設(shè)，，．則．∴．解法二設(shè)△PBC中點(diǎn)P，B，C所對(duì)的邊分別為．由題設(shè)知，∴ ．設(shè)，則，即．此時(shí)的最小值為．解法三如圖建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)P作PD垂直BC于D，則設(shè)，，． 例5.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若滿足，則下列一定成立的是（）A.B.其中是拋物線過的切線C.D.解析;B提示：，即，亦有。例6.在凸四邊形中，和分別為對(duì)角線和的中點(diǎn)，求證：。【證明】如圖所示，連結(jié)BQ，QD。因?yàn)椋?·=①又因?yàn)橥?，②，③由①，②，③可得。得證。例7.△ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。證明：首先其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E，則連結(jié)CE后得CE又AHBC，所以AH//CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE為平行四邊形。所以所以，所以，所以與共線，所以O(shè)，G，H共線。所以O(shè)G：GH=1：2。例8.已知O是平面上的一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則,則由已知得，所以，即∴DP⊥BC,P點(diǎn)在BC的垂直平分線上,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過△ABC的外心.選C例9.已知O是平面上的一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心解析：由已知得,因?yàn)?，∴AP⊥BC,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過△ABC的垂心，選B例10.設(shè)G為△ABC的重心,,則的值為解析:因?yàn)镚為△ABC的重心,所以,而,則易得,即,設(shè)c=1,則,所以.所以例11.若△ABC外接圓的圓心為O,半徑為4,,則在方向上的投影為()解法一:設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則,結(jié)合垂徑定理有AO⊥BC.則易得|CD|=.由投影定義知在方向上的投影為|CD|，選C解法二:即,且O與A位于直線BC兩側(cè).,得設(shè)為,則由可得,所以在方向上的投影為例12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,已知,若O是△ABC外接圓的圓心,且,則實(shí)數(shù)解法一:由易得，即，即即，即，即，所以。解法二:由易得，，即，因?yàn)镺是△ABC的外心,所以所以,設(shè)此比值為,則由②③均有,代入①式得例13.在中，為邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若，的面積為，則的最小值為答案：解析：由條件知，，則，由得所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等。則。例14.在中，已知，求的最大值。解析：由數(shù)量積的定義及余弦定理知，．同理得，，．故已知條件化為即．由余弦定理及基本不等式，得,所以．等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．因此的最大值是．例15.（2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)預(yù)賽福建）已知為的內(nèi)心，且.記分別為的外接圓、內(nèi)切圓半徑，若，則.【答案】解析：取中點(diǎn)，依題意，有，所以共線，.由得.作于.則，,，...由正弦定理,,.1.（2019江蘇預(yù)賽）在矩形中，,，垂足為，則的最大值是．解析：如圖，設(shè)，，，則，，，于是，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，故最大值為．2.已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，過作動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)為“好點(diǎn)”，則橢圓上“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè)解析：C，由知四邊形為平行四邊形，則相互平分，設(shè)中點(diǎn)為，有點(diǎn)差法得，即，又，解得3.（2018年安徽預(yù)賽）設(shè)是的垂心，且，則.【答案】解析：由題設(shè)得.再由，得，，故.4.（2018年河北預(yù)賽）設(shè)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則__________.答案：解析：將化為，.設(shè)分別是的中點(diǎn)，則.設(shè)的面積為，有幾何關(guān)系知：，，。5.（2018年江蘇預(yù)賽）在中，，且，設(shè)是平面上的一點(diǎn)，則的最小值為_____..解析：，由，且，得：.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則即的最小值為.6.（2018年遼寧預(yù)賽）.已知點(diǎn)在內(nèi)，且，則（）A.B.C.D.解析：A提示：由題設(shè)知，故，所以PQ∥AB.又，故.7．已知平面向量滿足，且與的夾角為，求的取值范圍?！窘狻糠椒ㄒ唬簬缀危瑘A周角，表示，表示，表示與的夾角為120°，所以故點(diǎn)在圖示圓?。ò霃綖椋┥线\(yùn)動(dòng)，故。方法二：法，令，與的夾角為120°，所以，即，故8.是△ABC所在平面上一點(diǎn),滿足.若,則△PAB的面積等于（）A.4 B.3 C.2 D.1解法一:由△APB與△ABC等高可得,所以，選C解法二:且P與B位于直線AC兩側(cè).則，即，即，所以9.已知O是平面上的一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心解析：由已知得,由正弦定理知,設(shè)為,則,設(shè)AC的中點(diǎn)為D,則所以點(diǎn)P在BC的中線AD所在的射線上,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的重心，選A。10.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn),若(其中P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)),則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析:，即，因?yàn)?所以O(shè)是△ABC的內(nèi)心.選B11.已知是銳角的外心，，，若，且，則=．解析：所以，得同理：，得，聯(lián)立，得12.已知，若對(duì)任意,，則一定為A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.答案不確定解析：令，過A作于D。由，推出,令，代入上式，得，即,也即。從而有。由此可得。選：C13.（2018年山東預(yù)賽）在中，的平分線交于，且有,若,則.解析：過