廣東省深圳市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省深圳市北京師范大學(xué)南山附屬學(xué)校2023-2024學(xué)年高

二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.直線4：ax+3y+2a=。與直線/?：2x+（a—l）y+（。+1）=。平行，則“4〃4"是"a=—2”

的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要

2.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.直線＞=依-3。+2（4€11）必過(guò)定點(diǎn)（3,2）

B.直線y=3尤-2在y軸上的截距為_(kāi)2

C.直線JL+y+l=O的傾斜角為60

D.過(guò)點(diǎn)(-1,2)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y=。

3.設(shè)/U)是可導(dǎo)函數(shù)，且linJlAr)-⑴=2,則廣⑴=()

-->0Ax

A.2B.--C.-1D.-2

3

4.已知三角形ABC的周長(zhǎng)為12,且4（-2,0）,B（2,0）,則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）

2222

A.y+y=l（y^o）B.y-^-=l（y^O）

C.二+工=1（"0）D.-L=l（ywO）

1612V）1612U'

5.直線/與曲線y=2?和圓/+/=（都相切，則直線/的斜率為（）

A.；B.—C.1D.V3

22

6.已知，A5C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a,b,c成等比數(shù)列，且2c=〃，

則cosA=()

>/2R母

A.

44

72n?

C.---------LJ.

3---------------------------------------------------------3

7.已知函數(shù)〃x）=xlnx—"有極值—e,貝|J〃二（）

A.1B.2C.eD.3

8.已知數(shù)列｛4｝,｛4｝中滿足2a“+i+4=3（〃Nl）,4=10,bn=an-l,若也｝前〃項(xiàng)

之和為則滿足不等式|5,-6|＜擊的最小整數(shù)〃是（）.

A.8B.9C.11D.10

二、多選題

9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.(ln7)'=g

B.[(爐+2卜in%]=2xsinx+(x2+2)cosx

2x-x2

C.

ex

D.[ln(3x+2)]'=止

10.已知正方體ABCD-AgGA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)分別是棱BC，8片的中點(diǎn)，點(diǎn)、P

是側(cè)面AD2A內(nèi)一點(diǎn)（含邊界）.若3尸//平面則下列說(shuō)法正確的有（）

A.點(diǎn)尸的軌跡為一條線段

B.三棱錐P-QE尸的體積為定值

C.陶尸|的取值范圍是[括,3]

D.當(dāng)點(diǎn)尸在。Q上時(shí)，異面直線。龍與BP所成的角的余弦值是半.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOx中，點(diǎn)A（l,0）,動(dòng)點(diǎn)/（%%）（毛川），記M到y(tǒng)軸的距離

為/將滿足|A"|=d+l的M的軌跡記為:T,且直線/：質(zhì)-，+左=0與r交于相異的兩

點(diǎn)尸（西,必），Q（x2,y2）,則下列結(jié)論正確的為（）

A.曲線r的方程為V=2x

B.直線/過(guò)定點(diǎn)（-1,。）

C.%+%的取值范圍是（一8,-4）口（4,+8）

D.4PAQ的取值范圍是（F,4）

三、填空題

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

12.在‘ABC中，角A8,C所對(duì)的邊分別是。也c,且2sin\inC=a：+?則角

sinCci+c—b

B=.

13.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為MS?=n2-4n+l,貝。氏=.

14.已知函數(shù)/食）=/+2依-3,對(duì)任意網(wǎng)，尤241,+8）且%<%,恒有

-々）成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題

15.已知函數(shù)/（x）=lnx+/-丘在點(diǎn)。，/⑴）處的切線方程為x+y+〃z=。.

⑴求實(shí)數(shù)左和加的值；

⑵求〃尤）在Le］上的最大值（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

16.已知等差數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和為S“，公差d^O,且邑+邑=50,%,%,&成等

比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)1是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

①求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和小

②若不等式詞,7+2n2<0對(duì)一切〃?N*恒成立，求實(shí)數(shù)2的最大值.

17.如圖，在三棱柱ABC-中，四邊形山狙4為正方形，四邊形A41cle為菱形，

且/A41c=60。，平面AAGCL平面AB4A，點(diǎn)。為棱B片的中點(diǎn).

⑴求證：AA,1CD；

（2）棱8。上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)使得二面角4知一4的余弦值為巫？若存

在，請(qǐng)指出點(diǎn)/的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知拋物線C：y2=2px(p>0)上的點(diǎn)/與焦點(diǎn)廠的距離為｝且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑵若直線/與拋物線C相交于A3兩點(diǎn)，且物，奶，證明直線/過(guò)定點(diǎn).

19.已知函數(shù)=-狽-a)e*+a.

⑴討論〃元)的單調(diào)性；

⑵若〃力<0對(duì)xe(Y°，。)恒成立，求。的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】當(dāng)時(shí)，有a（a-l）=6,故a=-2或a=3,

當(dāng)。=3時(shí)，4的方程為x+y+2=0,4的方程為x+y+2=0,此時(shí)兩條直線重合，不符合；

當(dāng)。=—2時(shí)，乙的方程為2x—3y+4=0,'的方程為2x-3y-l=0,符合；

綜上，"〃夕'是“。=-2”的充要條件，

故選：B.

2.C

【分析】求出直線＞=依-3°+2（。61^所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)直線截距的

定義可判斷B選項(xiàng)；求出直線+1=0的傾斜角，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)兩直線垂直求

出所求直線方程，可判斷D選項(xiàng).

/、f九—3=0{x=3

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線方程可化為ax-3）+2-y=O,由八，解得，

[2-y=0[v=2

故直線y=ax-3a+12（aeR）必過(guò)定點(diǎn)（3,2）,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，直線y=3尤-2在y軸上的截距為一2,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，直線氐+y+l=0的斜率為-石，故該直線的傾斜角為120,C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，直線x-2y+3=0的斜率為

故過(guò)點(diǎn)（-1,2）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為y-2=-2（x+l）,即2x+y=0,D對(duì).

故選：C

3.B

【分析】由已知及導(dǎo)數(shù)的定義求了'⑴即可.

【詳解】由題設(shè)，-⑴-3A

a3Ax3

故選：B

4.C

【分析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和定點(diǎn)，得到點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)C的

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，寫(xiě)出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn).

【詳解】因?yàn)?(-2,0)、3(2,0),所以|AB|=4,

又因?yàn)锳SC的周長(zhǎng)為12,得+

由橢圓的定義可知：頂點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)以AB為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，

22

且橢圓1+2=1(a>“0)中,

ab

a=4,c=2,BPZ?2=a2—c2=16—4=12,

22

橢圓方程為上+工=1,

1612

因?yàn)閥=o時(shí)，三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形.

22

頂點(diǎn)C的軌跡方程為上+匕=l(y#0),

1612-

故選：C.

5.C

【分析】設(shè)直線/與曲線y=2?相切時(shí)的切點(diǎn)為A(%,2向)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求直

線/的方程，再根據(jù)與圓相切可求為,故可求公切線的斜率.

【詳解】圓/+的圓心為原點(diǎn)，半徑為走.

設(shè)直線/與曲線y=2?相切時(shí)的切點(diǎn)為A(%,2向)，其中天>。.

因了=々，故直線/的斜率為曰，

7x

整理得到：X-募y+毛=0,

因該直線與圓相切，故故％=1或％=（舍）,

”+與2

故直線/的斜率為1,

故選：C.

6.B

【分析】由題目條件可得)2=202,再利用余弦定理代入求解即可.

【詳解】因?yàn)閍，b,。滿足。力,。成等比數(shù)列，得6:ac,且2c=a,得廿=202,

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

由余弦定理，cos/=1+。2-一=2c2+[4c2=_變,

Zbc2-Jlc-c4

故選：B.

7.B

【分析】先求出函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)；再求出極值點(diǎn)，代入函數(shù)〃x）=xlnx-融解方程即可.

【詳解】由題目條件可得：函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋ā?+8）,f'（x）=\nx+l-a.

令制x）＞0,得x＞ej

令廣（力＜0,得Ove。！

所以函數(shù)在區(qū)間Me"I上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

則產(chǎn)|是函數(shù)"彳）的極小值點(diǎn)，

a

故/'（產(chǎn)）=eiIne-'-ae^=-e,解得a=2.

故選：B

8.D

【解析】由2。用+a,=3可求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列｛2｝,表示出工，

令|S“-6|〈春，即可得到滿足不等式凡-6|〈擊的最小整數(shù)〃.

【詳解】解：由題意可知：2a?+1+a=3,

又Q%=io,

4—1=9,

即數(shù)歹是以首項(xiàng)為9,公比為-;的等比數(shù)列,

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

n-1

貝1J|S”一6|=3xJ＜擊，

滿足不等式\Sn-6|<^的最小整數(shù)〃一1=9,

即”=10.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造法求出數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

9.BC

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】(ln7)'=0,故A錯(cuò)誤；

[(f+2卜in%]=2xsinx+^x2+2)cosx,故B正確；

[ln（3x+2）]'=T^，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.ABD

【分析】對(duì)于A：通過(guò)證明平面創(chuàng)亞〃平面廠可得點(diǎn)尸的軌跡；對(duì)于B：根據(jù)尸到平面

月的距離為定值來(lái)判斷；對(duì)于C：利用面積法來(lái)判斷；對(duì)于D：建立空間直角坐標(biāo)系，

利用向量法求解即可.

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】對(duì)于A：取A3DR的中點(diǎn)分別為,由正方體的性質(zhì)易得RE//BN,MN//EF,

又RES面BMN,BNu而B(niǎo)MN,EF①面BMN,MNu而B(niǎo)MN,

所以，E〃面RVW,EF//而B(niǎo)MN,

又5ECEF=E,RE,EFu面REF,所以面BMN〃面RET"

又BP〃平面QE尸，點(diǎn)尸是側(cè)面ADQA內(nèi)一點(diǎn)（含邊界）.

所以點(diǎn)P的軌跡為線段MN,A正確；

對(duì)于B：的面積為定值，因?yàn)椤ㄆ矫鎻S，

所以點(diǎn)8到平面DtEF的距離為定值，則點(diǎn)P到平面DtEF的距離h為定值，

所以匕＞一*尸=：5*尸/為定值，B正確;

對(duì)于C：因?yàn)锽R=《AB；+A。；=2忘,

所以gM=BjN=+RM?=J（20）2+T=3,MN=VT+1=V2,

所以點(diǎn)見(jiàn)到MN的距離d=JI'曰'=號(hào)〉邪,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，尸為。Q的中點(diǎn).

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0,0,1）,3（2,2,0）,2（0,0,2）,E（l,2,2）,

則有尸3=（2,2,-1）,=（1,2,0）,

因?yàn)閏osP3,RE=|^=竽，

所以，異面直線。/E與8尸所成的角的余弦值是半，D正確.

故選：ABD

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

11.BCD

【分析】求出拋物線方程判斷A；求出直線所過(guò)的定點(diǎn)判斷B；聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)

合韋達(dá)定理，先求出左的范圍判斷C；利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷D.

【詳解】依題意，點(diǎn)/到直線4-1的距離等于到點(diǎn)A。,。)的距離，

因此點(diǎn)M的軌跡「是拋物線，其方程為V=4x,A錯(cuò)誤;

直線/：Mx+l)-y=0恒過(guò)定點(diǎn)(-1,0),B正確;

由I;。消去y得：產(chǎn)V+(2產(chǎn)-4)%+*=0,

4

則A=(2左2一4)2—4/>0,左W0,解得一1<上<1,左*0,Xl+x2=~fX1x2=1,

,4

必+%=k+x+2)=—e(—oo,—4),J(4,+oo),C正確；

。2

k

4-2k2

%%=k，(%+1)(尤，+1)=42(xtx2+X]+/+1)=笈2(2+)=4,

4-2k2=8-3<4,D正確.

42-4°=(玉_1)(3_1)+%％=%%-(再+無(wú)2)+l+X%=6-

~~ie~

故選：BCD

12.—l-7t

33

【分析】利用正弦定理角化邊，整理后結(jié)合余弦定理可得.

【詳解】由正弦定理角化邊得網(wǎng)二if°：，

ca+c-b

整理得/+。2一/=-

匚匚r、l八〃2+。2—/(2C1

所以cos5=---------=——=一,

2aclac2

因?yàn)?e(O,7i),所以8=].

故答案為：y

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

-2,n=l

2n—5,n>2

【分析】根據(jù)?！焙蚐”的關(guān)系求解可得.

【詳解】當(dāng)”=1時(shí)，％=H=-2；

當(dāng)2時(shí)，an=Sn-Sn_x=ir-4/7+1-

—2,n—\

2n—5,n>2

-2,n=l

故答案為:

2n—5,n>2

14.（-oo,4]

【分析】根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)g（x）=〃"+3,轉(zhuǎn)化為g（x）=x+2"-』+女在工內(nèi)）為遞增函

XXX

數(shù)，進(jìn)而得到g'（x）Z。在U,y）上恒成立，進(jìn)而得到應(yīng)尤2+3在U，y）上恒成立，即可求解.

【詳解】由對(duì)任意占，々?口，+°°）且占＜%,恒有%了（%）一%/（工2）＜。（下一々），

可得％了（尤1）-3/（無(wú)2）＜。（尤「尤2）,整理得了（再）+烏＜/（尤2）+巴,

'x{x2XxX2x1%x2x2

因?yàn)槿我馕?，?《工+8）且西,

設(shè)函數(shù)g（x）=/@+3,則函數(shù)y=g（x）在口,+8）為單調(diào)遞增函數(shù)，

XX

因?yàn)?（工）=*+2辦-3,可得g（x）=x+2a-°+@在□,+（?）為單調(diào)遞增函數(shù),

可得，（無(wú)）=1+指-卜0在工+8）上恒成立，所以/+3一心0在口,內(nèi)）上恒成立，

即“Vd+3在[1,+8）上恒成立，所以。V4,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（-亂4].

故答案為：（-j4].

15.（1）左=4,m=2

（2）e2—4e+l

【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求左的值，再根據(jù)切線過(guò)切點(diǎn)求機(jī)的值;

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，再求函數(shù)的最大值.

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=lnx+x2一代

所以r(x)='+2x-左,

X

(f(l)=3-k=-l

由題意可得'，

解得:左=4,m=2.

(2)由⑴可得，/(x)=lnx+x2-4x

所以ra)=_L+2%—4=*X—，」十1,且工￡口,嘰

xx

易得，當(dāng)xe[l,l+孝]時(shí)，/，(%)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe[l+咚,e]時(shí)，/(同>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

又/⑴=一3,f(e)=e2-4e+l,M/(e)-/(l)=e2-4e+4=(e-2)2>0,

即最大值為：/(e)=e2-4e+l.

16.【小題1]??=2?+1；【小題2】①(=〃-3"；②一」.

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前”項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)進(jìn)行求解；

(2)①先計(jì)算也J的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求解

②代入&S“，得到九《與"對(duì)一切wwN*恒成立，構(gòu)造函數(shù)〃")=與"，再求了⑺的

最小值，即可求得結(jié)果.

3x24x5_

34H------d+5qH--------d—50f(2=3

【詳解】(1)依題意得2,2，解得"=)，

(q+3dJ=%(〃]+12J)1

/.an=ax+(n-V)d=3+2(〃-1)=2〃+1,即=2〃+1.

b

(2)①」二3〃一，2=氏-3〃一1=(2幾+1>3〃一、

an

7；,=3+5-3+7-32++(2〃+l>3"T,

23

3Tn=3.3+5-3+7-3++(2〃-1>3"T+(2〃+l>3",

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

所以-27；=3+2?3+2-32+一+23一-(2〃+1)3"=3+2?不匚"-(2"+1)3"=-2〃守.

1-3

:.Tn=n-V.

②由(1)易求得5,=〃伽+2),所以不等式27；-S“+2”2w0對(duì)一切〃eN*恒成立，

即轉(zhuǎn)化為2W基對(duì)一切weN*恒成立，

令〃w)=?(〃eN*),則“嘰

又飛+1)一個(gè))=爰一？=,，

當(dāng)時(shí)，/(?+1)-/(?)<0；“23時(shí)，f(/i+l)-/(n)>0,

所以7(1)>/(2)>/(3),且〃3)<f(4)<,則1mn=〃3)=-，.

所以實(shí)數(shù)力的最大值為一人.

17.(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在，點(diǎn)M為棱3G的三等分點(diǎn)(靠近G端)

【分析】(1)首先證明四，平面。CD,然后由線面垂直可以得證；

(2)根據(jù)題目中的已知條件找到兩兩垂直的三條棱，然后建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相

關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)出點(diǎn)"的坐標(biāo)，求出平面4月￡和平面%M的法向量，結(jié)

合空間向量的夾角公式列出方程，解方程即可確定點(diǎn)M的位置.

【詳解】(1)取棱AA的中點(diǎn)。，連接CVCO,OD,

AC=朋且/A41c=60。，

.?.△A41c為等邊三角形，

A^IOC,

四邊形ABB{\為正方形，且。分別是M,8月的中點(diǎn)，

AAj±OD,

因?yàn)镺COD=O,OC,ODu平面OCD,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

M1平面OCD，

因?yàn)镃Du平面。CD,

所以A4,，CD.

(2)因?yàn)槠矫鍭AgCJ-平面ABBiA,平面441GC平面ABB,=44,,且OC，的，OCc

面A41cle,

所以0(7_1面48片4,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)AOQOC,所在的直線分別為％y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

不妨設(shè)鉆=2,則點(diǎn)8(1,2,0),A(T，。，。)，G(-2,0,A/3),^(-1,2,0),

則A氏=(0,2,0)，4C=C，o,g),

設(shè)4=(占,％，4)為平面4月。1的一個(gè)法向量，則由4T4=0及《rAG=o得,

一;+后=0,取4=1，得%=("。4,

假設(shè)棱8G上(除端點(diǎn)外)存在點(diǎn)M滿足題意，

令GM=4C[B](0<Z<l),得—'—百2),

而AB=(2,2,0),AM=(2-1,22,6-百X),

設(shè)%=(孫％，22)為平面34知的一個(gè)法向量，則由%?A3=。及%,A"=°得，

2x2+2y2=0(i+彳、

，

(2-l)x2+22y2+(^->/32)z2=0取%與，得%-11道小孫

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

乎，整理得1+2

1-2

所以點(diǎn)M為棱與G的三等分點(diǎn)（靠近G端）.

18.⑴拋物線C:/=2x；/（2,2）

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)結(jié)合拋物線焦半徑公式可構(gòu)造方程組求得加,p,由此可得拋

物線方程和點(diǎn)“坐標(biāo)；

⑵設(shè)/:無(wú)=陽(yáng)+〃，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式；由垂直關(guān)系可得腦履鼬!=-1,

代入韋達(dá)定理的結(jié)論可整理得到〃=2根+4,代入直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo).

x+K=*[x—2

【詳解】⑴設(shè)叫毛,2⑺，則。2~2,解得：°",

2Px0=4p

，拋物線C:y2=2x；M（2,2）.

（2）由題意知：直線/斜率不為零，可設(shè)/:x="9+〃，4（%,兇），,

[y2=2x

由《得：y2-2my-2〃=。，/.△=4病+8〃〉0,即療+2〃>0;

[x=my+n

yx+y2=2mfy[y2=-2〃；

222

二%一2二%-2-2=y2~=y2~=

MAMB

~^-2~y^-4~yl+29~x2-2~-4~y2+2,

22

444

又MA上MB,左MA?^MB=7~Z\7~Y：=~Z7：77J=~~7=；

（X+2）（%+2）%%+2（必+%）+4-2n+4m+4

貝|K=2機(jī)+4（止匕時(shí)加之+2〃=加之+4根+8=（加+2）2+4>0成立），

/.直線/:無(wú)=沖+2相+4=根（丁+